Circuitos Elétricos II: Análise de Circuitos Lineares

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Apresentação do Curso 
 
Bibliografia 
 
 Bibliografia principal Bibliografia complementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No curso de Eletricidade, você foi introduzido às leis elementares que regem os circuitos 
elétricos: a Lei de Ohm e as Leis de Kirchhoff. Além disso, foram estudadas as principais 
técnicas de análise de circuitos resistivos. 
 
 
Já na cadeira de Circuitos Elétricos I, os circuitos elétricos estudados passaram a 
apresentar, além de resistores, dois novos componentes: o indutor e o capacitor. Assim, 
analisou-se o comportamento de circuitos simples contendo indutores ou capacitores. A 
resposta desses circuitos era determinada pela resolução de equações diferenciais 
ordinárias. 
 
E o que veremos na cadeira de Circuitos Lineares II? 
 
Continuaremos a analisar os circuitos com resistores, capacitores e indutores. Todavia, 
estudaremos ferramentas matemáticas que nos permitirão uma interpretação 
frequencial do circuito, a qual complementará a visão temporal com a qual estamos 
acostumados. 
 
Como veremos durante o curso, isto nos fornecerá um entendimento mais aprofundado 
do funcionamento dos circuitos elétricos lineares, além de nos proporcionar uma 
metodologia para a análise de circuitos maiores e mais complexos. 
 
Entre as diversas aplicações dos circuitos elétricos, o conhecimento que adquirirmos nos 
permitirá entender os circuitos que realizam a filtragem de sinais, os chamados filtros. 
 
James W. Nilsson 
Susan A. Riedel, 
 
Circuitos Elétricos, 
8a Edição 
 
Pearson Education 
Robert L. Boylestad 
 
 
Introdução à Análise de Circuitos, 
10a Edição, 
 
Pearson Education. 
 
Charles M. Close 
 
 
Circuitos Lineares, 
1a Edição, 
 
LTC Editora 
 
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Tópico 01 – Resposta Senoidal e Fasor 
 
1.1. Circuito Elétrico: um Sistema Dinâmico 
 
Para começarmos, é bom relembrar que os problemas em Engenharia podem ser 
enquadrados em problemas de análise e de síntese: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada tipo de componente elétrico representa um sistema físico com diferentes 
características: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chamamos de linear toda função/sistema que obedece ao Princípio da Superposição, o 
qual compreende duas propriedades: 
 
Aditividade e Homogeneidade 
( ) ( ) ( )2121 vfvfvvf +=+ ( ) ( )11 ** vfKvKf = 
 
Por exemplo, o resistor e o indutor são lineares para a relação entre tensão e corrente: 
 
Resistor: ( ) ( ) ( ) ( )21212121 ivivRiRiiiRiiv +=+=+=+ (aditividade) 
( ) ( ) ( ) ( )1111 iKvRiKKiRKiv === . (homogeneidade) 
 
Indutor: ( ) ( ) ( ) ( )21212121 ivivdt
diL
dt
diL
dt
iidLiiv +=+=+=+ (aditividade) 
( ) ( ) ( )1111 iKvdt
diKL
dt
KidLKiv === . (homogeneidade) 
 
Dizemos que um sistema é dinâmico quando sua resposta depende do que lhe 
aconteceu anteriormente e até aquele momento. Ou seja, a resposta do sistema em um 
determinado instante é determinada não só pelo valor atual da excitação, mas também 
Hipóteses 
simplificadoras 
modelo matemático 
conjunto de equações 
sistema físico 
real 
Análise 
Estudo do sistema resolução das 
equações 
Síntese 
intervenção no sistema 
técnicas de 
projeto 
lineares não-lineares 
instantâneos 
dinâmicos 
possuem “memória” 
resistor 
 
diodo, transistor 
capacitor, indutor 
 
? 
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pelo valores passados da excitação. Significa dizer que, de alguma forma, o sistema 
possui uma capacidade de “memória”, que lhe permita guardar esse histórico. Já o 
sistema instantâneo apresenta uma resposta que é função apenas do valor atual da 
excitação. 
 
Por exemplo, um circuito puramente resistivo é um sistema instantâneo, pois a tensão ou 
a corrente em qualquer resistor do circuito depende apenas da tensão ou corrente que 
está sendo injetada no circuito naquele momento. E, como o nome indica, qualquer 
variação na entrada aparece instantaneamente na saída. Já um circuito com indutores ou 
capacitores apresenta efeito memória e, consequentemente, é um sistema dinâmico. 
 
Mas por que o circuito com capacitor apresenta memória? Lembre-se que a relação entre 
corrente e tensão no capacitor é dada por uma integral: 
( ) ( )∫= dttiCtv
1
, 
que nada mais é que um somatório/acúmulo (memória) de informações anteriores. 
 
1.2. Resposta Senoidal 
 
Até aqui, estudamos principalmente circuitos com fontes de alimentação (tensão ou 
corrente) constantes. Em CE-II estaremos interessados em fontes variantes no tempo, 
mais especialmente nas fontes senoidais ou harmônicas. 
Um dos motivos da importância do estudo de fontes senoidais é que a geração, 
transmissão, distribuição e consumo de energia elétrica são realizados sob condições 
senoidais em estado estacionário. 
 Na verdade, sinais senoidais são especialmente importantes porque: 
 
1o) Em circuitos lineares invariantes no tempo (LIT) a resposta terá sempre a mesma 
frequência da excitação de entrada, 
 
2o) Qualquer sinal no tempo pode ser decomposto/concebido como uma soma infinita de 
contribuições frequenciais amortecidas (Transformada de Laplace). 
 
Considere uma fonte de tensão senoidal ( ) ( )φ+= wtVtv m cos . Repare que esse sinal é 
completamente descrito pelas três grandezas: 
 
Amplitude máxima Vm: ( ) ( )( ) ( )( ) mmm VwtVwtVtv =+=+= φφ cosmaxcosmax)(max . 
 Freqüência angular 
T
fw 122 pipi == . 
 Ângulo de fase φ . 
 
Vamos aplicar essa fonte de tensão senoidal em um circuito RL série, com ( ) 00 =Li : 
 
 
( ) ( )φ+= wtVtv m cos 
 
 
Fig 1.1 – Circuito RL série com excitação senoidal 
 
i(t)
+
-
L
R
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 4 
Queremos determinar a corrente i(t) passando sobre o resistor. Aplicando a LKT: 
0=−− RL vvv ∴ vRidt
diL =+ ∴ 
( )φ+=+ wtVRi
dt
diL m cos 
 
A solução i(t) da equação diferencial é dada pela soma da solução homogênea iH(t) com a 
solução forçada iF(t). Assim, ( ) ( ) ( )φφ ++++=+= − wtKwtKeKtititi LRtFH sencos)()()( 321 
 
( ) ( ) ( )θφθφ −+
+
+−
+
−=
−
wt
LwR
V
e
LwR
V
ti mL
Rtm coscos)(
222222
, com 
R
wL
arctan=θ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 1.2 – Resposta à excitação ( ) ( )φ+= wtVtv m cos , com 0=φ 
 
À medida que o tempo passa, o primeiro termo tende a zero, e a corrente pode ser 
representada por 
( )θφ −+
+
≈ wt
LwR
V
ti mss cos)( 222 
A resposta nessa condição, em que os termos exponenciais tornam-se desprezíveis, é 
conhecida como reposta em estado estacionário. Por outro lado, chamamos de 
transiente ou transitório o período no qual esses termos exponenciais ainda são 
relevantes, e a resposta está em fase de transição para o estado estacionário. 
 
Na análise desse circuito, devemos destacar dois pontos: 
 
1o) A resposta a uma excitação senoidal em estado estacionário também é senoidal. 
2o) A resposta possui a mesma frequência da excitação de entrada. 
 
Isso sempre acontece em circuitos lineares invariantes no tempo, que são circuitos RLC 
onde os valores de R, L e C não variam com tempo. 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Tempo
Am
pl
itu
de
iH
iF
i
estado estacionário 
transiente 
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 5 
Podemos, assim, concluir que para obtermos a resposta do circuito a uma excitação 
senoidal, basta determinarmos apenas as duas variáveis aindadesconhecidas: a 
amplitude máxima mI e o ângulo de fase θφφ −=I da resposta, que sabemos será 
senoidal e com a mesma frequência que a excitação. 
 
 
 
1.3. Fasor 
 
Acabamos de ver que a resposta será da forma ( ) ( )im wtIti φ+= cos , sendo que as 
únicas informações desconhecidas são mI e iφ . É interessante, então, desenvolvermos 
uma ferramenta matemática que trabalhe diretamente apenas com essas duas variáveis 
relevantes. É aqui que se encaixa a representação fasorial, ou os fasores. 
 
A identidade de Euler estabelece que: 
θθθ sencos je j +=± . 
Então, podemos conceber que ( )θθ jeRecos = e ( )θθ jeImsen = . 
 
Assim sendo, nosso sinal senoidal pode ser visto como: 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )jwtjmjjwtmwtjmm eeVeeVeVwtVtv θθφφ ReReRecos ===+= + 
 
Chamamos de fasor o número complexo 
θj
meVV = , 
que corresponde à porção de )(tv que carrega toda a informação de que precisamos ( mV e 
φ ). Além da forma polar acima, o fasor (como qualquer número complexo) também pode 
ser representado na forma retangular φφθ sencos mmjm jVVeVV +== . 
 
A propriedade a seguir é primordial para entendermos a importância dos fasores: 
 
“Se em um circuito temos uma soma de tensões senoidais de mesma frequência 
dada por ( ) ( ) ( ) ( )tvtvtvtv n+++= ...21 , então o fasor dessa soma de tensões é dado por 
nVVVV +++= ...21 , que representa uma soma fasorial.” 
 
Assim, através do uso de fasores, poderemos analisar circuitos utilizando álgebra de 
números complexos, ao invés de identidades trigonométricas no tempo. 
 
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Tópico 02 – Impedância 
 
2.1. Elementos Passivos no Domínio da Frequência 
 
RESISTOR 
Vamos supor que temos uma corrente ( ) ( )im wtIti θ+= cos passando por um resistor. A 
tensão sobre este resistor será 
( )im wtRItRitv θ+== cos)()( . 
O fasor relativo a ( )tv será 
im
j
m RIeRIV i θθ == . 
Observando que o fasor para corrente é imjm IeII i θθ == , na verdade temos que 
RIV = 
Analisando esse resultado, podemos destacar que: 
• O resistor não altera o ângulo de fase da resposta, de modo que não há desvio de 
fase. 
• A amplitude da resposta ( )mRI é independente da frequência da excitação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 2.1 – Tensão X Corrente sobre Resistor 
 
INDUTOR 
Seja novamente ( ) ( )im wtIti θ+= cos , cujo fasor é imjm IeII i θθ == . Agora, 
( ) ( )o90cossen)()( −+−=+−== imim wtwLIwtLwIdt
tdiLtv θθ 
O fasor para a resposta será 
( ) ( ) ( )( ) ( )oooo 90909090 +===−−=−=−= −− imimjmjmjjmjm wLIIwLejwLIjewLIeewLIewLIV iiii θθθθθθ
 
que representa 
jwLIV = 
Analisando esse resultado, podemos destacar que: 
• O indutor introduz um desvio de fase de + 90o: ( )o90+iθ ; 
• A amplitude da resposta ( )mwLI é dependente da frequência da excitação. 
 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2
-1
0
1
2
Tempo
Am
pl
itu
de
i(t)
v(t)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2
-1
0
1
2
Tempo
Am
pl
itu
de
i(t)
v(t)
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Fig 2.2 – Tensão X Corrente sobre Indutor 
 
CAPACITOR 
Seja novamente ( ) ( )im wtIti θ+= cos , cujo fasor é imjm IeII i θθ == . Agora, 
( ) ( ) ( )o90cos1sen111)( −+=+== ∫ imim wtIwCwtIwCdttiCtv θθ 
O fasor para a resposta será 
( )
( ) ( )oo
oo
909011
1111 9090
−=





−==
=





===
−−
i
m
im
j
m
j
m
jj
m
j
m
wC
II
wC
eIjwC
jeIwCeeIwCeIwCV
i
iii
θθθ
θθθ
 
que significa que 
IjwCV
1
= 
Analisando esse resultado, podemos destacar que: 
• O capacitor introduz um desvio de fase de – 90o: ( )o90−iθ ; 
• A amplitude da resposta 





wC
Im
 é dependente da frequência da excitação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 2.3 – Tensão X Corrente sobre Capacitor 
 
 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2
-1
0
1
2
Tempo
Am
pl
itu
de
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-4
-2
0
2
4
Tempo
Am
pl
itu
de
i(t)
v(t)
i(t)
v(t)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
-0.5
0
0.5
1
Tempo
Am
pl
itu
de
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-1
-0.5
0
0.5
1
Tempo
Am
pl
itu
de
i(t)
v(t)
i(t)
v(t)
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2.2. Impedância e Reatância 
 
Vimos a relação entre os fasores de entrada e de saída nos componentes passivos. De 
fato, para todos é obedecida a forma 
ZIV = 
Esse número complexo Z chamamos de impedância, cuja unidade é o Ohm (Ω). Reparar 
no quadro abaixo, que a impedância do resistor é independente da frequência, enquanto 
que a do capacitor e a do indutor são dependentes da frequência. 
 
Resistor Indutor Capacitor 
RIV = jwLIV = 
IjwCV
1
= 
RZ = ( ) jwLwZ = ( ) jwCwZ
1
= 
 
À amplitude da parte imaginária da impedância nós chamamos de reatância. Assim, o 
resistor não possui reatância, enquanto que indutor e capacitor são reatâncias puras. 
 
 
Exemplo 2.1: 
Seja um capacitor de 0,2µF submetido a uma diferença de tensão de ( )o5010cos40 5 −t V. 
Determine: 
i-ii) Impedância e Reatância 
A impedância do capacitor é ( ) jwCwZ
1
= , de modo que 
( ) Ω−===
−
5050
10*2.0*10*
110 65
5 jjjZ 
Assim a reatância é de -50Ω. 
 
iii-iv) Fasor I e iss(t) 
 Sabemos que ZIV = . Logo, ( )( ) A
Z
VI ooo
o
o
408.09050
50
40
9050
5040
=−−−=
−
−
== 
A partir de I é fácil determinarmos que ( ) ( )Attiss o4010cos8.0 5 += . 
 
 
 
2.3. Leis de Kirchhoff no Domínio da Frequência 
 
Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) 
 
Vamos supor que aplicamos a LKT em um circuito operando em estado estacionário 
senoidal. Para n quedas de tensão presentes na malha temos 
 
( ) ( ) ( ) 0...21 =+++ tvtvtv n 
ou 
( ) ( ) ( ) 0cos...coscos 2211 =++++++ nmmm wtVwtVwtV n φφφ . 
 
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Utilizando a identidade de Euler temos que 
 ( ) ( ) ( ) 0Re...ReRe 21 21 =+++ jwtjmjwtjmjwtjm eeVeeVeeV nn θθθ { } 0...Re 21 21 =+++ jwtjmjwtjmjwtjm eeVeeVeeV nn θθθ ( ){ } 0...Re 21 21 =+++ jwtjmjmjm eeVeVeV nn θθθ 
Como 0≠jwte , concluímos a LKT para fasores 
0...21 =+++ nVVV 
“O somatório algébrico de fasores de tensões em uma malha fechada é igual a 
zero”. 
 
 
Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) 
Por um raciocínio análogo, podemos derivar a LKC para fasores. Em um nó do circuito 
onde temos 
( ) ( ) ( ) 0...21 =+++ tititi n . 
Podemos afirmar que 
0...21 =+++ nIII 
 
“O somatório algébrico de fasores de correntes que entram em saem de um nó é 
igual a zero”. 
 
 
 
Exemplo 2.2 
Em um nó de um circuito entram 4 correntes: i1, i2, i3 e i4. Se ( ) ( )o25cos1001 += wtti , 
( ) ( )o145cos1002 += wtti e ( ) ( )o95cos1003 −= wtti , determine i4(t). 
Solução 
Pela LKC, ( )∑ ∑ == 0Iti . Os fasores são ooo 95100,145100,25100 321 −=== III 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 095sen95cos100145sen145cos10025sen25cos100 4 =+−+−++++ Ijjj oooooo ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0951452510095cos145cos25cos100 4 =+−+++++ Isensensenj oooooo 
( ) ( ) ( ) AtiAjI 0001000100 44 =∴=−−= 
 
 
 
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Tópico 03 – Associações de Impedâncias 
 
3.1. Impedâncias em Série 
Seja a associação em série a seguir, 
 
 
 
 
 
Pela LKT, 
( )IZZZIZIZIZVVVV nnnab +++=+++=+++= ......... 212121 
Concluímos, então, que a impedância equivalente para impedâncias em série é dada pela 
soma das impedâncias: 
nT ZZZZ +++= ...21 
 
Exemplo 3.1: 
Voltandoao circuito RL série, vamos determinar iss(t) por fasores. 
 
 
 
( ) ( )φ+= wtVtv m cos 
Solução 
Podemos determinar I fazendo 
TZ
VI = . Para esse circuito série, temos 
( )θφφφ −
+
=






+

=
+

==
222222 arctan LwR
V
R
wlLwR
V
jwLR
V
Z
VI mmm
T
 
onde 





=
R
wL
arctanθ . Logo, 
( )θφ −+
+
= wt
LwR
V
ti mss cos)( 222 
que é o mesmo resultado que encontramos no Tópico 01 resolvendo a equação 
diferencial. 
 
 
Importante! utilizamos o fato de que um número complexo na forma retangular pode ser 
reescrito na forma polar segundo 





+=+
a
bbajba arctan22 . 
 
3.2. Impedâncias em Paralelo 
 
Seja agora a associação em paralelo abaixo: 
 
 
 
 
I
...
 +
Vab
 -
ZnZ2Z1
i(t)
+
-
L
R
I
...
 +
Vab
 -
ZnZ2Z1
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 11 
Pela LKC, 






+++=+++=+++=
n
ab
n
ababab
n ZZZ
V
Z
V
Z
V
Z
VIIII 1...11......
2121
21 
Como, 
T
ab
T
ab
Z
V
Z
VI 1== , concluímos que 
nT ZZZZ
1
...
111
21
+++= 
O inverso da impedância também é um número complexo, chamado de admitância. 
jBG
Z
Y +== 1 
Sua unidade é o siemen (S). A parte real G é a condutância, enquanto que a amplitude B 
da parte imaginária é a susceptância. 
Assim, descobrimos que resistor possui uma admitância que é uma condutância pura, 
enquanto que capacitor e indutor representam susceptâncias puras. 
 
Cuidado: susceptância não é inverso de reatância. 
b
j
ajba
111
+≠
+
 
 
Utilizando o mesmo procedimento da cadeira de Eletricidade, é fácil demonstrar que as 
equações do Divisor de Tensão e do Divisor de Corrente também se aplicam ao cálculo 
fasorial: 
Divisor de Tensão: 
21
1
1 ZZ
ZVV s +
= 
Divisor de Corrente: 
21
2
1 ZZ
ZII s +
= 
 
Exemplo 3.2 
Determine vo para o circuito abaixo, se ( ) ( )Attig 4000cos8.0= . 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
As impedâncias na frequência de 4000 rad/s são: 
Ω=== − 7010*5.17*4000* 3 jjjwLZL e Ω−==−=
−
40
10*25.6*4000
11
6 jjwCjZC 
Por divisor de corrente, 
( ) ( ) Aj
j
jj
jII g oooo
o
oo 908.0901*08.0
87,3650
13,535008.0
3040
403008.0
70104030
4030
2 −=−=

−
=
+
−
=
++−
−
= 
Logo, 
( )VttvVIZV oLo 4000cos56)(056908.0*90702 =∴=−== ooo 
Graças aos fasores, escapamos de resolver uma EDO de 2a ordem! 
vo
I2I1
Ig
30 10
-40j 70j
30 10
6.25uF
17.5mH
ig
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 12 
3.3. Transformação ∆∆∆∆-Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As fórmulas para a transformação ∆-Y também são válidas quando tratamos de 
impedâncias: 
cba
cb
ZZZ
ZZZ
++
=1 , 
cba
ac
ZZZ
ZZZ
++
=2 , 
cba
ba
ZZZ
ZZZ
++
=3 
 
Para a transformação inversa, as fórmulas também são análogas ao caso resistivo: 
 
1
133221
Z
ZZZZZZZa
++
= , 
2
133221
Z
ZZZZZZZb
++
= , 
3
133221
3 Z
ZZZZZZZ ++= 
 
 
Exemplo 3.3 
Determine I para o circuito abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
Para esse circuito, uma transformação ∆-Y permite que se resolva o problema apenas 
com associações de impedâncias. 
Assim, inicialmente calculamos o56,26902,552550155040 =+=−+=++ jjjZZZ cba 
i) 
Ω−−=−=

−
=
++
= 12657,116565,26
56,26902,55
9015*050
1 jZZZ
ZZ
Z
cba
cb o
o
oo
 
Ω−=−=

−
=
++
= 8,46,956,26733,10
56,26902,55
9040*9015
2 jZZZ
ZZ
Z
cba
ac o
o
oo
 
Ω+=−=


=
++
= 321644,63777,35
56,26902,55
050*9040
3 jZZZ
ZZ
Z
cba
ba o
o
oo
 
II
o136|0o136|0
+
-
+
-
14
Z1
10
Z3
40
Z2
14
Zc
-15j
10
Zb
50
40
Za 40j
Zb Za 
Zc 
Z2 Z1 
Z3 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 13 
ii) 
 Ω+=++=Ω+ 3256403216403 jjZ 
Ω−=+−−=Ω+ 12410126101 jjZ 
iii) 
 ( ) ( ) ( )( ) Ω−=
−++
−+
=++ 2,114,6
1243256
124325610//40 13 jjj
jjZZ 
iv) 
 Ω−=Ω−=−+−+= o07,283416302,114,68,46,914 jjjZT 
Finalmente, A
Z
VI
T
o
o
o
07,284
07,2834
0136
=
−

== 
 
 
 
3.4. Conversão de Fontes 
 
Assim como nos circuitos resistivos, a conversão de fontes permite simplificar bastante a 
análise de vários circuitos. O procedimento para a conversão é análogo no caso 
frequencial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.4 
Vamos voltar ao Exemplo 3.2. Queremos determinar vo para o circuito abaixo, com ( ) ( )Attig 4000cos8.0= . 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
Vamos transformar o circuito série-paralelo em um circuito apenas série. 
i) 
4030 jZ s −= e o08,0 == gs II : ( ) VjjIZV sss 32248,0*4030 −=−== 
ii) 
( ) o
o
o
o 056
87,3650
907013,5340
3040
703224
70104030
70
=


−=
+
−=
++−
= j
jjjj
jVV so 
 
( ) ( )Vttvo 4000cos56=∴ 
Vs=Zs*Is Is=Vs/Zs
b
a
Zs
b
a
Zs
+
-
V
Is
vo
+
-
Vs
6.25uF
17.5mH
ig
30-40j
10
70j
30
10
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 14 
Tópico 04 – Equivalentes Thévenin e Norton 
Método dos Nós 
 
4.1. Equivalentes Thévenin e Norton 
Assim como na análise temporal, o Teorema de Thévenin para impedâncias diz que 
qualquer porção do circuito contendo impedâncias e fontes pode ser substituída por seu 
equivalente Thévenin. 
O procedimento para encontrar o equivalente Thévenin é exatamente o mesmo: 
 
ZTH – resistência vista entre os terminais com as fontes em repouso. 
VTH – queda de tensão medida entre os terminais em aberto. 
 
 
 
Exemplo 4.1 
Vamos encontrar o equivalente Thévenin para a porção de circuito mostrada abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
1o) determinação de VTH. 
Para facilitar, vamos fazer uma conversão de fonte no circuito original, transformando a 
fonte de corrente em uma fonte de tensão: VZIV sss 20040*5 === . 
O novo circuito será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a impedância de 40+50j, podemos dizer que 
( )
( ) AIjI
IjIIj
I
xx
xxx
x
o
o
4522
45250
2005050200
504010200
5040
10200
−=

=∴+=∴
+=−∴=
+
−
 
 
Agora, por divisor de tensão podemos determinar a tensão entre a e b: 
Vj
jIVV xabTH oo
o
o 9020
4525
90545220
55
510 −=
−
−
−=
−
−
== 
 
5|0o Ix +
-
10Ix
a
b
-5j
550j
40
200|0o
Ix+
-
Vs +
-
10Ix
a
b
-5j
540+50j
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 15 
2o) determinação de ZTH. 
Com a fonte em repouso, obtemos o circuito abaixo. Lembre que fontes controladas não 
entram em repouso! Com fontes controladas, o procedimento é aplicar uma tensão Vt 
entre os terminais e mediar a corrente It fluindo. Contudo, isso aqui não será necessário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela LKT, temos 
( )5040*10 jII xx += , 
o que é só é verdadeiro se 0=xI , ou seja, se a fonte controlada representar um curto. 
Assim, a impedância vista pelo terminal é dada por 5Ω//-j5Ω 
Ω−=−=−=
−
−
=
−
−
=−= 5,25,2
2
2
2
5
2
2
2
545
2
5
4525
9025
55
255//5 jjj
jjZTH oo
o
 
 
 
 
O procedimento para encontrar o equivalente Norton também é análogo: 
 
ZN – resistência vista entre os terminais com as fontes em repouso. 
IN – corrente medida entre os terminais em curto. 
 
 
Exemplo 4.2 
Vamos encontrar o equivalente Nortonpara a porção de circuito mostrada abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
1o) determinação de IN. 
Com os terminais em curto, a elevação da fonte controlada aparece sobre as impedâncias 
em paralelo de 1Ω e de j2Ω. Assim, 
2*4 jII bb = 
o que é só é verdadeiro se 0=bI , ou seja, se a fonte controlada representar um curto. 
Logo, não passa corrente por nenhuma das duas impedâncias, e 
o05=NI . 
 
Ix
+
Vt
-
It
+
-
10Ix
a
b
-5j
550j
40
5|0o Ib
+-
4Ib
a
b
2j1
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 16 
2o) determinação de ZN. 
Com a fonte em repouso, obtemos o circuito abaixo. Lembre que fontes controladas não 
entram em repouso! Com fontes controladas, o procedimento é aplicar uma tensão Vt 
entre os terminais e mediar a corrente It fluindo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por divisor de corrente, temos que, 
2121
1
j
I
jII
t
tb
+
=
+
= 
Pela LKT, 
( ) ( )24
21
24024 jj
IjIVIjIV tbtbbt +
+
=+=∴=−− 
Logo, 
 
( ) ( )( )( )( ) Ω−=
−
=
+
+−+
=
−+
−+
=+
+
== 2,16,1
5
68
41
4824
2121
212424
21
1 jjjjjj
jjjjI
V
Z
t
t
N 
 
 
 
 
 
4.2. Método dos Nós 
O Método dos Nós é uma poderosa ferramenta de análise de circuitos, e também pode 
ser empregado diretamente para a análise de circuitos com impedâncias. É o que 
veremos no exemplo abaixo. 
 
 
 
Exemplo 4.3 
Vamos utilizar o método dos nós para determinar v(t) no circuito abaixo. São dados: 
( ) ( )wttis cos10= , ( ) ( )wttvs sen100= e skradw /50= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
Vt
-
It
Ib
+-
4Ib
a
b
2j1
+
v
-
is
9uF
100uH
5
20
+
- vs
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 17 
 
Solução 
O primeiro passo é encontrar as impedâncias na frequência dada. 
Ω=== − 510*100*10*50* 63 jjjwLZ L e Ω−=−=−=
− 45
100
10*9*10*50
11
63 jjwCjZC 
O circuito na frequência é dado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definimos a tensão no nó inferior como sendo o nosso referencial (GND), de modo que, 
por conseqüência, o nó superior está na tensão V. 
Pela LKC no nó superior: 
 
( ) 05
205100
45
5
100
20
100
5
45
1005
100 =−−−+−∴=−−−−
−
−−∴=∑ j
V
j
V
j
VVjV
j
V
j
VVI 
( ) o57,7162,313010
2
5105104
1
5104
510
4
1
4
10
5
1
100
45
20
1
5
1510
−=−=
−−−
=
+
−
=∴
−=





+∴=





−−





+−−
jjjj
jV
jjVjVVj
 
Então, podemos afirmar que 
( ) ( )o57,7110*50cos62,31 3 −= ttv V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
100|-90
o10|0
o
+
V
-
V
+
-
20
ZL
Zc5
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 18 
Tópico 05 – Método das Malhas, 
Teorema da Superposição e Diagrama Fasorial 
 
5.1. Método das Malhas 
 
Assim como o Método dos Nós, o Método das Malhas pode ser aplicado de forma idêntica 
em circuitos fasoriais, com a diferença principal de que os sistemas de equações lineares 
resultantes envolvem coeficientes complexos. 
 
 
Exemplo 5.1 
Vamos utilizar o método das malhas para determinar V1, V2 e V3 no circuito abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
1a Malha 
Pela LKT: ( ) ( )( ) ( ) ( ) 150161214130161221150 21211 =+−+−∴=−−−+− jIjIIIjIj (1) 
 
2a Malha 
Pela LKT: ( )( ) ( ) 039311612 212 =−+−−−− xIIjIIj 
 
Mas, ( )21 III x −= . Logo, 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 013261627039311612 2121212 =−−++∴=−−+−−−− jIjIIIIjIIj (2) 
 
As duas equações representam um sistema de equações linear 2x2: 
( ) ( )
( ) ( ) 




=











−−+
+−−
0
150
13261627
16121413
2
1
I
I
jj
jj
, 
que pode ser resolvido diretamente por 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )




−−
−−
=











−−+
+−−
=





−
5824
5226
0
150
13261627
16121413 1
2
1
j
j
jj
jj
I
I
, 
ou por outros métodos para sistemas de equações lineares, como por exemplo, por 
substituição. 
 
Uma vez determinadas as correntes, podemos encontrar as tensões desejadas: 
( ) VjIjV 1047821 11 −=+= 
( )( ) VjIIjV 104721612 212 +=−−= 
( ) VjIjV 13015031 23 −=+= 
 
Poderíamos conferir pela LKT: ( ) ( ) 01047210478150150 21 =+−−−=−− jjVV OK! 
+
V2
-
+ V1 - + V3 -
150|0 Ix
o
+
-
3j11
12 +
-
39Ix
2j
-16j
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 19 
5.2. Teorema da Superposição 
 
 
Exemplo 5.2 
Vamos voltar ao Exemplo 4.3, resolvendo-o pelo Teorema da Superposição. São dados: 
( ) ( )wttis cos10= , ( ) ( )wttvs sen100= e skradw /50= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
Havíamos determinado as impedâncias na frequência dada: 
Ω=== − 510*100*10*50* 63 jjjwLZ L e Ω−=−=−=
− 45
100
10*9*10*50
11
63 jjwCjZC 
 
1a Contribuição: da fonte de corrente 100°°°° 
Com a fonte de tensão em repouso, o circuito se reduz a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão V pode ser facilmente encontrada por ( )jjZIV T 5//920//20//5*10* −== 
A impedância equivalente é dada por: 
( ) ( ) ( )Ω−=−=∴+=+−=
−
+++= jjZSjjj
jjZ
T
T
12
2
141
4
1
20
9
5
1
4
1
9
20
1
5
1
20
1
5
11
 
Logo, ( ) VjjZIV T 202012*10* −=−== 
 
2a Contribuição: da fonte de tensão 100-90°°°° 
Com a fonte de corrente em repouso, o circuito se reduz a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
v
-
is
9uF
100uH
5
20
+
- vs
100|-90
o10|0
o
+
V
-
V
+
-
20
ZL
Zc5
+
V
-
10|0o 20
5j
-20/9j5
100|-90o
+
V
-
+
-
20
5j
-20/9j5
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 20 
A tensão V pode ser facilmente encontrada por divisor de tensão 
( ) 205//920//5
5//9
20//5
*
+−
−
=
jj
jj
VV s 
onde, ( ) ( ) Ω+=∴
+
=+=+−=
−
++ jZS
jjjj
jj
T 54
20
20
54
4
1
5
1
20
9
5
1
5
1
9
20
1
5
1
5
1
 
Logo, ( )
( ) ( )
Vjjjjjjjj
jjV 1010
50
55100
55
100
541
1100
2054
20
54
20
*100 −−=−−=
+
−=
++
−=
++
+
−= 
 
Soma das contribuições 
Somando as duas contribuições temos, 
VjjjV o57,7162,31301010102020 −=−=−−−= 
Então, podemos afirmar que ( ) ( )o57,7110*50cos62,31 3 −= ttv V, exatamente como 
determinamos no Exemplo 4.3. 
 
 
 
5.3. Diagramas Fasoriais 
 
Todo número complexo V pode ser representado como um vetor em ℜ2, uma vez que ele 
é determinado por duas grandezas: (Re{V}, Im{V}). Assim, os diferentes fasores 
presentes em um circuito elétrico também podem ser representados graficamente, no que 
chamamos de diagrama fasorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Embora o diagrama fasorial não tenha atualmente uma utilidade quantitativa, ele pode ser 
uma ferramenta útil para que possamos entender, qualitativamente, o que acontece em 
um dado circuito. Vejamos o exemplo a seguir. 
 
 
Exemplo 5.3 
Para o circuito abaixo, queremos analisar qual o efeito de se colocar um capacitor em 
paralelo com a carga, supondo que desejemos manter a tensão na carga VL com 
amplitude fixa. 
 
 
 
 
 
 
 
+
VL
-
L2
L1
R2
R1
+
-
Vs
α β α sen(β) 
α cos(β) 
carga 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 21 
Solução 
Vamos supor que a nossa referência zero para a fase é dada por VL. 
Sabemos que a corrente sobre o resistor R2estará em fase com VL, enquanto que a 
corrente sobre o indutor L2 estará defasada de 90º, pois 
o90
=
wL
V
I LL . Assim, 
 
 
 
 
A corrente I saindo da fonte corresponde a I=IR+IL. Logo, 
 
 
 
 
 
 
Também sabemos que a tensão sobre R1 estará em fase com corrente I, enquanto que a 
tensão sobre L1 estará adiantada 90º em relação à corrente. Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela LKT, Vs é dado pela soma das tensões na malha: LLRS VVVV ++= 11 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos voltar ao circuito e acrescentar um capacitor em paralelo com a carga, 
 
 
 
 
 
 
 
 
e vamos analisar qual a influência do capacitor sobre a tensão Vs, mantida a tensão de 
carga VL com a mesma amplitude. 
 
 
 
VL 
IR 
IL 
VL 
IR 
IL I 
VL 
IR 
IL I 
VL1 
VR1 
VL 
IR 
IL I 
VL1 
VR1 
Vs 
+
VL
-
C
L2
L1
R2
R1
+
-
Vs
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 22 
O capacitor drena mais corrente da fonte, de forma que I agora é diferente: 
 
 
 
 
 
 
Reparar que a amplitude da corrente I diminuiu. Prosseguindo com o raciocínio, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A importante conclusão que tiramos olhando o diagrama fasorial é que conseguimos 
diminuir a amplitude da tensão de fonte mantendo a mesma amplitude de tensão de 
carga, graças à compensação introduzida pelo capacitor. 
 
Esse é a razão pela qual se utiliza bancos de capacitores na indústria para compensar a 
presença de motores e outras máquinas que são de natureza indutiva, diminuindo-se, 
assim, o consumo de energia (relacionado à amplitude de Vs). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VL 
IR 
IL I 
IC 
VL 
IL I 
IC 
VL1 
Vs 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 23 
Tópico 06 – Transformadores em Circuitos Fasoriais 
 
Nesse tópico vamos analisar o transformador em circuitos fasoriais. O primeiro passo será 
analisarmos o modelo linear para um transformador. Em seguida, veremos que em certos 
casos poderemos utilizar um modelo ideal de transformador. 
 
6.1. Transformador Linear 
A figura abaixo mostra um circuito com o modelo linear para um transformador, onde 
R1: resistência do enrolamento primário; 
R2: resistência do enrolamento secundário; 
L1: auto-indutância do enrolamento primário; 
L2: auto-indutância do enrolamento secundário; 
M: indutância mútua, 21LLkM = , onde k é um coeficiente de acoplamento. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.1 – Transformador acoplando carga à fonte 
A presença da indutância mútua M implica que a corrente no secundário irá provocar uma 
diferença de potencial no secundário, e vice-versa. Aliás, é pela indutância mútua que 
aparece o acoplamento entre o secundário e o primário do transformador. 
 
Os pontos no modelo do transformador servem para indicar o sentido da corrente que irá 
surgir em um rolamento por causa da corrente passando pelo outro. O critério utilizado é o 
seguinte: “Uma corrente crescendo positivamente entrando na extremidade com o ponto 
de um enrolamento induz uma tensão no outro enrolamento que é positiva na 
extremidade com o ponto.” 
 
Vamos analisar o circuito acima utilizando o método das malhas. Pela LKT: 
Malha 1: 0211111 =+−−− jwMIIjwLIRIZV SS 
Repare que a impedância relativa à indutância mútua aparece multiplicando a corrente no 
secundário. Além disso, como I2 está saindo do ponto, a tensão que ela gera no primário 
é negativa em relação ao ponto neste. Na malha 2 temos, 
Malha 2: 0222122 =−−+− IZIRjwMIIjwL L 
 
As duas equações se reduzem a 
( ) SS VjwMIIjwLRZ =−++ 2111 (1) 
 ( ) 02221 =++− IZRjwLjwMI L (2) 
 
Se resolvermos o sistema, encontraremos: 
 ( )( ) SLS
L V
MwZjwLRjwLRZ
ZjwLR
I 22
2211
22
1
+++++
++
= 
 
( )( ) 1222222112 IZjwLR
jwMV
MwZjwLRjwLRZ
jwMI
L
S
LS ++
=
+++++
= 
I2
I1
jwL2jwL1
+
-
Vs ZL
Zs
R2R1 jwM
transformador linear fonte 
carga 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 24 
A impedância vista pela fonte de tensão é pSsT ZZI
VZ +==
1
, onde Zp é a impedância 
equivalente nos terminais do primário. Logo, 
( )Lp ZjwLR
MwjwLRZ
++
++=
22
22
11 . 
O último termo corresponde à impedância de carga refletida no primário. Repare que se 
a carga ZL fosse conectada diretamente sem o transformador, teríamos Zp = ZL . Assim, 
podemos ver como o transformador altera o valor da impedância de carga a ser percebido 
pela fonte. 
 
 
Exemplo 6.1 
Um transformador linear é usado para acoplar uma carga constituída por um resistor de 
360Ω em série com um indutor de 0,25H a uma fonte de tensão senoidal. A fonte de 
tensão tem uma impedância interna de 184Ω e uma tensão máxima de 245,20V, e opera 
com uma frequência angular de 800 rad/s. Os parâmetros do transformador são R1=100Ω, 
L1=0,5H, R2=40Ω, L2=0,125H e k=0,4. Queremos determinar a impedância refletida, a 
corrente no primário e a corrente no secundário. 
 
Solução 
O circuito do exercício é exatamente o da Figura 6.1. Inicialmente precisamos calcular a 
indutância mútua 1,0125,0*5,04,021 === LLkM 
 
Precisamos das impedâncias na frequência dada: 
Ω== 4005,0*8001 jjZ , Ω== 100125,0*8002 jjZ e Ω== 20025,0*800 jjZ Ls 
 
Vimos que a impedância na entrada do transformador é dada por: 
 ( )Lp ZjwLR
MwjwLRZ
++
++=
22
22
11 
 
( )
( )68,724,10400100
25
3464400100
34
64400100
300400
6400400100
20036010040
1,0800400100
22
jjjjjj
jjjjj
−++=
−
++=
+
++=
+
++=
+++
++=
 
onde a impedância refletida corresponde à parcela Ω− 68,724,10 j . 
A corrente no primário pode ser facilmente determinada por 
( )
o
o
o
13,535,0
13,53488
02,245
32,39224,290
2,245
68,724,10400100184
2,245
1 −=


=
+
=
−+++
=
+
= jjjZZ
VI
pS
s
 
Logo, ( ) ( )Atti o13,53800cos5,01 −= . 
Para determinar a corrente no secundário, basta lembrar que 
( )
oo 13,535,0
3040
813,535,0
20036010040
80
1
22
2 −+
=−
+++
=
++
= j
j
jj
jI
ZjwLR
jwMI
L
 
Aoo
o
o
008,013,535,0
87,3650
908
=−


= 
Logo, ( ) ( )Atti 800cos08,02 = . 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 25 
Vamos supor, agora, que a fonte de tensão Vs está fornecendo uma tensão de valor 
constante, ou seja, w=0. A corrente no primário será dada por 
( )( ) 121
2
1 RZ
VV
ZRRZ
ZRI
S
S
S
LS
L
+
=
++
+
= . 
Repare, então, que os elementos do secundário do transformador não são vistos no 
primário. Se observarmos a corrente no secundário, 
 00 1
2
2 =+
= I
ZR
I
L
, 
veremos que não existe corrente na malha do secundário, o que quer dizer que a fonte de 
tensão não é vista pelos elementos do secundário. Caracterizamos, assim, uma 
propriedade importante dos transformadores: eles bloqueiam (ou filtram) sinais DC (w=0). 
Na verdade, isto já era esperado, uma vez que o acoplamento entre primário e secundário 
é realizado via indutância mútua, que possui impedância nula para valores DC. 
 
6.2. Transformador Ideal 
 
Sob certas condições, o modelo linear pode ser substituído pelo modelo de transformador 
ideal. Essas condições representam as hipóteses: 
1a – o coeficiente de acoplamento k é unitário. 
2a – as auto-indutâncias L1 e L2 são infinitas. 
3a – As perdas R1 e R2 nos enrolamentos são desprezíveis. 
 
Transformadores de núcleo ferromagnético aproximam-se bastante desse modelo ideal. 
 
Pode-se demonstrar que, a impedância equivalente Zp nos terminais do primário em um 
transformador ideal se reduz aLp ZN
NZ
2
2
1






= , 
onde N1 é o número de espiras no primário e N2 é o número de espiras no secundário. 
Analisando esta equação, percebemos que a impedância de carga é refletida para o 
primário segundo o quadrado da relação entre o número de espiras do transformador. 
A relação entre as auto-indutâncias é dada por 
2
2
1
2
1






=
N
N
L
L
, de modo que não será 
necessário conhecer o valor das auto-indutâncias, apenas a razão entre elas. 
 
A relação entre o número de espiras também determina a relação entre as tensões e 
entre as correntes do primário e do secundário. 
 
1o) Se as tensões foram ambas positivas ou ambas negativas nos pontos: 
2
1
2
1
N
N
V
V
= . 
No caso contrário, 
2
1
2
1
N
N
V
V
−= . 
2o) Se as ambas as correntes entrarem nos pontos ou se ambas saírem: 
1
2
2
1
N
N
I
I
−= . 
No caso contrário, 
1
2
2
1
N
N
I
I
= . 
CCiirrccuuiittooss EEllééttrriiccooss IIII 
 
 
 26 
Assim, teremos os casos possíveis: 
 
 
 
 
2
1
2
1
N
N
V
V
= ,
1
2
2
1
N
N
I
I
−= 
2
1
2
1
N
N
V
V
−= ,
1
2
2
1
N
N
I
I
= 
 
 
 
 
 
2
1
2
1
N
N
V
V
= ,
1
2
2
1
N
N
I
I
= 
2
1
2
1
N
N
V
V
−= ,
1
2
2
1
N
N
I
I
−= 
Como a impedância de carga é vista no primário como ( ) Lp ZNNZ 221= , o transformador 
pode ser utilizado para alterar o módulo de uma impedância. O ângulo de fase, contudo, 
continuará o mesmo. Um exemplo de aplicação para o transformador é no casamento de 
impedância para uma máxima transferência de potência. 
 
 
Exemplo 6.2 
Queremos determinar V2 e I2 para o circuito abaixo. 
 
 
 
 
 
Solução 
Podemos resolver o circuito pelo método das malhas. Entretanto, vamos trabalhar com a 
impedância refletida no primário: 
( ) 900025004,144
1
25 2
2
2
1 jjZ
N
NZ Lp −=−





=





= . 
No primário, a corrente I1 será dada por: 
 
( )
mAjj
kjkkjkkjkI 3410916
3425
34
25
95,265,1
25 3
1 +=+
+
=
−
=
−++
=
−
 
 
Pela definição das correntes e pela posição dos pontos, temos que 
mAAjII
N
NI
N
N
I
I o13,1431257510025 11
2
1
2
1
2
2
1 −=−−=−=−=∴−= 
Para V2, basta fazer 
 ( ) VkmjIV ooo 39,14287,148,7495,14*13,1431254,14422 =−−=−= 
 
 
Se calcularmos a potência P=VI no secundário do transformador ideal, teremos 
 111
2
1
1
1
2
1222 PIVN
NI
N
NVIVP ==











== , 
confirmando que o transformador ideal não dissipa energia. 
 
N1 N2
+
V1
-
+
V2
-
I1 I2 I2I1
+
V2
-
+
V1
-
N2N1
I2
N1 N2
+
V1
-
+
V2
-
I1 I2 I1
+
V2
-
+
V1
-
N2N1
+
V2
-
+
V1
-
o
25|0
I2
25:1
I1
4
+
-
6jk
-14,4j
1,5k