CALCULO II Roteiro_3

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Faculdade de Engenharia - Câmpus de Ilha Solteira
Departamento de Matemática
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
"Júlio de Mesquita Filho"
 
 
Cálculo Diferencial e Integral II: 2
O
 Semestre de 2013 - Mecânica 
Roteiro 3: A Diferencial de Uma Função 
 
Objetivo: Introduzir o conceito de diferencial de uma função e apresentar aplicações desse 
conceito. 
 
(1) Acréscimos e Diferencial 
Seja y = f(x) uma função real. Sempre podem ser consideradas variações da variável 
independente x. Se x varia de x1 a x2, define-se o acréscimo de x, denotado por x, como 
sendo: 
x = x2 – x1. 
 
A variação em x gera uma variação em y, denotada por y, dada por: 
 
y = y2 – y1 = f(x2) – f(x1) 
Como x2 = x1 + x, tem-se que: 
 
y = f(x2) – f(x1) = f(x1 + x) – f(x1). 
 
 
Figura 1: Acréscimos no gráfico de uma função. 
 
Considere uma função y = f(x) derivável no ponto x e x um acréscimo de x. Até 
aqui a notação 
dx
dy
 tem sido usada como uma simples notação para a derivada de y = f(x), 
isto é: 
)x(f
dx
dy

. 
x 
y 
x2 x1 
f(x2) 
f(x1) 
y 
 
 
 
 
2 
1.1 A Derivada como quociente de acréscimos. 
Pretende-se interpretar 
dx
dy
 como um quociente entre acréscimos. Com este objetivo, 
inicialmente, defina dx como o incremento em x, isto é: 
 
dx = x. 
 
Procura-se uma interpretação para dy. Na figura 1, a seguir, tem-se que: 
 A reta PT é tangente a curva em P; 
 dx = x = med(PM) = PM; 
 a declividade de PT é 
tg
dx
MR
PM
MR
)x(f 
; 
 y = f(x + x) – f(x) = f(x+ dx) – f(x); 
 
 
Figura 2: A reta tangente ao gráfico de uma função. 
 
Quando se observa o acréscimo em x, isto é: 
 
x + x = x + dx, 
 
 esse acréscimo atua na ordenada da reta tangente e na ordenada da função f(x), em f(x + 
x). Denote dy como o acréscimo na ordenada da reta tangente T, correspondente ao 
acréscimo dx em x. Então, tem-se que: 
 
dx
dy
tg
dx
MR
PM
MR
)x(f  
. 
Portanto, 
)x(ftg
dx
dy
 
 ou 
dx)x(fdy 
. (1) 
 x 
 f(x+x) 
 y 
 Q 
 x x + x 
 dy 
 f(x) 
  
 P 
 M 
 R 
 PT 
 
 
 
 
3 
Portanto, a derivada de f(x) em x pode ser então vista como um quociente de acréscimos 
como se pretendia mostrar, isto é: 
)x(ftg
dx
dy
 
. (2) 
Além disso, os acréscimos dx e dy se relacionam através da derivada de f(x), isto é: 
dx)x(fdy 
. (3) 
 
1.2 A Relação entre os acréscimos y e dy. 
Quando se passa de x para x + dx, o acréscimo que a função sofre é dado por: 
 
y = f(x + x) – f(x) = f(x + dx) – f(x). 
 
 Por outro lado, tem-se que: 
)x(f 
 = 
x
y
 lim
0x 

 
. 
 
Problema 1: Mostre que 
0 = x)(x)' f -y ( lim
0x

 
 observando que 
 x(x)' f -y 
 = 





  (x)' f 
x
y 
x 


. 
 
Como conseqüência direta do Problema 1 tem-se que: 
 
y  
x(x)' f 
 (4) 
 para x suficientemente pequeno. 
Mas por (3), tem-se que 
dx)x(fdy 
. Assim, de (4) tem-se que: 
 
y  
dx)x(fdy 
. (5) 
 
 Dessa forma, o acréscimo dy pode ser olhado como um valor aproximado para y. 
 
Figura 3: Os acréscimos dy e y. 
 x 
 y 
 f(x+x) Q 
 x x + x 
 dy 
 f(x) 
  
 P 
 M 
 R 
 
 
 
 
4 
Questão: Quando a aproximação y  
dx)x(fdy 
 é uma boa aproximação? 
Para esta análise, observando a figura anterior, tem-se que: 
 
y = MR + RQ = dy + RQ. 
 
Assim, tem-se que: 
 
RQ = y – dy = erro (6) 
 
Assim, de (5), RQ mede o erro que se comete na aproximação de y e dy. 
Note que se dx  0, o ponto Q aproxima-se do ponto P e então, RQ  0. De (6), o erro 
que se comete nessa aproximação, isto é, 
 
y – dy = RQ 
 
será tanto menor quanto menor for dx. 
 
 
Figura 4: Os acréscimos dy e y. 
 
1.3 A Diferencial da função f(x). 
 
Fixado x, podemos olhar para a função linear que a cada dx  , associa dy  , sendo 
dx)x(fdy 
, isto é: 
(x)dxfdy dx 
 :df 



. 
 
 
 x 
 y 
 f(x+x) Q 
 x x + x 
 dy 
 f(x) 
  P 
 M 
 R 
 Q1 
 
 
 
 
5 
Definição: A função linear que a cada dx  , associa dy  , sendo 
dx)x(fdy 
, é dita 
diferencial de f em x ou diferencial de y = f(x). 
 
Notação: Se y = f(x), então a diferencial de f é df. 
 
Exemplos: 
(a) Mostre que a diferencial de A(r) = r2 é dA = 2rdr.Interprete esse resultado. 
Solução: Segue diretamente da definição que: 
 
dA = 2rdr. 
 
A(r) = r2 fornece a área de um círculo em função de seu raio. dA = 2rdr fornece um 
valor aproximado para o acréscimo A na área A, quando o raio r sofre um acréscimo 
dr. 
 
(b) Seja y = x
2
. Relacione y com dy. 
 
Solução: Tem-se que 
)x(f
dx
dy

 = 2x. 
Assim, a diferencial de y = x
2
 é dada por: 
 
dy = 2x dx. (5) 
 
Por outro lado, 
y = f(x + x) – f(x) = f(x+ dx) – f(x) 
= (x + dx)
2
 – x2, 
 ou seja: 
 
y = 2xdx + (dx)2. (6) 
 
Assim, de (5) e (6), tem-se que: 
y – dy = (dx)2. 
 
(c) Se y = 6x
2
 – 4, x = 2 e x = 0, 001, então: 
(i) Encontre y = f(x1 + x ) – f(x1), exatamente; 
(ii) Fazer uma estimativa de y, usando dy = f ’(x1)dx; 
(iii) Determinar o erro 
dyΔy 
; 
Solução: 
 (i) y = f(x1 + x) – f(x1) = f(2 + 0, 001) – f(2) = 0, 024006. 
(ii) dy = f ’(x)dx = 12x x = 12. 2. 0, 001 = 0, 024. 
(iii) y – dy = 0, 000006. 
 
 Note que esse valor seria menor caso usássemos um valor menor que 0,001 para x. 
 
 
 
 
 
6 
Problema 2: Dados y = x
2
 , x1 = 2 e x= 0,01. 
(a) Encontre y = f(x1 + x ) – f(x1), exatamente; 
(b) Fazer uma estimativa de y, usando dy = f ’(x1)dx; 
(c) Determinar o erro 
dyΔy 
; 
(d) Idem, considerando x1 = 2 e x = 0,001. 
 
Problema 3: Calcular um valor aproximado e avalie o erro para: 
(a) 
1.01
 
(b) 
49,1
 
(c) 
3 5,65
 
(d) (4,012)2. 
 
Problema 4: 
(a) Encontre dy para y = 
2senx xe log
10

; 
(b) Encontre um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 
12m, raio interior 7m e espessura 0,05m. Qual o erro decorrente se a solução é obtida 
usando-se diferenciais? 
 
Teorema: 
(a) d(c) = 0, se c é função constante; 
(b) d(x
n
) n x
n-1
dx; 
(c) d(cu) = cdu; 
(d) d(u + v) = du + dv; 
(e) d(uv) = udv + vdu; 
(f) 
2v
udvvdu
v
u
d







; 
(g) d(u
n
) = nu
n-1
du. 
 
Problema 4: Calcule as diferenciais de 
1x2
1x
y
2



. 
Problema 5: Dado 2x
2
y
2
 – 3x3 + 5y3 + 6xy2 = 5, encontre dy/dx, encontrando a diferencial 
termo a termo.