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Resumo de Trigonometria Prof. Alexandre Costa Washington 1 Func¸o˜es Trigonome´tricas do Aˆngulo Agudo senx = cateto oposto hipotenusa = BC AB cosecx = 1 senx = hipotenusa cateto oposto = AB BC cosx = cateto adjacente hipotenusa = AC AB secx = 1 cosx = hipotenusa cateto adjacente = AB AC tgx = cateto oposto cateto adjacente = BC AC cotgx = 1 tgx = cateto adjacente cateto oposto = AC BC 2 Alguns Valores Nota´veis Aˆngulo em graus 0o 30o 45o 60o 90o Aˆngulo em radianos 0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2 senx 0 1/2 √ 2/2 √ 3/2 1 cosx 1 √ 3/2 √ 2/2 1/2 0 tgx 0 √ 3/3 1 √ 3 na˜o existe 3 Conversa˜o de Unidades Para efetuar a conversa˜o de unidades, basta fazer uma regra de treˆs simples baseada nas seguintes equivaleˆncias: pi radianos = 180 graus = 200 grados. Por exemplo, para converter 20o para radianos: 180o — pi 20o — x } ⇒ x = pi/9. 1 4 O Ciclo Trigonome´trico O aˆngulo x equivale ao arco AP . Medidas alge´bricas: { senx = ON cosx = OM tgx = AT cosecx = OR secx = OQ cotgx = OS No triaˆngulo retaˆngulo hachurado: teorema de Pita´goras: MP 2 +OM2 = 1 ⇒ ON2 +OM2 = 1 ⇒ sen2x+ cos2x = 1. 5 Identidades Trigonome´tricas 5.1 Relac¸o˜es Fundamentais sen2x+ cos2x = 1 tgx = senx cos cotgx = 1 tgx = cosx senx secx = 1 cosx cosecx = 1 senx 5.2 Relac¸o˜es Auxiliares sec2x = 1 + tg2x cosec2x = 1 + cotg2x 2 6 Func¸o˜es Trigonome´tricas e seus Gra´ficos 6.1 Func¸a˜o Seno Tipo: func¸a˜o ı´mpar, perio´dica, limitada, cont´ınua. Domı´nio: R. Contradomı´nio: R. Imagem: [−1, 1]. Per´ıodo: 2pi. 6.2 Func¸a˜o Co-seno (ou Cosseno) Tipo: func¸a˜o par, perio´dica, limitada, cont´ınua. Domı´nio: R. Contradomı´nio: R. Imagem: [−1, 1]. Per´ıodo: 2pi. 6.3 Func¸a˜o Tangente Tipo: func¸a˜o ı´mpar, perio´dica, ilimitada, descont´ınua. Domı´nio: R− {pi/2 + kpi | k ∈ Z}. Contradomı´nio: R. Imagem: R. Per´ıodo: pi. 6.4 Func¸a˜o Co-tangente Tipo: func¸a˜o ı´mpar, perio´dica, ilimitada, descont´ınua. Domı´nio: R− {kpi | k ∈ Z}. Contradomı´nio: R. Imagem: R. Per´ıodo: pi. 6.5 Func¸a˜o Secante Tipo: func¸a˜o par, perio´dica, ilimitada, descont´ınua. Domı´nio: R− {pi/2 + kpi | k ∈ Z}. Contradomı´nio: R. Imagem: (−∞,−1] ∪ [1,+∞). Per´ıodo: 2pi. 6.6 Func¸a˜o Co-secante (ou Cossecante) Tipo: func¸a˜o ı´mpar, perio´dica, ilimitada, descont´ınua. Domı´nio: R− {kpi | k ∈ Z}. Contradomı´nio: R. Imagem: (−∞,−1] ∪ [1,+∞). Per´ıodo: 2pi. 3 7 Breve Formula´rio de Trigonometria 7.1 Arco Soma e Arco Diferenc¸a sen(x± u) = senx · cosu± senu · cosx cos(x± u) = cosx · cosu∓ senu · senx tg(x± u) = tgx± tgu 1∓ tgx · tgu cotg(x± u) = cotgx · tgu∓ 1 cotgx± cotgu 7.2 Arco Duplo sen 2x = 2 · senx · cosx cos 2x = cos2x− sen2x 2 · cos2x− 1 1− 2 · sen2x tg 2x = 2 · tgx 1− tg2x 7.3 Arco Triplo sen 3x = 3 · senx− 4sen3x cos 3x = 4cos3x− 3 · cosx tg 3x = 3 · tgx− tg 3x 1− 3 · tg2x 7.4 Arco Metade sen(x/2) = ± √ 1− cosx 2 cos(x/2) = √ 1 + cosx 2 tg(x/2) = ± √ 1− cosx 1 + cosx Se tg(x/2) = t, enta˜o: senx = 2t 1 + t2 cosx = 1− t2 1 + t2 tgx = 2t 1− t2 7.5 Fo´rmulas de Reversa˜o Estas fo´rmulas tambe´m sa˜o chamadas fo´rmulas de Werner: cos(x+ u) + cos(x− u) = 2 · cosx · cosu cos(x+ u)− cos(x− u) = −2 · senx · senu sen(x+ u) + sen(x− u) = 2 · senx · cosu sen(x+ u)− sen(x− u) = 2 · cosx · senu 7.6 Fo´rmulas de Transformac¸a˜o em Produto Estas fo´rmulas tambe´m sa˜o chamadas fo´rmulas de prostafe´rese: cos(x) + cos(u) = 2 · cos ( x+ u 2 ) · cos ( x− u 2 ) cos(x)− cos(u) = −2 · sen ( x+ u 2 ) · sen ( x− u 2 ) sen (x) + sen (u) = 2 · sen ( x+ u 2 ) · cos ( x− u 2 ) sen (x)− sen (u) = 2 · cos ( x+ u 2 ) · sen ( x− u 2 ) 4 8 Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas, Gra´ficos e Fo´rmulas 8.1 Func¸a˜o Arco Seno Domı´nio: [−1, 1]. Contradomı´nio e imagem: [−pi/2, pi/2]. cos(arcsenx) = ±√1− x2 tg(arcsenx) = ±x√ 1− x2 8.2 Func¸a˜o Arco Co-seno Domı´nio: [−1, 1]. Contradomı´nio e imagem: [0, pi]. sen(arccosx) = ±√1− x2 tg(arccosx) = ±√1− x2 x 8.3 Func¸a˜o Arco Tangente Domı´nio: R. Contradomı´nio e imagem: [−pi/2, pi/2]. sen(arctgx) = ±1√ 1 + x2 cos(arctgx) = ±x√ 1 + x2 9 Trigonometria em um Triaˆngulo Qualquer Lei dos senos: a senα = b senβ = c sen γ = 2R (R = raio do c´ırculo circunscrito ao triaˆngulo ABC). Lei dos co-senos: a2 = b2 + c2 − 2bc · cosα b2 = a2 + c2 − 2ac · cosβ c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ Lei das tangentes: a+ b a− b = tg ( α+ β 2 ) tg ( α− β 2 ) e analogamente para os outros lados. 5 10 Algumas Se´ries Envolvendo Trigonometria senx = ∞∑ k=0 (−1)k · x2k+1 (2k + 1)! = x− x 3 3! + x5 5! − x 7 7! + x9 9! − x 11 11! + · · · (x ∈ R) cosx = ∞∑ k=0 (−1)k · x2k (2k)! = 1− x 2 2! + x4 4! − x 6 6! + x8 8! − x 10 10! + · · · (x ∈ R) arcsenx = ∞∑ k=0 [∏k `=1(2k − 1)∏k `=1 2k · x 2k+1 2k + 1 ] = x+ 1 2 · x 3 3 + 1 · 3 2 · 4 · x5 5 + 1 · 3 · 5 2 · 4 · 6 · x7 7 + · · · (−1 < x < 1) arctgx = ∞∑ k=0 (−1)k · x2k+1 2k + 1 = x− x 3 3 + x5 5 − x 7 7 + x9 9 − x 11 11 + · · · (−1 < x < 1) pi 2 + ∞∑ k=0 (−1)k+1 (2k + 1) · x2k+1 = pi 2 − 1 x + 1 3x3 − 1 5x5 + 1 7x7 − 1 9x9 + · · · (x ≥ 1) −pi 2 + ∞∑ k=0 (−1)k+1 (2k + 1) · x2k+1 = − pi 2 − 1 x + 1 3x3 − 1 5x5 + 1 7x7 − 1 9x9 + · · · (x ≤ −1) 6
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