Aula 04

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Introdução ao 
Eletromagnetismo
Aula 04
Germano Maioli Penello
14/03/2012
Site do curso
www.if.ufrj.br/~germano/IntroEletro_2012-1.html
germano@if.ufrj.br
Revisão: Campo elétrico
Pelo princípio da superposição, obtivemos:
∑
≠
=
ij
ij2
ij
j
0
ii rˆ
r
q
4
1qF
piε
r
ou ∫= rr
dqqi ˆ4
1F 2
0
i piε
r
E
rE
r
Eqi
rr
=iF
E
r
Revisão: Campo elétrico
∑
≠
=
ij
ij2
ij
j
0
rˆ
r
q
4
1E
piε
r
ou ∫= rr
dqE ˆ
4
1
2
0piε
r
Unidade de : N / CE
r
Cargas pontuais Distribuição de 
cargas
O campo elétrico é um campo vetorial parecido com um 
campo de velocidades em hidrodinâmica.
Enquanto que em hidrodinâmica é necessário que haja 
um meio material, não é necessário a presença de um 
meio para a existência do campo elétrico!
http://twistedphysics.typepad.com/cocktail_party_physics/aerodynamics/
Revisão: Campo elétrico
Devido à presença de uma carga puntiforme, qual o 
campo elétrico no ponto p
qa qb
rˆ
r4
qqF 2
ab0
ba
ba
piε
=
r
rˆ
abr
rˆ
r4
qE 2
ab0
a
piε
=
r
p
Revisão: Campo elétrico
Devido à presença de uma carga puntiforme de carga 
negativa -q, qual o campo elétrico no ponto p
-qa
p
rˆ
rˆ
r4
q
E 2
0piε
=
r
θˆ
Substituindo q por -qa
rˆ
r4
q-E 2
0
a
piε
=
r
Faz sentido?
Revisão: Campo elétrico
Calculando diretamente o campo:
rˆ
Ed
r
r
z
α
r
r
dqEd ˆ
4
1
2
0piε
=
r
Revisão: Campo elétrico
σ+
E
r
E
r
02ε
σ
=E
r
dA
dq
=σ
CAMPO UNIFORME EM TODO O ESPAÇO
Revisão: Campo elétrico
σ−
E
r
E
r
02ε
σ
=E
r
dA
dq
=σ
CAMPO UNIFORME EM TODO O ESPAÇO
Revisão: Campo elétrico
σ−
σ+
Trajetória de um elétron dentro de uma 
TV de tubo de raios catódicos
e-
Revisão: Campo elétrico
Linhas de campo elétrico
Dipolo elétrico
http://www.falstad.com/emstatic/
Par de cargas 
puntiformes de 
mesmo módulo, 
porém de sinais 
contrários
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
+q
d
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
xˆ
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
xˆ
∫= rr
dqE ˆ
4
1
2
0piε
r
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
xˆ
zˆ
)
2
d
-(z4
qE
2
0piε
=+
r
+E
r
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
zˆ
)
2
d
-(z4
qE
2
0piε
=+
r
zˆ
)
2
d(z4
q-E
2
0 +
=
−
piε
r
−
E
r
+E
r
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−+ += EEE
rrr
−
E
r
+E
r
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−+ += EEE
rrr
−
E
r
+E
r
zˆ
)
2
d(z4
q
-
)
2
d
-(z4
qE
2
0
2
0 +
=
piεpiε
r
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−+ += EEE
rrr
−
E
r
+E
r
zˆ
)
2
d(z
1
)
2
d
-(z
1
4
qE
zˆ
)
2
d(z4
q
-
)
2
d
-(z4
qE
220
2
0
2
0










+
−=
+
=
piε
piεpiε
r
r
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−
E
r
+E
r
zˆ
)
2
d(z
1
)
2
d
-(z
1
4
qE
220 









+
−=
piε
r
zˆ
)
2z
d(1
1
)
2z
d
-(1
1
z4
qE
22
2
0 









+
−=
piε
r
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−
E
r
+E
r
zˆ
)
2z
d(1
1
)
2z
d
-(1
1
z4
qE
22
2
0 









+
−=
piε
r
Caso em que d<<2z. 
Dipolo elétrico muito pequeno se 
comparado com a distância.
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−
E
r
+E
r
zˆ
)
2z
d(1
1
)
2z
d
-(1
1
z4
qE
22
2
0 









+
−=
piε
r
Caso em que d<<2z. 
Primeira aproximação:
1)
2z
d(1 =±
0
1
2z
d
<<
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−
E
r
+E
r
0zˆ)(1
1
)(1
1
z4
qE 222
0
rr
=





−=
piε
Caso em que d<<2z. 
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−
E
r
+E
r
0zˆ)(1
1
)(1
1
z4
qE 222
0
rr
=





−=
piε
Caso em que d<<2z. 
Faz sentido?
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−
E
r
+E
r
0zˆ)(1
1
)(1
1
z4
qE 222
0
rr
=





−=
piε
Caso em que d<<2z. 
Faz sentido?
Sim! O campo gerado pela carga 
+q é praticamente igual ao da 
carga –q.
Mas podemos melhorar este 
resultado!
Série de Taylor
Relembrando:
!
)()()(
)(
0 n
af
aondeaxaxf
n
n
n
n
n =−=∑
∞
=
Série de Taylor
Relembrando:
!
)()()(
)(
0 n
af
aondeaxaxf
n
n
n
n
n =−=∑
∞
=
Exemplo:
2)x(1
1)(
+
=xf
Série de Taylor
Relembrando:
!
)()()(
)(
0 n
af
aondeaxaxf
n
n
n
n
n =−=∑
∞
=
Exemplo:
2)x(1
1)(
+
=xf
...)0(
!1
)1()1)(2()0(
!0
1)( 1
0
3
0 +−
−−−
+−=
=
−
x
x
xxf
x
Série de Taylor
Relembrando:
!
)()()(
)(
0 n
af
aondeaxaxf
n
n
n
n
n =−=∑
∞
=
Exemplo:
2)x(1
1)(
+
=xf
...)0(
!1
)1()1)(2()0(
!0
1)( 1
0
3
0 +−
−−−
+−=
=
−
x
x
xxf
x
...21)( ++= xxf
Série de Taylor
Relembrando:
!
)()()(
)(
0 n
af
aondeaxaxf
n
n
n
n
n =−=∑
∞
=
Exemplo:
2)x(1
1)(
+
=xf
...)0(
!1
)1()1)(2()0(
!0
1)( 1
0
3
0 +−
−−−
+−=
=
−
x
x
xxf
x
...21)( ++= xxf
1º termo da expansão 2º termo da expansão
Série de Taylor
Relembrando:
!
)()()(
)(
0 n
af
aondeaxaxf
n
n
n
n
n =−=∑
∞
=
Exemplo:
2)x(1
1)(
+
=xf
...)0(
!1
)1()1)(2()0(
!0
1)( 1
0
3
0 +−
−−−
+−=
=
−
x
x
xxf
x
...21)( ++= xxf
1º termo da expansão 2º termo da expansão
xxf 21)( +≈
Série de Taylor
Relembrando:
!
)()()(
)(
0 n
af
aondeaxaxf
n
n
n
n
n =−=∑
∞
=
Exemplo:
2)x(1
1)(
+
=xf
xxf 21)( +≈
Aproximação de segunda ordem. Desprezaremos 
termos de ordens superiores.
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−
E
r
+E
r
zˆ
)
2z
d(1
1
)
2z
d
-(1
1
z4
qE
22
2
0 









+
−=
piε
r
Caso em que d<<2z. 
2z
d21
2z
d1
1
m≈
±
Fazendo x=d/2z, obtemos:
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−
E
r
+E
r
zˆ
z
d
-1
z
d1
z4
qE 2
0












−





+=
piε
r
Caso em que d<<2z. 
Note que a primeira aproximação 
dá realmente zero! 
Ficamos apenas com o segundotermo da expansão.
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−
E
r
+E
r
zˆ
z
2d
z4
qE 2
0




=
piε
r
Caso em que d<<2z. 
zˆ
z4
2qdE 3
0piε
=
r
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−
E
r
+E
r
Caso em que d<<2z. 
zˆ
z4
2qdE 3
0piε
=
r
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−
E
r
+E
r
Caso em que d<<2z. 
zˆ
z4
2qdE 3
0piε
=
r
Nova grandeza: Momento de dipolo elétrico
dq
rr
=p
pr
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−
E
r
+E
r
Caso em que d<<2z. 
zˆ
z4
2qdE 3
0piε
=
r
Nova grandeza: Momento de dipolo elétrico
dq
rr
=p
O sentido do momento de dipolo é definido 
como saindo da carga negativa para a carga 
positiva! (Não confundir com o sentido do 
campo elétrico!)
pr
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−
E
r
+E
r
Caso em que d<<2z. 
zˆ
z4
2qdE 3
0piε
=
r
Reescrevendo em função do momento de 
dipolo
pr 3
0z2
pE
piε
r
r
=
Dipolo elétrico
Campo elétrico em um ponto situado no eixo de um 
dipolo 
-q
zˆ
+q
d
−
E
r
+E
r
Caso em que d<<2z. 
pr
3
0z2
pE
piε
r
r
=
Campo com dependência de 1/r3!
Relembrando para cargas puntiformes; 
Campo com dependência de 1/r2
.
Qual 
será a dependência do campo elétrico 
de um quadrupolo?
Força sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
Força sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
Analisando a força individualmente nas cargas
Força sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
Analisando a força individualmente nas cargas
+q
-q
Força sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
Analisando a força individualmente nas cargas
+q
-q
xˆ
yˆ
zˆ
DEFININDO EIXOS!
Força sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
Analisando a força individualmente nas cargas
+q
-q
E
rr
qF =
xˆ
yˆ
zˆ
Força sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
Analisando a força individualmente nas cargas
+q
-q
E
rr
qF =
+F
r
xˆ
yˆ
zˆ
Força sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
Analisando a força individualmente nas cargas
+q
-q
−+ += FFF
rrr
+F
r
−
F
rxˆ
yˆ
zˆ
Força sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
Analisando a força individualmente nas cargas
+q
-q
xqExqE
FFF
ˆ)(ˆ −+=
+=
−+
rrr
+F
r
−
F
rxˆ
yˆ
zˆ
Força sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
Analisando a força individualmente nas cargas
+q
-q
+F
r
−
F
r
A força resultante sobre um dipolo elétrico em um 
campo elétrico uniforme é zero!
0
ˆ)(ˆ
r
rrr
=
−+=
+=
−+
xqExqE
FFF
xˆ
yˆ
zˆ
Torque sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
+q
-q
+F
r
−
F
r
Fr
rrr
×=τ
xˆ
yˆ
zˆ
Torque sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
+q
-q
−−++ ×+×= FrFr
rrrrr
τ
+F
r
−
F
r
Fr
rrr
×=τ
xˆ
yˆ
zˆ
Torque sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
+q
-q
−−++ ×+×= FrFr
rrrrr
τ
+F
r
−
F
r
Fr
rrr
×=τ
xˆ
yˆ
zˆ
zFsendzFsend ˆ))(
2
(ˆ))(
2
( φφτ −+−=r
φ
Torque sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
+q
-q
−−++ ×+×= FrFr
rrrrr
τ
+F
r
−
F
r
Fr
rrr
×=τ
xˆ
yˆ
zˆ
zdFsen ˆ)(φτ −=r
φ
zFsendzFsend ˆ))(
2
(ˆ))(
2
( φφτ −+−=r
Torque sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
+q
-q
+F
r
−
F
r
Fr
rrr
×=τ
xˆ
yˆ
zˆ
zdFsen ˆ)(φτ −=r
φ
Torque sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
+q
-q
+F
r
−
F
r
Fr
rrr
×=τ
xˆ
yˆ
zˆ
zdFsen ˆ)(φτ −=r
φ
zdqEsen ˆ)(φτ −=r
Torque sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
+q
-q
+F
r
−
F
r
Fr
rrr
×=τ
xˆ
yˆ
zˆ
zdFsen ˆ)(φτ −=r
φ
zpEsen ˆ)(φτ −=r
Torque sobre um dipolo elétrico
pr
Inserido em uma região com um campo elétrico uniforme
+q
-q
+F
r
−
F
r
Fr
rrr
×=τ
xˆ
yˆ
zˆ
zdFsen ˆ)(φτ −=r
φ
zpEsen ˆ)(φτ −=r
Ep
rrr
×=τ
Experiência
Acabamos de demonstrar que a força exercida em um 
dipolo elétrico inserido em um campo elétrico uniforme é
nula. 
O dipolo apenas sofrerá um torque sob a ação de tal 
campo elétrico.
Como explicar a seguinte experiência?
http://www.youtube.com/watch?v=g9GU3XpiepM