Livro_retas_planos_novo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E
FÍSICA - IMEF
FABÍOLA AIUB SPEROTTO
DAIANE SILVA DE FREITAS
EQUAÇÕES DE RETAS E PLANOS
NO ESPAÇO
1◦ Edição
Rio Grande
2018
 
 
 
S749e Sperotto, Fabíola Aiub 
 Equações de retas e planos no espaço [recurso eletrônico] / 
 Fabíola Aiub Sperotto, Daiane Silva de Freitas. - Rio Grande: Ed. da 
 FURG, 2018. 
 79 p. 
 
 Modo de acesso: http://www.lemas.furg.br/index.php/material-didatico 
 ISBN: XXXX 
 
 
 1. Equações de retas 2.Equações de planos 3. Geometria analítica 
 I. Freitas, Daiane Silva de II. Título 
 
 
 CDU 517.9 
 Catalogação na fonte: Bibliotecária Vanessa Dias Santiago – CRB10/1583 
 
 
 
Universidade Federal do Rio Grande - FURG
EQUAÇÕES DE RETAS E PLANOS NO
ESPAÇO
Instituto de Matemática, Estat́ıstica e F́ısica - IMEF
Fab́ıola Aiub Sperotto
Daiane Silva de Freitas
site: www.lemas.furg.br/index.php/material-didatico
i
Sumário
1 Retas 1
1.1 Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Reta definida por Dois Pontos . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Equações Simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Equações Reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados . . . . . 11
1.4.1 Retas Paralelas aos Planos Coordenados . . . . . . . . 11
1.4.2 Retas Paralelas aos Eixos Coordenados . . . . . . . . 13
1.4.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Ângulo entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Condições de Ortogonalidade, Paralelismo e Coplanaridade
entre retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.1 Condição de Ortogonalidade entre duas retas . . . . . 17
1.6.2 Condição de Paralelismo entre duas retas . . . . . . . 17
1.6.3 Retas Coplanares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Posições relativas entre retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Interseção de duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Reta ortogonal a duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.10 Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.10.1 Distância de um ponto a uma reta . . . . . . . . . . . 25
1.10.2 Distância entre retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11 Lista de Exerćıcios - Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Planos 32
2.1 Determinação da Equação de um Plano . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.2 Outra forma para determinar a equação geral do plano 39
2.2 Planos Paralelos aos Eixos e Planos Coordenados . . . . . . . 40
2.2.1 Planos Paralelos aos Eixos Coordenados . . . . . . . . 40
ii
2.2.2 Planos Paralelos aos Planos Coordenados . . . . . . . 41
2.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Equação Vetorial e Equações Paramétricas do Plano . . . . . 43
2.5 Ângulo entre dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Planos Paralelos e Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7 Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7.1 Ângulo de uma reta com um plano . . . . . . . . . . . 46
2.7.2 Condições de paralelismo e perpendicularismo entre
reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.3 Condições para que uma reta esteja contida num plano 47
2.7.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8 Interseção entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.9 Interseção de uma reta com o plano . . . . . . . . . . . . . . 49
2.9.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.10 Interseção de um Plano com os Eixos e Planos coordenados . 51
2.11 Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.11.1 Distância de um ponto a um Plano . . . . . . . . . . . 52
2.11.2 Distância entre dois planos . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.11.3 Distância de uma reta a um plano . . . . . . . . . . . 53
2.11.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.12 Lista de Exerćıcios - Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Gabaritos 58
3.1 Lista de Exerćıcios - Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Lista de Exerćıcios - Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A Retas e Planos - Exemplos 62
B Estudo da Reta no plano cartesiano 66
B.1 Conceito de Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . 66
B.1.1 Coordenadas Cartesianas na reta . . . . . . . . . . . . 67
B.1.2 A Equação da Reta no plano . . . . . . . . . . . . . . 69
iii
Caṕıtulo 1
Retas
No estudo da reta no plano cartesiano (R2), é fácil perceber que da-
dos dois pontos distintos obtemos uma única reta, que é definida por uma
equação linear. Para maiores detalhes, revise o apêndice B.1.
Nosso objetivo agora é o estudo da reta no espaço (R3), que será deter-
minada por um ponto e um vetor indicando a direção da reta, conforme a
Figura 1.1. Neste caṕıtulo, mostraremos como usar os produtos escalares e
vetoriais para escrever equações para retas e segmentos de retas.
Figura 1.1: Ponto da reta e vetor direcional
Definição: Considere uma reta r que passa pelo ponto A(x1,y1,z1) e
com direção do vetor não nulo ~v = (a,b,c). Dado um ponto P qualquer, esse
ponto pertence a reta r se, e somente se, o vetor
−→
AP é paralelo ao vetor ~v.
Então,
−→
AP= t~v, para algum t real. (1.1)
1
Pela equação (1.1), temos que
P −A = t~v ⇒ P = A+ t~v,
ou em coordenadas,
(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t(a,b,c). (1.2)
A equação (1.2) é denominada equação vetorial da reta r no espaço
(R3). O vetor ~v é o vetor diretor ou vetor direcional da reta e t é denomi-
nado parâmetro.
A reta no R3 é o conjunto de todos os pontos A(x1,y1,z1) para os quais
−→
AP‖ ~v (
−→
AP é paralelo ao vetor ~v) e o parâmetro t depende da localização
do ponto A ao longo da reta. E o domı́nio de t é (−∞,∞).
Exemplo 1. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto
A(2,3,5) e tem direção do vetor ~v = 3~i+ 4~j − ~k.
Solução: O vetor ~v = 3~i+ 4~j −~k pode ser reescrito na forma de coorde-
nadas: ~v = (3,4,− 1).
Então, a equação vetorial da reta é
(x,y,z) = (2,3,5) + t(3,4,− 1).
Se desejarmos obter pontos da reta r, atribúımos valores para o parâmetro
t. Assim, para
t = 0⇒ A(2,3,5)
t = 1⇒ B(5,7,4)
t = −1⇒ C(−1,− 1,6),
e assim sucessivamente. Se o parâmetro t assumir todos os valores reais
teremos todos os infinitos pontos da reta. Observe o gráfico da Figura 1.2.
2
IMEF - FURG
1.1. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
Figura 1.2: Pontos selecionados sobre a reta.
Exemplo 2. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto
A(1,− 3,2) e tem direção do vetor ~v = 3~i+ 5~j − 4~k.
Reescrevendo o vetor na forma de coordenadas, ~v = (3,5,−4). A equação
vetorial da reta fica
(x,y,z) = (1,− 3,2) + t(3,5,− 4).
Observação: A equação vetorial dos exemplos anteriores não é única.
Existem infinitas equações vetoriais para uma mesma reta, pois basta escre-
ver a equação usando outro ponto da reta ou outro vetor não nulo que seja
múltiplo do vetor diretor.
1.1 Equações ParamétricasPela equação vetorial da reta (1.2): (x,y,z) = (x1, y1,z1) + t(a,b,c) ou
ainda (x,y,z) = (x1 + at,y1 + bt,z1 + ct) igualamos as componentes corres-
pondentes dos dois lado, e temos:
x = x1 + at
y = y1 + bt −∞ < t < +∞.
z = z1 + ct
(1.3)
As equações (1.3) são denominadas de Equações Paramétricas. O
parâmetro t das equações paramétricas é único para cada ponto da reta de
coordenadas (x,y,z). Sabendo que o domı́nio do parâmetro t é (−∞,∞), as
equações paramétricas nos fornecem as coordenadas de todos os pontos da
reta.
3
IMEF - FURG
1.1. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
Exemplo 3. Dado o ponto A(4,6,− 8) e o vetor ~v = (1,− 2,3):
a) Escrever as equações paramétricas da reta r que passa por A e tem
direção de ~v.
b) Determinar dois pontos B e C da reta r cujos parâmetros são t = 1 e
t = 8, respectivamente.
Soluções:
a)

x = 4 + t
y = 6− 2t
z = −8 + 3t
b) Ponto B:
x = 4 + (1) = 5
y = 6− 2(1) = 4
z = −8 + 3(1) = −5
O ponto B tem coordenadas (5,4,− 5).
Ponto C:
x = 4 + (8) = 12
y = 6− 2(8) = −10
z = −8 + 3(8) = 16
O ponto C tem coordenadas (12,− 10,16).
Observação: O parâmetro t das equações paramétricas pode ser inter-
pretado como o instante de tempo. Por exemplo, uma part́ıcula lançada
no espaço que descreve um movimento retiĺıneo uniforme m.r.u. para um
determinado vetor velocidade ~v = (a,b,c), a cada instante de tempo estará
localizada em um determinado ponto (x,y,z) no espaço.
1.1.1 Reta definida por Dois Pontos
O segmento de reta definido pelos pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) é o
segmento de reta que passa pelo ponto A (ou pelo B) e tem direção do vetor:
~v =
−→
AB= (x2 − x1,y2 − y1,z2 − z1).
Exemplo 4. Parametrize o segmento de reta que liga os pontos P (−3,2,−3)
e Q(2,− 2,4).
4
IMEF - FURG
1.1. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
Solução:
−→
PQ= (2,− 2,4)− (−3,2,− 3) = (5,− 4,7).
r :

x = −3 + 5t
y = 2− 4t
z = −3 + 7t
Observe que quando t = 0 temos o ponto P e para t = 1 temos o ponto
Q. Se adicionarmos a restrição 0 ≤ t ≤ 1 parametrizamos o segmento.
r :

x = −3 + 5t
y = 2− 4t 0 ≤ t ≤ 1
z = −3 + 7t
Figura 1.3: Parametrização do segmento de reta PQ
Exemplo 5. Parametrize o segmento de reta r que passa por A(3,− 1,− 2)
e B(1,2,4).
Solução:
Primeiramente, calculando o vetor
−→
AB= B −A = (1,2,4)− (3,− 1,− 2) = (−2,3,6).
Agora escolhemos um dos pontos, A ou B e escrevemos as equações
paramétricas da reta. Neste caso escolheremos o ponto B.
x = 1− 2t
y = 2 + 3t − 1 ≤ t ≤ 0.
z = 4 + 6t
5
IMEF - FURG
1.2. EQUAÇÕES SIMÉTRICAS
1.2 Equações Simétricas
Pelas equações paramétricas (1.3),
x = x1 + at
y = y1 + bt.
z = z1 + ct
Sendo as componentes do vetor diretor não nulas, podemos escrever a
equação da reta como
t =
x− x1
a
, t =
y − y1
b
, t =
z − z1
c
,
e, sabendo que para cada ponto da reta corresponde um único valor para o
parâmetro t:
x− x1
a
=
y − y1
b
=
z − z1
c
. (1.4)
As equações (1.4) são denominadas Equações Simétricas da reta. Ob-
serve que para escrever a equação 1.4, as componentes do vetor, (a, b, c),
devem ser não nulas.
Exemplo 6. Escreva as equações simétricas da reta que passa pelo ponto
A(−2,4,0) e tem direção do vetor ~v = −2~i+~j − 3~k.
Solução:
Substituindo as coordenadas do vetor direção e o ponto A temos:
x+ 2
−2
= y − 4 = z
−3
.
Exemplo 7. Seja o triângulo de vértices A(−1,4,−2), B(3,−3,6) e C(2,−
1,4). Escrever as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio
do lado AB e pelo vértice C.
Solução:
Primeiro, vamos calcular o ponto médio M , entre A e B:
M = (
(−1) + 3
2
,
4 + (−3)
2
,
(−2) + 6
2
) = (1,
1
2
,2).
Agora vamos calcular o vetor diretor da reta, o vetor ~v com origem no
ponto M e extremidade em C.
~v = C −M = (2,− 1,4)− (1,1
2
,2) = (1,− 3
2
,2).
6
IMEF - FURG
1.2. EQUAÇÕES SIMÉTRICAS
Por fim, escreveremos as equações paramétricas da reta que passa no
ponto C e tem vetor diretor ~v.
x = 2 + t
y = −1− 32 t.
z = 4 + 2t
Figura 1.4: Reta que passa pelo vértice C do triângulo ABC.
Exemplo 8. Verificar se M(13,17,− 14) pertence a reta r : (x,y,z) = (1,−
3,2) + t(3,5,− 4).
Solução:
Reescrevendo a equação da reta r na forma paramétrica e isolando o
parâmetro t, temos: 
x = 1 + 3t −→ t = x−13
y = −3 + 5t −→ t = y+35
z = 2− 4t −→ t = z−24 .
Igualando o parâmetro t, vamos escrever a equação na forma simétrica:
t =
x− 1
3
=
y + 3
5
=
−z + 2
4
.
Agora, vamos substituir o ponto M e verificar se ele satisfaz a equação:
13− 1
3
=
17 + 3
5
=
14 + 2
4
= 4.
Logo, verificamos que o ponto M(13,17,− 4) pertence a reta r.
7
IMEF - FURG
1.3. EQUAÇÕES REDUZIDAS
1.2.1 Agora tente resolver!
1. Escreva as equações paramétricas e simétricas da reta:
(a) que passa pelos pontos P (−3,− 4,6) e Q(5,3,2);
(b) que passa pelo ponto P (3,5, − 6) e é paralela a reta que passa
pelos pontos A(2,3,1) e B(3,− 2,1);
(c) que passa pelo ponto (−4,2,5) e é paralela à reta r : x− 1
2
=
y + 3
3
=
z − 7
4
;
(d) que passa na origem e é paralela à reta r :
x− 3
5
=
y − 2
−3
=
z + 2
−2
.
2. Escreva as equações paramétricas dos eixos coordenados.
3. Escreva as equações paramétricas da reta que passa no ponto (3,0,4)
e pelo ponto médio do segmento AB, sendo A(2,7,9) e B(2,3,5).
1.3 Equações Reduzidas
Podemos isolar duas variáveis em função de uma terceira, desta forma
temos outra maneira de escrever a equação da reta. Partindo das equações
simétricas (1.4) vamos escrever a equação da reta em função da variável x.
Então:
y − y1
b
=
x− x1
a
y − y1 =
b
a
(x− x1)
y − y1 =
b
a
x− b
a
x1
y =
b
a
x− b
a
x1 + y1
y = mx+ n.
Portanto,
y = mx+ n. (1.5)
Observando que
b
a
= m e − b
a
x1 + y1 = n. De forma análoga, temos
z − z1
a
=
x− x1
c
⇒ z = px+ q (1.6)
As equações (1.5 e 1.6) são denominadas como Equações Reduzidas
da reta em na variável x.
Sendo assim,
8
IMEF - FURG
1.3. EQUAÇÕES REDUZIDAS
{
y = mx+ n
z = px+ q
Observação: Como determinar um ponto e um vetor dada a equação
reduzida da reta:
Podemos isolar a variável independente nas equações reduzidas e com-
pará-las com as equações simétricas da reta.
• Se a equação reduzida está em função da variável x:{
y = mx+ n
z = px+ q
então, x =
y − n
m
e x =
z − q
p
.
Então, a sua forma simétrica é dada por
x =
y − n
m
=
z − q
p
.
Agora fica fácil perceber que a reta passa pelo ponto P (0,n,q) ∈ y0z e
seu vetor diretor é ~v = (1,m,p).
Exemplo 9.
{
y = 3x− 4
z = 4x+ 3
Solução: P (0,− 4,3) o ponto P é obtido fazendo x = 0, ~v = (1,3,4).
• Se a equação reduzida está em função da variável y:{
x = m1y + n1
z = p1y + q1
então, y =
x− n1
m1
e y =
z − q1
p1
.
Portanto,
x− n1
m1
= y =
z − q1
p1
.
A reta passa no ponto P (n1,0,q1) ∈ x0z e seu vetor ~v = (m1,1,p1).
• Se a equação reduzida está em função da variável z:{
x = m2z + n2
y = p2z + q2
então, z =
x− n2
m2
e z =
y − q2
p2
.
Assim, reescrevendo na forma simétrica temos
x− n2
m2
=
y − q2
p2
= z.
A reta passa no ponto P (n2,q2,0) ∈ x0y e tem ~v = (m2,p2,1).
9
IMEF - FURG
1.3. EQUAÇÕES REDUZIDAS
Exemplo 10. Estabelecer as equações reduzidas da reta r que passa
por A(4,2,1) e tem direção do vetor ~v = (3,1,1).
Solução:
Primeiramente, vamos escrever a equação na forma simétrica:
x− 4
3
= y − 2 = z − 1
Agora, reescrevendo as equações na variável x:
x− 4
3
= y − 2⇒ y = x
3
+
2
3
e,
x− 4
3
= z − 1⇒ z = x
3
− 1
3
Portanto,

y =
x
3
+
2
3
z =
x
3
− 1
3
.
Agora tente resolver!
1. Escrever equações reduzidas na variável x da reta que passa pelos
pontos M(3,− 1,4) e N(4,0,5).
2. Determinar equações reduzidas na variável y da reta que passa pelos
pontos M(−1,5,7) e N(8,6,9).
3. Escreva equações reduzidas da reta l:

x = 1 + t
y = 2 + 3t
z = 3− t
4. Escreva equações reduzidas da reta s:

x = 2 + 2t
y = 1− 4t
z = 6− t
5. Escreva as equações reduzidas da reta s que passa no ponto P (3,1,−3)
e temdireção do vetor ~s = (3,− 6,4):
a. na variável z,
b. na variável y.
10
IMEF - FURG
1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS
COORDENADOS
6. Escrever um ponto e o vetor diretor de cada uma das retas:
a. r :
{
x = 3y − 2
3
z = −y + 2
b. s :

y = −6x− 2
5
z =
1
2
x+ 3
c. t :

x = 3z +
4
3
y =
3
7
z − 2
d. p :

x = 52z
y = z − 3
2
e. m :
{
x = −y3 +
5
3
z = 23y −
1
3
1.4 Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coor-
denados
1.4.1 Retas Paralelas aos Planos Coordenados
Uma das componentes do vetor diretor é nula: O vetor diretor ~v é orto-
gonal a um dos eixos coordenados, e a reta r é paralela ao plano dos outros
eixos.
1. Se a=0, ~v = (0,b,c) ⊥ Ox ∴ r ‖ yOz.
Equações:
{
x = x1
y − y1
b
=
z − z1
c
Exemplo 11.
 x = 4y − 3−3 = z − 34
11
IMEF - FURG
1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS
COORDENADOS
Figura 1.5: Reta paralela ao plano yOz.
2. Se b = 0, ~v = (a,0,c) ⊥ Oy ∴ r ‖ xOz.
Equações:
{
y = y1
x− x1
a
=
z − z1
c
Exemplo 12.
{
y = 4
x− 2
3
=
z − 3
4
Figura 1.6: Reta paralela ao plano xOz.
3. Se c = 0, ~v = (a,b,0) ⊥ Oz ∴ r ‖ xOy.
Equações:
{
z = z1
x− x1
a
=
y − y1
b
Exemplo 13.
 z = 4x− 4 = y − 2−2
12
IMEF - FURG
1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS
COORDENADOS
Figura 1.7: Reta paralela ao plano xOy.
1.4.2 Retas Paralelas aos Eixos Coordenados
Duas componentes do vetor diretor são nulas: O vetor diretor ~v tem
direção de um dos vetores ~i ou ~j ou ~k e a reta é paralela ao eixo que tem
direção de ~i ou ~j ou ~k.
1. Se a = b = 0, ~v = (0,0,c) ‖ ~k ∴ r ‖ Oz.
Equações:

x = x1
y = y1
z = z1 + ct
Figura 1.8: Reta paralela ao eixo Oz
Exemplo 14. r :
{
x = 3
y = 6
13
IMEF - FURG
1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS
COORDENADOS
2. Se a = c = 0, ~v = (0,b,0) ‖ ~j ∴ r ‖ Oy.
Equações:

x = x1
y = y1 + bt
z = z1
Exemplo 15. r :
{
x = 1
z = 2
Figura 1.9: Reta paralela ao eixo Oy
3. Se b = c = 0, ~v = (a,0,0) ‖~i ∴ r ‖ Ox.
Equações:

x = x1 + at
y = y1
z = z1
Exemplo 16. r :
{
y = −2
z = 3
Observação: Os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, são retas particulares:
• a reta Ox passa pela origem O(0,0,0) e tem direção do vetor −→i =
(1,0,0).
Equações paramétricas:

x = t
y = 0
z = 0
14
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1.4. RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS
COORDENADOS
• a reta Oy passa pela origem O(0,0,0) e tem direção do vetor −→j =
(0,1,0).
Equações paramétricas:

x = 0
y = t
z = 0
• a reta Oz passa pela origem O(0,0,0) e tem direção do vetor
−→
k =
(0,0,1).
Equações paramétricas:

x = 0
y = 0
z = t
Exemplo 17. Determinar as equações simétricas da reta que passa no ponto
A(−2,3,− 2) e tem direção do vetor ~v = 3~i+ 2~k.
Solução:
Pelo vetor ~v percebemos que a reta é perpendicular ao plano Oy e para-
lelo ao eixo xOz, então as equações simétricas são:{
y = 3
x+ 2
3
=
z + 2
2
1.4.3 Agora tente resolver!
1. Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelos pontosA(7,4,3)
e B(7,5,4).
2. Escreva as equações da reta que passa pelo ponto A(6,8,9) e tem
direção do vetor ~v = 7~j.
3. Determine a posição relativa das retas em relação aos eixos ou planos
coordenados, e escreva um ponto e um vetor diretor para cada uma
das retas:
a. r :
{
x = 4
y + 1
8
=
z + 1
6
b. s :
 y = 2x
4
=
z − 18
−12
c. p :
{
z = 4
x = −2y + 4
15
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1.5. ÂNGULO ENTRE RETAS
d. m :
{
y = −8
z = 6
e. n :
{
x = −4
y = 4
f. o :
{
x = 6
z = −3
4. Determinar a equação da reta, em todas as suas formas posśıveis, que
passa no ponto R(2,− 6,8) e
(a) tem direção de ~u = (2,0,− 3)
(b) é paralela (‖) ao eixo Oz
5. Escreva as equações paramétricas das retas nos seguintes casos:
a. Passa pelo ponto (7,8,6) e é perpendicular ao plano xOz.
b. Passa pelo ponto (4,− 4,5) e é paralela ao eixo x.
c. Passa pelo ponto (6,− 3,4) e é paralela ao eixo z.
d. Passa pelo ponto (5,5,2) e tem direção do vetor 2~i−~j.
e. Passa pelo ponto (1,3,4) e tem direção do vetor 2~j
6. Considere a reta s :

x = 1 + 2t
y =
3
2
+ t
z = 3 +
3
2
t
encontre a interseção da reta s
com o plano coordenado xy.
1.5 Ângulo entre Retas
Considere duas retas, a reta r que passa pelo ponto A1 e tem direção
do vetor ~v1 e a reta s que passa pelo ponto A2 e tem direção do vetor ~v2.
Denomina-se ângulo de duas retas o menor ângulo formado por r e s, isto é,
o menor ângulo de um vetor diretor de r e de um vetor diretor de s. Sendo
assim:
cos(θ) =
|~v1 · ~v2|
|~v1||~v2|
, 0 ≤ θ ≤ π
2
Exemplo 18. Calcular o ângulo entre as retas
r :

x = 3 + 3t
y = −6t
z = −1− 2t
s :
{
x+ 2
2
=
y − 3
1
=
z
−2
16
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1.6. CONDIÇÕES DE ORTOGONALIDADE, PARALELISMO E
COPLANARIDADE ENTRE RETAS
Solução:
O vetor diretor da reta r é ~v1 = (3,− 6,− 2) e o vetor diretor da reta s
é ~v2 = (2,1,− 2), então:
cos(θ) =
|(3,− 6,− 2) · (2,1,− 2)|
|(3,− 6,− 2)||(2,1,− 2)|
=
4
21
θ = arccos
(
4
21
)
≈ 79,01◦.
1.6 Condições de Ortogonalidade, Paralelismo e
Coplanaridade entre retas
1.6.1 Condição de Ortogonalidade entre duas retas
Dadas duas retas r e s e seus respectivos vetores diretores ~v1 = (a1,b1,c1)
e ~v2 = (a2,b2,c2), a condição de ortogonalidade (Caṕıtulo de Produto Esca-
lar) diz que se
~v1 · ~v2 = 0 ou a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 .
então as retas r e s são ortogonais.
Exemplo 19. Verifique se as retas a seguir são ortogonais.
r :
{
y = −2x+ 1
z = 4x
s :

x = 3− 2t
y = 4 + t
z = t
Solução:
O vetor diretor da reta r é ~v1 = (1, − 2,4) e o vetor diretor da reta s é
~v2 = (−2,1,1), então:
(1,− 2,4) · (−2,1,1) = −2− 2 + 4 = 0, logo as retas são ortogonais.
1.6.2 Condição de Paralelismo entre duas retas
Se duas retas r e s são paralelas, então seus vetores ~v1 e ~v2 são paralelos:
~v1 = m~v2 ou
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
.
17
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1.6. CONDIÇÕES DE ORTOGONALIDADE, PARALELISMO E
COPLANARIDADE ENTRE RETAS
Figura 1.10: Retas paralelas
Exemplo 20. Sejam ~u = (8,− 6,2) e ~v = (−4,3,− 1) vetores diretores das
retas r e s respectivamente. Essas retas são paralelas?
Solução:
Observe que,
8
−4
=
−6
3
=
2
−1
= −2
logo as retas são paralelas.
1.6.3 Retas Coplanares
Dadas as retas r que passa pelo ponto A1 e tem direção do vetor ~v1 =
(a1,b1,c1) e s que passa pelo ponto A2 e tem direção do vetor ~v2 = (a2,b2,c2),
elas serão coplanares se os vetores ~v1, ~v2 e
−→
A1A2 forem coplanares, isto é, se
for nulo o produto misto (~v1, ~v2,
−→
A1A2).
Exemplo 21. Determinar o valor de m para que as retas r :
{
y = mx+ 1
z = 3x− 1
s :

x = t
y = 1 + 2t
z = −2t
sejam coplanares.
Solução:
18
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1.7. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS
O vetor diretor de r é ~v1 = (1,m,3) e de s ~v2 = (1,2,− 2) e o vetor
−→
A1A2
é A2 −A1 = (0,1,0)− (0,1,− 1) = (0,0,1). O produto misto mostra que:
((1,m,3),(1,2,− 2),(0,0,1)) =
∣∣∣∣∣∣
1 m 3
1 2 −2
0 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 0 = 2−m
⇒ m = 2
Portanto, para que as retas sejam coplanares m deve ser igual a 2.
1.7 Posições relativas entre retas
Suponha duas retas r e s no espaço. Elas podem ser:
1. Retas Coplanares: Situadas no mesmo plano. Podem ser: Paralelas,
Concorrentes, Coincidentes.
2. Retas Não Coplanares: São as retas reversas, então r ∩ s = ∅.
� Como classificar cada uma:
1. Analisar os vetores direcionais das retas dadas.
2. Se os vetores forem colineares então as retas são paralelas (r ∩ s = ∅)
ou coincidentes.
3. Se as retas forem paralelas e o produto misto (~v1, ~v2,
−→
A1A2) = 0
então, as retas são coplanares. Se as retas não forem paralelas e
o produto misto (~v1, ~v2,
−→
A1A2) = 0 então, as retas são concorrentes,
mas se o produto misto (~v1, ~v2,
−→
A1A2) 6= 0 são reversas.
Exemplo 22. Estudar a posição relativa das retas:
r :
{
x
2
=
y − 1
−1
= z s :

x = 2− 4t
y = 2t
z = −2t+ 1
Solução:
O vetor diretor de r é ~v1 = (2, − 1,1) e de s é ~v2 = (−4,2, − 2), temos
que:
2
−4
=
−1
2
=
1
−2
= −1
2
.
Logo as retas são paralelas. Pergunta: Será que elas sãocoincidentes?
19
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1.7. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS
Vamos escolher um ponto da reta s, para t = 1, teremos:
s :

x = −2
y = 2
z = −1
Agora vamos substituir os pontos em r:
r :
{
−2
2
=
1
−1
= −1
Temos um ponto em comum entre as duas retas, vamos testar para outro
ponto de s, escolhemos t = 0.
s :

x = 2
y = 0
z = 1
r :
{
2
2
=
−1
−1
= 1
Temos outro ponto em comum, logo as retas são coincidentes.
1.7.1 Agora tente resolver!
1. Estudar a posição relativa das retas:
r :
{
x− 2
2
=
y
3
=
z − 5
4
s :

x = 5 + t
y = 2− t
z = −7− 2t
2. Verificar se as seguintes retas são paralelas ou ortogonais(perpendiculares):
a. r :
x+ 3
4
=
y − 4
−3
= z − 2 s : M(−1,2,− 3) e N(−5,5,4)
b. l :
{
x− 3
2
=
y − 3
4
=
z + 1
6
l :
x
1
=
y + 1
1
=
z − 3
−1
c. r :

x = 1 + 10t
y = −2 + 16t
z = 18t
s :

x = 2 + 5t1
y = −2 + 8t1
z = 9t1
d. r1 :

x = 2 + 2h
y = 3 + h
z = 1
r2 :

x = 4
y = 1
z = t
3. A reta r :
{
y = mx+ 3
z = x− 1 é perpendicular a reta s determinada pe-
los pontos A(1,0, − 3) e B(−2,2m,2m). Determinar m e as equações
paramétricas da reta s.
20
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1.8. INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS
4. Verificar se a retas r :
x− 2
2
=
y
3
=
z − 5
4
e s :
{
x = −y − 8
z = 3y + 15
são
ortogonais.
5. Determinar a equação da reta t que passa no ponto T (−1,0,−2) é orto-
gonal ao vetor ~v = (2,1,−1) e coplanar com a reta l :
{
x = z − 3
y = −3z + 1 .
1.8 Interseção de duas retas
Duas retas r e s coplanares e não paralelas são concorrentes, logo existe
um ponto em comum entre elas.
Figura 1.11: Interseção de duas retas
Exemplo 23. Encontrar o ponto de interseção das retas:
r :
{
y = −3x+ 2
z = 3x− 1 s :

x = −t
y = 1 + 2t
z = −2t
Solução:
Vamos determinar seu ponto de interseção I(x,y,z), as coordenadas deste
ponto satisfazem o sistema formado pelas equações das respectivas retas.
Sendo assim, primeiramente vamos reescrever a equação da reta s na forma
reduzida: {
y = 1− 2x
z = 2x
21
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1.9. RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS
Agrupando todas as equações, temos um sistema a resolver:
y = −3x+ 2
z = 3x− 1
y = 1− 2x
z = 2x
Igualando a segunda equação com a quarta equação, temos:
3x− 1 = 2x⇒ x = 1
Logo, y = −1 e z = 2.
Por fim, o ponto de interseção é I(1,− 1,2).
1.8.1 Agora tente resolver!
1. Encontrar a equação da reta t, em todas as suas formas, que passa na
interseção das retas r :
{
x = y − 1
z = −y + 3 e s :
x+ 1
2
= y − 1 = z − 2
−1
e
é paralela a reta m :
{
x = y − 1
z = −y + 5
2. Dois foguetes FA e FB são lançados de suas plataformas situadas nos
pontos A(4,2, − 6) e B(−2,4,2) respectivamente. Sabe-se que suas
trajetórias são retiĺıneas e seus vetores velocidades são ~vA = (−1,3,1)
e ~vB = (2,2,− 3), pergunta-se:
a. Será que suas trajetórias interceptam-se?
b. Caso afirmativo, em que ponto ocorre?
c. Sendo os vetores dados em km/h, quantas horas após o lançamento
ocorrerá a colisão?
3. Encontrar o ponto de interseção das retas:
r :

x = 2 + 2h
y = 3h
z = 5 + 4h
s :
x− 5
1
=
y − 2
−1
=
z − 7
−2
.
1.9 Reta ortogonal a duas retas
Suponha duas retas não paralelas r e s sendo ~v1 e ~v2 seus vetores dire-
tores. Se uma terceira reta t é simultaneamente ortogonal as retas dadas,
então o vetor diretor da reta t é paralelo ou igual ao vetor ~v1× ~v2. Neste caso,
é posśıvel determinar a equação da reta t conhecendo um de seus pontos.
22
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1.9. RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS
Exemplo 24. Dadas as retas:
r :
{
y = 2x− 3
z = −3x+ 1 s :
x− 1
5
=
y + 3
−1
= z + 2.
Determine a equação da reta t que passa pelo ponto M(3,− 6,7) e é simul-
taneamente ortogonal às retas r e s.
Solução:
Observe que os vetores diretores das retas r e s não são paralelos:
1
5
6= 2
−1
6= −3
1
Como a reta t é simultaneamente ortogonal as retas r e s, o vetor diretor
~vt será:
~vt = ~vr × ~ss
Portanto,
~vt = ~vr × ~vs =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 2 −3
5 −1 1
∣∣∣∣∣∣ = −~i− 16~j − 11~k
~vt = (−1,− 16,− 11) = (1,16,11)
Assim, ficam determinadas as equações paramétricas da reta t:
x = 3 + t
y = −6 + 16t
z = 7 + 11t
No caso em que as retas r e s sejam paralelas, existem infinitas retas que
passam por um ponto e estão em um plano ortogonal as retas r e s.
Figura 1.12: Retas ortogonais a retas paralelas
23
IMEF - FURG
1.9. RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS
Exemplo 25. O ponto M(10,8,− 9) pertence a reta t e sabe-se que o vetor
diretor ~vt = (a,b,c) é perpendicular as retas r e s onde as equações das retas
são:
r :
{
x = y
z = 2y + 3
s :

x = 2− t
y = 3− t
z = −2t
Determine a equações da reta t.
Solução: Um ponto e o vetor da reta r são: Pr(0,0,3) e ~vr = (1,1,2). Um
ponto e o vetor da reta s são: Ps = (2,3,0) e ~vs = (−1,− 1,− 2). Observem
que as reta são paralelas,
1
−1
=
1
−1
=
2
−2
∴ −1 = −1 = −1,
logo, α = −1. Então, temos infinitas possibilidades para as equações da reta
t. Por exemplo, sabendo que M ∈ t e sendo a reta t ortogonal a reta r:
~vt ⊥ ~vr ⇒ ~vt · ~vr = 0⇒ (a,b,c) · (1,1,2) = 0.
Resolvendo o produto escalar:
a+ b+ 2c = 0⇒ a = −b− 2c.
Uma posśıvel solução: se b = 1 e c = 2 ⇒ a = −5 e ~vt = (−5,1,2)
t :

x = 10− 5t
y = 8 + t
z = −9 + 2t
Outra solução: se b = 0 e c = −1 ⇒ a = 2 e ~vt = (2,0,− 1)
t :

x = 10 + 2t
y = 8
z = −9− t
Observação: Podemos obter uma solução particular dando-se outra
condição, por exemplo, dizendo que a reta t é ortogonal ao plano de r e
s.
Se t é ortogonal ao plano de r e s, podemos determinar o vetor diretor da
reta t fazendo:
~vt = ~vr×
−→
PrPs
24
IMEF - FURG
1.10. DISTÂNCIAS
~vt = ~vr × ~vs =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 1 2
2 3 −3
∣∣∣∣∣∣ = −9~i+ 7~j + ~k
Desta forma, as equações paramétrica da reta são
t :

x = 10− 9t
y = 8 + 7t
z = −9 + t
1.9.1 Agora tente resolver!
1. Determine as equações simétricas da reta que passa pelo pontoA(−2,1,3)
e é ortogonal às retas não paralelas
t :

x = 2− t
y = 1 + 2t
z = −3t
s :
x− 1
−3
=
y + 1
2
=
z
−2
2. Determinar as equações da reta t ortogonal ao plano das retas r :{
y = 2x− 3
z = 3x− 5 e s : x =
y
2
=
z
3
e que passa no ponto T (2,− 1,6).
1.10 Distâncias
1.10.1 Distância de um ponto a uma reta
Dados um ponto P1(x1,y1,z1) e uma reta r. Seja P0(x0,y0,z0) um ponto
qualquer no espaço não pertencente a reta r. O vetor diretor ~v da reta
e o vetor
−→
P1P0 determinam um paralelogramo cuja altura corresponde à
distância d de P0 a r que pretendemos calcular:
Sabemos que a área do paralelogramo é definida pela multiplicação da
base do paralelogramo pela sua altura,
A = d · |~v|.
Ou pela interpretação geométrica do produto vetorial:
A = |~v×
−→
P1P0 |,
comparando os dois, temos:
d = d(P0,r) =
|~v×
−→
P1P0 |
|~v|
. (1.7)
25
IMEF - FURG
1.10. DISTÂNCIAS
Figura 1.13: Distância entre ponto e reta
Exemplo 26. Calcular a distância do ponto P (2,3,-1) à reta r :

x = 3 + t
y = −2t
z = 1− 2t
.
Solução:
Primeiro, vamos calcular o vetor
−→
P1P= P − P1 = (2,3, − 1) − (3,0,1) =
(−1,3,− 2). Desta forma,
d = d(P,r) =
|(1,− 2,− 2)× (−1,3,− 2)|
|(1,− 2,− 2)|
=
|(10,4,1)|
|(1,− 2,− 2)|
=
√
117
3
u.c.
Sendo assim, d(P,r) =
√
117
3
u.c.
1.10.2 Distância entre retas
A distância entre retas só está definida se as retas forem paralelas ou
reversas:
Retas Paralelas: A distância entre duas retas paralelas se reduz ao cálculo
da distância de ponto a uma reta.
•
r
s
�
�
�
�
�
�
�
�
��
•|
|
|
|
|
|
P1
P0
d
26
IMEF - FURG
1.10. DISTÂNCIAS
Retas reversas: Consideremos duas retas: a reta r que passa pelo ponto
P1(x1,y1,z1) e tem direção do vetor ~u, e a reta s que passa pelo ponto
P2(x2,y2,z2) e tem direção do vetor ~v. Os vetores ~u, ~v e
−→
P1P2 determinam
um paraleleṕıpedo, cuja base é definida por ~u e ~v e a altura à distância d
entre as retas r e s.
O volume deste paraleleṕıpedo é dado pelo produto da sua área da base
multiplicado pela sua altura:
V = |~u× ~v|d
ou de acordo com a interpretaçãogeométrica do módulo do produto misto:
V = |(~u,~v,
−→
P1P2)|.
Comparando os dois, temos:
d = d(r,s) =
|(~u,~v,
−→
P1P2)|
|~u× ~v|
. (1.8)
Figura 1.14: Distância entre retas reversas
Exemplo 27. Calcular a distância entre as retas r e s onde: r :

x = 1− t
y = 2 + 3t
z = −t
e s: é o eixo Ox.
Solução:
Um ponto do eixo OX é P (1,0,0) e o vetor é ~vx =~i = (1,0,0).
Um ponto da reta r é Pr(1,2,0) e o vetor é ~vr = (−1,3,− 1).
27
IMEF - FURG
1.11. LISTA DE EXERCÍCIOS - RETAS
Calculando o vetor
−→
PPr= (0,2,0) e aplicando na equação, temos:
d = d(r,s) =
|(~i,~vr,
−→
PPr)|
|~i× ~vr|
=
2√
10
√
10√
10
=
√
10
5
Portanto, d(r,s) =
√
10
5
u.c.
1.11 Lista de Exerćıcios - Retas
1. Escrever as equações paramétricas e simétricas da reta que passa por
A(6,3,9) e é paralela à reta r : (x,y,z) = (4,5,2) + t(2,− 6,− 1).
2. Representar graficamente as seguintes retas de equações:
(a) 
x = 2 + t
y = −1 + 2t
z = 3 + 3t
(1.9)
(b) 
x = 3
y = 1 + t
z = 2t
(1.10)
(c) {
y = 4
z = 3
(1.11)
(d) {
x = 4
z = 2
(1.12)
3. Obter as equações reduzidas na variável x, das seguintes retas:
(a) Que passa por A(8,2,− 2) e tem direção de ~v = (4,8,7).
(b) Pelos pontos A(3,2,1) e B(6,− 1,0).
4. Escrever as equações reduzidas na variável z da reta que passa por
A(−1,6,3) e B(2,2,1).
5. Escrever equações paramétricas das retas que passam pelo pontoA(4,−
5,3) e são, respectivamente, paralelas aos eixos Ox, Oy, Oz.
6. Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
28
IMEF - FURG
1.11. LISTA DE EXERCÍCIOS - RETAS
(a) r1 :

x = −2− t
y = t
z = 3− 2t
r2 :
{
x
2
=
y + 6
1
=
z − 1
1
(b) r2 :
{
y = −x+ 5
z = 3x− 2 r2 :
{
x− 2 = y = z + 3
2
7. Determine o valor de m sabendo que as retas são coplanares:
r1 :
{
y = 4x− 3
z = −2x+ 1 r2 :
{
x− 4 = y
m
= z + 2
8. Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar
o ponto de interseção:
(a) r1 :
{
y = 2x− 3
z = −x+ 5 r2 :
{
y = −3x+ 7
z = x+ 1
(b) r1 :

x = 2− t
y = 3− 5t
z = 6− 6t
r2 :

x = −3 + 6h
y = 1 + 7h
z = −1 + 13h
9. Determinar as equações das seguintes retas:
(a) que passa por A(1,− 2,4) e é paralela ao eixo dos x;
(b) que passa por B(3,2,1) e é perpendicular ao plano xOz;
(c) que passa por A(4,− 1,2) e tem direção do vetor ~i−~j;
(d) que passa pelos pontos M(2,− 3,4) e N(2,− 1,3).
10. Determine o ponto de interseção das seguintes retas:
r1 :
{
y = −3x+ 3
z = 3x− 2 r2 :

x = −t
y = 1 + 2t
z = −2t
11. Determine o ponto de interseção das seguintes retas:
r1 :

x = 4 + t
y = 1− t
z = 1 + t
r2 :

x = 9− 4h
y = 2 + h
z = 2− 2h
12. Calcular a distância do ponto P (4,2,1) à reta:
r :

x = 1− 2t
y = 3 + t
z = 6− 2t
29
IMEF - FURG
1.11. LISTA DE EXERCÍCIOS - RETAS
13. Calcular a distância entre as duas retas:
r1 :

x = 2− t
y = 3 + 2t
z = 2− 2t
r2 :
{
y = x− 2
z = −x+ 3
14. Dado o triângulo de vértices A(3, − 4,4), B(4, − 7,2), C(1, − 3,2)
determinar:
(a) As Equações simétricas da reta suporte do lado AB.
(b) O ponto em que a reta fura o plano xOy.
15. Calcule o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:
(a) r :
{
y = mx− 3
z = x− 1 s :
{
y = 4x−m
z = x
16. Dadas as retas l :
{
x = 2z − 4
y = −3z + 6 e t :
{
x− 4
2
= y + 2 =
z − 2
−1
,
determinar a equação da reta m simultaneamente ortogonal as retas
dadas e que passa no ponto de interseção das mesmas.
17. Determinar a equação da reta t que passa pelo ponto M(3,3,-2) é
concorrente com o eixo Oy e ortogonal à reta m :
{
y = −x
z = x+ 3
.
18. Sendo A(1,0,1), B(2,−1,1), C(−1,0,2), D(3,2,2) vértices de um tetra-
edro, pede-se:
(a) as equações paramétricas da reta r, suporte da altura hD do te-
traedro de base ABC relativa ao vértice D.
(b) as equações paramétricas da mediana relativa ao vértice C do
triângulo ABC.
19. Sendo A(1, − 2,2), B(3,0,1), C(3, − 2,0) vértices de um triângulo, de-
terminar a equação da reta suporte da altura baixada do vértice C.
(Dica: aplicar duas vezes o produto vetorial)
20. Dados os vértices de um triângulo A(−1,1,3), B(2,1,4), C(3,− 1,− 1),
obter as equações simétricas das retas suportes dos lados AB, AC,
BC.
21. Estudar a posição relativa das retas e calcular a distância entre as
retas r :
{
x− 3
3
=
y − 5
3
=
z − 1
−8
e s :

x = −2 + 3t
y = −t
z = −2
30
IMEF - FURG
1.11. LISTA DE EXERCÍCIOS - RETAS
22. Determine a equação da reta t que passa no ponto A(1,− 3,2) é con-
corrente com o eixo Oz que passa na origem e é ortogonal a reta
m :
{
y = x+ 2
z = 2x− 1
23. Escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(4,−
4,2) é ortogonal ao vetor −→v = (10,10, − 1) e intercepta a reta s :{
y = −x+ 3
z = 4x− 4
24. Determine a equação da reta que passa pelo ponto P (2,− 3,4), é con-
corrente com o eixo Ox e ortogonal à reta s :

x− 5
−1
= y + 2
z = 4
25. Determinar a equação da reta r que passa pelo ponto P (3,3, − 2) é
concorrente com o eixo Oy e ortogonal à reta s :
{
y = −x
z = x+ 3
26. Os itens a seguir mostram pontos e um vetor diretor. Para cada item,
escreva as equações paramétricas das retas e faça o estudo da posição
relativa das mesmas em relação aos eixos ou planos coordenados, sa-
bendo que as retas passam pelo ponto médio do segmento AB:
(a) A(−1,− 2,− 3), B(1,3,5) e −→v = (2,0,3)
(b) A(−2,− 2,4), B(2,2,− 4) e −→v = (1,0,0)
(c) A(3,− 2,1), B(5,1,4) e −→v = (0,2,1)
(d) A(1,4,1), B(7,8,5) e −→v = (3,2,0)
(e) A(2,1,4), B(8,2,10) e −→v = (0,1,0)
27. Dadas as seguintes retas:
r :
{
y = 3x− 1
z = 2x+ 1
s :
{
y = 4x− 2
z = 3x
(a) escreva os respectivos vetores diretores das retas;
(b) faça o estudo da posição relativa das retas;
(c) determine o ponto de interseção das retas;
(d) parametrize o segmento de reta que passa pelo ponto de interseção
(item c) e pelo ponto (5,0,1).
31
IMEF - FURG
Caṕıtulo 2
Planos
A equação geral ou cartesiana de um plano π no espaço é determinada
conhecendo-se um ponto sobre o plano e sua inclinação ou orientação. Essa
inclinação é definida especificando-se um vetor que seja perpendicular ou
normal ao plano, observe a Figura 2.1.
Figura 2.1: Plano
Portanto, o plano pode ser definido como o conjunto de todos os pontos
P (x,y,z) ∈ R3, onde o vetor
−→
AP é ortogonal ao vetor −→n .
Notação: Usamos letras gregas π, α, β, para representar as equações
dos planos. O vetor normal ao plano é dado por ~n = (a,b,c).
Definição: Considere A(x0,y0,z0) um ponto pertencente a um plano π
e um vetor normal ~n = (a,b,c), não nulo, ortogonal ao plano que determina
sua inclinação ou orientação, observe a Figura 2.2:
32
Figura 2.2: Definição de Plano no Espaço
Sendo o vetor ~n ortogonal ao plano π, ~n será ortogonal a todo vetor
representado no plano π. Dado um ponto P (x,y,z) qualquer, esse ponto
pertencerá a π se, e somente, se o vetor
−→
AP é ortogonal a ~n, isto é,
~n·
−→
AP= 0. (2.1)
A igualdade acima é válida pela condição de ortogonalidade (ver produto
escalar). Reescrevendo, temos
~n · (P −A) = 0 (2.2)
ou, em coordenadas
(a,b,c) · (x− x0,y − y0,z − z0) = 0, (2.3)
resolvendo o produto escalar, chegamos a seguinte expressão
ax+ by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0. (2.4)
Fazendo −ax0 − by0 − cz0 = d, obtemos
ax+ by + cz + d = 0. (2.5)
A equação 2.5 é denominada equação geral ou cartesiana do plano.
Exemplo 28. π : 2x− 5y + z − 3 = 0. Os coeficientes 2,− 5,1 da equação
geral representam as componentes do vetor normal ao plano, então, ~n =
(2, − 5,1). Esse mesmo vetor é ortogonal a qualquer plano paralelo a ele.
Desta forma, todos os infinitos planos paralelos a π teriam como equação
geral 2x− 5y + z + d = 0.
33
IMEF - FURG
2.1. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE UM PLANO
2.1 Determinação da Equação de um Plano
Agora sabemos que um plano é determinado por um de seus pontos e
pelo seu vetor normal. Vamos analisar situações que também ficam evidentes
para a determinação da equação do plano.A. O plano passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores ~v1 e ~v2, não
colineares: o vetor normal será determinado
~n = ~v1 × ~v2 (2.6)
Neste caso, os vetores ~v1 e ~v2 são chamados de vetores de base do
plano e para determinar o vetor normal usamos a definição de produto
vetorial, visto que é o único dos produtos de vetores que determina um
vetor simultaneamente ortogonal aos vetores dados (ver propriedades
do produto vetorial).
34
IMEF - FURG
2.1. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE UM PLANO
Exemplo 29. Determine a equação do plano que passa por A(2,1,4)
e é paralelo aos vetores ~u = (2,1,− 1), ~v = (3,2,− 4).
Solução:
~n = ~v1 × ~v2 = (2,1,− 1)× (3,2,− 4) = (−2,5,1).
Portanto, temos a equação: π : −2x + 5y + 1z + d = 0, substi-
tuindo o ponto A, temos que d = −5 e reescrevendo a equação:
π : −2x+ 5y + z − 5 = 0 ou π : 2x− 5y − z + 5 = 0.
Observação: Qualquer múltiplo de ~n, ou seja k~n, com k 6= 0 também
é normal ao plano π.
B. Se o plano passa por três pontos dados A, B e C não em linha reta,
neste caso os vetores
−→
AB e
−→
AC não são paralelos, portanto
~n =
−→
AB ×
−→
AC (2.7)
35
IMEF - FURG
2.1. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE UM PLANO
Nesta situação os vetores
−→
AB e
−→
AC são os vetores de base e novamente
usamos o produto vetorial para determinar o vetor normal ao plano.
Exemplo 30. Determine a equação do plano que passa por A(2,1,−4),
B(1,− 2,− 1), C(3,0,1).
Solução:
−→
AB= (−1,− 3,3) e
−→
AC= (1,− 1,5), fazendo
~n =
−→
AB ×
−→
AC= (−1,− 3,3)× (1,− 1,5) = (−12,8,4) = (−3,2,1).
Então, π : −3x+ 2y+ z+d = 0, substituindo o ponto C, por exemplo,
temos que d = 8 portanto,
π : −3x+ 2y + z + 8 = 0 ou π : 3x− 2y − z − 8 = 0.
C. Contém duas retas concorrentes: Primeiro precisamos analisar a posição
relativa das retas dadas (ver caṕıtulo de retas). Se as retas dadas não
são paralelas, mas são coplanares (ver propriedades do produto misto),
então as retas são concorrentes e o vetor normal é determinado da se-
guinte forma:
~n = ~v1 × ~v2 (2.8)
Exemplo 31. Determine a equação do plano que passa pelas retas:
r :

x = t
y = −3 + 2t
z = 5− t
e s :
{
x =
y − 7
−3
= z − 1
36
IMEF - FURG
2.1. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE UM PLANO
Solução: O vetor diretor da reta r é ~v1 = (1,2, − 1) e da reta s é
~v2 = (1,−3,1). Analisando a posição relativas das retas dadas elas são
concorrentes (verifique!), então o vetor normal é
~n = ~v1 × ~v2 = (−1,− 2,− 5).
Assim, π : −x− 2y− 5z+d = 0, substituindo um ponto da reta r, por
exemplo (0,− 3,5), temos que d = 19 e a equação:
π : −x− 2y − 5z + 19 = 0 ou π : x+ 2y + 5z − 19 = 0.
D. Contém duas retas r1, r2 paralelas: Verificar se os vetores diretores das
respectivas retas satisfazem a condição de paralelismo, e determinar o
vetor normal ao plano usando:
~n =
−→
AB ×~v (2.9)
onde, A e B são pontos respectivamente das retas r1 e r2. O vetor ~v
será o vetor diretor da reta r1 ou da reta r2.
Exemplo 32. Determine a equação do plano que passa pelas retas
r : x = y = z + 3 e s :
{
x = y + 3
z = y − 2
Solução: Um ponto da reta r é A(0,0, − 3) e um ponto da reta s
é B(3,0, − 2), então
−→
AB= (3,0,1) e usando o vetor diretor de r,
~vr = (1,1,1), temos:
~n =
−→
AB ×~vr = (−1,− 2,3)
Portanto, π : −x− 2y + 3z + d = 0, substituindo um ponto da reta r,
por exemplo A(0,0,− 3), temos que d = 9 e:
π : −x− 2y + 3z + 9 = 0.
E. Contém uma reta r e um ponto B /∈ r, desta forma A será um ponto
na reta r e v o vetor diretor da reta. Assim,
~n = ~v×
−→
AB (2.10)
Exemplo 33. Determine a equação do plano que contém a reta r :{
x = −2y
z = 4y + 1
e um ponto P (3,0,− 1).
37
IMEF - FURG
2.1. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE UM PLANO
Solução: Sendo A(0,0,1) um ponto de r, o vetor
−→
AP= (3,0, − 2). O
vetor diretor de r é ~v = (−2,1,4),
~n = ~v×
−→
AP= (−2,8,− 3).
Temos a equação, π : −2x+ 8y − 3z + d = 0, substituindo o ponto P ,
temos que d = 3. Desta forma,
π : −2x+ 8y − 3z + 3 = 0.
F. Passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor não colinear ao
vetor
−→
AB:
~n = ~v×
−→
AB (2.11)
Exemplo 34. Determine a equação do plano que passa por A(2,1,3)
e B(4,5,0) e é paralelo ao vetor ~u = (2,− 1,2).
Solução:
−→
AB= (4,5,0)− (2,1,3) = (2,4,− 3)
~n = ~u×
−→
AB= (2,− 1,2)× (2,4,− 3) = (−5,10,10).
Assim, π : −5x + 10y + 10z + d = 0, substituindo o ponto B, temos
que d = −30 então,
π : −5x+ 10y + 10z − 30 = 0 ou x− 2y − 2z + 6 = 0.
Observação: Nos casos acima fica claro que o vetor normal ~n é sempre
dado pelo produto vetorial de dois vetores representados no plano.
2.1.1 Agora tente resolver!
1. Encontre a equação do plano que passa pelos pontosA(3,1,2), B(−1,2,−
2), C(2,1,− 2).
2. Determine a equação do plano que passa pelo ponto P (5,2,3) e é per-
pendicular à reta r :

x = 5 + 2t
y = 1 + t
z = −2t
.
3. Encontre a equação do plano que passa pelo ponto A(2, − 2,3) e é
perpendicular ao vetor da origem O(0,0,0) até o ponto A.
38
IMEF - FURG
2.1. DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE UM PLANO
4. Determine a equação do plano que passa pelo ponto P (2, − 1,2) e é
paralelo ao plano π : 3x+ 2y + z = 7.
5. Dado o plano π : 2x − y + 5z − 10 = 0 determinar um vetor normal
ao plano e um ponto do plano. E, verifique se M(1,-3,5) pertence ao
plano π.
6. Determinar a equação do plano perpendicular ao segmento AB que
passa no ponto médio do mesmo, sendo A(5,3,− 1) e B(−1,− 1,− 3).
7. Encontre a equação do plano que passa pelos pontosA(1,2,3) eB(−2,0,1)
sabendo que o plano é paralelo ao vetor ~u = (2,3,− 1).
8. Determine a equação geral do plano que contém as retas:
r1 :
{
y = 2x− 3
z = −x+ 5 r2 :
{
y = −3x+ 7
z = x+ 1
2.1.2 Outra forma para determinar a equação geral do plano
Dados dois vetores de base do plano, por exemplo, ~v1 e ~v2 e um ponto
P (x,y,z) ∈ π, se o plano passa pelo ponto A, o produto misto entre os
seguintes vetores deve ser nulo, isto é, (
−→
AP ,~v1, ~v2) = 0, pois esses vetores são
coplanares. Dados, A(x1,y1,z1), ~v1 = (a1,b1,c1), ~v2 = (a2,b2,c2), é posśıvel
obter a equação geral do plano desenvolvendo o seguinte determinante:
(
−→
AP ,~v1, ~v2) =
x− x1 y − y1 z − z1a1 a2 a3
b1 b2 b3
 = 0
(x− x1)
[
b1 c1
b2 c2
]
− (y − y1)
[
a1 c1
a2 c2
]
+ (z − z1)
[
a1 b1
a2 b2
]
= 0
Portanto, ax+ by + cz + d = 0.
Exemplo 35. Sendo A(0,2,−4) e os vetores ~v = (2,4,−6), ~u = (−1,−1,5),
determine a equação do plano.
Solução:
(
−→
AP ,~v, ~u) =
 x y − 2 z + 42 4 −6
−1 −1 5
 = 0
Desenvolvendo o determinante acima temos que a equação do plano é:
14x− 4y + 2z + 16 = 0.
Observação: Um plano cuja equação tenha a forma:
39
IMEF - FURG
2.2. PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E PLANOS COORDENADOS
1. ax+ by + d = 0, é perpendicular ao plano xOy;
2. by + cz + d = 0, é perpendicular ao plano yOz;
3. ax+ cz + d = 0, é perpendicular ao plano xOz.
Isto é, se uma das variáveis não figurar na equação, o plano será perpendi-
cular ao plano coordenado correspondente às duas variáveis presentes.
2.2 Planos Paralelos aos Eixos e Planos Coorde-
nados
2.2.1 Planos Paralelos aos Eixos Coordenados
Considere ~n = (a,b,c). No caso de uma componente do vetor normal ser
nula, o vetor normal será ortogonal a um dos eixos coordenados. E o plano
será paralelo ao mesmo eixo.
A. Plano paralelo ao eixo Ox: a = 0, ~n = (0,b,c) ⊥ Ox e π ‖ Ox
Equação: by + cz + d = 0.
Equação do plano que contém o eixo Ox: by + cz = 0, onde d = 0, o
plano passa na origem O. Observe a Figura 2.3, a equação do plano é
π : 3y + 2z + 4 = 0, portanto ~n = (0,3,2).
40
IMEF - FURG
2.2. PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E PLANOS COORDENADOS
Figura 2.3: Plano paralelo ao eixo Ox π : 3y + 2z + 4 = 0
B. Plano paralelo ao eixo Oy: b = 0, ~n = (a,0,c) ⊥ Oy e π ‖ Oy
Equação: ax+ cz + d = 0.
Equação do plano que contém o eixo Oy: ax+ cz = 0, onde d = 0, já
que o plano passa na origem O.
C. Plano paralelo ao eixo Oz: c = 0, ~n = (a,b,0) ⊥ Oz e π ‖ Oz
Equação: ax+ by + d = 0.
Equação do planoque contém o eixo Oz: ax + by = 0, onde d = 0, o
plano passa na origem O.
2.2.2 Planos Paralelos aos Planos Coordenados
Quando duas componentes do vetor normal são nulas, o vetor normal é
colinear a um dos vetores
−→
i ou
−→
j ou
−→
k . Sendo assim, temos:
A. Plano paralelo ao plano xOy: Se a = b = 0, ~n = (0,0,c) ∴ ~n =
(0,0,1) = ~k ∴ π ‖ xOy.
Equação: cz+d = 0 ∴ z = −dc . Os planos cujas equações são da forma
z=k representam planos paralelos ao plano xOy. Observe a Figura
2.4.
41
IMEF - FURG
2.2. PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E PLANOS COORDENADOS
Figura 2.4: Plano paralelo ao plano xOy
B. Paralelo ao plano xOz: Se a = c = 0, ~n = (0,b,0) ∴ ~n = (0,1,0) = ~j
portanto, π ‖ xOz. Veja Figura 2.5.
Equação: y=k.
Figura 2.5: Plano paralelo ao plano xOy
C. Paralelo ao plano yOz: Se b = c = 0, ~n = (a,0,0) ∴ ~n = (1,0,0) = ~i,
portanto, π ‖ yOz. A equação para estes planos é da forma x=k.
Observe a Figura 2.6.
42
IMEF - FURG
2.3. AGORA TENTE RESOLVER!
Figura 2.6: Plano paralelo ao plano xOy
2.3 Agora tente resolver!
1. Determine a posição relativa dos seguintes planos em relação aos eixos
e ou planos coordenados:
(a) z − 7 = 0;
(b) x− 3y = 0;
(c) 3y − 2 = 0;
(d) −3x+ z − 4 = 0;
(e) 4y − 8z + 5 = 0;
(f) x = −4
(g) y − 8 = 0
2. Nos itens a seguir, obter a equação geral do plano:
(a) paralelo ao eixo y que contenha os pontos A(3,1,2) e B(4,0,3);
(b) paralelo ao eixo x que contenha os pontos A(2,1,1) e B(4,0,3).
2.4 Equação Vetorial e Equações Paramétricas do
Plano
Seja A(x0,y0,z0) um ponto pertencente a um plano π e ~u = (a1,b1,c1) e
~v = (a2,b2,c2) dois vetores paralelos ao plano π, porém, ~u e ~v são vetores
não paralelos entre si.
43
IMEF - FURG
2.5. ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS
Para um ponto P (x,y,z) pertencer ao plano π, os vetores
−→
AP , ~u e ~v
devem ser coplanares. Sendo assim, um ponto P (x,y,z) pertence a π se, e
somente se, existem números reais h e t tais que P −A = h · ~u+ t ·~v ou, em
coordenadas
(x,y,z) = (x0,y0,z0) + h(a1,b1,c1) + t(a2,b2,c2), h, t ∈ R (2.12)
A equação 2.12 é denominada equação vetorial do plano π. Os vetores
~u e ~v são vetores de base do plano π.
Pela equação 2.12,
(x,y,z) = (x0 + a1h+ a2t,y0 + b1h+ b2t,z0 + c1h+ c2t)
obtemos, 
x = x0 + a1h+ a2t
y = y0 + b1h+ b2t
z = z0 + c1h+ c2t
(2.13)
as equações 2.13 que são as equações paramétricas do plano.
Exemplo 36. Determinar as equações paramétricas, vetorial e geral do
plano que passa por A(1,2,5) e B(3,3,5) e é paralelo a ~v = (1,1,2).
Solução: (x,y,z) = (1,2,5) + h(1,1,2) + t(2,1,0) e
x = 1 + h+ 2t
y = 2 + h+ t
z = 5 + 2h
Para encontrar a equação geral do plano resolvemos: ~n = ~v×
−→
AB, desta
forma:
~n = ~v×
−→
AB=
~i ~j ~k1 1 2
2 1 0
 = −2~i+ 4~j − ~k.
Portanto, a equação geral do plano é −2x+4y−z+d = 0, como A(1,2,5) ∈ π
tem-se −2x+ 4y − z − 1 = 0 ou 2x− 4y + z + 1 = 0.
2.5 Ângulo entre dois planos
Sejam: π1 : a1x+b1y+c1z+d1 = 0 e π2 : a2x+b2y+c2z+d2 = 0, e ~n1 =
(a1,b1,c1) e ~n2 = (a2,b2,c2) são os vetores normais a π1 e π2, denominamos
ângulo de dois planos como sendo o menor ângulo que um vetor normal de
um plano forma com o outro, observe a Figura 2.7, desta forma
44
IMEF - FURG
2.6. PLANOS PARALELOS E PERPENDICULARES
cos(θ) =
| ~n1 · ~n2|
| ~n1| · | ~n2|
, com 0 ≤ θ ≤ π
2
(2.14)
Figura 2.7: Ângulo de dois planos
2.6 Planos Paralelos e Perpendiculares
Considere os seguintes planos π1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e π2 :
a2x+ b2y + c2z + d2 = 0. Sabe-se que
~n1 = (a1,b1,c1) ⊥ π1 e ~n2 = (a2,b2,c2) ⊥ π2
Então, as condições de paralelismo e de perpendicularismo de dois planos
são
i. Se π1 ‖ π2 ⇒ ~n1 ‖ ~n2 ∴ a1a2 =
b1
b2
= c1c2
Se além disso, a1a2 =
b1
b2
= c1c2 =
d1
d2
os planos são coincidentes.
ii. Se π1 ⊥ π2 ⇒ ~n1 ⊥ ~n2 ∴ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
Exemplo 37. Planos paralelos:
45
IMEF - FURG
2.7. RETAS E PLANOS
Figura 2.8: π1 : 3x+ 6y + 9z − 5 = 0 e π2 : x+ 2y + 3z + 8 = 0
Exemplo 38. Planos Perpendiculares:
Figura 2.9: π1 : y = 0 e π2 : z = 0
2.7 Retas e Planos
2.7.1 Ângulo de uma reta com um plano
Dados uma reta r e um plano π. Considere α sendo o ângulo entre a
reta e o plano. Como α é o complemento do ângulo θ que a reta forma com
46
IMEF - FURG
2.7. RETAS E PLANOS
uma reta normal ao plano (θ + α = 90◦ → α = 90◦ − θ), da trigonometria
cos(θ) = sin(α), portanto,
sin(α) =
|~v · ~n|
|~v| · |~n|
, com 0 ≤ α ≤ π
2
(2.15)
Exemplo 39. Encontre o ângulo formado pela reta
{
y = −2x
y = 2x+ 1
e π :
x− y + 5 = 0
Solução:
sin(α) =
|(1,− 2,2) · (1,− 1,0)|√
1 + 4 + 4
√
1 + 1
⇒ α = arcsen(
√
2
2
)
2.7.2 Condições de paralelismo e perpendicularismo entre
reta e plano
i. Se r ‖ π, ~v ⊥ ~n.
ii. Se r ⊥ π, ~v ‖ ~n.
2.7.3 Condições para que uma reta esteja contida num plano
i. O vetor ~v de r é ortogonal ao vetor ~n.
ii. Um ponto A pertence a r pertence também ao plano.
2.7.4 Agora tente resolver!
1. Determinar o ângulo entre os planos:
(a) π1 : 2x− 3y + z − 5 = 0 e π2 : x+ 2y − 2z − 12 = 0
(b) π1 : 2x− 3y + 5z − 8 = 0 e π2 : 3x+ 2y + 5z − 4 = 0
(c) π1 : 3x+ 2y − 6 = 0 e π2 : plano xOz.
2. Determine se os seguintes planos são paralelos ou ortogonais:
(a) π1 : 4x+ 6y + 8z = 0 e π2 : 2x+ 3y + 4z − 3 = 0;
(b) π1 : 3x− 2y + z + 4 = 0 e π2 : 2y + 4z = 0;
(c) π1 : 4x− 6y + 2z − 4 = 0 e π2 : −6x+ 9y − 3z + 1 = 0;
(d) π1 : −2x+ 3y − 2z + 1 = 0 e π2 : −x+ 2y + 4z − 4 = 0;
3. Verifique se as retas são paralelas aos planos:
a) r :
{
x− 1
3
=
y + 1
−2
= z e π : x+ 2y + 3 = 0
47
IMEF - FURG
2.8. INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS
b) s :
{
y = 2x
z = −3x+ 7 e π : 2x+ 5y + 4z − 12 = 0
4. Sendo r :
{
x− 1
a
=
y − 2
−1
= z + 3 e π : 2x+3y−z+d = 0, determinar
a e d tal que a reta r esteja contida no plano π.
2.8 Interseção entre Planos
Considere dois planos: π1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e π2 : a2x + b2y +
c2z + d2 = 0, a interseção de dois planos não paralelos é uma reta r cujas
equações se deseja determinar.
Portanto, π1 ∩ π2 = {t}.
Figura 2.10: Interseção entre planos
Para determinar um ponto e um vetor diretor da reta t, da Figura 2.10,
encontramos suas equações reduzidas, isolando duas variáveis em função da
terceira. Como a reta t está contida nos dois planos, as coordenadas de
48
IMEF - FURG
2.9. INTERSEÇÃO DE UMA RETA COM O PLANO
qualquer ponto (x,y,z) ∈ t devem satisfazer, simultaneamente, as equações
dos dois planos. Assim, os pontos da reta constituem a solução do sistema
formado pelas equações dos planos.
Exemplo 40. Encontre a reta de interseção dos planos π1 : x+3y−z+4 = 0
e π2 : 3x− 2y + z − 7 = 0.
Solução:

x+ 3y − z + 4 = 0
3x− 2y + z − 7 = 0(+)
4x+ y − 3 = 0⇒ y = −4x+ 3
substituindo na primeira equação, temos:
x+ 3(−4x+ 3)− z + 4 = 0
−11x− z + 13 = 0
z = −11x+ 13
Então:
{
y = −4x+ 3
z − 11x+ 13
Estas são as equações reduzidas da reta interseção dos planos, sendo os
pontos desta interseção da forma: (x,− 4x+ 3,− 11x+ 13).
Observação: Sendo ~vr ⊥ ~n1 e ~n2, o vetor da reta pode ser obtido por
~vr = ~n1 × ~n2. (Resolva o exemplo anterior usando o produto vetorial). Um
ponto da reta r satisfaz as equações dos planos, sendo uma solução particular
pelo sistema formado por elas.
2.9 Interseção de uma reta com o plano
Para ilustrar a situação vamos resolver o exemplo a seguir.
Exemplo 41. Considere r :
{
x = −y + 2
z = −3y + 6 e π : 2x + y − 4z − 13 = 0.
Encontre o ponto de interseção entre a reta e o plano. Se existir, terá
coordenadas que satisfaçam simultaneamente as equações da reta e do plano.
49
IMEF - FURG
2.9. INTERSEÇÃO DE UMA RETA COM O PLANO
Resolvendo o sistema:
r ∩ π = I ⇒

x = −y + 2
z = −3y + 6
2x+ y − 4z − 13 = 0
⇒ 2(−y + 2) + y − 4(−3y + 6)− 13 = 0.
Portanto, o ponto de interseção é I(−1,3,− 3).
RESUMO:
Posição relativa entre reta e plano:
a) Se ~n e ~vr são ortogonais ⇒ ~n · ~vr = 0 (~n ⊥ ~vr).
Ou r ⊂ π ou r ‖ π ⇒ r ∩ π = ∅.
b) Se ~n e ~vr não são ortogonais ⇒ ~n · ~vr 6= 0, r ∩ π = I a reta intercepta
o plano.
c) Se ~ne ~vr são ortogonais, para decidir se r ⊂ π ou r ‖ π , verificamos se
um ponto de r pertence ao plano. Caso afirmativo, r ⊂ π senão r ‖ π.
Posição relativa entre planos:
a) Se o plano π1 coincide com π2 : ~n1 ‖ ~n2.
π1 ≡ π2 se e somente se, os coeficientes a1, b1, c1, d1 e a2, b2, c2, d2
são proporcionais.
b) π1 ‖ π2, ~n1 ‖ ~n2 ∴
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
, porém d1 e d2 não tem a mesma
proporção.
c) ~n1 e ~n2 não paralelos, π1 ∩ π2 = r.
2.9.1 Agora tente resolver!
1. Determinar um ponto e um vetor da reta de interseção com os seguintes
planos:
(a) π1 : x− 2y + z − 8 = 0 e π2 : 2x− y + z − 5 = 0
(b) π1 : 3x+ y + 2z + 1 = 0 e π2 : −x+ 3y − 2 = 0
2. Determinar a interseção, se houver, do planos e a reta:
(a) π : x− 3y − 3z − 5 = 0 e r : x+13 =
y+3
4 =
z+4
2
50
IMEF - FURG
2.10. INTERSEÇÃO DE UM PLANO COM OS EIXOS E PLANOS
COORDENADOS
(b) π : x+ y − 2z + 4 = 0 e

x = 5 + 3t
y = 2− t
z = −4 + t
(c) π : xOy e
{
y = 2x
z = −3x+ 9
2.10 Interseção de um Plano com os Eixos e Pla-
nos coordenados
Considere o plano: π : 3x+ 4y + z − 12 = 0.
Vamos encontrar a interseção de π com os eixos coordenados e com
os planos coordenados
a) Com os eixos coordenados
Lembrando que:
Ox
{
y = 0
z = 0
, Oy
{
x = 0
z = 0
, Oz
{
x = 0
y = 0
(2.16)
Voltando ao exemplo, resolvendo os sistemas lineares:
1. π ∩ 0x→

3x+ 4y + z − 12 = 0
y = 0
z = 0
→ Px(4,0,0)
2. π ∩ 0y → Py(0,3,0)
3. π ∩ 0z → Pz(0,0,12)
51
IMEF - FURG
2.11. DISTÂNCIAS
Figura 2.11: Interseção do plano com os eixos
b) Com os planos coordenados
Lembrando que as equações dos planos coordenados são respectiva-
mente: xOy : z = 0, xOz : y = 0 e yOz : x = 0.
1. π ∩ x0y = r →
{
3x+ 4y + z − 12 = 0
z = 0
→
{
y = −34x+ 3
z = 0
2. π ∩ x0z = r →
{
3x+ 4y + z − 12 = 0
y = 0
→
{
z = −3x+ 12
y = 0
3. π ∩ y0z = r →
{
3x+ 4y + z − 12 = 0
x = 0
→
{
z = −4x+ 12
x = 0
2.11 Distâncias
2.11.1 Distância de um ponto a um Plano
Dado um ponto A(x0,y0,z0) não pertencente a π e o plano π : ax+ by+
cz + d = 0, queremos determinar a distância de A ao plano π. Se P (x,y,z)
é um ponto no plano e ~n a normal ao plano então a distância de qualquer
ponto A ao plano, d(A,π), é o módulo da projeção ortogonal
−→
PA na direção
de ~n. Observe a Figura 2.12.
52
IMEF - FURG
2.11. DISTÂNCIAS
Figura 2.12: Distância de ponto a plano
d(A,π) =
∣∣∣proj~n ~PA∣∣∣ = ∣∣∣∣−→PA · ~n|~n|
∣∣∣∣ (2.17)
d(A,π) =
∣∣∣∣(x0 − x,y0 − y,z0 − z)(a,b,c)√a2 + b2 + c2
∣∣∣∣
d(A,π) =
∣∣∣∣a(x0 − x) + b(y0 − y) + c(z0 − z)√a2 + b2 + c2
∣∣∣∣
Como P ∈ π, suas coordenadas satisfazem a equação do plano, então
d = −ax− by − cz. Portanto,
d(A,π) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
(2.18)
Observe que a expressão do numerador se obtém substituindo as coordena-
das do ponto A. Esse valor será sempre positivo, pois no numerador temos
o módulo do número e o denominador é o módulo do vetor normal ao plano.
2.11.2 Distância entre dois planos
A distância entre dois planos só é definida se os planos são paralelos,
portanto, a distância d entre eles é a distância de um ponto qualquer de um
dos planos ao outro: d(π1,π2) = d(A,π2) com A ∈ π1.
2.11.3 Distância de uma reta a um plano
Só é definida quando a reta é paralela ao plano, então a distância da
reta ao plano é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano, d(r,π) =
d(A,π) com A ∈ r.
53
IMEF - FURG
2.12. LISTA DE EXERCÍCIOS - PLANOS
2.11.4 Agora tente resolver!
1. Encontrar a distância da reta: r :
{
x = 3
y = 4
a) Ao plano x0z
b) Ao plano y0z
c) Ao plano π : x+ y − 12 = 0
2.12 Lista de Exerćıcios - Planos
1. Escrever a equação do plano que passa por A(3,2,3) e é perpendicular
ao segmento que liga este ponto ao ponto P (4,4,6).
2. Determinar a equação geral do plano perpendicular à reta r :
{
y = 3x+ 2
z = 4x− 2
e que contenha o ponto A(3,1,2).
3. Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto médio do
segmento de extremos A(4,3,6), B(2,1,0) e seja perpendicular a ele.
4. Dadas as equações paramétricas

x = 3 + 2h+ t
y = 4− h+ t
z = 6− h+ 2t
, obter uma equação
geral do plano.
5. Escrever uma equação geral e as equações paramétricas do plano de-
terminado pelos pontos: A(2,1,6), B(−1,4,8), C(1,− 1,− 1).
6. Determinar uma equação geral do plano que contém as retas:
r1 :
{
y = 2x+ 2
z = 3x− 1 r2 :
{
x− 1
2
=
y − 4
1
=
z − 2
2
7. Determinar uma equação geral do plano que contém as retas:
r1 :
{
x = 2y − 2
z = y − 3 r2 :
{
y = 2x+ 1
z = −3x− 2
8. Determinar a equação geral do plano que contenha o ponto e a reta
dados:
(a) A(3,4,6) e r

x = t
y = 3− t
z = 3 + 2t
(b) A(4,5,2) e o eixo z
54
IMEF - FURG
2.12. LISTA DE EXERCÍCIOS - PLANOS
9. Obter uma equação geral do plano paralelo ao eixo dos x e que conte-
nha os pontos A(−4,1,2), B(0,− 3,4).
10. Determinar a posição relativa dos seguintes planos, em relação aos
planos e eixos coordenados:
(a) 3x− 2y + 6 = 0
(b) x− 3z = 0
(c) 2y + z − 9 = 0
(d) z − 3 = 0
(e) y = 0
(f) x+ 5 = 0
11. Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e repre-
sente graficamente:
(a) 5x+ 2y − 10 = 0
(b) y + 2z − 4 = 0
(c) x− 5 = 0
(d) z = 3
(e) 3x+ 2y + 4z = 12
(f) 4x+ 2y + 6z = 12
(g) y + z = 5
(h) x+ y − z = 0
12. Determine a equação do plano que passa:
(a) pelo ponto P (5,6,2) e é paralelo ao plano xOy;
(b) pelo ponto P (2,3,3) e é paralelo ao plano xOz;
(c) pelo ponto P (1,− 2,2) e é paralelo ao plano yOz.
13. Dados os seguintes planos: π : ax + by − 4z + 3 = 0 e α : 3x + 2y −
2z + 20 = 0, calcule:
(a) a e b para que os planos sejam paralelos.
(b) a distância entre eles.
14. Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(−4,2,9)
e é perpendicular ao eixo Oz.
15. Determinar a equação geral do plano mediador do segmento retiĺıneo
que tem por extremidades os pontos A(4,3,− 4), B(2,3,− 4).
55
IMEF - FURG
2.12. LISTA DE EXERCÍCIOS - PLANOS
16. Escreva a equação do plano paralelo ao eixo Ox e que passa pelos
pontos A(6,1,2) e B(6,− 1,3).
17. Determinar a equação do plano que passa pelo ponto A(3,1, − 1) e é
perpendicular ao plano 2x− 2y + z + 4 = 0, tendo sua interseção com
o eixo Oz no ponto de cota igual a −3.
18. Determine a equação do plano que passa pela origem e é perpendicular
aos planos xOy e y − 2 = 0.
19. Escreva a equação do plano determinado pelas retas r : x2 = y + 1 =
z − 3 e (x,y,z) = (−1,1,0) + t(4,2,2).
20. Determinar a interseção da reta r : (x,y,z) = (0,1,0) + t(1, − 2, − 1),
como plano π : 2x+ y − z − 4 = 0.
21. Escreva a equação do plano:
(a) paralelo ao plano xy, 10 unidades acima dele;
(b) perpendicular ao eixo dos z, no ponto (0,0,− 15);
(c) paralelo ao plano xz, 8 unidades atrás dele.
22. Escreva as equações paramétricas da reta r, interseção dos planos:
π1 : 2x+ y − z = 0 e π1 : x− 2y + z − 1 = 0.
23. Determinar a equação do plano π, paralelo ao plano α : 2x + 5y +
z − 4 = 0, sabendo-se que passa pelo ponto de interseção da reta
r : (x,y,z) = (1,0,3) + t(2,− 1,3) com o plano π2 : x+ 3y − z − 2 = 0.
24. O ponto A(3,2,2) ∈ π e o plano π é paralelo aos vetores ~u = (3,2,− 1)
e ~v = (2,2,3). Escreva a equação vetorial, as equações paramétricas e
a equação geral do plano π.
25. Determine as equações paramétricas do plano π : 3x+ 2y− z + 6 = 0.
26. Determine a equação geral do plano π de equações:
x = 1 + 3h+ t
y = −1 + h+ 2t
z = −h+ 3t
27. Escrever uma equação geral e as equações paramétricas dos planos
determinados pelos seguintes pontos:
(a) A(2,0,− 1), B(3,1,2), C(4,− 1,− 3)
(b) A(3,2,1), B(1,− 2,1), C(0,2,3)
56
IMEF - FURG
2.12. LISTA DE EXERCÍCIOS - PLANOS
28. Escreva uma equação geral do plano paralelo ao eixoOx e que contenha
A(2,3,0) e B(1,0,− 1).
29. Determine uma equação geral para o plano π que contém A(2,1,− 1)
e B(3,2,3) e é perpendicular ao plano α : 3x− y + 2z = 0.
30. Determine a distância dos pontos aos respectivos planos:
(a) P (2,3,6) e π : x+ y + z = 0
(b)P (2,− 1,2) e π : 2x− 2y − z + 3 = 0
(c) P (−3,1,2) e π : 2x− 3y + 6z − 42 = 0
31. Verifique se os planos são paralelos, caso afirmativo calcule a distância
entre os mesmos: π1 : x+ y + z = 4 e π2 : 2x+ 2y + 2z = 5.
32. Determine a distância da reta r ao plano π: r :

x = 4 + 3t
y = −1 + t
z = t
π :
x− y − 2z + 4 = 0.
57
IMEF - FURG
Caṕıtulo 3
Gabaritos
3.1 Lista de Exerćıcios - Retas
1. x = 6 + 2t, y = 3− 6t, z = 9− t; x− 6
2
=
y − 3
−6
=
z − 9
−1
2. gráficos
3. a.y = 2x− 14, z = 7
4
x− 16; b. y = −x+ 5, z = −1
3
x+ 2
4. x = −3
2
z +
7
2
, y = 2z
5. Paralela ao eixo x : x = 4 + t, y = −5,z = 3 ou y = −5,z = 3. Paralela
ao eixo y : x = 4, y = −5 + t, z = 3 ou x = 4, z = 3. Paralela ao eixo
z : x = 4, y = −5,z = 3 + t ou x = 4, y = −5.
6. a. θ = arccos(
1
2
); b. θ = arccos(
√
66
11
).
7. m = −19
5
8. a. I(2,1,3); b. h = 1, t = −1, I(3,8,12)
9. a. y = −2, z = 4; b. x = 3, z = 1; c. x = 4 + t, y = −1 − t, z = 2; d.
x = 2, y = −3 + 2t, z = 4− t.
10. I(2,− 3,4)
11. I(1,4,− 2)
12.
√
306
3
u.c.
13. 2
√
2u.c.
58
3.2. LISTA DE EXERCÍCIOS - PLANOS
14. a.
x− 3
1
=
y + 4
−3
=
z − 4
−2
; b. (5,− 10,0)
15. m = 4
16. x = 2 + 2t, y = −3 + 4t, z = 3 + 8t
17. Uma solução: −→v = (−3,− 1,2);x = 3− 3t, y = 3− t, z = −2 + 2t
18. a. x = 3− t, y = 2− t, z = 2− 2t; b. x = −1 + 5
2
t, y = −1
2
t, z = 2− t
19. −→v = (
−−→
AB×
−→
AC)×
−−→
AB = (6,− 12,− 12);x = 3 + 6t, y = −2− 12t, z =
−12t
20.
−−→
AB = (3,0,1),
x+ 1
3
= z − 3, y = 1;
−→
AC = (4, − 2, − 4), x+ 1
4
=
y − 1
−2
=
z − 3
−4
;
−−→
BC = (1,− 2,− 5), x− 2 = y − 1
−2
=
z − 4
−5
21. 7u.c.
22. −→v = (1,− 3,1);x = 1 + t, y = −3− 3t, z = 2 + t
23. −→v = (1,− 2
5
,6);x = 4 + t, y = −4− 2
5
t, z = 2 + 6t
24.
x− 2
3
=
y + 3
3
=
z − 4
−4
25.
x− 3
3
= y − 3 = z + 2
−2
26. a. Pm(0,
1
2
,1), x = 2t, y =
1
2
,z = 1 + 3t; b. Pm(0,0,0), x = t, y = 0, z =
0; c. Pm(4,−
1
2
,
3
2
); d. Pm(4,6,3); e. Pm(5,
3
2
,7)
27. Não são paralelas, são coplanares, ponto de interseção I(1,2,3), para-
metrização:

x = 1 + 2t
y = 2− t 0 ≤ t ≤ 2.
z = 3− t
3.2 Lista de Exerćıcios - Planos
1. x+ 2y + 3z − 16 = 0
2. x+ 3y + 4z − 14 = 0
3. x+ y + 3z − 14 = 0
4. x+ 5y − 3z − 5 = 0
59
IMEF - FURG
3.2. LISTA DE EXERCÍCIOS - PLANOS
5. 17x+ 23y − 9z − 3 = 0
6. x+ 4y − 3z − 11 = 0
7. 5x− 7y − 3z − 1 = 0
8. a. 5x− 3y − 4z + 21 = 0; b.5x− 4y = 0
9. 2y + 4z − 10 = 0
10. a. plano paralelo Oz; b.plano paralelo Oy; c. plano paralelo Ox; d.
plano paralelo ao plano xOy; e. plano paralelo ao plano xOz; f. plano
paralelo ao plano yOz
11. Gráficos.
12. a. z − 2 = 0; b. y − 3 = 0; c. x− 1 = 0
13. a. a = 6, b = 4
14. z − 9 = 0
15. x− 3 = 0
16. y + 2z − 5 = 0
17. 5x+ y − 8z − 24 = 0
18. x = 0
19. 5x− 5y − 5z + 10 = 0
20. P (3,− 5,− 3)
21. a. z = 10; b. z = −15; c. y = −8
22. y = 3x− 1, z = 5x− 1
23. 2x+ 5y + z − 3 = 0
24. 8x− 11y + 2z − 6 = 0
25. x = t, y = h, z = 6 + 3t+ 2h
26. x− 2y + z − 3 = 0
27. a.x+ 8y − 3z − 5 = 0; b. 2x− y + 3z − 7 = 0
28. y − 3z − 3 = 0
29. 6x+ 10y − 4z − 26 = 0
60
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3.2. LISTA DE EXERCÍCIOS - PLANOS
30. a.
11
√
3
3
u.c.; b.
7
3
u.c.; c.
39
7
u.c.
31.
√
3
2
u.c.
32.
3
√
6
2
u.c.
Bibliografia
1. Steinbruch, A.; Winterle, P. Geometria Anaĺıtica, São Paulo: Pearson
Makron Books, 1987.
2. Winterle, P. Vetores e Geometria Anaĺıtica, São Paulo: Makron Books,
2 ed., 2014.
3. Boulos, P. Geometria Anaĺıtica: um tratamento vetorial, São Paulo:
McGraw-Hill, 1987.
4. Weir, Maurice D. Cálculo (George B. Thomas), Volume II, São Paulo:
Addison Wesley, 2009.
61
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Apêndice A
Retas e Planos - Exemplos
Exemplos de retas e planos:
Exemplo 42. A interseção dos planos π : 3x − 6y − 2z − 15 = 0 e α :
2x+ y − 2z − 5 = 0 é a reta r : (x,y,z) = (2.8,− 1.02,− 0.1) + t(14,2,15).
Figura A.1: Interseção entre planos.
62
Exemplo 43. Três pontos não alinhados pertencentes a um plano.
Figura A.2: Pontos pertencentes a um plano.
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Exemplo 44. Interseção entre retas. Essas retas são também ortogonais.
Figura A.3: Retas ortogonais.
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Exemplo 45. Reta perpendicular ao plano xOy. O ponto A ∈ xOy.
Figura A.4: Reta perpendicular ao plano xOy.
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Apêndice B
Estudo da Reta no plano
cartesiano
B.1 Conceito de Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, (A×B)
é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a,b), em que a ∈ A e
b ∈ B:
A×B = {(a,b)|∀a ∈ A;∀b ∈ B}
Exemplo 46. Considere os seguintes conjuntos: A = {1,3,5} e B = {2,3}.
A×B = {(1,2),(1,3),(3,2),(3,3),(5,2),(5,3)}
Produtos cartesianos importantes:
Sendo R - conjunto dos reais.
Indica-se por R2 o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y), em que
x e y são números reais. O produto cartesiano: R× R = R2 = {(x,y)|∀x ∈
R; ∀y ∈ R}.
O número x é a primeira coordenada (abscissa) e o número y a segunda
coordenada (ordenada) do par (x,y).
Indica-se por R3 o conjunto formado pelos ternos ordenados (x,y,z), em
que x,y e z são números reais.
O produto cartesiano: R× R× R = R3 = {(x,y,z)|∀x ∈ R,∀y ∈ R,∀z ∈
R}.
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B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
O número x é a primeira coordenada (abscissa) e o número y a segunda
coordenada (ordenada) e z é a terceira coordenada (cota) do terno (x,y,z).
B.1.1 Coordenadas Cartesianas na reta
Uma reta orientada é uma reta na qual tomamos um sentido positivo de
percurso (flecha).
Figura B.1: Reta Orientada.
Como vimos, cada ponto no plano (R2) possui uma abscissa e uma or-
denada, portanto, o ponto P é um par ordenado (x,y). Note que o plano
cartesiano é formado a partir de duas retas mutuamente perpendiculares. O
eixo x é perpendicular ao eixo y.
Figura B.2: Plano cartesiano.
Exemplo 47. Pontos no plano cartesiano.
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B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Suponha que deseja-se marcar o ponto A(1, − 3) no plano cartesiano.
Para isso, imagine uma reta vertical passando pelo ponto 1 do eixo x e uma
reta horizontal passando pelo ponto −3 do eixo y. A interseção dessas duas
retas é o ponto A.
Figura B.3: Ponto no plano cartesiano.
Distância entre dois pontos
Para falar em distância entre dois pontos devemos lembrar do Teorema
de Pitágoras, que relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo.
Os lados que formam um ângulo reto são denominados catetos e o lado
oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Assim, temos
a2 = b2 + c2.
Pela figura abaixo, considere os pontos P (x1,y1) e Q(x2,y2)
Figura B.4: Distância entre dois pontos.
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B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
|
−−→
PQ|2 = |x2 − x1|2 + |y2 − y1|2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
|
−−→
PQ| =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Ponto Médio
Considere três pontos sobre uma reta A(x1,y1), B(x2,y2), P (x,y), onde
P é o ponto médio entre A e B, então AP = PB. Portanto,
x =
(x1 + x2)
2
, y =
(y1 + y2)
2
P =
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
Figura B.5: Ponto médio.
B.1.2 A Equação da Reta no plano
É fácil perceber que dois pontos distintos definem uma única reta. Con-
sidere a reta definida por A(x0,y0) e B(x1,y1). Um ponto P (x,y) está sobre
a reta desde que A,B e P sejam colineares, como podemos observar pela
figura abaixo.
Tal condição de alinhamento é satisfeita se os triângulos ABM e APN
forem semelhantes,
PN
AN
=
BM
AM
Portanto,
y − y0
x− x0
=
y1 − y0
x1 − x0
.
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B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Figura B.6: Definição da equação da reta.
Onde, x0,y0,x1,y1 são números conhecidos. Tal constante é o coefici-
ente angular da reta a e pode ser calculado dividindo-se a variação 4y das
ordenadas dos pontos conhecidos da reta pela variação4x de suas abscissas.
a =
4y
4x
=
y1 − y0
x1 − x0
.
Então,
y1 − y0
x1 − x0
= a ou y − y0 = a(x − x0) é a equação na forma ponto
coeficiente angular. Isolando y, temos y = ax− ax0 + y0, onde ax0 + y0 = b,
então a forma da equação reduzida da reta é dada por
y = ax+ b.
Sendo assim, a é o coeficiente angular da retae b o coeficiente linear. Di-
zer que y = ax+b é uma equação de uma dada reta significa que todo ponto
da reta tem coordenadas que satisfazem sua equação. Reciprocamente, todo
par ordenado que satisfaz sua equação é um ponto da reta.
Declividade ou coeficiente angular
Considere uma reta r não paralela ao eixo Oy e α sua inclinação, o
coeficiente angular a é o número real que expressa a tangente trigonométrica
de sua inclinação α.
a = tgα
Observe a seguir os casos com 0◦ ≤ α < 180◦ :
A equação da reta horizontal é y = b.
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B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Figura B.7: Reta horizontal.
Figura B.8: Reta com coeficiente angular negativo.
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B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Figura B.9: Reta com coeficiente angular positivo.
Figura B.10: Reta vertical.
A equação da reta vertical é x = c.
Observamos que uma reta com coeficiente angular positivo dirige-se para
cima e para direita, e, uma reta com coeficiente angular negativo dirige-se
para baixo e para direita.
Exemplo 48. Como calcular o coeficiente angular: Dados dois pontos da
reta, por exemplo, A(2,3) e B(4,7), então:
a =
7− 3
4− 2
=
4
2
= 2
Equação da reta conhecidos um ponto e a declividade:
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B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Considere P (x,y) um ponto genérico sobre a reta e a a declividade (co-
eficiente angular), temos
tgα = a =
y − y1
x− x1
⇒ y − y1 = a(x− x1)
Exemplo 49. Se o ponto A(3,2) pertence a reta r e o coeficiente angular
da reta é 2, usando a equação (y − y1) = a(x− x1), temos:
(y − 2) = 2(x− 3)⇒ (y − 2) = 2x− 6⇒ y = 2x− 4.
Equação Geral da reta:
Toda reta possui uma equação na forma ax+ by + c = 0 na qual a,b e c
são constantes e a e b não são simultaneamente nulos, chamada de equação
geral da reta.
Retas paralelas
Duas retas são paralelas quando não existe um ponto comum a elas. Por-
tanto, duas retas são paralelas se, e somente se, possuem a mesma inclinação
a e cortam o eixo Oy em pontos diferentes.
Figura B.11: Retas paralelas.
Retas concorrentes
Exemplo 50. Dadas as retas r : 3x + 2y − 7 = 0 e s : x − 2y − 9 = 0,
determinar o ponto P de interseção das retas r e s.
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B.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Figura B.12: Retas concorrentes.
Solução: Resolver o seguinte sistema:{
3x+ 2y − 7 = 0
x− 2y − 9 = 0
Temos: 4x − 16 = 0 ⇒ 4x = 16 ⇒ x = 4, substituindo na segunda
equação, y =
−5
2
. Portanto, P (4,
−5
2
).
Retas perpendiculares
Duas retas são perpendiculares quando o ângulo entre elas é 90◦. Sejam,
r : y = ax+ b e s : y = mx+ n, r e s são perpendiculares se ma = −1.
Figura B.13: Retas perpendiculares.
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