Tópico 1 – Revisão de Matrizes e Determinantes

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática 
Álgebra Matricial 
 
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Tópico 1 – Revisão de Matrizes e Determinantes 
 
DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES 
Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m x n elementos (em geral, números 
reais) dispostos em m linhas e n colunas. 













mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
21
22221
11211

 
Cada elemento da matriz A está relacionado com dois índices: aij. O primeiro índice indica a 
linha e o segundo a coluna a que o elemento pertence. A matriz A pode ser representada 
abreviadamente por A = [aij], i variando de 1 a m e j variando de 1 a n. 
Por exemplo: A(2,3) = [i + j] é a representação para a matriz de ordem 2 x 3 dada por 
A = 






232221
131211
aaa
aaa
 = 






543
432
. 
 
 A matriz na qual m

n é retangular, se representa por A(m,n) e se diz de ordem m por n ou 
m x n. 
 A matriz na qual m = n é quadrada, se representa por Na (ou A(m,n)) e se diz de ordem n. 
 A matriz de ordem m por 1 é uma matriz coluna ou vetor coluna e a matriz 1 por n é uma 
matriz linha ou vetor linha. 
 Numa matriz quadrada A = [aij], de ordem n, os elementos aij em que i = j, constituem a 
diagonal principal; os elementos aij em que i + j = n + 1 constituem a diagonal secundária. 
 
A = 















6321
5146
8279
0831
 
 Diagonal secundária Diagonal principal 
 
 A matriz quadrada A = [aij] que tem os elementos aij = 0, quando i  j, é uma matriz 
diagonal. Se, além disso, todos os elementos da diagonal principal forem iguais a 1, então 
é uma matriz unidade. Indica-se a matriz unidade por In
 ou, simplesmente, I. 
 Uma matriz zero é a matriz cujos elementos são todos nulos. 
 
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 Matriz oposta de uma matriz A = [aij] é a matriz B = [bij] tal que bij = -aij. Indica-se a 
matriz oposta de A por -A. 
 A matriz quadrada A = [aij] que tem os elementos aij = 0 para i > j é uma matriz triangular 
superior e a matriz quadrada B = [bij] que tem os elementos bij = 0 para i < j é uma matriz 
triangular inferior. 
 
IGUALDADE E OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 Duas matrizes A = [aij] e B = [bij], de mesma ordem, são iguais se, e somente se, aij = bij. 
 A soma de duas matrizes A = [aij] e B = [bij], de mesma ordem, é uma matriz C = [cij] tal que 
cij = aij + bij. Indica-se a soma de duas matrizes A e B por A + B. 
 A diferença A – B de duas matrizes de mesma ordem é definida por A + (–B ). 
 Para as matrizes A, B e C, de mesma ordem, tem-se as seguintes propriedades: 
 A + (B + C) = (A + B) + C associatividade da adição 
 A + B = B + A comutatividade da adição 
 A + O = O + A = A elemento neutro aditivo 
 A + (–A) = (–A) + A = O elemento simétrico aditivo 
 
 Se  é um escalar, o produto de uma matriz A = [aij] por esse escalar é uma matriz B = [bij] 
tal que bij = aij. Indica-se o produto da matriz A pelo escalar  por A. 
 Para  e  escalares e A e B matrizes de mesma ordem, tem-se as seguintes 
propriedades: 
 ()A = (A) 
 ( + )A = A + A 
 ( - )A = A - A 
 (A + B) = A + B 
 1A = A 
 O produto de uma matriz 
 
pmji
aA


 por 
 
npji
bB


 é a matriz 
 
nmji
cC


, tal que 
jic
 é a 
soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha de ordem 
i
 de 
A
 e da coluna 
j
 de 
B
. Obs.: lembra que para que seja possível tal multiplicação, o número de colunas de 
A deve ser igual ao número de linhas de B. 
 
Exemplo: 







61
23
A
 







051
784
B
 
 
Vamos usar um dispositivo prático para determinar 
BA
. 
 
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4 8 7
1 5 0






  
 
 3 2
1 6






c c c
c c c
11 12 13
21 22 23






 
 

































 BA
 
 Admitindo que as ordens das matrizes possibilitem as operações, tem-se as seguintes 
propriedades: 
 (AB)C = A(BC) 
 (A + B)C = AC + BC 
 C(A + B) = CA + CB 
 (A)B = A(B) = (AB),  

IR 
 AB 

 BA, em geral 
 
MATRIZ TRANSPOSTA E MATRIZ SIMÉTRICA 
 A matriz transposta de A = [aij], de ordem m por n, é a matriz A
t, de ordem n por m , que se 
obtém escrevendo ordenadamente as linhas de A como colunas de At. Isto é At = [bij] onde 
bij = a ji. 
 Para um escalar qualquer  e para matrizes A e B de mesma ordem, tem-se as seguintes 
propriedades: 
 (A + B)t = At + Bt 
 (A)t = At 
 (At)t = A 
 (AB)t = BtAt 
 Uma matriz quadrada S = [aij] é simétrica se S
t = S. O produto de uma matriz quadrada A 
pela sua transposta At é uma matriz simétrica. A soma de uma matriz quadrada A com a 
sua transposta At é uma matriz simétrica. 
 Uma matriz quadrada A = [aij] é simétrica se, e somente se, os elementos dispostos 
simetricamente em relação à diagonal principal são iguais. 
 Uma matriz quadrada A é anti-simétrica se At= -A. A diferença B = A – At entre uma matriz 
quadrada A e sua transposta é uma matriz anti-simétrica. 
 Uma matriz quadrada A = [aij] é anti-simétrica se, e somente se, os elementos dispostos 
simetricamente em relação à diagonal principal são opostos e os elementos da diagonal 
principal são nulos. 
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DETERMINANTES 
O determinante é um número real associado a toda matriz quadrada A, segundo uma 
determinada lei. A notação para o determinante de uma matriz 







dc
ba
A
 será det A ou 
dc
ba
. 
 
 Determinante de 1ª ordem 
 
11aA 
  
11det aA 
 ou 
1111 aa 
 
 
 Determinante de 2ª ordem 







2221
1211
aa
aa
A
  
21122211 ..det aaaaA 
 ou 
 
21122211
2221
1211
.. aaaa
aa
aa

 
 
 
 Determinante de 3ª ordem (Regra de Sarrus) 











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
 , daí 
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa










 
 P4 P5 P6 P1 P2 P3 
Assim, 
 
654321det PPPPPPA 
 onde 
654321 ,,,,, PPPPPP
 são os produtos indicados nas 
diagonais. 
 
 Cofator 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. O cofator de 
ija
 A é o produto de 
ji )1(
pelo 
determinante que se obtém de A quando suprimimos a linha i e a coluna j. 
Notação: 
ijc
 
Exemplo: 











867
502
431
A
  
1313).1()85).(1(
52
41
.)1( 2332 

 c
 
 
 Determinante de ordem n ≥2 (Teorema de Laplace) 
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 é a soma dos produtos dos elementos 
de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. 
Obs.: é mais prático escolher a fila com maior número de zeros! 
 
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Exemplo: 














6000
0415
3020
0132
A  
44434241 .6.0.0.0det ccccA 
 
 
Calculando o cofator de 44, 
 
66.1
415
020
132
.)1( 4444 

 c
 
Então, 
366.6000det A
. 
 
 Propriedades dos determinantes 
Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n. 
 Se uma fila de A for nula, 
0det A
. 
 Se duas filas paralelas de A são iguais, 
0det A
. 
 Se duas filas paralelas de A são proporcionais, 
0det A
. 
 
AAt detdet 
 
 O determinante de A fica multiplicado por K se multiplicarmos uma fila de A por K. 
 O determinante de A muda de sinal se trocarmos duas filas paralelas entre si. 
 
BABA det.det.det 
 
 O determinante não se altera quando adicionamos a uma fila outra fila paralela 
previamente multiplicada por um número real diferente de zero. 
 
MATRIZ INVERSA 
Chama-se matriz inversa de A n x n ,a matriz notada por A
-1 , também de ordem “n “ tal que : 
 A.A1 =A1 .A = I
n
 
 
A matriz A só é inversível (só existe A-1) se det A  0 pois: 
 
 A x A-1 = I 
 det ( A x A –1) = det I , sendo I a matriz Identidade então det I = 1 . 
 det A x det A-1 = 1 
 det A –1 = 
 Adet
1
 
 
Se uma matriz A for inversível ela é dita não singular, det A  0; e se não for inversível é dita 
singular, isto é, det A = 0 . 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Constrói as seguintes matrizes: 
a)
3 3N 
, onde 
5j2in ji 
 
 
b)
 
33ji
aA


, onde 
jipara1a ji 
 e 
jipara0a ji 
 
 
c) 
6 5G 
 cujos coeficientes são dados por 









jise,4
jise,3
jise,2
g ji
 
 
 
2) Determina u e v tal que 
























15v6
vu3vv
u44
1u6
52uv
3vu2u1 22
. 
 
 
3) Sendo 







743-
510
A
 e 







81-6
410
B
, 
a) calcula 
3B2A 
. 
 
b) calcula o produto da matriz A pela transposta da matriz B. 
 
c) explica por que razão não é possível calcular 
2A
. 
 
4) Calcula o produto de matrizes: 
 




















z
y
x
cfe
fbd
eda
zyx
. 
 
 
5) Dada a função 
  2xxxf 2 
 calcula 
 Af
 se: 
a) 





 

10
11
A
 b











101
010
101
A
 
 
6) Seja 








012x
x2
A
2. Se TAA  , encontra o valor de x. 
 
7) Determina x, y, z e w tais que 


















10
01
43
32
wz
yx
. 
 
8) Mostra que não existem x, y, z e w tais que 


















10
01
00
01
wz
yx
. 
 
9) Calcula os valores de a e b para que o determinante da matriz 








b2a
3
a
a2
 possa ser nulo. 
 
 
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10) Se 
18
14p
44p
22p

, então calcula o determinante da matriz 













12p
42p
21p
. 
 
 
11) Considere as matrizes abaixo indicadas: 
 










jise, 2 
jise, 3j 
jise, ji 
aA
2
33ji
 
 321B 
 











5
4
1
C
 
 
a) Determina a transposta da matriz X, sendo 
 CBkIA3X 3 
 sendo k o determinante da matriz A 
e I a matriz identidade. 
 
b) Verifica a possibilidade de efetuarmos os produto CA e AC. Justifica tua resposta. 
 
12) Determina x para que a matriz 





 
32
x5x
 possua inversa. 
 
13) Uma indústria eletrônica de ponta fabrica determinado equipamento em dois modelos P e Q. Na 
montagem do aparelho tipo P são utilizados 6 transistores, 9 capacitores e 11 resistores, e no modelo 
Q, 4 transistores, 7 capacitores e 10 resistores. Essa mesma indústria recebeu as seguintes 
encomendas: 
 
1) 8 aparelhos do modelo P e 12 do modelo Q para o mês de janeiro; 
2) 10 aparelhos do modelo P e 6 do modelo Q para o mês de fevereiro. 
 
Determina a matriz que registra o total de transistores, capacitores e resistores que serão utilizados 
para atender às encomendas de cada mês.