Lista 2 de Cálculo 2

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Universidade Federal de Pelotas
Instituto de F´ısica e Matema´tica
Departamento de Matema´tica e Estat´ıstica
Disciplina: Ca´lculo 2 - Lista: 2 - Profa: Camila Pinto da Costa
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1. Em cada caso, fac¸a a antidiferenciac¸a˜o e verifique o resultado derivando a sua res-
posta.
(a)
∫
(4x+ 3) dx
(b)
∫
3x4dx
(c)
∫
(3u5 − 2u3)du
(d)
∫
x (2x+ 3) dx
(e)
∫
7x3
√
xdx
(f)
∫
1
x3
dx
(g)
∫
2
3
√
x
dx
(h)
∫ (
1
z3
− 3
z2
)
dz
(i)
∫
8x− 5
3
√
x
dx
(j)
∫
y2 + 4y − 4√
y
dy
(m)
∫
x3 − 1
x− 1 dx
(l)
∫ (√
x− 1√
x
)
dx
(n)
∫
(t2 + 3)2
t6
dt
(o)
∫
(3 sin t− 2 cos t)dt
(p)
∫
3
4
cosudu
(q)
∫
7
cscx
dx
(r)
∫
cosx
sin2 x
dx
(s)
∫
sinx
cos2 x
dx
(t)
∫
sec t
cos t
dt
(u)
∫
(4 csc x cotx+ 2 sec2 x)dx
(v)
∫
(2 cot2 θ − 3 tan2 θ)dθ
(x)
∫
3 tan θ − 4 cos2 θ
cos θ
dθ
(z)
∫
(1 + cot2 z) cot z
csc z
dz
2. Seja f(x) = 1 em (−1, 1) e
g(x) =
{
−1, se −1 < x ≤ 0
1, se 0 < x < 1
.
Enta˜o f ′(x) = 0 para todo x em (−1, 1) e g′(x) = 0 em todos os pontos onde g′(x)
exista em (−1, 1). Mas na˜o existe uma constante K tal que f(x) = g(x) +K para
todo x em (−1, 1). Por que o Teorema da diferenc¸a constate na˜o se aplica?
3. Seja
1
f(x) =

−1, se x < 0
0, se x = 0
1, se x > 0
,
e F (x) = |x|. Mostre que F ′(x) = f(x) se x 6= 0. F e´ uma antiderivada de f em
(−∞,+∞)? Explique.
4. Seja f(x) = |x| e F definida por
F (x) =
{
−x2
2
, se x < 0
x2
2
, se 0 ≤ x .
Mostre que F e´ uma antiderivada de f em (−∞,+∞).
5. (a) Mostre que F (x) = 1
6
(3x + 4)2 e G(x) = 3
2
x2 + 4x diferem por uma constante,
verificando que estas sa˜o antiderivadas de uma mesma func¸a˜o.
(b) Enconte uma constante K tal que F (x) − G(x) = K, calculando F (x) e G(x)
em um mesmo ponto x.
(c) Verifique a resposta obtida em (b) simplificando algebricamente a expressa˜o
F (x)−G(x).
6. Resolva a equac¸a˜o diferencial sujeita a`s condic¸o˜es iniciais
(a)f
′
(x) = 12x2 − 6x+ 1 f(1) = 5
(b)
dy
dx
= 4
√
x y = 21 se x = 4.
7. Joga-se uma pedra vertivalmente para cima de um ponto situado a 45m acima do
solo, e com velocidade inicial de 30m/s. Desprezando a resisteˆncia do ar, determine
(a) a distaˆncia de pedra ao solo apo´s t segundos.
(b) o intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe.
(c) o instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante.
2
Respostas:
1. (a) 2x2 + 3x+ C
(b)
3
5
x5 + C
(c)
u6
2
− u
4
2
+ C
(d)
2
3
x3 + 3
2
x2 + C
(e)
14
9
x
9
2 + C
(f) − 1
2x2
+ C
(g) 3x
2
3 + C
(h) − 1
2z2
+
3
z
+ C
(i)
24
5
x
5
3 − 15
2
x
2
3 + C
(j)
2
5
y
5
2 + 8
3
y
3
2 − 8y 12 + C
(l)
2
3
x
3
2 − 2x 12 + C
(m)
x3
3
+
x2
2
+ x+ C
(n) −1
t
− 2
t3
− 9
5t5
+ C
(o) −3 cos t− 2 sin t+ C
(p)
3
4
sinu+ C
(q) −7 cos x+ C
(r) − csc x+ C
(s) sec x+ C
(t) tan t+ C
(u) −4 csc x+ 2 tan x+ C
(v) −2 cot θ − 3 tan θ + θ + C
(x) 3 sec θ − 4 sin θ + C
(z) − csc z + C
2. Basta notar que g na˜o e´ deriva´vel em x = 0.
3. Na˜o, pois f(x) =| x | na˜o e´ deriva´vel em x = 0.
4.
5. K =
16
6
.
6. (a) f(x) = 4x3 − 3x2 + x+ 3 (b) y = f(x) = 8
3
x
3
2 − 1
3
7. Denotando o deslocamento por s, a velocidade por v e a acelerac¸a˜o por a ≈ 9, 8,
devemos resolver a equac¸a˜o s′′ = −9, 8 sujeita as condic¸o˜es iniciais s(0) = 45 e
v(0) = 30, e obtemos:
(a) s(t) = (−4, 9)t2 + 30t+ 45;
(b) t ≈ 3;
(c) v ≈ −42.13 m/s.
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Retirada dos livros:
Anton, H., Brives, I., Stephen, D. Ca´lculo, vol. 1 e 2. 8a ed. Bookman. 2007
Leithold, Louis. O ca´lculo com Geometria Anal´ıtica, vol. 1 e 2. Harbra. 1976.
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