Distribuição Normal

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Distribuição Normal ou Gaussiana
Variáveis Aleatórias Contínuas: são geralmente obtidas através de medições 
ou de leituras de um aparelho e podem assumir valores em um intervalo de 
números reais.
A variável aleatória Normal ou Gaussiana é uma das mais importantes 
variáveis aleatórias contínuas, não só pelo fato de se ajustar bem aos 
resultados de um grande número de experimentos aleatórios, como também 
por desempenhar um papel fundamental no desenvolvimento da inferência 
estatística. 
Exemplo: A glicemia é uma variável aleatória contínua. As figuras abaixo 
mostram a distribuição de freqüências relativas percentuais de 100, 5000 e 
50000 indivíduos normais, com amplitude de classe 3, 1 e 0,5 mg/dl, 
respectivamente
Análise Exploratória de Dados
99969390878481
35
30
25
20
15
10
5
0
Glicemia (mg/dl)
P
o
rc
en
ta
g
em
Figura 1: Glicemia de 100 indivíduos normais
com amplitude de classe de 3 mg/dl
1051009590858075
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Glicemia (mg/dl)
P
o
rc
en
ta
g
em
Figura 2: Glicemia de 5000 indivíduos normais 
com amplitude de classe 1 mg/dl
104,599,093,588,082,577,071,5
4
3
2
1
0
Glicemia (mg/dl)
P
or
ce
n
ta
ge
m
Figura 3: Histograma da glicemia de 50000 indivíduos normais
com amplitude de classe de 0,5 mg/dl
Observa-se que o segundo e o terceiro 
histograma é um refinamento do primeiro, 
que foram obtidos aumentando-se o 
tamanho da amostra e reduzindo-se a 
amplitude das classes.
A variável aleatória considerada neste 
exemplo e muitas outras variáveis da área 
biológica podem ser descritas pelo modelo 
normal ou Gaussiano.
A curva em azul, denominada função 
densidade de probabilidade, é conhecida 
como curva normal ou Gaussiana.
Análise Exploratória de Dados
A função densidade de probabilidade do modelo normal possui as seguintes 
características:
- Tem forma de sino, com caudas assintóticas ao eixo x. Isto significa 
que, teoricamente, os valores de x podem variar de menos infinito (-∞) a 
mais infinito (+∞).
- É simétrica em x = µ → média = mediana = moda 
- A área total sob a curva é 1 ou 100%.
Cada distribuição pode ser completamente especificada por sua média 
µ e seu desvio padrão σ, isto é, estes parâmetros definem precisamente a 
curva que descreve a distribuição.
Análise Exploratória de Dados
Denota-se uma distribuição normal por N(µ, σ).
O achatamento da curva é caracterizado pelo desvio padrão, σ.
Distribuições normais com médias diferentes e variâncias iguais.
Análise Exploratória de Dados
Distribuições normais com médias iguais e variâncias diferentes
Análise Exploratória de Dados
Os intervalos µ ± σ, µ ± 2σ e µ ± 3σ são importantes na caracterização 
da distribuição normal.
9974,0)33(
9544,0)22(
6826,0)(






XP
XP
XP
Análise Exploratória de Dados
Admita, por exemplo, que a glicemia tem distribuição N(90, 5) na população 
de pessoas sadias. Pode-se, então, concluir que:
-Aproximadamente 68% dos indivíduos sadios possuem valores de 
glicemia entre (µ - σ) = 90 – 5 = 85 mg e (µ + σ) = 90 + 5 = 95 mg.
- A glicemia de aproximadamente 95% das pessoas sadias está entre 
(µ - 2σ) = 90 – 10 = 80 e (µ + 2σ) = 90 + 10 = 100 mg.
- Praticamente todos os indivíduos sadios têm valores de glicemia entre 
(µ - 3σ) = 90 – 15 = 75 e (µ + 3σ) = 90 + 15 = 105 mg.
O cálculo de probabilidades é feito através do cálculo da área sob a curva 
normal.
Análise Exploratória de Dados
O cálculo de probabilidades torna-se mais simples se utilizarmos uma 
distribuição padronizada, que independe dos parâmetros µ e σ.
Se a variável aleatória X ~ N(µ, σ), para calcular a P(a ≤ X ≤ b) padroniza-se 
X, isto é, calcula-se a variável aleatória Z da seguinte forma:
Análise Exploratória de Dados
Z é uma variável aleatória normal reduzida ou padronizada e tem média 
0 e desvio padrão 1.
Observe que calcular a probabilidade de a ≤ X ≤ b na curva equivale a 
calcular a probabilidade de z1 ≤ Z ≤ z2 . Essa equivalência pode ser 
observada na figura a seguir:
Análise Exploratória de Dados



 



bzaz 21 e 
 21)( zZzP
bZaPbXaP 




 






Existem diversas tabelas que fornecem áreas sob a curva N(0, 1). A tabela 
a seguir fornece a área entre a média 0 e um valor qualquer de z.
P(0 ≤ Z ≤ z)
Análise Exploratória de Dados
P(0 ≤ Z ≤ 1,00) = 0,3413
P(0 ≤ Z ≤ 0,57) = 0,2157
P(-2,00 ≤ Z ≤ 0) = 0,4772
A distribuição é simétrica, logo 
a P(0 ≤ Z ≤ z) = P(-z ≤ Z ≤ 0)
A área total é igual a 1 e abaixo 
de 0 é igual a 0,5
Análise Exploratória de Dados
Exemplos do uso da tabela:
1) P(Z ≤ 0,32) = P(0 ≤ Z ≤ 0,32) + 0,5 = 0,1255 + 0,5 = 0,6255
tabela
0,5
2) P(1,32 ≤ Z ≤ 1,79) = P(0 ≤ Z ≤ 1,79) – P(0 ≤ Z ≤ 1,32) = 0,4633 – 0,4066
= 0,0567
Análise Exploratória de Dados
3) P(Z > 1,5) = 0,5 – P(0 < Z < 1,5) = 0,5 – 0,4332 = 0,0668
Tabela
Área = 0,5
4) P(-1 < Z < 1) = P(-1 < Z < 0) + P(0 < Z < 1) = 2 P(0 < Z < 1) = 2 . 0,3413 
= 0,6826
Pela simetria P(-1 < Z < 0) = P(0 < Z < 1) 
Análise Exploratória de Dados
5) P(-1 < Z < 2) = P(-1 < Z < 0) + P(0 < Z < 2) = 0,3413 + 0,4772 = 0,8185
6) Qual deve ser o valor de Z tal que, P(Z < z) = 0,975
0,5
0,975 – 0,5 = 0,475
P(0 < Z < z) = 0,475, 
pela tabela z = 1,96
Análise Exploratória de Dados
Suponha que o nível de colesterol (mg/dl) em pessoas sadias de uma 
população tenha distribuição N(225; 37,5).
1) Calcule a probabilidade de se encontrar uma pessoa com nível de 
colesterol
a) inferior a 300 mg/dl
b) superior a 200 mg/dl
c) entre 150 e 300 mg/dl
2) Qual a taxa que deixa abaixo dela 95% dos valores de nível de 
colesterol de pessoas sadias?
Solução: Seja a v.a X 
X: nível de colesterol em pessoas sadias X ~N(225; 37,5) 
9772,04772,05,0)2(
5,37
225300)300() 




 
 ZPZPXPa
7486,02486,05,0)67,0(
5,37
225200)200() 




 
 ZPZPXPb
9544,04772,02)22(
5,37
225300
5,37
225150)300150() 




 


 ZPZPXPc
Análise Exploratória de Dados
2) A taxa que deixa abaixo de si 95% dos valores é o valor x tal que a 
P(X < x) = 0,95 ou, P(Z < z) = 0,95.
0,95 -0,5 = 0,45 = P(0 < Z <z)
Consultando a tabela encontra-se z = 1,64.
5,286
5,37
22564,1  xxxz

