Introdução às Derivadas

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12/04/2016 Introdução às Derivadas: resumão da sua universidade no Responde Aí
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Teoria Exercícios
Introdução e definição
O carrinho abaixo de desloca em linha reta para a
direita:
Beleza, te digo o seguinte: o carrinho andou 
de da manhã até . Te pergunto, qual é a
velocidade média dele? E qual é a velocidade dele
às ?
Repare, a primeira pergunta é sobre a velocidade
média, enquanto a segunda é sobre a velocidade
no instante (ou instantânea). Pra primeira, é fácil:
Agora, responder a segunda só com as informações
dadas é impossível. A velocidade instantânea pode
ser , caso ele tenha mantido a velocidade
constante sempre, pode ser , se ele tiver andado 
 por , parado por mais min e
andado os últimos nos últimos , ou
uma infinidaaaade de outras possibilidades. Ok,
mas como eu conseguiria descobrir essa taxa de
01. INTRODUÇÃO ÀS DERIVADAS
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DERIVADAS
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1. Introdução às Derivadas
Teoria Exercícios
2. Regras de Derivação I
3. Regras de Derivação II
4. Taxas Relacionadas
5. Teorema do Valor Médio
6. Regra de L'Hospital
7. Esboço de Curvas
8. Problemas de Otimização
 
 
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variação instantânea? Através da nossa
queridíssima derivada!
Melhorando, a derivada é a taxa de variação
instantânea de uma grandeza em relação a outra
(no nosso caso, a variação da posição em relação
ao tempo).
Está abstrato ainda? Aguarde e confie, hora de
aprofundar!
Limites e Derivadas
Cara, pensa assim: concorda que num intervalo
bem pequeno eu poderia aproximar a velocidade
no instante pela média dela? Digo, para um objeto
que se move com posição dada por eu posso ir
aproximando a velocidade instantânea no ponto 
pela velocidade média comparando o ponto e um
outro ponto perto dele.
Acompanha o exemplo: aproximando para 
:
Quero uma precisão maior, vou usar , que é
mais perto de :
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Tá fraco ainda, quero mais certo, :
Vou assim infinitamente, por que eu quero essa
maldita velocidade exata, no instante ! Amigo
ou amiga, vamos fazer assim, vou dizer que estou
num intervalo 
E que eu quero que esse seja muito muito
muuuuuuuito pequeno (ou seja, ):
O resultado dessa conta vai depender da função 
. Digamos que a função fosse . Qual a
velocidade do carro em ? Só aplicar a
fórmula:
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Logo, a velocidade instantânea para um ponto 
qualquer é:
Generalizando, a derivada de uma função pode ser
calculada pela sua definição que é:
Notação
Se quiséssemos representar essa derivada da
função, escreveríamos assim:
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Existem várias maneiras de representar uma
derivada. A mais explícita delas é a seguinte:
Lê-se derivada de em/com relação a . Outra
maneira, mais prática é a seguinte:
Interpretação Gráfica
Graficamente, a derivada em um ponto é o
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico
naquele ponto. Isso pode parecer abstrato de
início, mas é uma noção que você vai se
acostumando aos poucos. Dá uma olhada nesse
gráfico a seguir:
Vamos por partes. Tem a função em laranja. E
temos a sua reta tangente num ponto qualquer. O
coeficiente angular da reta tangente é igual à
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derivada da função naquele ponto.
O coeficiente angular ainda se conecta com a
inclinação da reta da seguinte forma:
Se quiser um olhar mais físico, pra não nos
perdermos nessas relações matemáticas todas,
imagine que gráfico da função é um trilho de trem
visto de cima, e num dado ponto o trilho se
rompesse. A direção que o vagão vai seguir nesse
ponto é a direção da reta tangente. Sentiu?
É basicamente isso que se precisa saber.
Derivada da Função Constante
Seja , onde é uma constante qualquer.
Qualquer. Por exemplo, . Ou . Ou . Qual é
a derivada de ?
Logo, a derivada de qualquer função constante ( ou
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seja, que não depende de nenhuma variável) vai
ser igual a ZERO.
Derivada de Polinômio
A brincadeira agora é saber a derivada de um
polinômio qualquer .
Bem, podemos calcular a derivada pela definição
que aprendemos:
Tente calcular esse limite aí sozinho e se sinta
orgulhoso de conseguir demonstrar
matematicamente a derivada da função polinomial!
Uma dica:
Bem, se você é muito fera, deve ter achado que:
QUEEEE? Sempre vou ter que calcular esses limites
malucos para achar a derivada das funções??
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Não! Costumamos “jogar direto” que a derivada de 
. Cada função tem uma derivada
própria que aprenderemos mais para frente.
Exemplos:
Convoco-te, então, para mostrar todo seu poder e
fúria nos exercícios, partiu?
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