Espaço Vetorial

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Espaço Vetorial 
Um espaço vetorial é uma estrutura (V,+,.) formada por um 
conjunto V de elementos, uma operação + de adição de 
elementos de V e uma operação . de multiplicação de elementos 
de V por escalares de um corpo K, satisfazendo às propriedades: 
1. Quaisquer que sejam u,v,w V: 
(u+v)+w = u+(v+w) 
2. Existe ö V (elemento nulo) tal que para todo v V: 
ö + v = v 
3. Para cada v V, existe –v V (elemento oposto) tal que 
v+(–v)=ö 
4. Quaisquer que sejam u,v V, segue que 
u+v=v+u 
5. Para todo escalar k K e quaisquer v,w V: 
k.(v+w) = k.v + k.w 
6. Para quaisquer k,m K e todo v V: 
(k+m).v = k.v + m.v 
7. Para quaisquer k,m K e qualquer v V: 
(km).v = k(m.v) 
8. Para qualquer v V tem-se que 
1.v = v 
 
 
Propriedades em um espaço vetorial 
Se V=(V,+,.) é um espaço vetorial sobre um corpo K, valem as 
propriedades: 
1. Para todo k K segue que k.ö=ö. 
2. O vetor nulo ö é único. 
3. Para todo v V tem-se que 0.v=ö. 
4. Para cada v V o vetor oposto –v V é único. 
5. Seja k K e v V. Se k.v=ö então k=0 ou v=ö. 
6. Se v+u=v+w para u,v,w V, então u=w. 
7. Quaisquer que sejam v,w V, existe um único u V tal que 
v+u=w. 
8. Para todo k K e para todo v V segue que: 
(–k).v = –(k.v) = k.(–v) 
9. Para todo k K e para todo v V segue que 
(–k)(–v) = kv 
10. Se k1,k2,…,kn K e v V, então: 
(k1+k2+…+kn)v = k1v + k2v+…+knv 
11. Se k K e v1,v2,…,vn V, então: 
k(v1+v2+…+vn) = kv1 + kv2+…+kvn 
 
 
Exemplos de espaços vetoriais 
1. Todo corpo K é um espaço vetorial sobre o próprio corpo K 
com as operações usuais de adição e multiplicação de K. 
2. O corpo R dos números reais é um espaço vetorial sobre o 
corpo Q dos números racionais com as operações de 
adição e multiplicação de R. 
3. O corpo C dos números complexos é um espaço vetorial 
sobre o corpo R dos números reais com as operações de 
adição e multiplicação de C. 
4. R²={(x,y): x R, y R} é um espaço vetorial sobre R com as 
operações de adição e multiplicação por escalar definidas 
por: 
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) 
k(x,y)=(kx,ky) 
5. Rn={(x1,x2,…,xn): xi R, i=1,2,…,n} é um espaço vetorial sobre 
R com as operações de adição e de multiplicação por 
escalar definidas por: 
(x1,x2,…,xn)+(y1,y2,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn) 
k.(x1,x2,…,xn)=(kx1,kx2,…,kxn) 
6. O conjunto Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n com 
elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre K. 
7. O conjunto Mm×n(K) das matrizes com m linhas e n colunas 
com elementos de um corpo K é um espaço vetorial sobre 
K. 
8. O conjunto Mm×1(K) dos vetores-linhas com elementos de um 
corpo K é um espaço vetorial sobre K. 
9. O conjunto M1×n(K) dos vetores-colunas com elementos de 
um corpo K é um espaço vetorial sobre K. 
10. O conjunto F(R)={f:R R} das funções reais cujo 
domínio é o conjunto dos números reais é um espaço 
vetorial sobre R. 
11. O conjunto P[K] de todas as funções polinomiais da 
forma: 
p(x) = a0 + a1 x + a2 x² +…+ an xn 
onde ai K (i=0,1,2,…,n) é um espaço vetorial sobre o corpo 
K. 
12. O conjunto F([a,b],R)={f:[a,b] R} das funções reais 
cujo domínio é o intervalo fechado [a,b] é um espaço 
vetorial sobre R. 
 
 
Subespaço Vetorial 
Seja (V,+,.) um espaço vetorial sobre um corpo K e S um 
subconjunto não vazio de V. S é um subespaço vetorial de V se S 
for um espaço vetorial, com as operações de adição e 
multiplicação por escalar definidas para V. É comum escrever 
(S,+,.) para um subespaço. 
Para mostrar que (S,+,.) é um subespaço vetorial, podemos 
mostrar que esta estrutura possui as oito propriedades de espaço 
vetorial V ou usar uma das duas caracterizações seguintes: 
 
 
Caracterização de subespaço vetorial 
Teorema I: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um 
subconjunto S é um subespaço vetorial de V se: 
1. S é não vazio. 
2. Se v,w S, então v+w S. 
3. Se k K e v S, então k.v S. 
Teorema II: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um 
subconjunto S é um subespaço vetorial de V se: 
1. O vetor nulo de V pertence ao conjunto S. 
2. Se v,w S e p, q K, então p.v + q.w S. 
Observação: Muitas vezes usamos a palavra subespaço no 
lugar de subespaço vetorial e espaço ao invés de espaço 
vetorial quando não existe possibilidade de dúvida. 
 
 
Exemplos de subespaços vetoriais 
1. O conjunto nulo S={ö} e o próprio espaço vetorial V são 
subespaços (triviais) de V. 
2. O corpo Q dos números racionais é um subespaço do corpo 
R dos números reais. 
3. O corpo R dos números reais é um subespaço do corpo C 
dos números complexos. 
4. Toda reta que passa pela origem de R² é um subespaço de 
R². 
5. Seja A uma matriz de números reais com m linhas e n 
colunas. O conjunto 
H = {x=(x1,x2,…,xn)t Rn: A.x = ö} 
é um subespaço (hiperplano) de Rn. 
6. O conjunto Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n é um 
subespaço de Mm×n(K), o espaço vetorial das matrizes com 
m linhas e n colunas com elementos de um corpo K, se 
n<m. 
7. O conjunto Sn(R) das matrizes simétricas é um subespaço 
de Mn(R). 
8. O conjunto An(R) das matrizes anti-simétricas é um 
subespaço de Mn(R). 
9. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira 
ordenada nula (plano z=0) é um subespaço de R³. 
10. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira 
ordenada igual a 1 (plano z=1) não é um subespaço de R³. 
11. O conjunto P={(x,y,z) R³: 2x+3y–6z=0} (plano 
contendo a origem) é um subespaço de R³. 
12. O conjunto Q={(x,y,z) R³: 2x+3y–6z=12 (plano não 
contendo a origem) não é um subespaço de R³. 
13. O conjunto Cº(R)={f:R R: f é contínua} é um 
subespaço de F(R,R). 
14. O conjunto P3[R] de todas as funções polinomiais com 
coeficientes reais com grau menor ou igual a 3 é um 
subespaço de P[R]. 
15. O conjunto P0 de todas as funções polinomiais com 
coeficientes reais e o grau exatamente igual a 3 não é um 
subespaço de P[R]. 
16. O conjunto F'={f:(a,b) R, f é derivável} é um 
subespaço de F={f:(a,b) R}. 
17. O conjunto C[A]={X Mn(R): AX=XA} das matrizes que 
comutam com A, é um subespaço de Mn(R). 
18. O conjunto S={X M2(R): det(X)=0} das matrizes 
singulares, não é um subespaço de M2(R). 
19. O conjunto Id={X M2(R): X²=X} das matrizes 
idempotentes, não é um subespaço de M2(R). 
Observação: Nem sempre é bom trabalhar com um espaço 
vetorial amplo e às vezes é útil trabalhar com as propriedades 
dos subespaços, mas se tais subespaços são simples também 
não resolvem nossos problemas, assim, são criados outros 
subespaços com operações de adição, interseção ou reunião de 
conjuntos. 
 
 
Combinações lineares 
Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K e C={v1,v2,…,vn} uma 
coleção de vetores em V. Dizemos que um vetor v é combinação 
linear dos elementos de C, se existem escalares k1,k2,…,kn K tal 
que 
v = k1 v1 + k2 v2 +…+ kn vn 
Exemplo: O vetor v=(3,-2,1) R³ pode ser escrito como uma 
combinação linear dos vetores de C={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} pois 
existem escalares k1=5, k2=-3 e k3=1 tal que 
(3,-2,1) = 5(1,0,0) + (-3)(1,1,0) + 1(1,1,1) 
Exercício: Determinar escalares p,q,r R tal que: 
(1,2,3) = p(1,0,0) +q(1,1,0) +r(1,1,1) 
 
 
Conjunto gerado 
Se S é um subconjunto de um espaço vetorial V, definimos o 
conjunto gerado por S, denotado por <S>, como o conjunto de 
todas as combinações lineares de elementos de S. 
 
 
Exemplos de conjuntos gerados 
(1) O conjunto gerado pelo vetor v=(1,2) de R² é a reta que passa 
pela origem de R² e possui a direção do vetor v=(1,2), pois: 
<(1,2)> = {t(1,2): t em R} 
 = {(x,y) em R²: x=1t,y=2t, t real} 
 = {(x,y) em R²: x/1=y/2} 
 = {(x,y) em R²: y=2x} 
(2) O conjunto gerado pelos vetores de R², u=(1,0) e v=(0,1) é 
todo o espaço R², pois: 
<u,v> = {w=xu+yv em R²: x,y em R} 
 = {w=x(1,0)+y(0,1): x,y em R}= {w=(x,0)+(0,y): x,y em R} 
 = {w=(x,y): x,y em R} = R² 
(3) O conjunto gerado pelo vetor v=(1,2,3) de R³ é a reta que 
passa pela origem de R³ e possui a direção do vetor v=(1,2,3), 
pois: 
<(1,2,3)> = {t(1,2,3): t real} 
 = {(1t,2t,3t): t real} 
 = {(x,y,z): x=1t,y=2t,z=3t,t real} 
 = {(x,y,z) em R³: x/1=y/2=z/3} 
(4) O conjunto gerado pelos vetores u=(1,0,0) e v=(0,1,0) de R³ é 
o plano z=0 em R³, pois: 
<u,v> = {w=xu+yv em R³: x,y em R} 
 = {w=x(1,0,0)+y(0,1,0): x,y em R} 
 = {w=(x,0,0)+(0,y,0): x,y em R} 
 = {w=(x,y,0): x,y em R} 
 = {w=(x,y,z) em R³: z=0} 
(5) O conjunto gerado pelos vetores u=(1,0,0), v=(0,1,0) e 
w=(0,0,1) de R³ é todo o espaço R³, pois: 
<u,v,w> ={xu+yv+zw em R³: x,y,z em R} 
 ={x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1): x,y,z em R} 
 ={(x,0,0)+(0,y,0)+(0,0,z): x,y,z em R} 
 ={(x,y,z): x,y,z em R} = R³ 
Em todas as situações acima, os conjuntos gerados sempre 
apresentaram subespaços como resultados. 
 
 
 
Propriedades dos conjuntos gerados 
Sejam S e T subconjuntos de um espaço vetorial V e <S> e <T> 
os seus respectivos conjuntos gerados. É possível mostrar que 
1. <S> é um subespaço de V. 
2. <S>={ö}, onde ö é o vetor nulo de V. 
3. S está contido em <S>. 
4. Se S está contido em T então <S> está contido em <T>. 
5. S=<S> se, e somente se, S é subespaço de V. 
6. <<S>> = <S>. 
 
 
Soma de subespaços vetoriais 
Em um espaço vetorial V, definimos a soma dos seus 
subespaços U e W, denotada por U+W, como o conjunto de 
todos os vetores da forma v=u+w, onde u U e w W, isto é: 
U+W = { u+w : u U; w W } 
Proposição: Se U e W são subepaços de um espaço vetorial V, 
então a soma U+W é um subespaço de V. 
Demonstração: Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V. 
1. O vetor nulo é o mesmo em U, W e V, isto é, öU=öW=ö e 
segue que U+W não é vazio pois contém o vetor nulo ö = 
öU + öW. 
2. Se v'=u'+w' U+W e v"=u"+w" U+W, então: 
v'+v" = (u'+w') + (u"+w") = (u'+u") + (w'+w") U+W 
3. Se v=u+w U+W e k K (corpo), então: 
k v = k (u+w) = k u + k w U+W 
Exemplo: Sejam os subespaços de R³ definidos por: 
U=<(1,0,0),(0,1,0)>={(x,y,0): x R, y R} 
W=<(0,0,1)> = {(0,0,z): z R } 
O conjunto U+W é um subespaço de R³ e na realidade, segue 
que U+W=R³. 
Exercício: Sejam os subespaços de R³ definidos por: 
U=<(1,0,0)> = { x (1,0,0) : x R } 
W=<(0,1,0)> = { y (0,1,0) : y R } 
Mostrar que U+W é o plano z=0, isto é, o subespaço de R³ tal 
que: 
U+W={(x,y,z) R³: z=0} 
 
 
Interseção de subespaços vetoriais 
Em um espaço vetorial V, definimos a interseção dos subespaços 
de U e W, denotada por U W, como o conjunto de todos os 
vetores pertencentes a ambos os subespaços, isto é: 
U W = {v: v U e v W } 
Proposição: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V, 
então a interseção U W é um subespaço de V. 
Demonstração: Sejam U e W subespaços do espaço vetorial V. 
1. O vetor nulo é o mesmo em U, W e V, isto é, öU=öW=ö, 
assim U W é não vazio. 
2. Se v' U W e v" U W, então v' U, v1 W, v" U e v" W, 
assim v'+v" U e v'+v" W e segue que v'+v" U W. 
3. Se k K e v U W, então v U, v W, logo k.v U e k.v W o 
que garante que k.v U W. 
Exemplo: Sejam U e W subespaços vetoriais de R³, definidos por: 
U=<(1,0,0),(0,1,0)> = {(x,y,0): x R, y R } 
W=<(0,0,1)> = {(0,0,z): z R } 
O conjunto U W é um subespaço de R³ e observamos que U W 
={ö} o subespaço nulo. 
Exemplo: Sejam U e W subespaços vetoriais de R³, definidos por: 
U=<{(1,0,0),(0,1,0)}>={(a,b,0): a R, b R } 
W=<{(1,0,0),(0,0,1)}>={(c,0,d): c R, d R } 
Mostrar que U W é o subespaço vetorial de R³, conhecido como 
o Eixo OX. 
Exercício: Se V é um espaço vetorial, exiba subespaços vetoriais 
U e W de V cuja reunião nao seja um subespaço vetorial de V. 
 
 
Soma direta de subespaços 
Se U e W são subepaços de um espaço vetorial V, definimos a 
soma direta de U e W, denotada por U W, como o conjunto de 
todos os vetores que podem ser escritos de uma 
forma única v=u+w, onde u U e w W. 
Teorema caracterizando a soma direta: Sejam U e W subepaços 
de um espaço vetorial V. V=U W se, e somente se, V=U+W e U
W ={ö}. 
Exemplo: Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas reais 
de ordem 2, S o subespaço de V das matrizes simétricas, isto é, 
as matrizes da forma: 
s = 
| 
| 
 x y 
 y z 
| 
| 
e T o subespaço de V das matrizes anti-simétricas, que têm a 
forma geral: 
t = 
| 
| 
 0 w 
-w 0 
| 
| 
Assim V=S T, pois V=S+T e S T={ö}. 
Isto significa que toda matriz quadrada de números reais de 
ordem 2, pode ser decomposta, de forma única, na soma de uma 
matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica. 
Se M é uma matriz quadrada arbitrária de ordem 2, então é 
possível obter uma matriz simétrica M' e uma matriz anti-simétrica 
M", dadas por: 
M' = ½(M + Mt) e M" = ½(M - Mt) 
de modo que existe uma decomposição única para M, isto é, 
M=M'+M". 
Exercício: Seja F={f:R R} o espaço vetorial de funções, F" o 
subespaço de F das funções pares e F' o subespaço de F das 
funções ímpares, isto é, 
F' = { f F: f(-x)=-f(x), x R } 
F" = { f F: f(-x)= f(x), x R } 
Então, F=F" F', pois F"+F'=F e F" F'={0}. 
Sugestão: Se f=f(x) F, escreva f(x)=g(x)+h(x) e mostre que 
g(x)=½(f(x)+f(-x)) e h(x)=½(f(x)-f(-x)). Mostre depois que g=g(x) é 
par e que h=h(x) é ímpar.