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Resumão de Trigonometria

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Resumo de Trigonometria
Prof. Alexandre Costa Washington
1 Func¸o˜es Trigonome´tricas do Aˆngulo Agudo
senx =
cateto oposto
hipotenusa
=
BC
AB
cosecx =
1
senx
=
hipotenusa
cateto oposto
=
AB
BC
cosx =
cateto adjacente
hipotenusa
=
AC
AB
secx =
1
cosx
=
hipotenusa
cateto adjacente
=
AB
AC
tgx =
cateto oposto
cateto adjacente
=
BC
AC
cotgx =
1
tgx
=
cateto adjacente
cateto oposto
=
AC
BC
2 Alguns Valores Nota´veis
Aˆngulo em graus 0o 30o 45o 60o 90o
Aˆngulo em radianos 0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2
senx 0 1/2
√
2/2
√
3/2 1
cosx 1
√
3/2
√
2/2 1/2 0
tgx 0
√
3/3 1
√
3 na˜o existe
3 Conversa˜o de Unidades
Para efetuar a conversa˜o de unidades, basta fazer uma regra de treˆs simples baseada nas seguintes equivaleˆncias:
pi radianos = 180 graus = 200 grados.
Por exemplo, para converter 20o para radianos:
180o — pi
20o — x
}
⇒ x = pi/9.
1
4 O Ciclo Trigonome´trico
O aˆngulo x equivale ao arco AP .
Medidas alge´bricas:
{
senx = ON cosx = OM tgx = AT
cosecx = OR secx = OQ cotgx = OS
No triaˆngulo retaˆngulo hachurado:
teorema de Pita´goras: MP 2 +OM2 = 1 ⇒ ON2 +OM2 = 1 ⇒ sen2x+ cos2x = 1.
5 Identidades Trigonome´tricas
5.1 Relac¸o˜es Fundamentais
sen2x+ cos2x = 1
tgx =
senx
cos
cotgx =
1
tgx
=
cosx
senx
secx =
1
cosx
cosecx =
1
senx
5.2 Relac¸o˜es Auxiliares
sec2x = 1 + tg2x cosec2x = 1 + cotg2x
2
6 Func¸o˜es Trigonome´tricas e seus Gra´ficos
6.1 Func¸a˜o Seno
Tipo: func¸a˜o ı´mpar, perio´dica, limitada, cont´ınua.
Domı´nio: R.
Contradomı´nio: R.
Imagem: [−1, 1].
Per´ıodo: 2pi.
6.2 Func¸a˜o Co-seno (ou Cosseno)
Tipo: func¸a˜o par, perio´dica, limitada, cont´ınua.
Domı´nio: R.
Contradomı´nio: R.
Imagem: [−1, 1].
Per´ıodo: 2pi.
6.3 Func¸a˜o Tangente
Tipo: func¸a˜o ı´mpar, perio´dica, ilimitada, descont´ınua.
Domı´nio: R− {pi/2 + kpi | k ∈ Z}.
Contradomı´nio: R.
Imagem: R.
Per´ıodo: pi.
6.4 Func¸a˜o Co-tangente
Tipo: func¸a˜o ı´mpar, perio´dica, ilimitada, descont´ınua.
Domı´nio: R− {kpi | k ∈ Z}.
Contradomı´nio: R.
Imagem: R.
Per´ıodo: pi.
6.5 Func¸a˜o Secante
Tipo: func¸a˜o par, perio´dica, ilimitada, descont´ınua.
Domı´nio: R− {pi/2 + kpi | k ∈ Z}.
Contradomı´nio: R.
Imagem: (−∞,−1] ∪ [1,+∞).
Per´ıodo: 2pi.
6.6 Func¸a˜o Co-secante (ou Cossecante)
Tipo: func¸a˜o ı´mpar, perio´dica, ilimitada, descont´ınua.
Domı´nio: R− {kpi | k ∈ Z}.
Contradomı´nio: R.
Imagem: (−∞,−1] ∪ [1,+∞).
Per´ıodo: 2pi.
3
7 Breve Formula´rio de Trigonometria
7.1 Arco Soma e Arco Diferenc¸a
sen(x± u) = senx · cosu± senu · cosx
cos(x± u) = cosx · cosu∓ senu · senx
tg(x± u) = tgx± tgu
1∓ tgx · tgu cotg(x± u) =
cotgx · tgu∓ 1
cotgx± cotgu
7.2 Arco Duplo
sen 2x = 2 · senx · cosx cos 2x =

cos2x− sen2x
2 · cos2x− 1
1− 2 · sen2x
tg 2x =
2 · tgx
1− tg2x
7.3 Arco Triplo
sen 3x = 3 · senx− 4sen3x cos 3x = 4cos3x− 3 · cosx tg 3x = 3 · tgx− tg
3x
1− 3 · tg2x
7.4 Arco Metade
sen(x/2) = ±
√
1− cosx
2
cos(x/2) =
√
1 + cosx
2
tg(x/2) = ±
√
1− cosx
1 + cosx
Se tg(x/2) = t, enta˜o:
senx =
2t
1 + t2
cosx =
1− t2
1 + t2
tgx =
2t
1− t2
7.5 Fo´rmulas de Reversa˜o
Estas fo´rmulas tambe´m sa˜o chamadas fo´rmulas de Werner:
cos(x+ u) + cos(x− u) = 2 · cosx · cosu
cos(x+ u)− cos(x− u) = −2 · senx · senu
sen(x+ u) + sen(x− u) = 2 · senx · cosu
sen(x+ u)− sen(x− u) = 2 · cosx · senu
7.6 Fo´rmulas de Transformac¸a˜o em Produto
Estas fo´rmulas tambe´m sa˜o chamadas fo´rmulas de prostafe´rese:
cos(x) + cos(u) = 2 · cos
(
x+ u
2
)
· cos
(
x− u
2
)
cos(x)− cos(u) = −2 · sen
(
x+ u
2
)
· sen
(
x− u
2
)
sen (x) + sen (u) = 2 · sen
(
x+ u
2
)
· cos
(
x− u
2
)
sen (x)− sen (u) = 2 · cos
(
x+ u
2
)
· sen
(
x− u
2
)
4
8 Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas, Gra´ficos e Fo´rmulas
8.1 Func¸a˜o Arco Seno
Domı´nio: [−1, 1].
Contradomı´nio e imagem: [−pi/2, pi/2].
cos(arcsenx) = ±√1− x2
tg(arcsenx) =
±x√
1− x2
8.2 Func¸a˜o Arco Co-seno
Domı´nio: [−1, 1].
Contradomı´nio e imagem: [0, pi].
sen(arccosx) = ±√1− x2
tg(arccosx) =
±√1− x2
x
8.3 Func¸a˜o Arco Tangente
Domı´nio: R.
Contradomı´nio e imagem: [−pi/2, pi/2].
sen(arctgx) =
±1√
1 + x2
cos(arctgx) =
±x√
1 + x2
9 Trigonometria em um Triaˆngulo Qualquer
Lei dos senos:
a
senα
=
b
senβ
=
c
sen γ
= 2R
(R = raio do c´ırculo circunscrito ao triaˆngulo ABC).
Lei dos co-senos:

a2 = b2 + c2 − 2bc · cosα
b2 = a2 + c2 − 2ac · cosβ
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ
Lei das tangentes:
a+ b
a− b =
tg
(
α+ β
2
)
tg
(
α− β
2
)
e analogamente para os outros lados.
5
10 Algumas Se´ries Envolvendo Trigonometria
senx =
∞∑
k=0
(−1)k · x2k+1
(2k + 1)!
= x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+
x9
9!
− x
11
11!
+ · · · (x ∈ R)
cosx =
∞∑
k=0
(−1)k · x2k
(2k)!
= 1− x
2
2!
+
x4
4!
− x
6
6!
+
x8
8!
− x
10
10!
+ · · · (x ∈ R)
arcsenx =
∞∑
k=0
[∏k
`=1(2k − 1)∏k
`=1 2k
· x
2k+1
2k + 1
]
= x+
1
2
· x
3
3
+
1 · 3
2 · 4 ·
x5
5
+
1 · 3 · 5
2 · 4 · 6 ·
x7
7
+ · · · (−1 < x < 1)
arctgx =

∞∑
k=0
(−1)k · x2k+1
2k + 1
= x− x
3
3
+
x5
5
− x
7
7
+
x9
9
− x
11
11
+ · · · (−1 < x < 1)
pi
2
+
∞∑
k=0
(−1)k+1
(2k + 1) · x2k+1 =
pi
2
− 1
x
+
1
3x3
− 1
5x5
+
1
7x7
− 1
9x9
+ · · · (x ≥ 1)
−pi
2
+
∞∑
k=0
(−1)k+1
(2k + 1) · x2k+1 = −
pi
2
− 1
x
+
1
3x3
− 1
5x5
+
1
7x7
− 1
9x9
+ · · · (x ≤ −1)
6

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