Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Cálculo Vetorial

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Módulo B - 60857 . 7 - Cálculo Vetorial - T.20212.B 
Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário 
Nota final Enviado: 22/11/21 15:45 (BRT) 
10/10 
Conteúdo do exercício 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
/1 
O teorema da divergência é bastante útil, pois consegue relacionar a integral de um campo vetorial sobre 
uma superfície com a integral de volume do divergente do campo vetorial. A princípio, pode não ser clara sua 
utilidade, porém, há diversos casos em que o problema é simplificado. Mas para utilizá-lo, há certos 
requisitos a serem atendidos. A definição é : 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, analise as afirmativas 
a seguir. 
I. A superfície S deve ser fechada. 
II. A superfície S deve ser orientada para dentro. 
III. O campo vetorial F deve possuir derivadas parciais contínuas. 
IV. O volume V deve ser maior que o definido pela superfície S. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
I e III. 
Resposta correta 
2. 
I e II. 
3. 
I e IV. 
4. 
II e IV. 
5. 
I, II e IV. 
2. Pergunta 2 
/1 
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral dupla sobre uma região R. Para que 
seja válido o teorema, a curva C deve ser simples, ou seja para todos os valores contidos no 
intervalo aberto da variação do parâmetro t. Somado a isso, a região R deve ser simplesmente conexa, ou 
seja, a curva C que delimita a região deve ser simples, e delimitar apenas pontos que pertencem a R. 
Figura 6 – Regiões R2 e R3 
 
Cálculo Vetorial_BQ04- Questão20_v1(1).png 
 
Fonte: (LARSON; EDWARDS, 2009) 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, afirma-se que as regiões 
R2 e R3 são regiões não contempladas pelo teorema porque: 
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1. 
são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: R2 por conter furos e 
R3 por sua fronteira cruzar ela mesma. 
Resposta correta 
2. 
são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário. 
3. 
são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário e anti-horário. 
4. 
são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: R3 por conter furos e 
R2 por sua fronteira cruzar ela mesma. 
5. 
são regiões que se adéquam à definição de simplesmente conexas: R2 por conter furos e R3 
por sua fronteira cruzar ela mesma. 
3. Pergunta 3 
/1 
O teorema de Green, em sua forma vetorial, é utilizado para simplificar a resolução de integrais de linha em 
caminhos fechado. O teorema relaciona a borda do caminho com a área formado pelo caminho fechado, que 
deve ter orientação anti-horária. O teorema de Green possui mais de uma forma de ser escrito. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, analise as afirmativas a 
seguir. 
 
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1. 
I e II. 
2. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
3. 
I, II e III. 
4. 
II e IV. 
5. 
I e IV. 
4. Pergunta 4 
/1 
Um campo conservativo (F) é definido com base na existência de uma função escalar f que pode ter seu 
gradiente calculado. Em outras palavras, define-se um campo conservativo F da seguinte forma: 
 
 
Portanto, pode-se dizer que uma função f(x,y)=xy pode gerar um campo conservativo F, porque: 
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1. 
é possível calcular o campo rotacional dessa função, e seu resultado é (y,x) 
2. 
é possível calcular o campo gradiente dessa função, e seu resultado é (y,x) 
Resposta correta 
3. 
é possível calcular o campo gradiente dessa função, e seu resultado é (x,y) 
4. 
é possível calcular o campo divergente dessa função, e seu resultado é (y,x) 
5. 
é possível calcular o campo divergente dessa função, e seu resultado é (x,y) 
5. Pergunta 5 
/1 
Os Teoremas de Green, Gauss e Stokes são teoremas que facilitam o trabalho algébrico com as integrais de 
linha e superfície. Eles definem equivalências com outras integrais, de modo que não se calcule as integrais 
de linha e superfície por definição.É interessante, também, lançar um outro olhar sobre esses teoremas. 
Observar as diferenças e similaridades acerca de seus aspectos vetoriais também é fundamental. 
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, Gauss e Stokes, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O Teorema de Green é pautado em regiões simplesmente conexas. 
II. ( ) Uma região R, que é delimitada por uma curva C que corta a si mesma, pode ser utilizada pelo Teorema 
de Green. 
III. ( ) O Teorema de Gauss é pautado em um sólido delimitado por superfícies. 
IV. ( ) O Teorema de Stokes é pautado em uma superfície orientada. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
V, F, V, V. 
Resposta correta 
2. 
V, F, F, V. 
3. 
F, F, V, V. 
4. 
F, F, V, F. 
5. 
V, V, F, F. 
6. Pergunta 6 
/1 
Considere o exemplo a seguir da aplicação do teorema da divergência. Dado , 
integre sobre a esfera unitária . O divergente de F é 
 , integrando sobre que é o próprio volume da esfera, 
resultando em . 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, pode-se dizer que o 
cálculo da integral foi facilitado porque: 
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1. 
a superfície S é fechada. 
2. 
só é possível resolver o lado direito do teorema da divergência. 
3. 
o lado direito é uma integral tripla de um campo vetorial. 
4. 
o integrando é mais simples de integrar. 
Resposta correta 
5. 
a superfície S é orientada para fora. 
7. Pergunta 7 
/1 
Uma das integrais de linhas mais importantes no Cálculo Vetorial é a integral de linha do trabalho (W) de 
uma partícula que se desloca ao longo de um campo vetorial (F). Essa integral é definida da seguinte forma: 
. 
 
Existem, porém, inúmeras outras formas de se escrever essa integral, que podem variar conforma o contexto 
algébrico em que forem calculadas as integrais. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a integral de linha do trabalho, analise as 
afirmativas a seguir. 
 
. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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1. 
I e III. 
2. 
I e IV. 
Resposta correta 
3. 
II e IV. 
4. 
I, II e IV. 
5. 
I e II. 
8. Pergunta 8 
/1 
Em um contexto com variáveis reais definidas em domínios e imagens de pontos, o cálculo integrativo se dá 
com objetos matemáticos conhecidos como integrais. Já em um contexto vetorial, o cálculo integrativo se dá 
com objetos matemáticos conhecidos como integrais de linha. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, pode-se afirmar que as 
integrais referentes ao teorema fundamental do cálculo e as integrais de linhas, apesar de distintas, se 
relacionam porque: 
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1. 
as integrais de linha possuem integrandos que não são vetores. 
2. 
ambas conseguem tratar do mesmo objeto matemático sem que haja perda de informações. 
3. 
as integrais triplas conseguem definir qualquer tipo de objeto matemático. 
4. 
as integrais do contexto vetorial podem ser escritas como integrais duplas e triplas, 
referentes ao outro contexto integrativo. 
Resposta correta 
5. 
ambas são definidas no mesmo contexto, em um cenário onde domínio e contradomínio 
representam conjuntos de pontos. 
9. Pergunta 9 
/1 
Um dos requisitos do teorema de Green é que o caminho de integração seja fechado. Isto é, o ponto do 
começo da integração e do fim são o mesmo. Lembrando que o que está sendo somado são os vetores do 
campo, portanto o fato de ser fechado não torna a integral nula. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, pode-se dizer que o 
caminho deve ser fechado porque: 
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1. 
o caminho fechada permite definir um volume. 
2. 
só é possível definir uma área de integração com uma superfíciefechada. 
Resposta correta 
3. 
o caminho fechado faz a orientação ser anti-horário. 
4. 
o caminho aberto poder ter singularidades. 
5. 
a integral de caminho em um campo vetorial é definida em caminho fechado. 
10. Pergunta 10 
/1 
O conjunto de teoremas da divergência, de Green e de Stokes é um conjunto de ferramentas para nos 
auxiliam a resolver integrais em campos vetoriais que são difíceis ou impossível de resolver. Todos os 
teoremas fazem uma mudança de integral de um tipo para outro. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, de Green e Stokes, 
analise as afirmativas a seguir. 
I. O teorema da divergência transforma uma integral sobre uma área para uma integral sobre um volume. 
II. O teorema de Green transforma uma integral sobre um caminho para uma integral sobre uma área. 
III. O teorema de Stokes transforma uma integral sobre um caminho para uma integral sobre um volume. 
IV. Os teoremas podem fazer a transformação em um sentido ou outro. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e II. 
2. 
II e IV. 
3. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
4. 
I e IV. 
5. 
I e III.