Números Índices

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Métodos Estatísticos Aplicados à Economia I
(GET00117)
Números Índices
Ana Maria Lima de Farias
Departamento de Estatística
Agosto 2015
Sumário
Índices Simples	1
Introdução........................................... 1
Relativos ........................................... 1
 
Taxadevariação....................................... 2
 
Critériosdeavaliaçãodafórmuladeumíndice .................... 4
 
Elosderelativoerelativosemcadeia.......................... 6
 
Mudançadebase ...................................... 6
Índices agregativos simples	9
 
Índiceagregativosimples(Bradstreet).......................... 9
 
Índicedamédiaaritméticasimples(índicedeSauerbeck).............. 10
 
Índicedamédiaharmônicasimples ........................... 10
 
Índicedamédiageométricasimples ........................... 11
 
Propriedadesdosíndicesagregativossimples..................... 13
Identidade ...................................... 13
 
Reversibilidade ................................... 13
 
Circularidade .................................... 14
 
Decomposiçãodascausas............................. 15
 
Resumodaspropriedadesdosíndicesagregativossimples......... 15
 
Relaçõesentreíndicesagregativossimples ...................... 15
Índices agregativos ponderados	17
i
ii	SUMÁRIO
 
3.1 ÍndicedeLaspeyresouíndicedaépocabase ..................... 17
 
3.1.1 ÍndicedeLaspeyresdepreço........................... 18
 
3.1.2 ÍndicedeLaspeyresdequantidade ....................... 18
 
3.2 ÍndicedePaascheouíndicedaépocaatual ...................... 19
 
3.2.1 ÍndicedePaaschedepreços ........................... 19
 
3.2.2 ÍndicedePaaschedequantidade ........................ 20
 
3.3 ÍndicedeFisher ....................................... 21
 
3.4 ÍndicedeMarshall-Edgeworth .............................. 21
 
3.5 ÍndicedeDivisia....................................... 22
 
3.6 Propriedadesdosíndicesagregativosponderados .................. 25
3.6.1 Identidade ...................................... 25
 
3.6.2 Reversibilidade ................................... 26
 
3.6.3 Circularidade .................................... 27
 
3.6.4 DecomposiçãodasCausas ............................ 27
 
3.7 Relaçõesentreíndices ................................... 29
 
3.7.1 LaspeyresePaasche................................ 29
 
3.7.2 Fisher,LaspeyresePaasche ........................... 31
 
3.7.3 Marshall-Edgeworth,LaspeyresePaasche .................. 33
Mudança de base	35
Métodoprático........................................ 35
 
Conjugaçãodesériesdeíndices ............................. 36
Deflacionamento e poder aquisitivo	39
Introdução........................................... 39
Deflator ............................................ 40
 
Poderaquisitivo ....................................... 46
Exercícios propostos	49
SUMÁRIO	iii
Solução dos exercícios propostos	59
Capítulo 1
Índices Simples
1.1	Introdução
	índice	número índice
	Deformasimplificada,podemosdizerqueum	ou	éumquociente
queexpressaavariaçãorelativaentreosvaloresdequalquermedida.Maisespecificamente, iremoslidarcomíndicesquemedemvariaçõesverificadasemumadadavariávelaolongodo tempo
.
Quandolidamoscomgrandezassimples(umúnicoitemouvariável),oíndiceéchamado
índice simples ;poroutrolado,quandopretendemosfazercomparaçõesdeumconjuntode
	índice sintético	índice
produtosouserviços, estamoslidandocomoqueéchamado	ou
composto
. énestesegundocasoquetemosapartemaiscomplexadoproblema,umavez
quedesejamos“umaexpressãoquantitativaparaumconjuntodemensuraçõesindividuais,
paraasquaisnãoexisteumamedidafísicacomum”.
Nestasnotasdeaula,serádadaênfaseaosíndiceseconômicos,queenvolvemvariações depreços,quantidadesevaloresaolongodotempo. Muitoscomentárioseobservações serãofeitostomando-seopreçocomoexemplo,mastaiscomentárioseobservaçõesanálogos tambémserãoválidosparaquantidadesevalores.
1.2	Relativos
	relativos	índices simples
	Os	,ou	fazemcomparaçãoentreduasépocas–épocaatuale
épocabase–paraumúnicoproduto.
1.Relativodepreço p	pt ospreçosnaépocabaseenaépocaatual(deinteresse),define-se
Denotandopor 0 e
p ,t -como: pt
orelativodepreço- 0
	p0,t = p	(1.1)
0
1
The problem of index numbers
	Ragnar Frisch (1936).	, Econometrica.
2.Relativodequantidade
	q	qt asquantidadesnaépocabaseenaépocaatual
Analogamente,denotandopor 0 e
q ,t –como: (deinteresse),define-seorelativodequantidade– 0
qt
	q0,t = q	(1.2)
0
3.Relativodevalor
Valelembrarque
×
	Valor=Preço Quantidade	(1.3)
	orelativodevalor– 0 –como:	vt
v ,t = v
0
0
Dasdefiniçõesacima,podemosverque:
	(1.4)
	v ,t = vt = pptqqt = ppt × qqt = p0,t × q0,t v
0
	0	0	0	0	0
	(1.5)
v	vt osvaloresnaépocabaseenaépocaatual(deinteresse),define-se Denotandopor 0 e v ,t
Orelativodepreçocomparaospreçosnosdoisperíodos;comoestãosendocomparadas
	,	∞
grandezaspositivas,osvalorespossíveisdosrelativosestãonointervalo(0+ ). Valores menoresque1indicamqueopreçoatualémenorqueopreçobase;valoresmaioresque1 indicamquepreçoatualémaiorqueopreçobasee,finalmente,umrelativoiguala1indica
queopreçoatualéigualaopreçobase.
p ,t fazacomparaçãoentreopreçonomês t comrelação
Atenteparaanotação: 0 aopreçonomês0;definiçõesanálogaspara q0,t e v0,t. Então,oprimeirosubscritoindica operíodobaseeosegundosubscrito,operíodo“atual”. Essasnotaçõespodemvariarem
diferenteslivros;assim,éimportanteprestaratençãonasdefiniçõesapresentadas.
1.3	Taxa de variação
Podemosavaliar,também,adiferençaentreospreçosnasépocasatualebase,ouseja,a diferença pt −p0.Essadiferençamedea variação absoluta depreçosentreosdoisinstantes.
Considere,agora,doisbenscujospreçosnaépocabaseeram10e1000,respectivamente, ecujavariçãoabsolutadepreçosfoide10. Issosignificaqueoprimeiroprodutopassou acustar20eosegundo,1010. Ouseja,oprimeirodobroudepreço,enquantoosegundo variação relativa
teveumaumentode1%. Issonoslevaànecessidadedeumamedidade	. variação relativa	taxa de variação
Definimos,então,a	ou	como p	pt − p0
	%= p	(1.6)
0
queénormalmenteapresentadaemformapercentual,ouseja,multiplica-seovalorpor100. Notequenonumeradortemosavariaçãoabsolutadepreços.Definiçõesanálogasvalempara quantidadeevalor.
1.3. TAXADEVARIAÇÃO
Podemosescrever,também pt
	p%= p	− 1= p0,t − 1	(1.7)
0
eissonosdáarelaçãoentreataxadevariaçãoeorelativo.
EXEMPLO 1.1
Preçodearroz
Natabelaaseguirtemosopreço(emunidadesmonetárias,u.m.)eaquantidade(em
kg)dearrozconsumidaporumafamílianoúltimotrimestrededeterminadoano:
	
	Outubro
	Novembro
	Dezembro
	
	Preço Quant.
	Preço Quant.
	Preço Quant.
	Arroz(kg)
	2	5
	2	8
	3	8
	
	×
	×
	×
	Valor	2 5=	2 8=16	3 8=24
	p	2 ,
O,N = =10
2
	q	8 ,
O,N = =16
5
	p	3 ,
O,D = =15
2
	q	8 ,
O,D = =16
5
TomandoOutubrocomobase,temososseguintesrelativos:
NãohouvevariaçãodepreçosentreNovembroeOutubro,istoé,opreçodeNovembroéigual aopreçodeOutubro,masopreçodeDezembroéumavezemeiaopreçodeOutubro,oque correspondeaumaumentode50%–essaéataxadevariaçãodospreçosnoperíodoem
questão,obtidadeacordocomaequação(1.7):
	,	−	×
50%=(15 1) 100%
Comrelaçãoàquantidade,tantoemnovembrocomoemdezembro,houveumaumento
de60%comrelaçãoaoutubro.
Osrelativossão,emgeral,apresentadosmultiplicadospor100. Assim,assériesde
relativosdepreçoequantidadecombaseOutubro=100são:
	Relativos-Out=100
	Out
	Nov
	Dez
	Preço
	100
	100
	150
	
	
	
	
	Quantidade	100 160 160
Comrelaçãoaovalor,temosque
	v	16 ×	,	×	,	×	p	× q	×
O,N =100=160=10 16 100= O,N	O,N 100 10
	v	24 ×	,	×	,	×	p	× q	×
	O,D =	100=240=15 16 100= O,D	O,D 100
10
SemudarmosabaseparaDezembro,teremos: p
	p	O 2 ,	⇒ p	,	−	×	−	,
D,O = p = =06667 % =(06667 1) 100= 33 33%
D 3
p
N 2 ,	⇒ p	,	−	×	−	,
D,N = p = =06667 % =(06667 1) 100%= 3333%
3
q
O 5 ,	⇒ q	,	−	×	−	,
D,O = q = =0625 % =(0625 1) 100%= 375%
8
q
	q	N 8 ⇒ q	−	×
D,N = q = =1 % =(1 1) 100%=0%
D 8
1.4	Critérios de avaliação da fórmula de um índice
Osrelativossatsifazemumasériedepropriedades,quesãopropriedadesdesejadas
ebuscadasquandodaconstruçãodefórmulasalternativasdenúmerosíndices.Vamos
I ,t umíndicequalquer–podeserumrelativodepreçoouumíndicede representarpor 0 preçosqualquer,porexemplo(nasseçõesseguintesveremosadefiniçãodeoutrosíndices).
Aspropriedadesideaisbásicassão:
1.Identidade
	It,t =1	(1.8)
Seadata-basecoincidircomadataatual,oíndiceésempre1(ou100,nocasodese trabalharcombase100).
2.Reversão(ouinversão)notempo
	I0,t = It,1 ⇔ I0,t × It,0 =1	(1.9)
0
Invertendo-seosperíodosdecomparação,osíndicessãoobtidosumcomooinversodo
outro.
3.Circular
	I0,1 × I1,2 × I2,3 × · · · × It−1,t = I0,t	(1.10)
Seointervalodeanáliseédecompostoemváriossubintervalos,oíndicepodeserobtido comooprodutodosíndicesnossubintervalos. Apropriedadecircularéimportante noseguintesentido: seumíndiceasatisfazeseconhecemososíndicesnasépocas todo o período
	intermediárias,oíndicede	podesercalculadosemquehajanecessidade
derecorreraosvaloresquederamorigemaoscálculosindividuais. Noteque,como
decorrênciadestapropriedade,podemosescrever:
	I0,t = I0,t−1 × It−1,t	(1.11)
Seoíndicesatisfizertambémoprincípiodereversibilidade,então(1.10)éequivalente
a
I0,1 × I1,2 × I2,3 × · · · × It−1,t × It,0 =1
1.4. CRITÉRIOSDEAVALIAÇÃODAFÓRMULADEUMÍNDICE
4.Decomposiçãodascausas(oureversãodosfatores)
Denotandopor IV , IP e IQ osíndicesdevalor,preçoequantidaderespectivamente,o critériodadecomposiçãodascausasrequerque
	IV = IP × IQ	(1.12)
5.Homogeneidade
Mudançasdeunidadenãoalteramovalordoíndice.
6.Proporcionalidade
Setodasasvariáveisenvolvidasnoíndicetiveremamesmavariação,entãooíndice resultanteteráamesmavariação.
Todasessaspropriedadessãosatisfeitaspelosrelativos.Defato:
	identidade
	p pt,t = ptt =1
	• reversibilidade
	p
pt, = p0t = p1t
0 p
0
	•
circular
	p
p ,t = pt = pt−t	× pptt−−1 × · · · × pp2 × pp1
0	p
	0	1	2	1	0
	• decomposiçãodascausas p ,t × q ,t = pt × qqt = ppt qqt = vvt p
	0	0
	0	0	0	0	0
•
Mudançasdeunidadeenvolvemmultiplicaçãoporumaconstante(quiloparatonelada, reaisparamilhõesdereais,etc).Taisoperaçõesnãoalteramovalordorelativo,umavezque numeradoredenominadorsãomultiplicadospelomesmovalor.
EXEMPLO 1.2
	p	2
O,N =
2
p	3
N,D =
2
	
	, 	p
=10
	⇒ p	,	×	,	,	D
O,D =10 15=15= p
	, 	O
=15
	3
=
2
	q	8
O,N =
5
q	8
N,D =
	
	, 	p
=16
	⇒ q	,	×	,	,	D
	8
	
	O,D =16 10=16= p =
	, 	O 5
=10
	8
Preçodearroz–continuação
1.5	Elos de relativo e relativos em cadeia
Na apresentação da propriedade circular, aparecem índices envolvendo épocas elos de relativos
adjacentes.Nocasoderelativos,taisrelativossão,àsvezes,denominados	,
ouseja,oselosrelativosestabelecemcomparaçõesbináriasentreépocasadjacentes pt	qt	vt
	pt−	qt−	vt−
	1	1	1
Amesmapropriedadecircularenvolveamultiplicaçãodessesíndices;paraosrelativos, relativos em cadeia
taloperaçãoédenominada	ecomoapropriedadecircularésatisfeita
pelosrelativos,talmultiplicaçãoresultanorelativodoperíodo.
	p ,	p ,	p ,	. . .	pt− ,t
	elosrelativos:	1 2	2 3	3 4	1
	p ,	× p ,	× p ,	× · · · × pt− ,t = p1,t
	relativosemcadeia:	1 2	2 3	3 4	1
EXEMPLO 1.3
Natabelaaseguirtemosdadosdepreçopara5anosecalculam-seoselosderelativoseos
relativosemcadeia,anoaano.
	Ano
	Preço
	Elosrelativos t/pt−1 p
	Relativosemcadeia
	1
	200
	
	
	
	2
	250
		/	,
250200=125
		,	p
125= 1,2
	
	3
	300
		/	,
300 250=120
		,	×	,	,	p
12 125=15= 1,3
	
	4
	390
		/	,
390 300=130
		,	×	,	×	,	,	p
12 125 13=195= 1,4
	
	
	
		/	,
		,	×	,	×	,	×	,	,
	p ,
	5 468 468 390=120	12 125 13 12=234= 1 5
oqueestáemconcordânciacom:
	Ano
	Relativodepreço
Base:Ano1=100
	1
	100
	2
		×	/	⇒
100 250 200=125 25%
	3
		×	/	⇒
100 300 200=150 50%
	4
		×	/	⇒
100 390 200=195 95%
	
		×	/	⇒
5 100 468 200=234 134%
1.6	Mudança de base
Considereaseguintesériederelativosdepreçocombase100em2010:
	Ano
	2010 2011 2012 2013 2014
	
	
Relativo 100 110 115 116 118
1.6. MUDANÇADEBASE
Issosignificaque
	p	p	p	p
	11	,	12	,	13	,	14	,
p =11 p =115 p =116 p =118
	10	10	10	10
Suponhamos,agora,quequeiramoscolocaressasériecombaseem2014,paraatualizar
osistemadecomparação.Comoproceder?Naverdade,oquequeremosé
pt
	,	t	,	,	,
	p	=10111213
14
Comoosrelativossatisfazemaspropriedadesdereversãoecircular,temosque: p	p	,
	14
p
10
	10 14
	10 14 118
	p	p	p
11	11 ×	10
p = p	p =
14	10	14
	p	,	×
10 11
	1 p	,
14 10
		p	, 110
10 11
= p	, =118
10 14
	p	p	p
12	12 ×	10
p = p	p =
14	10	14
	p	,	×
10 12
	1 p	,
14 10
		p	, 115
10 12
= p	, =118
10 14
	p	p	p
13	13 ×	10
p = p	p =
14	10	14
	p	,	×
10 13
	1 p	,
14 10
		p	, 116
10 13
= p	, =118
10 14
	p	p	p
14	14 ×	10
	p	×
	1
		p	, 118
10 14
= p	, =118
10 14
	p = p	p = 10,14	p	,
14	10	14	14 10
	
10 1 1 10 10 100 p = p14 = p , = p , =
Logo,asériederelativosnanovabaseéobtidadividindo-seasérieoriginalpelovalor
dorelativonoanodabasedesejada.
NaTabela1.1ilustra-seoprocedimentogeraldemudançadebasedeumasériede
relativos.
Tabela 1.1
–Procedimentodemudançadebaseparasériederelativos
	Período
	Relativo
	
	t
Base: 1 =1
	t
Base: 2
	=1
	1
	pt ,
1 1
	pt ,
2 1
	pt ,
1 1
= pt2,t1
	
	.
.
. t
1
	.
.
.
pt1,t1 =1
	pt2,t1
	.
.
.
pt1,t1
= pt2,t1
	1 = pt2,t1
	.
.
. t
2
	.
.
	pt2,t1
.
	pt2,t2
	.
.
pt2.,t1
= pt2,t1
	=1
	.
.
.
T
	.
.
.
pt ,T
1
	pt ,T
2
	.
.
pt .,T
1
= pt2,t1
	
2	CAPÍTULO1. ÍNDICESSIMPLES
10	CAPÍTULO1. ÍNDICESSIMPLES
9
Capítulo 2
Índices agregativos simples
Consideremos agora a situação em que temos mais de um produto e estamos todos
interessados em estudar variações de preços ou quantidade para	os produtos
conjuntamente.
Vamosutilizaraseguintenotação:
pit, qit, vti -preço,quantidadeevalordoproduto i nomês t;
pi ,t, qi ,t, vi,t -relativosdepreço,quantidadeevalordoproduto i nomês t combase
	0	0	0
	t	.
em =0
	i	n
Notequeosobrescrito indicaoproduto;vamosassumirquetemos produtos.
2.1	Índice agregativo simples (Bradstreet)
Umaprimeiratentativapararesolveroproblemadeagregaçãodeprodutosdiferentes foioíndiceagregativosimples,queéarazãoentreopreço,quantidadeouvalortotalna
épocaatualeopreço,quantidadeouvalortotalnaépocabase.Maisprecisamente,
	n
P pit
	n
P pit
i
p1
	PA0,t = pt1 + pp2t2 + · · ·· · · + ppntn = iP=1n	i = P=1nnpi = ppt
+ + + p 0 0 0 i 0 0
	i	0
=1
	n
	n
P qit
	n
P qit
i
=1 QA0,t = qt1 + qq2t2 + · · ·· · · + qqntn = iP=1n	i = P=1nnqi = qqt
q1
	+ + +	q
	0	0	0	i	0	0
	i=1	0	=1n
9
v
	VA0,t = vt11 + vvt22 + · · ·· · · + vvtnn	=1=
n
P
i
=1
v
i
t
n
P
i
=1
v
i
0
=
n
P
i
v
i
t
n
n
P
i
=1
v
i
0
n
=
v
t
v
0
+ + +
	0	0	0
Então,oíndicedeBradstreetéumrelativodasmédiasaritméticassimples.
OíndicedeBradstreettemsériaslimitações,aprincipalsendoofatodeseestar somandopreçosouquantidadesexpressosemdiferentesunidades.Tallimitaçãofazcomque oíndicedepreçoouquantidadedeBradstreetnãosejaútilnaprática,sendoapresentadoaqui porrazõeshistóridasetambémpelofatodeoíndicedevalornãoapresentaresseproblema, umavezquetodososvaloresestãoexpressosnamesmaunidademonetária. Naverdade, esseéoíndiceusadoparacompararvaloresemdiferentesépocas,independentedecomose
calculamosíndicesdepreçoequantidade,ouseja,oíndicedevalorédefinidocomo
n
P pitqit
	Vt	i
	V0,t = V0 =P=1n pi qi	(2.1)
	i	0	0
=1
Uma solução para resolver a limitação do índice agregativo de Bradstreet foi a propostadesetrabalharcommédiasdosrelativosdepreçoequantidade,quesãonúmeros
adimensionais.
2.2	Índice da média aritmética simples (índice de Sauerbeck)
Sauerbeckpropôsquesetrabalhassecomamédiaaritméticadosrelativos,dando
origemaosseguintesíndices:
p0,t -índicedepreçobaseadonamédiaaritméticasimplesdosrelativos
n
	p1	p	P pi ,t
	p0,t = 0,t + 02,t n+ · · · + p0n,t = i=1n 0	(2.2)
q0,t -índicedequantidadebaseadonamédiaaritméticasimplesdosrelativos
n
P
	q1,t + q20,t + · · · + qn0,t	i=1 qi0,t
	q0,t = 0	n	= n	(2.3)
2.3	Índice da média harmônica simples
Amesmaidéiaseaplica,trabalhandocomamédiaharmônicadosrelativos.
2.4. ÍNDICEDAMÉDIAGEOMÉTRICASIMPLES
pH0,t -índicedepreçobaseadonamédiaharmônicasimplesdosrelativos1	1 · · ·
	p0H,t = p1,t	p02,t n	0,t	iP=1np1i0,t	iP=1npp0ti	iP=1n t,0	(2.4)1
n
=
n
=
n
i
=
n
p
i
+ + + p
0
qH,t -índicedequantidadebaseadonamédiaharmônicasimplesdosrelativos
0
	1	1 · · ·
	q0H,t =	n	iP=1nq1i0,t	iP=1nqq0it	iP=1nqt,0	(2.5)1
n
=
n
=
n
i
=
n
i
q1,t + q20,t + + q0,t
0
2.4	Índice da média geométrica simples
Aquiconsidera-seamédiageométricadosrelativos.
pG,t -índicedepreçobaseadonamédiageométricasimplesdosrelativos
0 0,t =spp1t1 pp2t2 pnn =vuutn Yn pi0,t (2.6) pG n × × · · · × pt
	0	0	0	i=1
qG,t -índicedequantidadebaseadonamédiageométricasimplesdosrelativos
0
	,t
0 =
		q1	q2	qn =t 0,t
	0	0	0	i=1
	(2.7)
	sq1t	q2t	n vuun Yn qi
	qG	n	×	× · · · × qt
EXEMPLO 2.1
Considereosdadosdatabelaaseguir,emquetemospreços(emunidadesmonetárias)
equantidadesdetrêsprodutosemtrêsinstantesdetempoconsecutivos:
	Produto
	t
1
	t
2
	t
3
	
	P Q
	P Q
	P Q
	Carne(kg)
	8,50 10
	8,50 12
	9,00 15
	Feijão(kg)
	1,20 5
	1,80 6
	1,80 7
	
	
	
	
Pão(unid.) 0,10 200 0,12 220 0,14 240 t
Vamoscalcularosíndicesdepreço,quantidadeevalor,combase 1 =100,baseadosnastrês
médiasvistas.
Osvaloresgastoscomcadaprodutoestãocalculadosnatabelaabaixo.
	
	Valor
	
	t
1
	t
2
	
	t
3
	
	Carne
	, × 85 10=85
		,	×	,
85 12=1020
	
	×
9 15=135
	
	Feijão
		,	×
12 5=6
		,	×	,
18 6=108
	
		,	×	,
18 7=126
	
	Pão
	, × 01 200=20
		,	×	,
012 220=264
	
		,	×	,
014 240=336
	
	
	
		,	,
	,
		,	,
	,
Total 85+6+20=111 102+108+264=1392 135+126+336=1812 eosíndicesdevalorsão
,
V1,2 =1392 × 100=125, 41
111
,
V1,3 =1812 × 100=163, 24
111
Comoosrelativossatisfazemapropriedadedaidentidade,noperíodobasetodossão
iguaisa1ou100,seestivermostrabalhandocombase100. Paraosdemaisperíodos,os t
relativoscombase1em 1 =1são:
t
Relativos- 1 =1
	Produto
	t
2
	
	t
3
	
	P
	Q
	P
	Q
	Carne(kg)
		,	/ ,	,
8585=10
		/	,
1210=12
	/ ,	,
985=10588
		/	,
1510=15
	Feijão(kg)
		,	/ ,	,
1812=15
		/	,
65=12
		,	/ ,	,
1812=15
		/	,
75=14
	
	,	/ ,	,
		/	,
	,	/ ,	,
		/	,
Pão(unid,) 012010=12 220200=11 014010=14 240200=12 t
eosíndicesdepreço,combase 1 =100,baseadosnastrêsmédiassão:
p ,× 100=123, 33=
1
,
0+1
,
5+1
,
2
3
1
,
0588+1
,
5+1
,
4
3
1 2
p , =× 100=131, 96
1 3
pH,× 100=120, 00
1 2
pH,× 100=129, 01
1 3	1	1 1,0588 + 1,5 +=
3
1
1
,
0
+
1
1
,
5
+
1
1
,
2
=
3
1
1
,
4
√
pG, = 3 1, 0 × 1, 5 × 1, 2 × 100=121, 64
	1 2	√
pG, = 3 1, 0588 × 1, 5 × 1, 4 × 100=130, 52
1 3
Paraquantidade,temososseguintesíndices:
q ,× 100=116, 67=
1
,
2+1
,
2+1
,
1
3
1
,
5+1
,
4+1
,
2
1 2
	q , =	× 100=136, 67
1 3
3
qH,× 100=116, 47
1 2
qH,× 100=135, 48
	1 3	1	1=
3
1
1
,
2
+
1
1
,
2
+
1
1
,
1
=
3
1
1,5 + 1,4 + ,
1 2
2.5. PROPRIEDADESDOSÍNDICESAGREGATIVOSSIMPLES
	G	√3 ,	×	,	×	,	×	,
q1,2 = 12 12 11 100=11657
JáoíndiceagregativodeBradstreeté:
	,	,
PA , =8, 5+1, 8+0,,12 × 100=106, 33
1 2
85+12+010
	,	,	,
	,
1 3
	= ,	,	,	100=11163
85+12+010
	QA
		12+6+220 ×	,
	PA	90+18+014 ×	,
, =100=110698
1 2
10+5+200
QA , =15+7+240 × 100=121, 86
1 3
10+5+200
Noteque,noíndicedequantidade,estamossomandovaloresexpressosemkgeemunidades simplesenoíndicedepreço,estamossomandosvaloresemR$/kgeR$/unidade.Apartirde
agora,nãoiremosmaistrabalharcomosíndicesagregativosdeBradstreet.
Resumindoosoutrosíndices:
	
	
	Preço
	
	Quantidade
	Valor
	
	t
1
		t	t
	2	3
	t
1
		t	t
	2	3
	t	t	t
1	2	3
	Médiaaritmética
	100
		,	,
12333 13196
	100
		,	,
11667 13667
	
	Médiageométrica
	100
		,	,
12164 13052
	100
		,	,
11657 13608
	
	
	
		,	,
	
		,	,
	
Médiaharmônica 100 12000 12901 100 11647 13548
Podemosverque
p ≥ pG ≥ pH
umaconsequênciadiretadarelaçãoentreasmédiasaritmética,geométricaeharmônicade númerospositivos.	
2.5	Propriedades dos índices agregativos simples
2.5.1	Identidade
Apropriedadedeidentidadeéobviamentesatisfeitaportodososíndicesagregativos
simples.
2.5.2	Reversibilidade
VamosmostrarcomosdadosdoExemplo2.1queosíndicesdasmédiasaritméticae
harmônicasimplesnãosatisfazemapropriedadedereversibilidade.Paraisso,vamoscalcular t
essesíndicescombaseem 2.
	,	,	,
	8 5	1 2	0 1
p2,1 = 8,5 + 1,8 + 0,12 × 100=83, 33 =6 p11,2 =1, 23331 × 100=81, 08 3
	p2H,1 = 8,5	1,38	0,12 × 100=81, 0816=	p1H1,2 =120100, 00 × 100=83, 33
8,5 + 1,2 + 0,1
Comrelaçãoàmédiageométricasimples,temosque
1
p
G
0
,t
=
1
n
q
p
1
0
,t
× · · · ×
p
n
0
,t
=
1
n
s
p
1
t
p
1
0
× · · · ×
p
n
t
p
n
0
=
n
s
p
1
0
p
1
t
× · · · ×
p
n
0
p
n
t
=
p
G
t,
0
ou seja, o índice baseado na média geométrica simples satisfaz a propriedade de
reversibilidade.
2.5.3	Circularidade
Os índices da média aritmética e da média harmônica simples não satisfazem a
propriedadecircular. Vamosmostraresteresultadoatravésdeumcontra-exemplo,baseado
nosdadosdoExemplo2.1.
	,	,
	9	1 8	0 14
8,5 + 1,8 + 0,12p
	, =	× 100=107, 52
2 3
3
	p ,	× p , = 1, 2333 × 1, 0752 × 100=132, 60 =1316, 96= p1,3
2 2 3 pH, = , ,3 , × 100=107, 08
3	8 5	1 8	0 12
9 + 1,8 + 0,14
	pH,	× pH, = 1, 2000 × 1, 0708 × 100=128, 496 6=129, 01= pH1,3
	1 2	2 3
Comrelaçãoaoíndicedamédiageométrica,temosque:
1	1 2p
G
,
×
p
G
,
=
n
s
p
1
1
p
1
0
× · · · ×
p
n
1
p
n
0
×
n
s
p
1
2
p
1
1
× · · · ×
p
n
2
p
n
1
=
n
s
p
p
1
0
×
p
1
p
1
1
× · · · ×
p
n
p
n
0
p
n
p
n
1
=
n
s
p
1
p
1
0
× · · · ×
p
2
p
n
0
=
p
G
0
,
2
n
1
2	1 ×	2	2
ouseja,oíndicebaseadonamédiageométricasimplessatisfazapropriedadedecircularidade.
2.6. RELAÇÕESENTREÍNDICESAGREGATIVOSSIMPLES
2.5.4	Decomposição das causas
Vamosanalisaragoraapropriedadedadecomposiçãodascausasparaessesíndices.
Estapropriedadeexigequeoprodutodoíndicedepreçopeloíndicedequantidadesejaigual
V ,t definidoem(2.1) aoíndicesimplesdevalor 0
UsandoosdadosdoExemplo2.1,temos:
	p	,	× q	, =1.2333 × 131.96=162, 75 6= V99,00 =125, 41
	99 00	99 00
não
Logo,oíndicedemédiaaritméticasimples satisfazocritériodedecomposiçãodascausas.
	pH ,	× qH , =129.01 × 135.48=174, 78 6= V99,01 =163, 24
	99 01	99 01
não Analogamente,concluímosqueoíndicedemédiaharmônicasimplestambém	satisfazo
critériodedecomposiçãodascausas.
	pG ,	× qG , =1.2927 × 116.57=150, 69 6= V99,00 =125, 41
99 00 99 00 pG , × qG , =1.3976 × 136.08=190, 18 6= V99,01 =163, 24
	99 01	99 01
não
Logo,oíndicedemédiageométricasimples satisfazocritériodedecomposiçãodascausas.
2.5.5	Resumo das propriedades dos índices agregativos simples
Aseguirtemosoresumodaspropriedadesdosíndices:
	Índiceagregativo
simples
	Critério
	
	
	Identidade
	Reversibilidade
	Circularidade
	Decomposiçãodascausas
	MédiaAritmética
	Sim
	Não
	Não
	Não
	MédiaHarmônica
	Sim
	Não
	Não
	Não
	
	
	
	
	
MédiaGeométrica	Sim	Sim	Sim	Não
2.6	Relações entre índices agregativos simples
Noteque
		+ +p
0
,t
=
p
1
0
,t
+
···
+
p
n
0
,t
n
=
p
1
t
p
1
0
···
p
n
t
p
n
0
n
p
1
t,
0
+
···
+
p
n
t,
0
p
1
0
p
1
t
+
···
+
p
n
0
p
n
t
	pt,0 =	n	=	n
Logo,
	n	n
1
	p	1
	0,t	p1 + · · · + 0	pt,10	pt,0p
=
1
t
p
n
t
p
n
=
+
···
+
1
n
0
ouseja,
	p1,t = pHt,0	(2.8)
0
Analogamente,obtemosque
1
	pt, = p0H,t	(2.9)
0
16	CAPÍTULO2. ÍNDICESAGREGATIVOSSIMPLES
17
Capítulo 3
Índices agregativos ponderados
Umafortelimitaçãodosíndicesbaseadosemmédiassimpleséofatodesedaro mesmopesoparatodososprodutos.Surgem,então,osíndicesagregativosponderados,em quecadaprodutotemumpesodiferente.Aformamaiscomumdesedefinirospesosétomar
aparticipaçãodovalordecadabemnovalortotal,ouseja,ospesossãodefinidoscomo
	wi = nvi = npiqi	(3.1)
P vj P pjqj j	j
	=1	=1
Comoumnúmeroíndicecomparapreçosequantidadesemdoisinstantesdetempo,
umaquestãorelevanteaquiédefiniraquemomentosereferemospreçosequantidadesque base de ponderação
aparecemnadefiniçãodospesos.Temos,então,queespecificara	.
3.1	Índice de Laspeyresou índice da época base
		OíndicedeLaspeyresédefinidocomouma	,
	época base
comospesossendodefinidosna	.Então,ospesossão
	
		vi	vi	pi qi
	wi	n 0 = V0 = n 0 j 0 j
0 = j
	(3.2)
média aritmética ponderada dos relativos
P
	P v	0	p q
	j	0	j	0	0
	=1	=1
n
V P vj
emque 0 = 0 éovalortotalnaépocabase,umvalorconstante.Noteque
38	CAPÍTULO3. ÍNDICESAGREGATIVOSPONDERADOS
37
j
	n
X i X
n	in Pviv Xi=1n	v0i 10 Xi=1n	vi	iP=1n vv0i = VV00 =1
w	n 0 = V0 = V	0 =P j 0 =	j
i
=1	=1
	j	0	j	0
	=1	=1
	(3.3)
=1
17
3.1.1	Índice de Laspeyres de preço
OíndicedepreçosdeLaspeyresédefinidopor:
n
L0P,t =X w0i pi0,t	(3.4) i
=1
Essa expressão pode ser simplificada, bastando, para isso, substituir os termos
envolvidospelasrespectivasdefinições:
		
	n	n
L0P,t = XPnv0ivj × ppi0it =Xi Vv00i × ppi0it i 
	=1	j	0	=1
=1
	n	n	n
= V1 v0i ppiit = V1 X 0i 0i piit = V1 0 t . p × X × p q × X qi pi
0 i 0 0 i 0 0 i=1 =1	=1
Logo,
n
Xqi pit
0
	LP,t = i=1n	(3.5)
0
Xqi pi
	0	0
i
=1
Vamosanalisaressaúltimaexpressão:nodenominadortemosovalortotalnomêsbase. Jánonumerador,temososvaloresdasquantidadesdaépocabaseaospreçosatuais.Então, comparandoessesdoistermos,estamoscomparandoavariaçãodepreçosdamesmacestade a cesta da época base produtos,	,nosdoisinstantesdetempo.
Notequeasquantidadesouacestadeprodutoséacestadaépocabasee,portanto, ficafixa,enquantonãohouvermudançadebase. Notetambémqueofatodeospesos seremfixadosnaépocabasenãosignificaquetemosumsistemafixodeponderação,oque sóacontecequandoospesosindependemdabasedecomparação. Nocasodoíndicede Laspeyres,ospesosmudamquandomudamosabasedecomparação.
3.1.2	Índice de Laspeyres de quantidade
OíndicedeLaspeyresdequantidadeédefinidopor:
n
	L0Q,t =Xw0i qi0,t	(3.6)
i
=1
Comoantes,essaexpressãopodesersimplificada,substituindo-seostermosenvolvidos
3.2. ÍNDICEDEPAASCHEOUÍNDICEDAÉPOCAATUAL
pelasrespectivasdefinições:
		
	n	n
L0Q,t = X nv0i j × qqiit =XVv0i qqiit
P
	i  v	0  i	0	0
	=1	j	0	=1
=1
	n	n
X i qi qit 1 × Xpi qi
1 ×	p = V 0 0 qi = V 0 t
0 i 0 0 i =1	=1
Logo,	n
Xpi qit
0
	LQ,t = i=1n	(3.7)
0
Xpi qi
	0	0
i
=1
Comoantes,nodenominadortemosovalortotalnomêsbase.Jánonumerador,temosos valoresdasquantidadesdaépocaatualaospreçosdaépocabase.Então,comparandoesses doistermos,estamoscomparandoavariaçãonovalorgastoparaaquisiçãodasdiferentes preços da época base
quantidadesaosmesmos	.Ospreçosaquisãoospreçosdaépocabase,
tambémpermanecendofixosenquantonãohouvermudançadebase.
Noíndicedepreços, avariaçãonovalorgastoédevidaàvariaçãodepreços(as quantidadesestãofixas),enquantonoíndicedequantidade,ovalortotalvariaemfunção davariaçãonasquantidades(ospreçosestãofixos).
3.2	Índice de Paasche ou índice da época atual
OíndicedePaascheéumamédiaharmônicadosrelativos,ponderadanaépocaatual,
istoé,ospesossãodefinidoscomo
wti = nvti j = Vvtit =Pnpitpqjtitqjt (3.8) P vt
	j	j
=1	=1 n	n
V P
onde t = vtj éovalortotaldaépocaatual.Comoantes,P wti =1.
	j	i
	=1	=1
3.2.1	Índice de Paasche de preços
OíndicedepreçosdePaascheédefinidocomo
	P0P,t = n 1 = n 1	(3.9)
		t	i
p ,t
i=1	0
		t	t,
0 i
=1
Xwi 1 Xwi pi
1
i = pit,0. Asimplificaçãoéfeitadaseguinte
Noteainversãodosrelativos,umavezque p ,t
0
forma:
	P0P,t =	1	1 p =

=
n
X
v
i
t
V
×
i
Xn Pivtj × pi0i  i=1	t	p0it vt
	i  n	pt 
=1 j
=1
	1	Vt	Vt
= Xn i pi =Xn qit pit pptii0 =Xin qit pi0
	V1t i	vt p0it	i
	=1	=1	=1
ouseja,	n
Xqit pit
	PP,t = i=1n	(3.10)
0
Xqit pi
0 i
=1
variação de Nessafórmulaficaclaraacomparaçãosendofeita:estamosanalisandoa
preços da cesta atual
.Nonumeradortemosovalorgastonaépocaatualenodenominador
temosovalorqueseriagastoparacompraracestaatual(quantidadeatual)aospreçosda
épocabase.
UmasérialimitaçãonoempregodosíndicesdePaascheéofatodeasponderações variarememcadaperíodo;notequeospesossãodadospelovalordaépocaatual.
3.2.2	Índice de Paasche de quantidade
OíndicedequantidadesdePaascheédefinidocomo
	P0Q,t = n 1 i = n 1	(3.11)
	Xi	qwi0t,t Xi=1 wti qit,0
=1
Asimplificaçãoéfeitadaseguinteforma:
	X vt	× qi 
		0
 n i Xvtj t 
=1  j
=1
	i
=1
	Vt
	Vt
PQ 1 1 0,t =	q

=
n
X
v
i
t
V
×
i
0
	n  i	qi 	t	qit
	i
=1
	t qit0
	i
=1
	t	t qit0
	= n v	qi =Xn i pi qi 
	X i	q
3.3. ÍNDICEDEFISHER
ouseja, n
Xpit qit
	PQ,t = i=1n	(3.12)
0
Xpit qi
0 i
=1
variação
Nessefórmulaficaclaraacomparaçãosendofeita: estamosanalisandoa
da quantidade aos preços atuais
. Nonumeradortemosovalorgastonaépocaatualeno
denominadortemosovalorqueseriagastoparacompraracestadaépocabase(quantidade daépocabase)aospreçosatuais.Aponderaçãoédefinidapelosvaloresatuais,mudandoa cadaperíodo.
3.3	Índice de Fisher
OíndicedeFisherédefinidocomoamédiageométricadosíndicesdeLaspeyrese
	FP,t =
0
	q
LP,t × PP,t
	0	0
	(3.13)
	FQ,t =
0
	q Q	Q
L ,t × P ,t
	0	0
	(3.14)
Paasche.	
3.4	Índice de Marshall-Edgeworth
ComosíndicesdeLaspeyresePaaschedequantidades,estamosanalisandoavariação novalorgasto,emfunçãodavariaçãodasquantidades,paraadquirirosprodutosaospreços
daépocabaseedaépocaatual,respectivamente.
OíndicedeMarshall-Edgeworthconsideraasmédiasdessespreçosequantidades. Maisprecisamente,define-seoíndicedepreçosdeMarshall-Edgeworthcomoumíndiceque
medeavariaçãonovalorgasto,emfunçãodavariaçãodospreços,paraadquiriraquantidade
qi + qit
0 definidapelaquantidademédiadaépocabaseedaépocaatual:	,ouseja,oíndice
2
depreçosé:
	P	q p	q p	q	q
Paraoíndicedequantidade,toma-seopreçomédiodaépocabaseedaépocaatual
pi + pit
0
.Logo,
2
	P	p q	p q	p	p
3.5	Índice de Divisia
Esseíndiceédefinidocomoumamédiageométricaponderadadosrelativos,comsistema
depesosfixonaépocabase.
	DP,t = pp1t1	0 ×
0
0
	p2t	0
× · · · ×
p2
0
	pt	0 Y pt	0 pn =	pi
	0	i=1	0
	(3.17)
	w
DQ,t = qq11t 01 ×
0
	w2
q2t 0
× · · · ×
q2
	qnt w0n Yn qit w0i qn =	qi
	(3.18)
	 w1 w2	 n wn	n i wi
	0	0	0	i=1	0
EXEMPLO 3.1
Vamosconsiderarosseguintesdados,játrabalhadosnocapítuloanterior:
	Produto
	t
1
	t
2
	t
3
	
	P Q
	P Q
	P Q
	Arroz(kg)
	2,50 10
	3,00 12
	3,25 15
	Feijão(kg)
	1,20 5
	1,80 6
	1,80 7
	
	
	
	
Pão(unid.) 0,10 200 0,12 220 0,14 240
Combasenessesdados,vamoscalcularosíndicesdeLaspeyres,Paasche,Fisher,Marshallt
EdgewortheDivisia,tantodepreçosquantodequantidade.Vamostomar 1 comobase.Na
tabelaaseguir,temososvaloresemformaabsolutaerelativa(pesos).
	Produto
	t
1
	
	t
2
	
	Valor
	Peso
	Valor
	Peso
	Arroz (kg)
	,	×	,
25 10=250
		/	,
2551=0490196
		×	,
3 12=360
		,	/	,	,
360732=0491803
	Feijão (kg)
	,	×	,
12 5=60
		/	,
651=0117647
		,	×	,
18 6=108
		,	/	,	,
108732=0147541
	Pão (unid.)
	,	×	,
010 200=200
		/	,
2051=0392157
	,	×	,
012 220=264
		,	/	,	,
264732=0360656
	
	,
	,
	,
	,
	Soma	510	1000000	732	1000000
	Produto
	
	t
3
	
	Valor
	Peso
	Arroz (kg)
		,	×	,
325 15=4875
		,	/	,	,
48759495=0513428
	Feijão (kg)
		,	×	,
18 7=1260
		,	/	,	,
12609495=0132701
	Pão (unid.)
	,	×	,
014 240=3360
		,	/	,	,
33609495=0353870
	
	,
	,
	Soma	9495	1000000
3.5. ÍNDICEDEDIVISIA
Osrelativossão:
t
	Produto
	t
1
	
	P
	Q
	Arroz(kg)
	, / , × 2525 100=100
		/	×
1010 100=100
	Feijão(kg)
	, / , × 1212 100=100
	/ × 55 100=100
	
	,	/ ,	×
		/	×
Relativos- 1 =100
	Produto
	t
2
	
	P
	Q
	Arroz(kg)
	/ , × 325 100=120
		/	×
1210 100=120
	Feijão(kg)
	, / , × 1812 100=150
	/ × 65 100=120
	
	,	/ ,	×
		/	×
Pão(unid.) 010010 100=100 200200 100=100
	Produto
	t
3
	
	P
	Q
	Arroz(kg)
		,	/ ,	×
32525 100=130
		/	×
1510 100=150
	Feijão(kg)
		,	/ ,	×
18012 100=150
	/ × 75 100=140
	
	,	/ ,	×
		/	×
Pão(unid.) 012010 100=120 220200 100=110
Pão(unid.) 014010 100=140 240200 100=120
Usandoambasasfórmulas(3.4)e(3.5),temosque:
L1P,2 = 0, 490196 × 120+0, 117647 × 150+0, 392157 × 120=123, 529412
	×	×	,	×	,
	10 3+5 18+200 012 ×	30+9+24 ×	63 ×
	=	100=	100=	100
	51	51	51
LP, = 0, 490196 × 130+0, 117647 × 150+0, 392157× 140=136, 274510
1 3
	×	,	×	,	×	,	,	,
	10 325+5 18+200 014 ×	325+9+28 ×	695 ×
	=	100=	100=	100
	51	51	51
Usandoasfórmulas(3.6)e(3.7),temosque:
	LQ, 1 2
		,	×	,	×	,	×	,
= 0490196 120+0117647 120+0392157 110=116078431
	,	×	,	×	,	×	,	,
	25 12+12 6+01 220 ×	30+72+22 ×	592 ×
=	100=	100=	100
	51	51	51
	LQ, 1 3
		,	×	,	×	,	×	,
= 0490196 150+0117647 140+0392157 120=137058824
	,	×	,	×	,	×	,	,	,
	25 15+12 7+01 240 ×	375+84+24 ×	699 ×
=	100=	100=	100 51	51	51
Analogamente,usandoasfórmulas(3.9),(3.10),(3.11)e(3.12),temosque:
	PP, =	1	=123, 6486490
,
491803
120
+
0
,
147541
150
+
0
,
360656
120
73
,
2
1 2
	,	,
×	732 ×	732 × = ×	,	×	,	×	, 100=	,	100= , 100
	12 25+6 12+220 01	30+72+22	592
PP,	1	,=
0
,
513428
150
+
0
,
132701
140
+
0
,
353870
120
=135
836910
94
,
95
1 3
	,	,
× 9495 × 9495 × = × , × , × , 100= , , 100= , 100
	15 25+7 12+240 01	375+84+24	699
	PQ,	1	,=
0
,
491803
120
+
0
,
147541
120
+
0
,
360656
110
=116
190476
73
,
2
1 2
	,	,
	×	732 ×	732 ×
	=
	×	,	×	,	×
3 10+18 5+012 200
	100=
	30+9+24
	100=
	100
63
P1Q,3 = 1
0
,
513428
150
+
0
,
132701
140
+
0
,
353870
120
=136
,
618705
94
,
95
×
94
,
95
×
94
,
95
×
	= ,	×	,	×	,	×	100= ,	100= , 100
	325 10+180 5+014 200	325+9+28	695
Notequeémaisfácil(emaisprecisonumericamente)calcularosíndicesdeLaspeyres
ePaaschepelasfórmulas(3.5),(3.7),(3.10)e(3.12).
FP, = p123, 529412 × 123, 648649=123, 589016
1 2
FP, = p136, 274510 × 135, 836910=136, 055534
1 3
FQ, = √116, 078431 × 116, 190476=116, 134440
1 2
FQ, = √137, 058824 × 136, 618705=136, 838588
1 3
M1P,2 = (10+12)× 3+, (5+6) ×18+, (200+220) ×012, =136, 2 × 100=123, 593466
(10+12) 25+(5+6) 12+(200+220) 010 1102
M1P,3 =(10+15) ××3,,25+(5+7)×× 1,, 8+(200+240)×× 0,, 14=164,,45=136, 021505
(10+15) 25+(5+7) 12+(200+240) 010 1209
	×	×	,	×	,	,
3.6. PROPRIEDADESDOSÍNDICESAGREGATIVOSPONDERADOS
	MQ, =(3+2,, 5) ×× 12+(1,, 8+1,, 2) ×× 6+(0,, 12+0,, 10) ×× 220=
1 2
(3+25) 10+(18+12) 5+(012+010) 200
	,
1324	,
=116140351 114
	MQ (3, 25+2, 5) × 15+(1, 8+1, 2) × 7+(0, 14+0, 10) × 240
	,
16485	,
	1,3 = ,	,	×	,	,	×	,	,	× = , =136804979
(325+25) 10+(18+12) 5+(014+010) 200 1205
DP, =(120)0,490196 × (150)0,117647 × (120)0,392157 =123, 191977 1 2
DP, =(130)0,490196 × (150)0,117647 × (140)0,392157 =136, 105701 1 3
DQ, =(120)0,490196 × (120)0,117647 × (110)0,392157 =115, 974418
1 2
DQ, =(150)0,490196 × (140)0,117647 × (120)0,392157 =136, 3208
1 3
t
	
	t
Índices- 2 =100
	
	
	t
1
	
	t
3
	
	P
	Q
	P
	
	Q
	Laspeyres
Paasche
Fisher
Marshall-Edgeworth
	LP, =80, 8743 2 1
PP,	, 9524 2 1 =80
FP,	, 9133
2 1 =80
MP,	,
2 1 =809104
DP,	,
	LQ, =86, 0656 2 1
PQ, =86, 1486
2 1
FQ, =86, 1071
2 1 Q
M ,	, 1027
2 1 =86
Q
D ,	,
	LP, =110, 109 2 3
PP,	, 896
2 3 =109
FP,	, 003
2 3 =110
MP,	,
2 3 =109994
DP,	,
	
	LQ, =118, 033 2 3
PQ, =117, 804
2 3
FQ, =117, 918
2 3 Q
M ,	, 913
2 3 =117 Q
D ,	,
Comoexercício,vocêdevecalcularessesmesmosíndicescombase 2 =100;oresultado édadonatabelaabaixo,ondeseexcluemosresultadosparaoperíodobase:
Divisia	2 1 =806344 2 1 =859899 2 3 =109962 2 3 =117806
3.6	Propriedades dos índices agregativos ponderados
Vamosverificaragoraquaiscritériososíndicesacimasatisfazem.
3.6.1	Identidade
Éfácilverificarquetodososíndicesvistossatisfazemoprincípiodaidentidade.
3.6.2	Reversibilidade
Laspeyres e Paasche
Comosdadosdoexemplo3.1, vamosmostrarqueessesíndicesnãosatisfazema
propriedadedereversão.Defato:
	LP,	× LP,
1 2	2 1
		,	×	,	,	6
=123529412 0808743=99 90354725=1
	PP,	× PP,
1 2	2 1
		,	×	,	,	6
=123648649 0809524=100 0965489=1
Fisher
OíndicedeFishersatisfazocritériodereversibilidade,comoprovamosaseguir:
F0P,t × Ft,P0 = qL0P,t × P0P,t × qLt,P0 × Pt,P0
	v n	n	n	n
uuP qi pit P qit pit P qtipi P qi pi
	uu i=1	0	× i=1	× i=1	0 × i=1	0	0
	= u n	n	n	n
tP qi pi P qit pi P qitpti P qi pit i 0 0 i 0 i i 0
	=1	=1	=1	=1
	vu n	n	n	n
	uuu iP=1 qi0pit × iP=1 qti pit × iP=1 qitp0i	iP q0i pi0
= u n n n × =1n =1 uuP qi pit P qitpit P qit pi P qi pi
	ui	0	i	i	0	i	0	0
	t =1	=1	=1	=1
| {z } | {z } | {z } | {z }
	1	1	1	1
Deformaanáloga,prova-separaoíndicedequantidade.
Marshall-Edgeworth
OíndicedeMarshall-Edgeworthsatisfazocritériodereversibilidade,comoprovamosa
seguir:
	n	n
	MP,t × Mt,P
0	0
	=
	i	0	i	0
=1n	× =1n
	0
P qi + qit pit P qi + qit pi
	P qi0 + qit pi	iP qi + qit pit
	i	0	0
=1	=1 n	n
P qi0 + qit pit iP qi + qit pi0 i	0
= =1n	× =1n	=1 iP qi0 + qit pit	iP qi0 + qit pi0
=1	=1 |	{z	} |	{z	}
	1	1
Divisia
3.6. PROPRIEDADESDOSÍNDICESAGREGATIVOSPONDERADOS
Oimportanteanotaraquiéqueosistemadepesos,noíndicedeDivisia,éfixo.Sendo
assim,oíndicedeDivisiasatisfazocritériodereversibilidade,comoprovamosaseguir:
P × Dt,P =Yn ppiit w0i × Yn ppi0i w0i =Yn ppiit × ppi0i w0i =1
D ,t
	0	0	i=1	0	i=1	t	i=1	0	t
Notequetemosomesmopeso,independentedabasedecomparação!
3.6.3	Circularidade
Laspeyres e Paasche
Vamosusarosdadosdoexemplo3.1paramostrarqueessesíndicesnãosatisfazemo
princípiodacircularidade.Temosque:
L1P,2 × L2P,3 =1, 23529412 × 1, 10109 × 100=136, 017 =1366, 274510= L1P,3
P1P,2 × P2P,3 =1, 23648649 × 1, 09896 × 100=135, 88 =1356, 836910= P1P,3
Fisher
Vamosusarosdadosdoexemplo3.1paramostrarqueesseíndicetambémnãosatisfaz
oprincípiodacircularidade.Temosque:
	FP,	× FP, = p1, 23529412 × 1, 23648649 × p1, 10109 × 1, 09896 × 100
	1 2	2 3
= 135, 9509437 6=136, 055534= F1P,3
Marshall-Edgeworth
Comosdadosdomesmoexemplo,temos:
M1P,2 × M2P,3 =1, 23593466 × 1, 09994 × 100=135, 945397 =1366, 021505= M1P,3
Divisia
Comonapropriedadedereversão,notequeospesossãofixos,independentedaépoca decomparação.Assim,oíndicedeDivisiasatisfazoprincípiodacircularidade,comose
mostraaseguir: D0P,1 × D1P,2 =Yn ppii1 w0i × Yn ppii2 w0i =Yn ppi1i	ppi2 w0i Yn pi2 w0i	P ×	i =	D
	i=1	0	i=1	1	i=1	0	t	i=1	pi0 = 0,2
3.6.4	Decomposição das Causas
Laspeyres e Paasche
Essesíndicesnãosatisfazemessecritério,conformesemostraaseguircomosdados
doexemplo:
	732
	732
	732
	PP,	× PQ, =51 ×
2 1	2 1
63
	51 6
,
592
	51 V ,
= , = 2 1
732
	L2P,1 × L2Q,1 =59,, 2 × 63,	=6 51, = V2,1
Fisher
Esseíndicesatisfazocritériodadecomposiçãodascausas,comosemostraaseguir:
	v n	n	n	n
uuP qi pit P qit pit P pi qit P pit qit
	n
P qi pi
i	0	0
=1
	
	n
P qit pi i	0
=1
	n
P pi qi
i	0	0
=1
	n
P pit qi i	0
=1
	F0P,t × F0Q,t = uuu i=1	0	× i=1	× i=1	0	× i=1
t
	vuuu iPn qi0pit	iPn pi0qit	iPn qti pit	iPn qit pti
	u =1	×	=1	× =1	× =1
	= u n	n	n	n
uuP pit qi P qit pi P pi qi P pi qi
ui 0 i 0 i 0 0 i 0 0 t =1 =1 =1 =1
	|	{z	}|
{
z
}
1
|
{
z
}
1
iguais
v
	u n	2	n
	u P qit pit	P qit pit
u
	ui=1	 i=1	V
= uutPn pi qi  =Pn pi qi = 0,t
i 0 0 i 0 0 =1	=1
Marshall-Edgeworth
Esseíndicenãosatisfazocritériodadecomposiçãodascausas,comomostraocontra-
exemploabaixo.
MP , ×MQ , =1, 23593466×1, 16140351×100=143, 541885 =673, 2×100=143, 529411= V99,00 99 00 99 00
51
Divisia
Esseíndicenãosatisfazocritériodadecomposiçãodascausas,conformemostrao
contra-exemploaseguir:
DP , ×DQ , =1, 23191977×1, 15974418×100=142, 8711786= 73, 2×100=143, 529411= V99,00 99 00 99 00
51
Noquadroaseguirapresentamosoresumodaspropriedadesdosíndices:
	Índice
	Critério
	
	Identidade
	Reversibilidade
	Circularidade
	Decomposiçãodascausas
	Laspeyres
	SIM
	NÃO
	NÃO
	NÃO
	Paasche
	SIM
	NÃO
	NÃO
	NÃO
	Fisher
	SIM
	SIM
	NÃO
	SIM
	Marshall-Edgeworth
	SIM
	SIM
	NÃO
	NÃO
	
	
	
	
	
Divisia	SIM	SIM	SIM	NÃO
3.7	Relações entre índices
3.7.1	Laspeyres e Paasche
•
Relação1
Vimos, na seção anterior, que os índices de Laspeyres e Paasche não satisfazem o princípio da decomposição das causas. No entanto, esses índices satisfazem a propriedade de decomposição das causas, desde que se mescle os índices. Mais
	LP,t × PQ,t = L0Q,t × P0P,t = V0,t
	0	0
	(3.19)
	conformesemostraaseguir:
	
	
	n
P qi pit
	LP,t × PQ,t = i=1n	0
0	0	i piP q
	i	0	0
=1
		n	n
P pit qit P pit qit
× i=1n = i=1n = V0,t P pit qi P qi pi
	i	0	i	0	0
	=1	=1
	
	n
P pi qit
	LQ,t × P0P,t = i=1n	0
0	i qi P p
	i	0	0
=1
		n	n
P qit pit P pit qit
× i=1n = i=1n = V0,t P qit pi P qi pi
	i	0	i	0	0
	=1	=1
	
precisamente,
EsseresultadopropiciaumamaneiramaiselegantedeprovaroíndicedeFishersatisfaz
apropriedadedadecomposiçãodascausas:
PF
P
0
,t
×
F
Q
0
,t
=
q
L
P
0
,t
×
P
P
0
,t
×
q
L
Q
0
,t
×
P
Q
0
,t
=
q
L
P
0
,t
×
P
P
0
,t
×
L
Q
0
,t
×
P
Q
0
,t
=
q
L
P
0
,t
×
P
Q
0
,t
×
P
0
,t
×
L
Q
0
,t
=
p
V
0
,t
×
V
0
,t
=
V
0
,t
•
Relação2
Vamos,agora,analisararelaçãoentreosíndicesdeLaspeyresePaasche. Paraisso, recordemosqueoestimadordocoeficientedecorrelaçãoparadadosagrupadosédado
por
	P n	X − X Y − Y 
	rxy = σXσY =	sxsy	(3.20)
emque ni éafrequênciaabsolutae σx e σy são,respectivamente,osdesviospadrãode
	X	Y
e .Sabemostambémqueacovariânciapodeserreescritacomo
	 	! 	!
Cov(X, Y )=X fiXiYi − X fiXi X fiYi	.	(3.21) i	i	i
onde fi = nni éafrequênciarelativa(lembre-se: covariânciaéamédiadosprodutos menosoprodutodasmédias).
	X	Y
Paraocasoespecíficodosnúmerosíndices,consideremosqueos ’se ’ssejam,
respectivamente,osrelativosdepreçoequantidadeeasfrequenciasrelativassejam
ospesosdefinidospelosvaloresnaépocabase.Maisprecisamente,
	pit	qit	pioqio
	Xi = pio	Yi = qio	fi =P pjoqjo	(3.22)
j
oquesignificaqueestamosinteressadosemanalisaracovariância(oucorrelaçãoentre osrelativosdepreçoequantidade.
Substituindo(3.22)em(3.21),obtemos:
			
X pi
	X, Y	i P opqjoqio jo × ppioit × qqoiit − XPpiopqjoqoi jo × ppioti Xi Ppoipqjoqoi oj × qqioti 
Cov( ) = i
	j	j	j
P pitqit P qiopit P pioqit
= P pi qi − P qi pi P pioqoi = 0,t − L0P,t × L0Q,t (3.23) i i i
	×	V
	o	o	o	o
	i	i	i
V ,t = L0P,t × P0Q,t.Substituindoem(3.23),obtemosque
Mas,por3.19,sabemosque 0
	X, Y	σxσyrxy = L0P,t × P0Q,t − L0P,t × L0Q,t ⇒
Cov( ) = σxσyrxy LP,t × LQ,t LQ,t
		−	0	0	−	0
LP,t × PQ,t = 1 LP,t × PQ,t =1 PQ,t
	0	0	0	0	0
ouseja,
	LQ,t	σxσy
	0	− rxy		(3.24)
	PQ,t =1	V0,t
0
Analisandoessaequação,podemosverqueosíndicesdeLaspeyresePaascheserão idênticosquando rxy = 0ou σx = 0ou σy = 0. Asduasúltimascondiçõessignificam que,tantoosrelativosdepreço,quantoosrelativosdequantidadesãoconstantes(nãotêm
rxy =0significaqueosrelativos variabilidade),umahipótesebastanteirrealista.Acondição depreçoedequantidadesãonãocorrelacionados,hipótesetambémbastanteimprovávelde ocorrernaprática. Assim,naprática,osíndicesdeLaspeyresePaascheserãodiferentes. Nessecaso,como σx > 0, σy > 0e V0,t > 0, arelaçãoentreosíndicesdependeráde rxy.
Se rxy > 0(relativosdepreçopositivamentecorrelacionadoscomosrelativosdequantidade, oqueacontecequandoestamosanalisandoumproblemapeloladodaoferta,porexemplo), oíndicedeLaspeyresserámenorqueodePaasche. Casocontrário,istoé,relativosde preçonegativamentecorrelacionadoscomosrelativosdequantidade(análisepeloladoda demanda),oíndicedeLaspeyresserámaiorqueodePaasche.
rxy < 0e,portanto, P0P,t < L0P,t e P0Q,t ≤ L0Q,t. Asituaçãomaiscomum,naprática,étermos
Nestecaso,temosque
	n	n
P qitpit P qi pit
	
	
		,t	,t	n	n
	0	0
P qitpi P qi pi
	i	0	i	0	0
=1	=1 n	n
n	qitpit	n	P qi pit P
X itqit × i=1n ≤ X pitqit × i=1n 0 ⇒ p
	
	
	i=1 P qitpi i=1 i	0
=1
	n	n	n
P pitqit P qitpit P pitqit
i	i	i
=1n	× =1n	≤	=1n
P pitqi P qitpi P qi pi
i	0	i	0	i	0	0
=1	=1	=1
	P qi pi
	
	
	
	i
=1
	0	0
	ou
	Analogamente,
	PQ,t × P0P,t ≤ V0,t
0
	
	
	
	
		n	n
	
	
	
	
	P pitqit P pi qit
	
	PP	≤ LP	⇒	i=1	≤ i	⇒
	PQ,t ≤ LQ,t	⇒	i=1n	≤ in	⇒
	0	0	P pitqi P pi qi
	i	0	i	0	0
	=1	=1
	n	n
	P pitqit	P pi qit
	⇒	n 1 × i=1n	≤	n 1 × in
P pi qi P pitqi P pi qi P pi qi
i 0 0 i 0 i 0 0 i 0 0 =1 =1 =1 =1 n n n
P pitqit P pitqi P pi qit
	i	i	0	i
	⇒	=1n	≤	=1n	×	n
P pi qi P pi qi P pi qi
	i	0	0	i	0	0	i	0	0
	=1	=1	=1
ou	0P	× LQ,t
V ,t ≤ L ,t
	0	0
Vemos,assim,que,emgeral
P0Q,t × P0P,t ≤ V0,t ≤ L0P,t × L0Q,t
ouseja,oíndicedePaaschetendeasubestimarovalor,enquantooíndicedeLaspeyrestende asuperestimar.
3.7.2	Fisher, Laspeyres e Paasche
OíndicedeFisherédefinidocomoamédiageométricadosíndicesdeLaspeyrese
Paasche.Então	√ F	L × P	.
= Peloresultadoanterior,temosque,emgeral,osíndicesdeLaspeyresePaaschesãodiferentes.
	F	L	P
Seelessãoiguais,obviamentetemos = = .
	√	√
	f x	x	x <	x <	< x <
	Daspropriedadesdafunção ()= segueque	1para0	1.Vejaa
Figura3.1.
Figura 3.1
–
x<
√
x<
1
0
<
x
<
1
	L < P.	L	P
	Suponhamos,inicialmente,que	Então,como e sãopositivos,segueque
L
<	 <	.
P 1 Então
	L r L	L r L	√
	<	<	⇒ P	 < P	 < P ⇒ L <	L × P < P
	P	P 1	P	P
L < F < P.
ouseja,
	P < L,	P < F < L.
	Se	obtemos,deformaanáloga,que	Emresumo,seosíndicesde
LaspeyresePaaschesãodiferentes,entãooíndicedeFisherestácompreendidoentreeles:
	L
	<
	P
	⇒
	L < F < P
	(3.25)
	P
	<
	L
	⇒
	P < F < L
	
	L
	=
	P
	⇒
	L	F	P
= =
	
3.7.3	Marshall-Edgeworth, Laspeyres e Paasche
OíndicedeMarshall-Edgeworthédefinidocomo
	MP,t =Pi	qit + qio pio
0
i
	.
P qit + qio pit
VamosprovarqueesseíndiceseencontrasempreentreosíndicesdeLaspeyrese Paasche.Masparaissoprecisamosdoseguinteresultado.
RESULTADO 3.1 Sejam X , X , Y	e Y	são números	. Então
2	1	2	positivos
	X	Y	X	X	Y	Y
	1 ≤	1 ⇒	1 ≤	1 + 1 ≤	1	.
	X	Y	X	X	Y	Y
2	2	2 + 2	2
Demonstração
Comoosnúmerossãopositivos,temosque
	X	Y
	1 ≤	1 ⇒ X Y	≤ X Y	⇒ X Y	X X	≤ X Y	X X	⇒
	X	Y	1	2	2	1	1	2 + 1	2	2	1 + 1	2
	2	2
X	X	Y X	X	Y	≤ X	X	Y	⇒	1 ≤	1 + 1
( 2 + 2) 2 ( 1 + 1) X	X	Y
2 + 2
Analogamente,
	X	Y
	1 ≤	1 ⇒ X Y	≤ X Y	⇒ X Y	Y Y	≤ X Y	Y Y	⇒
	X	Y	1	2	2	1	1	2 + 1	2	2	1 + 1	2
	2	2
X	Y	Y Y	X	Y	≤ Y	X	Y	⇒	1 + 1 ≤	1
	2 ( 1 + 1) 1 ( 2 + 2) X	Y	Y
2 + 2	2 
Notequeesseresultadonãovalequandoalgumdosnúmerosénegativo.Porexemplo,
	X	−	X	Y	Y	−
sefizermos 1 = 2, 2 =3, 1 =1e 2 = 2,então
	X	Y
−2 <	1	−1
	X =	Y =
3 2	2 mas	X	Y	X
+ 1	−	<	1
	X	Y = 1 X
+ 2	2
ParaprovararelaçãoentreosíndicesdeLaspeyres,PaascheeMarshall-Edgeworth,
bastafazer
X1 =P qiopit	Y1 =P qitpit i	i
X2 =P qiopio	Y2 =P qitpio i	i
	L = Lp,t = XX1
0
2
	P = Pp,t = YY1
0
2
Nessecaso,osíndicesdeLaspeyresePaaschedepreçosão:
3.7. RELAÇÕESENTREÍNDICES	29
46	CAPÍTULO3. ÍNDICESAGREGATIVOSPONDERADOS
3.7. RELAÇÕESENTREÍNDICES	47
L < P ese	,então
	X	Y	Pi qiopit +Pi qitpit Pi	qio + qit pit
X12 < Y21 ⇒ L < P i	i P ipio =P qoi + qti pio < P qopo + qt
	i	i	i
	L < M < P	P < L
ouseja,	.Se,aocontrário,temos	então
	Y	X	P qiopit +P qitpit P qoi + qit pti
Y1 < X1 ⇒ P < Pi qiopio +Pi	ipio =Pi	qoi + qti poi < L qt
	2	2
	i	i	i
	P < M < L.	L	P,	L	P	M.
e,portanto,	Ese = então = = Resumindo,oíndicedeMarshall-
	L
	< P
	⇒
	L < M < P
	(3.26)
	P
	< L
	⇒
	P < M < L
	
	L
	P
=
	⇒
	P	M	L
= =
	
EdegeworthestáentreosíndicesdeLaspeyresePaasche:
Capítulo 4
Mudança de base
4.1	Método prático
Oprocedimentodemudançadebase,apresentadonaSeção1.6pararelativos,será se o índice satisfizer as propriedades circular e de reversão sempreválido	.
Noentanto,váriosíndicesutilizadosnapráticanãosatisfazemtaispropriedades. Os índicesdeLaspeyresePaaschesãoumexemplo.Parafazeramudançadebasedeumasérie deíndicesdeLaspeyres,porexemplo,énecessáriomudarospesoseissosignificatrazera antigacestabaseparaaépocaatual.Esseprocedimento,alémdecaro,nemsempreéviável. como se
Assim,naprática,amudançadebaseéfeita	oíndicesatisfizesseapropriedade
circular,ouseja,obtém-seasérienanovabasedividindo-seaantigapelovalordoíndiceno
anodabasedesejada.
Vamos ilustrar os procedimentos correto e aproximado com os dados utilizados
anteriormentenoExemplo3.1.
EXEMPLO 4.1
MudançadebaseparaosdadosdoExemplo3.1
t
Calculeasériedeíndicescombaseem 3 pelométodoexatoepelométodoaproximado
paraosdadosdoExemplo3.1,reapresentadosaseguir.
	Produto
	t
1
	t
2
	t
3
	
	P Q
	P Q
	P Q
	Arroz(kg)
	2,50 10
	3,00 12
	3,25 15
	Feijão(kg)
	1,20 5
	1,80 6
	1,80 7
	
	
	
	
Pão(unid.) 0,10 200 0,12 220 0,14 240
Solução
t
Anteriormente,calculamososíndicesdeLaspeyrescombaseem1,obtendo,paraos
35
CAPÍTULO4. MUDANÇADEBASE
	t
Ano
	t	t	t
1	2	3
	LP,t
	
preços,aseguintesérie:
	1	100 123,529412 136,274510
t
Vamos,agora,calcularosíndicescombaseem 3 pelométodoexato:
L3P,1 =15 ×× 2,, 50+7 ×× 1,, 20+240 ×× 0,, 10 × 100= 69,, 9 × 100=73, 618
	15 325+7 180+240 014	9495
L3P,2 =15 ×× 3,, 00+7 ×× 1,, 80+240 ×× 0,, 12 × 100= 86,, 4 × 100=90, 995
15 325+7 180+240 014	9495 t
	t
Ano
		t	t	t
	1	2	3
	LP,t
		,	,
Logo,pelométodoexatoasériedeíndicescombaseem 3 é:
73618 90995 100
54
3
Pelométodoprático,temos:
	LP,	≈	, 1	× 100=73, 381
3 1
136274510
	LP,	≈ 123,, 529412 × 100=90, 647
3 2
136274510
4.2	Conjugação de séries de índices
Osinstitutosdepesquisa,comoIBGE,FGV,responsáveispeladivulgaçãodesériesde índices,periodicamenteprecisamatualizarabasedassériesdeíndicesdeformaaretratar maisfielmentearealidadeatual.NocasodeíndicesdeLapeyres,essaatualizaçãoenvolve, muitasvezes,considerarumanovacestadebenseserviços.Comoresultadodesseprocesso, temos2conjuntosdeíndices:umcomabaseantiga,eoutrocomabasenova.Oprocedimento mesmas taxas de variação
usadoparaconjugarasduassériesconsisteemmanteras	entre
osperíodos,independentedequalbasefoiutilizada. Paraisso,énecessárioque,paraum período,sejafeitoocálculodoíndicenasduasbases.
EXEMPLO 4.2
Conjugaçãodesériesdeíndices
4.2. CONJUGAÇÃODESÉRIESDEÍNDICES	37
Umasériedeíndicesvinhasendoconstruídacombase100em1997.Noanode1999,
decidiu-sefazerumamudançadebasequeresultounasseguintesséries:
	Ano
	Sérieantiga Sérienova
	1994
	72
	
	1995
	88
	
	1996
	96
	
	1997
	100
	
	1998
	102
	
	1999
	111
	100
	2000
	
	105
	2001
	
	115
	2002
	
	132
	2003
	
	146
	
	
	2004	155
Conjugueasduasséries,usando1997comobaseedepoismudeabaseparaoanode
2002.
Solução
Apartirdasérienova,obtemososseguintesrelativos:
	I	, =105=1, 05
99 00
100
	I	, =115=1, 15
99 01
100
	I	, =132=1, 32
99 02
100
	I	, =146=1, 46
99 03
100
	I	, =155=1, 55
99 04
100
Aplicandoessasvariaçõesnasériecombaseem1997,obtemos:
	I	, =1, 05 × 111=116, 55
97 00
	I	, =1, 15 × 111=127, 65
97 01
	I	, =1, 32 × 111=146, 52
97 02
	I	, =1, 46 × 111=162, 06
97 03
	I	, =1, 55 × 111=172, 05
97 04
CAPÍTULO4. MUDANÇADEBASE
Logo,asériecompletacombase100em1997é
	Ano
	1997=100
	1994
	72,00
	1995
	88,00
	1996
	96,00
	1997
	100,00
	1998
	102,00
	1999
	111,00
	2000
	116,55
	2001
	127,65
	2002
	146,52
	2003
	162,06
	
	
	2004	172,05
Comasériecombase1997=100pronta,paracalcularcombaseem2002,bastadividir
todososíndicespelovalorde2002,queé1,4652.
	Ano
	2002=100
	1994
		,	/ ,	,
720014652=4914
	1995
		,	/ ,	,
880014652=6006
	1996
		,	/ ,	,
960014652=6552
	1997
		,	/ ,	,
1000014652=6825
	1998
		,	/ ,	,
1020014652=6962
	1999
		,	/ ,	,
1110014652=7576
	2000
		,	/ ,	,
1165514652=7955
	2001
		,	/ ,	,
1276514652=8712
	2002
		,	/ ,	,
1465214652=10000
	2003
		,	/ ,	,
1620614652=11061
	
		,	/ ,	,
2004 1720514652=11742
Nocálculodeíndicesetaxaséimportanterealizaroscálculosintermediárioscomvárias casasdecimais,paraquenãosepercamuitaprecisãonosresultados.
Capítulo 5
Deflacionamento e poder aquisitivo
5.1	Introdução
	t	t
Suponhamosque,numperíodo 1,umquilodecarnecusteR$8,00eem )2,R$10,00.
Senos2períodosdispusermosdamesmaquantiadeR$250,00paracompraressacarne,em
t
1 podemoscomprar
	250R$	,
/ =3125kg 8R$ kg
t
eem 2
250R$
/ =25kg
10R$ kg
Logo,arelaçãoentreasquantidadesé
	25	,
, =080
3125
quecorrespondeaumataxadevariaçãode
	 −	, 		
	25 3125 ×	25 −	×	,	−	×	−
	,	100= ,	1 100=(080 1) 100= 20%
	3125	3125
Então,comesseaumentodepreço,mantidoomesmovalordisponível,houveumaquedade 20%naquantidadedecarneadquirida.
Consideremos,agora,umasituaçãomaisgeral,emqueosaláriodeumapessoase mantémfixoemR$2.500,00nosanosde1999e2000,masainflaçãoem2000,medidapelo INPC,foide5,27%.Comoavaliaraperdasalarialdestapessoa?Primeiro,vamosinterpretar osignificadodainflaçãode5,27%em2000.Istosignificaqueocusto(preço)deumacestade produtoseserviçosaumentou5,27%em2000,comparadocom1999,ouseja,oíndicedepreços de2000combaseem1999é1,0527.Poroutrolado,comoosalárioéomesmo,oíndicede IV ≈ IP × IQ,
valor(salário)de2000combaseem1999é1.Usandoarelaçãoaproximada
resultaqueoíndicedequantidadede2000combaseem1999é
	 IQ 1 ,
	= ,	=094994
10527
39
ouseja,estapessoa,comomesmosalárioem2000,consegue“comprar”0,94994doque
	,	−	×	− ,
compravaem1999,oquerepresentaumataxade(094994 1) 100= 5006. Oíndice índice do salário real
0,94994échamado	,jáqueelerepresentaoqueapessoapoderealmente
adquirirem2000,combaseem1999.
Umaoutraformadeolharestemesmoproblemaéaseguinte: dizerquehouveuma variaçãodepreçosde5,27%em2000éomesmoquedizerque1,0527reaisem2000equivalem, empoderdecompra,a1realem1999.Então,paradeterminarquantovalemos2500reais de2000apreçosde1999,bastaaplicarmosaregradetrêssimples:
1999
2000
1
R$ 1,0527R$
x
2500
R$
Logo, x 2500 ,
	= ,	=237485
10527
oquesignificaqueosaláriode2500reaisem2000equivaleaumsaláriode2374,85reais em1999,oqueélidocomo2374,85reaisapreçosde1999.Aperdasalarialpodeserobtida como
,
237485 ,
=094994
2500
mesmovalorobtidoatravésdoíndicedosalárioreal.
deflacionamento
	Estesexemplosilustramoconceitode	deumasériedevalores,que
permiteequipararvaloresmonetáriosdediversasépocasaovalormonetáriodeumaépoca base,ouainda,odeflacionamentopermiteeliminarumadascausasdevariaçãodeumasérie devaloresmonetários,qualseja,avariaçãodepreços.
5.2	Deflator
Umíndicedepreçosusadoparaequipararvaloresmonetáriosdediversasépocasao deflator
valormonetáriodeumaépocabaseéchamado	.
Comovistoacima,paraobterasériedevaloresdeflacionadosouvaloresapreçosda épocabase,bastadividirasériedevalorespelorespectivoíndicedepreço.Osvaloresestarão
apreçosconstantesdoanobasedoíndicedepreços.
Podemostambémdividirasériedeíndicesdevalorespelorespectivoíndicedepreço paraobteroíndicedovalorreal(quantidade)combasenoperíodobasedodeflator.
EXEMPLO 5.1
Faturamentodeumaempresa
Considere a série do faturamento nominal de uma empresa e o índice de preço apropriado,dadosnatabelaabaixo.
	Ano
	Faturamentonominal
	índicedepreços
	
	(MilR$)
	1999=100
	1999
	1600
	100,000
	2000
	1800
	105,272
	2001
	2400
	115,212
	2002
	2800
	132,194
	2003
	3000
	145,921
	
	
	
	2004	3200	154,870
Obtenhaofaturamentorealapreçosde1999.
Solução
Como visto anteriormente, basta aplicar uma regra de três, tendo em mente a interpretaçãodoíndicedepreços: 100R$em1999equivalema105,272R$em2000,a 115,212em2001,etc.Porexemplo,paraoanode2002temos:
	⇒ x 2800 ×	,1999
2002
100
R$ 132,194R$
x
2800
R$
	= ,	100=2118099
132194
Comomesmoprocedimentoparaosoutrosanos,obtemosasériedofaturamentoapreçosde 1999dadapor:
	Ano
	Faturamento (MilR$de1999)
	1999
		/	×	,
(1600100) 100=16000
	2000
		/	,	×	,
(1800105272) 100=17099
	2001
		/	,	×	,
(2400115212) 100=20831
	2002
		/	,	×	,
(2800132194) 100=21181
	2003
		/	,	×	,
(3000145921) 100=20559
	
		/	,	×	,
2004 (3200154870) 100=20662
Paraobteroíndicedofaturamentorealcombaseem1999temosquecalcularoíndice dofaturamentonominaledividí-lopelorespectivoíndicedepreços.Paraoanode2002,por
exemplo,temos: 2800 ×
100
	1600	×	,
	.	100=13238
132194 Completandoparaosoutrosanosobtemos:
	Ano
	índicedofaturamentoreal(quantidade)
1999=100
	1999
	1600 ×
100
	1600	×	,
100=100000 100
	2000
	1800 ×
100
	1600	×	,
	.	100=10687
105272
	2001
	2400 ×
100
	1600	×	,
	.	100=13019
115212
	2002
	2800 ×
100
	1600	×	,
	.	100=13238
132194
	2003
	3000 ×
100
	1600	×	,
	.	100=12849
145921
	2004
	3200 ×
100
	1600	×	,
	.	100=12914
154870
Noteaseguinteequivalência(anode2002):
	2800 × 100	2800,	× 100
	1600	×	132194	×
	,	100=	100
	132194	1600
Otermononumeradoréofaturamentode2002apreçosde1999,enquantootermono denominadoréofaturamentode1999apreçosde1999.Ouseja,podemosobterasériede índicesdofaturamentorealapreçosde1999simplesmentedividindoasériedefaturamento apreçosde1999pelofaturamentorealdoanobase:Ano
	índicedofaturamentoreal
1999=100
	1975
		1600 ×	,
100=100000 1600
	1976
	,
	17099 ×	,
100=10687
1600
	1977
	,
	20831 ×	,
100=13019
1600
	1978
	,
	21181 ×	,
100=13238
1600
	1979
	,
	20559 ×	,
100=12849
1600
	1980
	,
	20662 ×	,
100=12914
1600
Senoexemplotivessemsidodadasastaxasdevariaçãodofaturamentoedopreço,o
deflacionamentoseriafeito,primeirotransformandoastaxasemíndices.
Taxa
índice Deflacionamento
i
(
taxanominal
)
→
1+
i
1+
i
1+
j
j
(
taxadeinflação
)
→
1+
j
EXEMPLO 5.2
Umapessoaaplicoudeterminadaquantiaaumataxadejurosde5%aosemestre.Ainflação nosemestreapresentouumavariaçãode7%.Quantoelaperdeuemduzentosreaisaplicados
nosemestre?
Solução
Aofinaldosemestre,cadarealaplicadoresultaem1,05.Mascomoainflaçãoéde7%, cadareal,aofinaldosemestre,emtermosdepoderdecompra,equivalea1,07.Logo,cada
realaplicadoaofinaldosemestrecorrespondea
,
105 ,
, =0981308
107
	×	,	,
Duzentosreaiscorrespondema200 0981308=1962616,oqueequivaleaumaperdade
3,7384reais.
	! Índices e taxas
5% ,
Umerrocomumconsisteemdividirastaxas– =071729,umvalor não se dividem nem se multiplicam taxas!7%
totalmentediferente.Lembre-se:
EXEMPLO 5.3
SaláriorealeINPC
Natabelaabaixotemososaláriodeumfuncionárionosmesesdejaneiroamaiode 2002easrespectivastaxasdeinflaçãomensalmedidaspeloINPC:
	Mês
	Salário(R$)
	INPC(%)
	dez-01
	3868,81
	0,74
	jan-02
	4060,03
	1,07
	fev-02
	4797,79
	0,31
	mar-02
	4540,89
	0,62
	abr-02
	4436,14
	0,68
	
	
	
	mai-02	4436,14	0,09
Calculeosaláriorealapreçosdedezembrode2001etambémoíndicedosaláriorealcom
t
baseemdez-01.Astaxasdeinflaçãomedemavariaçãomensal t−1
Solução
OprimeiropassoconsisteemcalcularasériedoINPCcombaseemdezembrode2001.
Emjaneirode2002ataxadeinflaçãofoide1,07%,comrelaçãoadezembrode2001,ouseja, pjan−	,
	02	107 ,
pdez−01 =1+100 =10107
Emfevereiro,temosque
	pfev−	0, 31 ,
02
pjan−02 =1+100 =10031
e
	pfev−	pfev−02	pjan−02	,	×	,	,
	02	×
	pdez− = pjan−	pdez− =10107 10031=101383
	01	02	01
Paramarço,temos:
pmar−02	pmar−02 × pfev−02	pjan−02	,	×	,	×	,	, ×
	pdez− = pfev−	pjan−	pdez− =10062 10107 10031=102012
02	02	01
Paraabril:
pabr−02	pabr−02 × pmar−02 × pfev−02	pjan−02 ×
	pdez− = pmar−	pfev−	pjan−	pdez−
01	02	02	02	01 ,	×	,	×	,	×	,	,
= 10068 10062 10107 10031=1027056
40	CAPÍTULO5. DEFLACIONAMENTOEPODERAQUISITIVO
64	CAPÍTULO5. DEFLACIONAMENTOEPODERAQUISITIVO
5.2. DEFLATOR	63
Paramaio:
	pmai−	pmai−	pabr−	pmar−
02 × 02 × 02 pdez− = pabr− pmar− pfev−
02	02	02
× pfev−02 × pjan−02 pjan− pdez−
01
= 10009 10068 10062 10107 10031=102798
ObtidaasériedoINPCcombaseemdezembrode2001,paraobterosaláriorealbasta
	Mês
	Salário(R$)
	INPC
	Salárioreal
	
	
	%
	dez-01=100
	apreçosdedez-01
	dez-01=100
	dez-01
	3868,81
	0,74
	100,000
	,
386881 ×	,
100=386881 100
	,
386881 ×	,
	,	100=10000
386881
	jan-02
	4060,03
	1,07
	101,070
	,
406003 ×	,
	,	100=401705
101070
	,
401705 ×	,
	,	100=10383
386881
	fev-02
	4797,79
	0,31
	101,383
	,
479779 ×	,
	,	100=473234
101383
	,
473234 ×	,
	,	100=122323
386881
	mar-02
	4540,89
	0,62
	102,012
	,
454089 ×	,
	,	100=445133
102012
	,
445133 ×	,
	,	100=11506
386881
	abr-02
	4436,14
	0,68
	102,706
	,
443614 ×	,
	,	100=431926
102706
	,
431926 ×	,
	,	100=11164
386881
	mai-02
	4436,14
	0,09
	102,798
	,
443614 ×	,
	,	100=431540
102798
	,
431540 ×	,
	,	100=11154
386881
dividirosalárionominaldecadamêspelorespectivovalordoíndice:
Aodeflacionarmosessessalários,estamoscolocandotodoselesna“mesmamoeda”,ou seja,elessãocomparáveisparaefeitosdepoderdecompra. Écomosetivéssemosduas pessoasemdezembrode2001,umaganhandoR$3668,81eaoutra,R$4315,40;comessa comparaçãoficaclaroqueasegundapessoaganhamaisqueaprimeira,ouseja,emtermos reais,osaláriodemaiode2002émaiorqueosaláriodedezembrode2001.
	,	×	,	×	,	×	,	×	,	,
5.3	Poder aquisitivo
Opoderaquisitivodeumdeterminadovolumedeunidadesmonetárias,comrelaçãoa
umacertaépocabase,éoseuvalordeflacionadocomreferênciaaessaépocabase. t
Consideremosnovamenteoexemplovistonoiníciodaseção:em 1,umquilodecarne t
custava8,00reaiseem 2,10reais.Senos2períodosdispuséssemosdamesmaquantiade t
250reaisparacompraressacarne,em 1 poderíamoscomprar
	250R$	,
/ =3125kg 8R$ kg
t
eem 2
250R$
/ =25kg
10R$ kg
Logo,arelaçãoentreasquantidadesé
	25	,
, =080
3125
Issosignificaqueopoderaquisitivo(paraesseúnicoproduto)caiu20%.Noteque:
25=
250
R$
10
R$
/
kg
=
8
=
1
	,	250 R$	10
3125	/	10 8 R$	kg	8 t
Nodenominadordaúltimafraçãotemosorelativodepreçodacarnecombaseem 1,ouseja, opoderaquisitivoéobtidotomando-seoinversodoíndicedepreçoescolhido.
EXEMPLO 5.4
Poderaquisitivodoreal
ConsidereasériedoIGPdadaaseguir. Calculeopoderaquisitivode1R$combase
norealde2000.
	Ano
	IGP-2000=100
	2000
	100
	2001
	110
	2002
	140
	2003
	150
	
	
	2004	168
Solução
	Ano
	IGP-2000=100
	Poderaquisitivode1R$(2000=100)
	2000
	100
	/	×	.
(1100) 100=100000
	2001
	110
	/	×	,
(1110) 100=090909
	2002
	140
	/	×	,
(1140) 100=071429
	2003
	150
	/	×	,
(1150) 100=066667
	
	
	/	×	,
	2004	168	(1168) 100=059524
Em2002,1R$temomesmopoderaquisitivode0,71429R$de2000,enquantoem2004, 1R$temopoderaquisitivode0,59524R$em2000.
5.3. PODERAQUISITIVO
EXEMPLO 5.5
Salárioreal
Osaláriodeumtrabalhadorfoireajustadoem80%emumdadoperíodo,enquantoa
inflaçãofoide92%nomesmoperíodo.Qualfoiaperdadopoderaquisitivodessetrabalhador? Solução
Pararesolveresseproblema,temosquecolocarambasastaxasemformadeíndice. Assimoíndicedosaláriorealé	,
18 ,
, =09375
192
Logo,opoderaquisitivodosalárionofinaldoperíodoéiguala0,9375dopoderaquisitivono iníciodoperíodo,oqueequivaleaumaperdade6,25%.
48	CAPÍTULO5. DEFLACIONAMENTOEPODERAQUISITIVO
Capítulo 6
Exercícios propostos
1.NastabelasabaixotemosoPIBnominaldoBrasilemmilhõesdecruzados.Determine
osíndiceseastaxasdecrescimentonominaldoPIBnosperíodos.
	Ano
	PIB(1000R$)
	Ano
	PIB(1000R$)
	1980
	914.188
	2002
	1.346.028
	
	
	
	
	2000	1.101.255 2004	1.769.202
Fonte:www.ipeadata.gov.br
2.NatabelaabaixotemosasesperançasdevidanoBrasil.Determineosíndicescombase em1980eastaxasdecrescimentodaesperançadevidanosperíodosconsiderados.
	Ano
	Esperançadevida
	Ano
	Esperançadevida
	1980
	62,7
	2000
	70,4
	
	
	
	
	1990	66,6	2005	71,9
Fonte:www.ibge.gov.br/TábuasCompletasdeMortalidade-NotasTécnicas-Tabela10
3.Considereosdadosdatabelaabaixo.
	Anos
	1994 1995 1996 1997 1998
	Relativosdepreço1994=100
	100 102 112 115 125
	
	
Relativosdequant.1996=100 90 98 100 110 120
(a)Calculeosrelativosdepreçoequantidadecombase1998=1. Quepropriedades
vocêutilizounosseuscálculos?
(b)Calculeosrelativosdevalorcombase1998=1.Quepropriedadevocêutilizounos
seuscálculos?
4.Umaempresadesejaaumentarasvendas(quantidades)em60%. Qualdevesera
variaçãodepreçoparaqueofaturamentoduplique?
5.Seaquedaesperadanasvendasdeumprodutodeumacertaempresaforiguala10% comrelaçãoaodesempenhoatual,qualoaumentopercentualdepreçosquepermitirá
manterofaturamentonomesmoníveldoatual?
49
65
6.Umjornalpublicouatabelaabaixocomoseguintecomentário:“Aproduçãodesoja aumentou50%em1978comrelaçãoa1976,e117%em1979comrelaçãoa1978”.Essa
afirmaçãoécorreta?
	Ano
	Quantidade(t)
	1976
	750
	1977
	1.000
	1978
	1.500
	
	
	1979	1.750
7.Se,em2004,umaempresavendeuumaquantidadedemercadoria60%superiorade 2003,emquantoporcentoaquantidadedemercadoriavendidaem2003éinferioràde 2004?Quepropriedadevocêusou?
8.Umvendedorvendeuemmarço25%maisdoquenomêsanterior.Quantoporcentoele vendeuamenosemfevereiro,comrelaçãoamarço?Quepropriedadevocêusou?
9.Seopreçodeumprodutoaumentou20%eaquantidadevendidatambémaumentouem 20%,qualoaumentopercentualdofaturamentodaempresacomesseproduto? Que
propriedadevocêusou?
10. (a)Umacompanhiadeturismoespera,paraopróximoverão,umaumentode50%na procuradeseuspacotesturísticos.Emquantoeladeveráaumentarseuspreçosse
desejardobrarseufaturamento?
(b)Seessamesmacompanhiaesperasseumaquedade15%naprocuradeseuspacotesturísticos,emquantoeladeveriaaumentarseuspreçosparamanterinalteradoseu
faturamento?
(c)Seessacompanhiavender,esteano,25%amenosdeseuspacotesturísticosdo quevendeunoanopassado,quantosporcentoasvendasdoanopassadoserão
maioresqueasdesteano?
11.Em2004,opreçodeumprodutoaumentou12%comrelaçãoaopreçode2003,enquanto aquantidadevendidanomesmoperíododiminuiude6%.Qualfoiavariaçãopercentual
dovalordoprodutonesseperíodo?
12.Umveículoutilizandogasolinaconsegueandar,emmédia,30%maisdoqueutilizando
álcool.
(a)Seopreçodoálcoolé35%inferioraodagasolina,parapercorreramesmadistância,
qualocombustívelmaiseconômicoeemqueporcentagem?
(b)SeoproprietáriodoveículogastaemmédiaR$100mensaiscomgasolina,qual seráseugastomensalsetrocaroveículoagasolinaporoutroaálcool,supondo
quepercorreráosmesmostrajetossobasmesmascondições?
13.Seumveículoagasolinapercorreumadistância30%superioraoutrodamesmamarca
queseutilizadeálcool,quantoespaçoesseúltimoandamenosdoqueoprimeiro?
14.Considereasseguintesépocas: 1998,2000e2004. Em1998,opreçodeumbemfoi 10%menordoqueopreçodomesmobemem2000e,em2004,20%superioraode2000. Qualseráoaumentodepreçoem2004combaseem1998? Quepropriedadesvocê
usou?
15.Suponhaqueumíndicedepreçostenhatidoasseguintesvariaçõescomrelaçãoaoano
imediatamenteanterior:
1999: cresceu9%
2000: cresceu6%
2001: cresceu8%
Qualoaumentodepreçode2001comrelaçãoa1998?Quepropriedadesvocêusou?
16.UmafuncionáriatemumsalárioanualdeR$10.000,00,maséinformadadequeteráuma reduçãosalarialde10%emvirtudedaquedadoslucrosdaempresa.Entretanto,elaé informadadequeteráumaumentode10%nopróximoano.Elaaceita,acreditandoque asituaçãonãoseafiguratãoruim,poisareduçãoinicialde10%serácompensadapelo aumentoposteriorde10%.
(a)Qualseráarendaanualdafuncionáriaapósareduçãode10%?
(b)Nopróximoano,qualseráarendaanualdafuncionáriaapósoaumentode10%?
(c)Areduçãoinicialde10%seguidadoaumentoposteriorde10%restituiàfuncionária
arendaanualdeR$10.000,00?
(d)Qualdeveráseroaumentoadicionalparaqueafuncionáriavolteaterumarenda
anualdeR$10.000,00?
17.Umdonodehotelinformouque,emsetembro,iriareduziropreçodasdiáriasdeseu hotelem25%,emcomparaçãocomomêsanterior.Elenãodisse,mastalmedidateveque sertomadaporque,emagosto,oshóspedesodenunciaramaoProcon(éque,aí,odono dohoteltinhareajustadoasdiáriasem50%,emrelaçãoajulho).Determineospreços
relativosdasdiáriasemagostoesetembro,tomandojulhocomomêsdereferência.
18.AslojasPiranivenderam, emnovembro, 50televisoresColorado, aopreçounitário deUS$350,00. Emdezembro,osmesmostelevisoreseramvendidosaUS$500,00a
unidade,razãopelaqualsóforamvendidas30unidades.Determineosíndicesdepreço,
quantidadeevalorcombaseemnovembro.
19.Dadaatabelaabaixo,determineosrelativosdepreço,quantidadeevalor,tomando comodata-base:
(a)janeiro
(b)julho
(c)dezembro
	Mês
	Preço
	Quantidade
	Mês
	Preço
	Quantidade
	jan.
	5.292
	201
	jul.
	6.891
	229
	fev.
	5.436
	215
	ago.
	7.156
	226
	mer.
	5.949
	210
	set.
	7.616
	228
	abr.
	6.411
	219
	out.
	8.315
	217
	mai.
	6.407
	230
	nov.
	9.223
	225
	
	
	
	
	
	
	jun. 6.869	227	dez. 9.815	231
20.Considereosseguinteselosderelativo(ouíndiceano/anoanterior):
	Anos
	1995 1996 1997 1998
	
	
Índices 122 109 104 102
Calculeosíndicescombaseem1996e1994.Quepropriedadesvocêusou?
21.Oíndiceconstantedatabelaabaixofoicalculadocombasemóvel,istoé,sãodadosos
elosderelativos:
	Anos
	1998 1999 2000 2001
	
	
Índices 102 109 106 108
Calculeosíndicescombaseem2001,1999e1997.Quepropriedadesvocêusou?
22.Ainflaçãoacumuladaatéomêsdeabril(inclusive)dedeterminadoanofoi24,73%.Em abril,ataxadeinflaçãofoide5,7%sobremarço. Seessataxasemantiverparaos
próximos8meses,qualseráataxadeinflaçãodoano?
23.Dadasasvariaçõesmensaisdeumíndicedepreços,istoé,oselosderelativos,calcule:
(a)avariaçãoacumuladaatéomêsdedezembro; (b)ataxamédiamensaldevariação.
	Mês
	Jan
	Fev
	Mar
	Abr
	Mai
	Jun
	Jul
	Ago
	Set
	Out
	Nov
	Dez
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	%	2,0	3,2	-2,5	5,1	10,2	-5,8	-4,3	1,5	6,0	7,1	8,3	15,1
24.OvalordosaláriodeumoperárioemjaneirodedeterminadoanoédeR$482,00.
Segundoasplanilhasdaempresa,haveráaumentosde3%,4,2%e5%acadatrimestre
o
(aumentosnossaláriosdeabril,julhoeoutubro). Emdezembro,qualovalordo13
saláriodesteoperário?
25.AtabelaaseguirapresentaaevoluçãodoIGP,noperíodode1995a2004.Calculara taxadevariaçãomédiaanualdoIGPnoperíodo.
	Ano
	1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
	
	
IGP-DI(ago/94=100) 117 131 141 146 163 185 205 232 285 312
Fonte: www.ipeadata.gov.br
26.Atabelaabaixorefere-seàproduçãobrasileiradelaminadosdeaço,emmilharesde toneladas,noperíodode1995a2000.Calculeosrelativosdequantidadeparaoperíodo considerado,tomando2000comobase.
	Anos
	1995 1996 1997 1998 1999 2000
	
	
Produçãodelaminados(1000t) 15889 16733 17452 16336 16810 18202
Fonte: www.ipeadata.gov.br (IBS/IE)
27.Aquantidaderelativadecertoprodutonoanode2000,referidaaode1991,éiguala 105,enquantoqueade2000,referidaa1995,é140.Determineaquantidaderelativa
de1995,tomandocomobaseoanode1991.
28.Sejamosseguinteselosderelativosdepreçosnoperíodode2000a2004: 105,103, 108,110e104.
(a)Determinaropreçorelativode2002,tomandoporbaseoanode1999.
(b)Encadearoselosrelativos,tomandoporbaseoanode2000.
(c)Qualainterpretaçãodovalorobtidoparaoanode2004?
29.Dadosospreçosdecincoprodutos,determinaroíndicedepreçousandoométodo
agregativosimples(Bradstreet)etomandooanode2000comobase.
	Bens
	Preços
	
	2000
	2001
	2002
	A
	17,00
	26,01
	27,52
	B
	19,36
	41,88
	29,99
	C
	15,18
	15,81
	14,46
	D
	99,32
	101,26
	96,17
	
	
	
	
E 12,15 13,49 11,40
30.Comosdadosdoproblemaanterior,determineosíndicesdepreço,combaseem2000,
usandoosmétodosdasmédiasaritmética,geométricaeharmônicasimples.
T
31.Dadasastabelasabaixo,calcularosíndicesagregativos,combaseem 0,baseadosnas médiasaritmética,geométricaeharmônica.
(a)
	Produtos
	Unidade
	T
0
	T
1
	
	
	Preço Quantidade
	Preço Quantidade
	carnes
	kg
	155,70
	2,0
	191,50
	1,3
	frutas
	un.
	15,00
	4,0
	20,00
	5,0
	azeite
	lata
	122,25
	1,0
	170,00
	1,0
	bebidas
	gr.
	42,00
	6,0
	50,00
	10,0
	limpeza
	vd.
	35,00
	2,0
	40,60
	1,0
	legumes
	bc.
	10,00
	2,0
	10,00
	3,0
	ovos
	dz.
	46,00
	1,0
	66,40
	2,0
	amendoim
	sc.
	30,00
	1,0
	35,00
	1,0
	
	
	
	
	sal	kg	25,00	1,0 28,00	1,0
un.=unidade;vd=vidro;gr.=garrafa;bc=bacia;sc.=saco
(b)
	Produtos
	Unidade
	T
0
	T
1
	
	
	Preço Quantidade
	Preço Quantidade
	leite
	lt.
	36,00
	2
	42,00
	3
	pão
	un.
	6,00
	3
	8,00
	5
	café
	g.
	76,00
	500
	92,00
	500
	
	
	
	
	açucar kg	19,00	2 25,00	1
32.Verifiqueseosíndicesbaseadosnasmédiasartimética,geométricaeharmônicasimples
satisfazemocritériodadecomposiçãodascausas.
33.Usandoofatodequepodemosescrever
	n	n	i	n
X X p X pit
n = i 1= pi00 = =1 pit i	i
	=1	=1
mostrequeosíndicesdepreçobaseadosnasmédiasartiméticaeharmônicapodemser
50	CAPÍTULO6. EXERCÍCIOSPROPOSTOS
70	CAPÍTULO6. EXERCÍCIOSPROPOSTOS
71
escritoscomo:
	n	n
	P pit × 1i	P pit × 1i
pA,t = i=1n	0	pH0,t = i=1n	pt p
0
P pi0 × p1i	iP=1 pi0 × p1it i
	=1	0
	1 1 ,	valor	preço ×
Dêumainterpretaçãoparaostermos pi e pit lembrandoque	= quantidade.	0
Usandoessefato,interpreteosignificadodecadaumdosíndicesde
preço.
34.Resolvaoexercícioanterior,trabalhandoagoracomíndicesdequantidade.
t
35.Suponhaqueumíndicedepreços,comparandoospreçosentreoinstantebase =0e t
uminstanteposterior =1,ebaseadonamédiaartiméticasimples,tenhasidocalculado n
combaseem produtos.Suponhaquesequeiraacrescentarumnovoproduto.Mostre
comoobteronovoíndice.
36.Resolva o problema anterior, trabalhando agora com o índice baseado na média
geométricasimples.
	Produto
	Unidade
	t
=0
	t
=1
	t
=2
	
	
	Preço Quant.
	Preço Quant.
	Preço Quant.
	batata
	kg
	65,00
	5,0
	90,00 2,00
	120,00
	3,0
	carne
	kg
	560,00
	1,5
	795,00 2,00
	999,00
	3,0
	óleo
	l
	155,00
	2,0
	205,00 5,00
	280,00
	1,0
	queijo
	kg
	350,000,5
	500,00 0,25
	690,00
	1,0
	cerveja
	garrafa
	95,00 12,0
	130,00 6,00
	150,00 18,0
	
	
	
	
	
37.Considereosdadosdatabelaabaixo.
	vinho	garrafa 470,00	2,0 685,00 3,00 865,00	1,0
(a)ObtenhaospesosparaocálculodosíndicesdeLaspeyresePaaschecombaseem t	t	t	.
=0, =1e =2
(b)CalculeosíndicesdepreçoequantidadedeLaspeyresePaaschecombaseem t	t	t	.
=0, =1e =2
(c)UseessesresultadosparamostrarqueosíndicesdeLaspeyresePaaschenão
satisfazemaspropriedadesdecircularidadeereversibilidade. t	t	t	.
(d)Calculeosíndicesdevalorcombaseem =0, =1e =2
(e)Use os resultados para mostrar que os índices de Laspeyres e Paasche não
satisfazemapropriedadededecomposiçãodascausas.
(f)Verifique, comessesdados, queosíndicescruzadosdeLaspeyresePaasche satisfazemapropriedadededecomposiçãodascausas.
38.Osdadosabaixoreferem-seàsquantidadesproduzidas(toneladas)eospreçosmédios
porquilogramarecebidosporcertosprodutores.
	Produtos
	2001
	2002
	2003
	
	pt	qt
	pt	qt
	pt	qt
	A
	5,00 100
	6,00 100
	10,00 120
	B
	10,00 50
	15,00 60
	15,00 70
	C
	3,50 120
	5,80 130
	6,60 110
	D
	4,10 200
	6,00 250
	7,00 260
	
	
	
	
	E	8,00 180 10,80 200 11,50 200
Calcule:
(a)osíndicesdepreçoequantidadedeSauerbeckcombaseem2001;
(b)osíndicesdepreçoequantidadedeLaspeyrescombaseem2001; (c)osíndicesdepreçoequantidadedePaaschecombaseem2001.
39.Deacordocomoprincípiodadecomposiçãodascausas,qualavariaçãodeumíndice devalorseoíndicedepreçosdePaaschecresceu20%eodequantidadedeLaspeyres
decresceu20%?
40.Dados V0,t =108e L0P,t =102, dequemodopoderíamosobterumíndicedequantidade dePaasche? t
41.Apartirdosresultadosdoexercício37,calculeoíndicedeFishercombaseem 0.
42.Comosdadosdoexercício38,calculeosíndicesdepreçoedequantidadedeMarshallEdgeworthedeDivisia,tomando2001comobase.
43.Mostreque,seoíndicedeLaspeyresforigualaodePaasche,entãoeletambémserá
igualaodeFisheredeMarshall-Edgeworth.
44.Dadasastabelasabaixo,determineosíndicesdepreçoedequantidadedeLaspeyres, Paasche,Fisher,Marshall-EdgewortheDivisia.Tome1990comobase.
	Produto
	Preço
	Quantidade
	
	1990 1994
	1990 1994
	papel
	7,00 14,80
	5,0 8,0
	almofada
	3,00 3,50
	10,0 16,0
	caneta
	6,00 6,80
	8,0 12,0
	lápis
	4,20 4,90
	5,0 6,0
	clipes
	7,10 9,00
	0,3 0,4
	borracha
	2,80 7,90
	4,0 3,0
	cola
	3,70 5,00
	3,0 4,0
	
	
	
	tinta	6,80 7,70 2,5 5,0
45.Atabelaabaixoapresentaosíndicesdepreçonovarejodefrutaselegumesnoperíodo de86a92.Determinarosíndicesdepreçosdessesprodutostomandocomobase:
1986
1989 (c)1992
	Data
	Índicedepreços(1980=100)
	
	Frutas
	Legumes
	1986
	113,3
	111,9
	1987
	116,9
	117,5
	1988
	118,7
	123,3
	1989
	129,6
	140,6
	1990
	154,0
	163,6
	1991
	165,6
	171,9
	1992
	190,5
	193,1
	
	
	
	1993 195,2	198,6
46.Sabendo-sequeosíndicesdepreçoaoconsumidordequatroperíodosconsecutivossão:
119,12;116,16;118,02e121,75,determinaroíndicedepreçosrelativoaoperíodotodo. t−t .)
(Osvaloresdadossãoíndicesdotipo 1
47.Dadaatabelaaseguir,determinarosrelativosdepreço,quantidadeevalor,tomando porbase:
1980
1989.
	Ano
	Preço
	Quant.
	Ano
	Preço
	Quant.
	Ano
	Preço
	Quant.
	1980
	471
	94
	1985
	754
	117
	1990
	969
	108
	1981
	518
	99
	1986
	785
	104
	1991
	1015
	105
	1982
	613
	95
	1987
	825
	107
	1992
	1070
	102
	1983
	707
	104
	1988
	893
	111
	1993
	1663
	99
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1984 710	113 1989 927	110 1994 1745	94
48.Atabelaabaixoapresentaumasériedenúmeros-índicecujabaseé1990=100.Mudá-la, considerandocomobase:
(a)1994=100
(b)1992=100
(c)1989=100.
	Ano
	1989
	1990
	1991
	1992
	1993
	1994
	
	
	
	
	
	
	
Índice 94,1 100,0 105,8 112,3 118,9 124,8
49.Ospreçosmédiosportoneladadecanadeaçucarpagosaoprodutorencontram-sena
tabelaabaixo.
	Anos
	1999 2000 2001 2002 2003 2004
	
	
Preçomédiodacanadeaçucar(R$/ton) 15,06 18,68 25,24 26,15 30,07 28,46
Fonte: www.ipeadata.gov.br (FGV - Agroanalysis - média anual)
(a)Tomandoamédiadoperíodode1999a2000comobase,determineasériedos
relativosdepreçoparatodososanos.
(b)Tomando2004comobase,determineasériedosrelativosdepreçoparatodosos
anos.
50.Osaláriodogerentegeraldeumaempresa,emdezembrode2004,eradeR$15.000,00. OICVdedezembrode2004,combaseemdezembrode1999,variou56,34%. Qualo poderaquisitivodosaláriodessegerenteemdezembrode2004,combaseemdezembro
de1999?
51.Utilizandoosdadosdatabelaabaixo,calcular
(a)asériedeíndicesdossaláriosreais,combase2001=100.
(b)asériedossaláriosreaisapreçosde2001.
(c)asériedastaxasdevariaçãoanualdossaláriosnominaisereais.
	Anos
	Salário	ICV
(u.m.) 1996=100
	2001
	3.200
	137
	2002
	4.600
	155
	2003
	5.200
	170
	
	
	2004 6.400	183
52.Dadasasséries
	
		2000	2001	2002
	(1)
Valordasvendasindustriais-1000R$
	590.978.128 690.748.956 797.226.731
	(1)
Saláriosnaindústria-1000R$
	57.266.221 63.909.526 70.277.206
	(1)
PessoalocupadonaIndústria
	5.315.408 5.453.460 5.680.111
	(2)
ICV-1996=100
		125	137	155
	(3)
	
	Índicedepreçosindustriais-2001=100	90	100	115
Pesquisa Anual da Indústria - IBGE
www.ipeadata.gov.br - ICV-SP
Índice de Preços por Atacado - Oferta Global - FGV
pede-se
(a)ovalordasvendasindustriaisapreçosconstantesde2000.
(b)osaláriorealmédio,apreçosconstantesde2000.
53.Paraumataxadeinflaçãode25%,qualaperdapercentualdopoderaquisitivoda
moeda?
54.Ainflação,medidapeloICV,noperíododeumano(março04-março05),acusouvariação de8,01%,enquantoosfuncionáriospúblicosdecertoestadotiveramseusvencimentos reajustadosem5,63%emmarçode2005.Qualaperdapercentualdepoderaquisitivodos saláriosdosfuncionáriospúblicosemmarçode2005,combaseemmarçode2004?Em quantoporcentoossaláriosdeveriamserreajustadospararecomporopoderaquisitivo demarçodoanoanterior?
55.Umaempresaapresentouosseguintesdadosrelativosaofaturamentode2000a2004 exibidosnatabelaaseguir,enquantooIGPnomesmoperíodo,apresentouosvalores
aíexibidos:
	Ano
	2000 2001 2002 2003 2004
	Faturamento(1000R$)
	800 850 950 1050 1350
	
	
IGP-DI-1995=100 157 174 220 237 265
(a)Calcularofaturamentorealdaempresa,apreçosde2000.
(b)Calcularataxadevariaçãoanualdofaturamentorealnoperíodo.
(c)Calcularataxamédiaanualdevariaçãodofaturamentoreal.
56.Seumindivíduoaplicoudeterminadaquantiadurantecertoperíodoaumataxanominal
de4,5%eaumataxarealnegativade5%,estimeataxadeinflaçãonoperíodo.
57.SeoPIBcresceu10%emdeterminadoperíodo,enquantoapopulaçãocresceu5%,qual
avariaçãodoPIBpercapitanoperíodo?
58.Osaláriomédiodedeterminadaclasseoperáriaemcertalocalidade,em2004,foide R$850. Oíndicedecustodevidanestemesmoanoeraiguala156eode1997era iguala90,ambosreferidosaoperíodobásicode1997-99. Determineosalárioreal dessaclasseoperáriaem2004,tomando1997comobase.
Capítulo 7
Solução dos exercícios propostos
1.
	Ano
	PIB(1000R$)
	Índice:1980=100
	Índice:2000=100
	1980
	.
914188
		×	/	,
100 914188914188=10000
		×	/	,
100 9141881101255=8301
	2000
		.	.
1101255
		×	/	,
100 1101255914188=12046
		×	/	,
100 11012551101255=10000
	2002
		.	.
1346028
		×	/	,
100 1346028914188=14724
		×	/	,
100 13460281101255=12223
	
		.	.
		×	/	,
		×	/	,
	2004	1769202 100 1769202914188=19353 100 17692021101255=16065
	Ano
	Índice:2002=100
	Índice:2004=100
	1980
		×	/	,
100 9141881346028=67917
		×	/	,
100 9141881769202=51672
	2000
		×	/	,
100 11012551346028=81815
		×	/	,
100 11012551769202=62246
	2002
		×	/	,
100 13460281346028=100000
		×	/	,
100 13460281769202=76081
	
		×	/	,
		×	/	,
2004 100 17692021346028=131439 100 17692021769202=100000
	Ano
	Taxadevariação(%)
	1980
	
	
	2000
	
1101255
914188
	
−	×	,
1 100=20463
	2002
	
1346028
1101255
	
−	×	,
1 100=22227
	2004
	
1769202
	
−	×	,
1 100=31439
1346028
Notequeasmesmastaxasdevariaçãopodemserobtidasatravésdequalquerumadas sériesdenúmerosíndices,devendo-seapenastercuidadocomosarredondamentos.
2.
	Ano
	Expectativadevida
	Índice:1980=100
	Taxadevariação(%)
	1980
	62,7