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Lista de Exerc´ıcios - Retas e Planos kakal moura@hotmail.com Novembro 2015 1. Ache a equac¸a˜o da reta que: (a) passa por (3,−2, 4) e e´ paralela ao eixo dos x. (b) passa por A(−4, 2, 1) e B(3,−1, 2). (c) passa por A(−2, 3, 4) e e´ ortogonal ao mesmo tempo aos eixos x e dos y. (d) passa por A(2, 2, 4) e e´ perpendicular ao eixo XoZ . 2. Verificar se as retas r1 e r2 sa˜o concorrentes e, em caso afirmativo, deter- minar o ponto de intersec¸a˜o: (a) r1 : (x, y, z) = (2, 4, 1) + t(1,−2, 3) e r2 : (x, y, z) = (−1, 2, 5) + t(4, 3,−2) (b) r1 : { x = 3 + h y = 1 + 2h z = 2− h e r2 : { x = 5 + 3t y = −3− 2t z = 4 + t (c) r1 : { y = 2x− 3 z = −x e r2 : { x = −t y = −4− t z = 2 + 2t (d) r1 : { y = −3x+ 2 z = 2x+ 5 e r2 : x+2 2 = y−1 −6 = z 4 (e) r1 : { x = 2 + t y = 4− t z = −t e r2 : { y = 6− x z = 2− x 3. Determine o aˆngulo entre as seguintes retas: (a) r1 : { x = −2− t y = t z = 3− 2t e r2 : x 2 = y+6 1 = z−1 1 (b) r1 : { y = −2x− 3 z = x− 2 e r2 : y = z+11 −1 ;x = 4 1 (c) r1 : { x = 1 y 4 = z−2 3 e r2 : x−4 2 = y −1 = z+1 −2 4. Determine o aˆngulo entre os planos pi1 : 2x+y−z+3 = 0 e pi2 : x+y−4 = 0. 5. Determine uma equac¸a˜o do plano p que passa pelo ponto P (1, 0, 1) e conte´m a reta de equac¸a˜o r : { x− y + z + 1 = 0 2x+ y − z + 2 = 0 6. Determine um vetor normal ao plano: (a) α : 2x− y + 1 = 0 (b) α : { x = 1 + t+ h y = 1− t+ 2h z = h ; t, h ∈ R 7. determine o ponto de intersec¸a˜o da reta r com o plano pi. (a) r : x = 3t, y = 1− 2t, z = −t e pi : 2x+ 3y − 2z − 7 = 0 (b) r1 : { y = x− 10 z = x+ 1 e pi : 2x− y + 3z − 9 = 0 (c) r : { x = 4 + k y = 3 + 2k z = −2− 3k e pi : { x = 2 + h+ 2t y = −3− h− t z = 1 + 3h− 3t 8. Estude a posic¸a˜o relativa dos planos a seguir, determinando sua intersec¸a˜o: (a) α : 2x+ 6y − z + 1 = 0 e β : 4x+ 2y − 2z + 2 = 0 (b) α : (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, 1, 3) + h(0, 0, 1); t, h ∈ R e β : 2x + y − z + 1 = 0 (c) α : (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, 1, 3) + h(0, 0, 1); t, h ∈ R e r : { x = 4t y = 1 + 2t z = 2 + 5t− h 9. Escreva uma equac¸a˜o do plano α nos casos a seguir: (a) α passa pelos pontos A(1, 0, 2) e B(2,−1, 3) e e´ paralelo ao vetor v = (0, 1, 2). (b) α passa pelso pontos A(3, 1,−1) e B(1, 0, 1) e e´ paralelo ao vetor CD, sendo C(1, 2, 1) e D(0, 1, 0). (c) α passa pelos pontos A(1, 0, 2), B(1, 0, 3) e C(2, 1, 3). 10. Calcule a distaˆncia entre: (a) O ponto A(1, 5, 7) e o ponto B(2, 4, 8) (b) O ponto P (1, 1, 2) e o plano α : 2x− y + 2z + 4 = 0 (c) O ponto P (1, 1, 0) e a reta r : (x, y, z) = (2, 1, 0) + t(1, 2,−1); t ∈ R 2
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