Apostila de Cálculo 2 (parte 1)

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Ca´lculo II - Profa. Camila P. da Costa
7 de maio de 2013
1 Problema de A´rea
Dada a func¸a˜o cont´ınua f na˜o negativa no intervalo [a, b] , achar a a´rea entre o gra´fico de
f no intervalo [a, b] e o eixo x .
Figura 1: A´rea sob a curva.
Ha´, no ca´lculo de a´reas de uma regia˜o, dois me´todos ba´sicos: me´todo do retaˆngulo e da
antiderivada.
1.1 Me´todo do Retaˆngulo para Ca´lculo de A´reas:
A ide´ia e´ a seguinte: dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais e em cada subintervalo
construir um retaˆngulo que se estende desde o eixo x ate´ algum ponto sobre a curva y = f(x)
a qual esta´ acima do subintervalo.
(a) n = 4 (b) n = 25
Figura 2: Me´todos dos retaˆngulos.
A a´rea total dos retaˆngulos e´ uma aproximac¸a˜o a` a´rea sob a curva no intervalo [a, b]. Quando
n cresce, isto e´, o nu´mero de subintervalos aumenta, a a´rea dos retaˆngulos tende a` a´rea exata
sob a curva.
1
Exemplo 1.1.
Encontrar a a´rea da regia˜o R que se encontra acima do eixo x, abaixo da curva f(x) = 1−x2
, e entre as retas verticais x = 0 e x = 1, (ou seja, no intervalo [0, 1]).
Figura 3: A´rea sob a curva f(x) = 1− x2.
1.1.1 Soma Superior
Figura 4: Soma superior.
A Altura de cada retaˆngulo e´ o valor ma´ximo da func¸a˜o f .
1.1.2 Soma Inferior
Figura 5: Soma Inferior.
A Altura de cada retaˆngulo e´ o valor mı´nimo da func¸a˜o f .
2
Com esse procedimento, fica evidente que quando n cresce, estas aproximac¸o˜es va˜o se tornar
cada vez melhores e tender a` a´rea exata como um limite.
Assim, podemos definir a a´rea sob a curva y = f(x) e acima do intervalo [a, b] como o limite
das a´reas dos retaˆngulos aproximantes e usar este mesmo me´todo para aproximar esta a´rea.
Portanto a ideia ba´sica e´ a seguinte:
1. Dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais com comprimento
(b− a)
n
, o qual e´
costume denotar por: ∆x =
b− a
n
.
2. Em cada subintervalo, construir um retaˆngulo cuja altura e´ o valor de f em algum ponto
do subintervalo, denotados por: x∗1, x
∗
2, . . . , x
∗
n
(pontos amostrais).
3. A unia˜o destes retaˆngulos forma uma regia˜o Rn cuja a´rea pode ser vista como uma
aproximac¸a˜o da “a´rea´´ A da regia˜o R.
4. Repetir o processo usando cada vez mais um nu´mero maior de subdiviso˜es.
• A a´rea dos triaˆngulos constru´ıdos sobre estes intervalos sera˜o:
f(x∗1)∆x, f(x
∗
2)∆x, . . . , f(x
∗
n
)∆x
.
• A a´rea total da regia˜o Rn sera´:
a´rea(Rn) = f(x
∗
1)∆x+ f(x
∗
2)∆x+ · · ·+ f(x
∗
n
)∆x
=
n∑
k=1
f(x∗
k
)∆x
5. Definir a a´rea de R como sendo um limite das a´reas das regio˜es aproximantes Rn, isto e´,
A = a´rea(R) = lim
n→+∞
[a´rea(Rn)]
ou, na notac¸a˜o de somato´rio:
A = lim
n→+∞
n∑
k=1
f(x∗
k
)∆x
Definic¸a˜o 1.1. A´rea sob a Curva
Se a func¸a˜o f for continua em [a, b] e f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b], enta˜o a a´rea sob a
curva y = f(x) no intervalo [a, b] e´ definida por: A = lim
n→+∞
n∑
k=1
f(x∗
k
)∆x.
OBS: Para encontrar os pontos amostrais x∗
k
, num subintervalo [xk−1, xk], temos:
• Extremo Esquerdo: x∗
k
= xk−1 = a+ (k − 1)∆x
• Extremo Direito: x∗
k
= xk = a+ k∆x
• Ponto Me´dio: x∗
k
=
xk−1 + xk
2
= a+
(
k −
1
2
)
∆x
3
2 A Integral Definida
O tipo de limite que vimos na definic¸a˜o (1.1) ocorre em diversas situac¸o˜es, elas surgem no
processo de encontrar a´reas sob curvas, volume de so´lidos, centros de massas, forc¸as devido
a` pressa˜o da a´gua, trabalho,... Daremos portanto, a esse tipo de limite um nome e notac¸a˜o
especiais.
Definic¸a˜o 2.1. Integral Definida Se f e´ uma func¸a˜o continua definida em [a, b], dividimos
o intervalo [a, b] em n subintervalos de comprimentos iguais ∆x = (b − a)/n. Sejam x0(=
a), x1, x2, . . . , xn(= b) os extremos desses intervalos e vamos escolher os pontos amostrais
x∗1, x
∗
2, . . . , x
∗
n
nesses subintervalos de forma que x∗
k
esta´ no k-e´simo subintervalo [xk−1, xk].
Enta˜o a integral definida de f de a ate´ b e´
∫
b
a
f(x)dx = lim
n→+∞
n∑
k=1
f(x∗
k
)∆x.
Quando a f e´ cont´ınua e positiva a soma de Riemann pode ser interpretada como uma soma
de a´rea de retaˆngulos aproximantes. A integral definida
∫
b
a
f(x)dx pode ser interpretada como
a a´rea sob a curva y = f(x) de a ate´ b.
Se f(x) na˜o for positiva, enta˜o a integral definida na˜o e´ igual a a´rea no sentido usual, mas
podemos interpreta´-la como uma a´rea com sinal entre o gra´fico e o eixo x.
Se f assumnir valores positivos e negativos, enta˜o a soma de Riemann e´ a soma das a´reas
dos retaˆngulos que esta˜o acima do eixo x e o negativo das a´reas dos retaˆngulos que esta˜o abaixo
do eixo x.
Quando tomamos o limite dessas somas de Riemann obtemos a integral definida que pode
ser interpretada como a a´rea l´ıquida, isto e´, a diferenc¸a das a´reas.
A´rea L´ıquida = a´rea acima − a´rea abaixo
de uma regia˜o do eixo x do eixo x
Figura 2.1.
∫
b
a
f(x)dx =
∫
c
a
f(x)dx+
∫
b
d
f(x)dx−
∫
d
c
f(x)dx
Exemplo 2.1.
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4
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2.1 Soma de Riemann
Vejamos algumas fo´rmulas e regras para trabalhar com a notac¸a˜o somato´ria:
• 1.
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
2.
n∑
k=1
k2 =
n(n+ 1)(2n+ 2)
6
3.
n∑
k=1
k3 =
[
n(n+ 1)
2
]2
4.
n∑
k=1
c = nc
5.
n∑
k=1
cak = c
n∑
k=1
ak
6.
n∑
k=1
(ak + bk) =
n∑
k=1
ak +
n∑
k=1
bk
7.
n∑
k=1
(ak − bk) =
n∑
k=1
ak −
n∑
k=1
bk
Exemplo 2.2.
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5
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6
3 Integrabilidade
Definic¸a˜o 3.1. Dizemos que uma func¸a˜o f e´ Riemann Integra´vel ou, simplesmente integra´vel
em um intervalo fechado [a, b] se o limite:
∫
b
a
f(x)dx = lim
max ∆x→0
n∑
k=1
f(x∗
k
)∆xk
existir e na˜o depender da escolha da partic¸a˜o ou dos pontos amostrais x∗
k
no subintervalo.
3.1 Propriedades da Integral Definida
1. Se a existir no domı´nio da f , enta˜o
∫
a
a
f(x)dx = 0.
2. Se f for integra´vel em [a, b], enta˜o:
∫
b
a
f(x)dx = −
∫
a
b
f(x)dx.
Se f e g forem integra´veis em [a, b] e se c for uma constante, enta˜o cf , f + g e f − g sa˜o
integra´veis em [a, b] e:
3.
∫
b
a
c dx = c(b− a)
Figura 3.1.
4.
∫
b
a
cf(x)dx = c
∫
b
a
f(x)dx.
PROVA:
7
5.
∫
b
a
[f(x) + g(x)]dx =
∫
b
a
f(x)dx+
∫
b
a
g(x)dx.
PROVA:
6.
∫
b
a
[f(x)− g(x)]dx =
∫
b
a
f(x)dx−
∫
b
a
g(x)dx.
PROVA:
7. Se f for integra´vel em um intervalo fechado contendo os treˆs pontos a, b e c, enta˜o:
∫
b
a
f(x)dx =
∫
c
a
f(x)dx+
∫
b
c
f(x)dx.
PROVA:
8
8. Propriedades comparativas da Integral:
(a) Se f for integra´vel em [a, b] e f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b], enta˜o
∫
b
a
f(x)dx ≥ 0.
Figura 3.2.
(b) Se f e g sa˜o integra´veis em [a, b] e f(x) ≥ g(x) ∀x ∈ [a, b] enta˜o
∫
b
a
f(x)dx ≥
∫
b
a
g(x)dx.
Figura 3.3.
(c) Se m ≤ f(x) ≤M para a ≤ x ≤ b, enta˜o:
m(b− a) ≤
∫
b
a
f(x)dx ≤M(b− a).
PROVA:
9
Teorema 3.1. Teorema do Valor Me´dio para Integrais
Se f for cont´ınua em um intervalo [a, b] enta˜o ha´ pelo menos um nu´meor x∗ em [a, b] tal
que:
∫
b
a
f(x)dx = f(x∗) · (b− a).
PROVA:
10
3.2 Condic¸o˜es para integrabilidade
Definic¸a˜o 3.2. Dizemos que uma func¸a˜o f e´ limitada em um intervalo I se existir um M
positivo tal que:
−M ≤ f(x) ≤M ∀x ∈ I.
Geometricamente, isso significa que o gra´fico de f no intervalo I fica entre as retas y = −M
e y = M .
Figura 3.4.
Teorema 3.2. Sejaf uma func¸a˜o definida em todos os pontos de um intervalo [a, b].
(i) Se f for cont´ınua em [a, b] enta˜o f e´ integra´vel em [a, b].
(ii) Se f tiver um nu´mero finito de descontinuidade em [a, b] mas for limitada em [a, b] enta˜o
f e´ integra´vel em [a, b].
(iii) Se f na˜o for limitada em [a, b] enta˜o f na˜o e´ integra´vel em [a, b].
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