Módulo 07 - Trigonometria

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CURSO ÁGAPE
	EEAR
2018/2019
	Trigonometria
	
	
	MÓDULO 07
 Prof. Carlos
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
1) Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo 
Definição:
Dado um ângulo agudo x de um triângulo retângulo, define-se:
			
2) Ângulos Notáveis:
	 (
Ângulo
 
)
	30º
	45º
	60º
	sen 
	
	
	
	cos 
	
	
	
	tg 
	
	1
	
3) Lei dos co-senos:
Dado um triângulo ABC, podemos afirmar que o quadrado da medida de um dos lados do triângulo é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados subtraindo-se o dobro do produto das medidas destes dois lados pelo co-seno do ângulo entre eles formado.
4) Lei dos senos:
Dado um triângulo ABC, podemos afirmar que a razão entre a medida de um lado do triângulo e o seno do ângulo oposto a esse lado é igual ao dobro da medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
FUNDAMENTOS DA TRIGONOMETRIA
1) Radiano
Radiano é, por definição, uma unidade de medida de arcos que corresponde a um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência onde está o arco a ser medido.
Indicaremos um radiano por 1 rad.
Obs: 360º equivale a 2rad e 180º equivale a rad.
2) Conversão de unidades
É fácil passar de graus para radianos (ou vice-versa), bastando para isto escrever:
3) Arcos côngruos
São arcos que têm a mesma extremidade e diferem apenas pelo número de voltas inteiras.
4) Razões trigonométricas
· 
· 
 e , isto é, o seno de um ângulo agudo é igual ao co-seno do complemento desse ângulo e o co-seno de um ângulo agudo é igual ao seno do complemento desse ângulo.
· 
, isto é, a soma dos quadrados do seno e do co-seno de um mesmo ângulo agudo x é constante e tem valor 1.
· 
· 
co-secante 
· 
co-tangente 
CICLO TRIGONOMÉTRICO
1) Sinais das funções trigonométricas
2) Redução a 1º volta ou achar a menor determinação positiva.
1 - Arco positivo e dado em graus
Regra: Divide-se por 360º e toma-se o resto.
2 - Arco negativo e dado em graus.
Regra: Divide-se por 360º, toma-se o resto e o subtrai de 360º.
3) Redução ao 1º quadrante 
1º Caso:
- Do 2º quadrante para o 1º quadrante.
= 180º - ou 
onde: ângulo no 1º quadrante 
 ângulo no 2º quadrante
2º Caso:
- Do 3º quadrante para o1º quadrante
= - 180º ou 
 ângulo no 1º quadrante
 ângulo no 3º quadrante
3º Caso: 
- Do 4º quadrante para o1º quadrante.
 = 360º - ou = 2 - 
 ângulo no 1º quadrante
 ângulo no 4º quadrante
ARCOS DUPLOS
Adição de arcos
Subtração de arcos
Multiplicação de arcos
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1) Função seno 
2) Funçâo co-seno
3.) Função tangente
4. TRANSFORMAÇÕES NOS GRÁFICOS 
f(x) = A + B . sen(Cx + D) ou f(x) = A + B . cos(Cx + D)
A Desloca o gráfico A unidades para cima (A > 0) ou para baixo (A < 0). Afeta a imagem. A reta y = A é um eixo de simetria da curva. 
B Altera a amplitude sem alterar o período. Afeta a imagem. Reflete o gráfico em torno do eixo de simetria se negativo. 
C Altera o período. Não afeta a imagem. P = 
D Desloca o gráfico A unidades para direita (D > 0) ou para esquerda (D < 0). 
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
A maioria das equações trigonométricas são ou reduzem-se a um dos três tipos a seguir:
1) sen x = sen a 
2) cos x = cos a 
3) tg x = tg β
Que são chamadas de equações fundamentais.
1° Caso: sen x = sen a
Analisando o círculo trigonométrico, temos que:
· 
ou x e a têm a mesma imagem no círculo trigonométrico, isto é, x = a + 2kπ , k Z .
· ou x e a têm imagens simétricas em relação ao eixo OY, isto é, x =(π−a)+2kπ , k ∈ Z .
2° Caso: cos x = cos a
Analisando o círculo trigonométrico, temos que:
· 
ou x e a têm a mesma imagem no círculo trigonométrico, isto é, x =a+2kπ, kZ . 
· 
ou x e a têm imagens simétricas em relação ao eixo OX, isto é, x =−a+2kπ , kZ .
3° Caso: tg x = tg a
Analisando o círculo trigonométrico, temos que:
· ou x e a têm a mesma imagem no círculo trigonométrico, isto é, x =a+2kπ , k ∈Z .
· ou x e a têm imagens simétricas em relação a origem, isto é, x =π+a+2kπ , k ∈Z , isto é, x = a + (2k + 1)π, k ∈ Z .
Resumindo: x = a + kπ, k Z .
INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Inequações são expressões que possuem necessariamente uma desigualdade (>, ≥, <, ≤ ou ≠) e (pelo menos) uma incógnita.
Na expressão: tg(x) – 1 ≥ 0, a incógnita x representa um arco (ângulo) associado a tangente. Chamaremos de inequações trigonométricas as inequações em que as incógnitas estiverem associadas ao seno, cosseno, tangente, cotangente, secante ou cossecante
As soluções de uma inequação são intervalos numéricos. Para encontrar tais intervalos usamos os mesmos artifícios usados na resolução de inequações não trigonométricas, quando necessário, associado ao método gráfico utilizada nas equações trigonométricas.
Como exemplo, na inequação acima podemos resolvê-la apenas reescrevendo:
tg(x) ≥ 1
Recorremos ao ciclo para encontrar as soluções:
Para análise de seno e cosseno basta olhar para os eixos Oy e Ox respectivamente.
EXERCÍCIOS DA PROVA
01) (EEAR 1/2019) Gabriel verificou que a medida de um ângulo é rad. Essa medida é igual a
a) 48°
b) 54°
c) 66°
d) 72°
02) (EEAR 1/2019) Se e se , um dos possíveis valores de x é
a) 30°
b) 45°
c) 75°
d) 85°
03) (EEAR 1/2019) Simplificando a expressão sen (2 – x) + sen (3 + x), obtém-se
a) sen x
b) – sen x
c) 2 sen x
d) –2 sen x
04) (EEAR 2/2018) O valor de sen 1270° é igual a
a) – cos 10°
b) – sen 30°
c) – sen 10°
d) – cos 30°
05) (EEAR 1/2018) Pelo triângulo ABC, o valor de x² + 6x é
a) 76
b) 88
c) 102
d) 144
06) (EEAR 1/2018) As funções f(x) = sen x e g(x) = cos x, no segundo quadrante, são, respectivamente,
a) decrescente e decrescente
b) decrescente e crescente
c) crescente e decrescente
d) crescente e crescente
07) (EEAR 1/2018) O valor de sen (a + b) – sen (a – b) é igual a
a) sen 2a
b) cos 2a
c) 2 sen b . cos a
d) 2 sen a . cos b
08) (EEAR 2/2017) No intervalo [0, π], a soma das raízes da equação 3cos² x - 7sen²x + 2 = 0 é igual a
a) 
b) 
c) 
d) 
09) (EEAR 2/2017) Ao somar as medidas angulares 120° e rad , obtém-se a medida de um arco pertencente ao ___ quadrante.
a) 1°
b) 2º
c) 3º
d) 4º
10) (EEAR 1/2017) Seja , com e .Utilizando-se as identidades trigonométricas, pode-se considerar M igual a
a) sen x
b) cos x
c) sec x
d) cossec x
11) (EEAR 2/2016) O valor de cos 735º é
a) 
b) 
c) 
d) 
12) (EEAR 1/2016) O valor correspondente ao cos 15º é
a) 
b) 
c)
d) 1
13) (EEAR 1/2016) No ciclo trigonométrico os valores de x, tais que , são
a) 
b)
c) 
d) 
14) (EEAR 2015) Em um triângulo ABC, retângulo em C, a razão é igual a:
a) 
b) 
c) 1
d) 2
15) (EEAR 2015) Se e , então é igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
16) (EEAR 2014) Se x é um arco do terceiro quadrante tal que , o valor de sen x é
a) 
b) 
c) 
d) 
17) (EEAR 2014) Se e , então a soma dos valores possíveis para x é
a) 
b) 
c) 
d) 
18) (EEAR 2/2013) Considere as medidas indicadas na figura e que sen 70◦ = 0, 9. Pela “Lei dos Senos", obtém-se sen x =____.
a) 0,4
b) 0,5
c) 0,6
d) 0,7
19) (EEAR 2/2013) Sendo e sen x = u, uma maneira de expressar o valor de cos x é:
a) t 
b) 
c) u.t
d) u + t
20) (EEAR 2/2013) Sejam , e . Se é uma fração irredutível, então b – a é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
21) (EEAR 2/2013) Ao expressar rad em graus, obtêm-se:
a) 170°
b) 220°
c) 280°
d) 320°
22) (EEAR 2/2013) Em um triângulo retângulo a hipotenusa é o dobro de um cateto. O ângulo oposto a esse cateto é:
a) 20°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
23) (EEAR 2013) Se x é um arco do 1º quadrante, com sen x = a e cos x = b, então é:
a) a
b) b
c) –a
d) –b
24) (EEAR 2013)Seja x um arco do 3º quadrante tal que . Então o valor de cos x é
a) 
b) 
c) 
d) 
25) (EEAR 2013) Se a é um ângulo do 1º quadrante, tal que , aúnica alternativa que apresenta um possível valor para a é
a) 15°
b) 30°
c) 50°
d) 65°
26) (EEAR 2013) Considerando sen 40° = 0,6, o lado BC do triângulo ABC, mede, em cm, aproximadamente
a) 6,11
b) 7,11
c) 8,33
d) 9,33
27) (EEAR 2012) Considerando , o valor dex na figura é
a) 2,5.
b) 3,5.
c) 4,5.
d) 5,5.
28) (EEAR 2/2011) Se sen y = m e cos y = n, o valor de é
a) m.
b) n².
c) mn.
d) m/n.
29) (EEAR 2/2011) Em um triângulo retângulo, um dos catetos mede 4 cm, e o ângulo que lhe é adjacente mede 60°. A hipotenusa desse triângulo, em cm, mede
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
30) (EEAR 2/2011) Se A = tg 120° e B = tg 240°, então
a) B = A.
b) B = –A.
c) B = 2A.
d) B = –2A.
31) (EEAR 2/2011) Se e sen x > 0, então sen 2x é:
a) 
b) 
c) 
d) 
32) (EEAR 1/2011) No triângulo, o menor valor que x pode assumir é
a) 4.
b) 3.
c) 2.
d) 1
33) (EEAR 1/2011) Se a e b são arcos do 2º quadrante tais que e , então sen (a + b) é
a) 
b) 
c) 
d) 
34) (EEAR 2/2010) No triângulo AOB, OB = 5 cm; então AB, em cm, é igual a
a) 6.
b) 8.
c) .
d) .
35) (EEAR 2/2010) O valor de cos 15° é
a) 
b) 
c) 
d) 
36) (EEAR 2/2010) Para x.y≠0, a expressão equivale a
a) y/x.
b) 1/x.
c) y/x².
d) y²/x².
37) (EEAR 1/2010) Simplificando-se a expressão , obtém-se
a) cossec x.
b) cos x.
c) sec x.
d) tg x.
38) (EEAR 1/2010) Seja x = 150°. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças, a seguir assinale a alternativa que apresenta o número de sentenças verdadeiras.
I) 
II) 
III) 
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
39) (EEAR 2/2009)Se x e y são arcos do 1º quadrante, e então o valor de cos(x + y) é igual a
a) 
b) 
c) 
d) 
40) (EEAR 2/2009)Dois lados de um triângulo medem 6 cm e 8 cm, e formam um ângulo de 60º. A medida do terceiro lado desse triângulo, em
cm, é
a) 
b) 
c) 
d) 
41) (EEAR 1/2009) Sejam a e b arcos do primeiro quadrante. Se a + b = 90°, então cos (a – b), em função de b, é igual a
a) sen 2b.
b) cos 2b.
c) .
d) .
42) (EEAR 1/2009) Considere as igualdades:
I- tg 10° = tg (– 10°)
II- tg 770° = – tg 50°
III- sen 250° = sen 20°
IV- sen 460° = sen 100°
O número de igualdades verdadeiras é
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
43) (EEAR 1/2009) São negativas, no 4º quadrante, as funções
a) seno, cosseno e tangente.
b) seno, cosseno e cotangente.
c) cosseno, tangente e secante.
d) seno, tangente e cossecante.
44) (EEAR 2/2008) No triângulo, cujos lados medem 5cm, 10 cm e 6 cm, o maior ângulo tem cosseno igual a
a) .
b) .
c) .
d) .
45) (EEAR 2/2008) Em um triângulo ABC, retângulo em A, a hipotenusa mede 5 dm e . Nessas condições, o maior cateto mede, em dm,
a) 3.
b) 4.
c) 
d) 2
46) (EEAR 2/2008) O valor da expressão, para e , é
a) 
b) 
c) 
d) 
47) (EEAR 2/2008) Se e então é igual a
a) 
b) 
c) 
d) 
48) (EEAR 1/2008) Comparando-se tg 20°, tg 110° e tg 200°, obtém-se
a) tg 20° = tg 200° > tg 110°.
b) tg 20° = tg 110° < tg 200°.
c) tg 20° < tg 110° < tg 200°.
d) tg 200° < tg 20° < tg 110°.
49) (EEAR 1/2008) Sendo ,o conjunto solução da equação é
a) 
b) 
c)
d) 
50) (EEAR 1/2008) Num triângulo ABC, são dados , A = 45° e B = 30° e AC = 6 cm. Então BC = _____ cm.
a) 
b) 
c) 
d) 
51) (EEAR 1/2008) O valor da expressão é:
a) 
b) 
c) 
d) 
52) (EEAR 2/2007)Dois ângulos medem rad e rad. O menor deles, em graus, mede
a) 30.
b) 40.
c) 50.
d) 60.
53) (EEAR 2/2007) O conjunto imagem da função f(x) = 3 + 5sen x é
a) [-2, 8].
b) [ 3 ,7].
c) [-1, 5].
d) [ 0, 4].
54) (EEAR 2/2007) Os valores de x, sendo 0 ≤ x ≤ π, para os quais obtêm-se 2cosx – 1 > 0, são tais que:
a) 
b) 
c) 
d) 
55) (EEAR 1/2007) Se , então a maior raiz positiva da equação (tgx - 1)(4sen² x - 3) = 0 é
a) 
b) 
c) 
d) 
56) (EEAR 1/2007) Se e tg x + cotg x = 3, então sen2x é igual a
a) 
b) 
c) 
d) 
57) (EEAR 1/2007) Considere a soma S:
O valor de log S é
a) zero.
b) positivo.
c) negativo.
d) inexistente.
58) (EEAR 1/2006 ) Num triângulo ABC, a razão entre as medidas dos lados AB e AC é 2. Se  = 120° e AC = 1 cm, então o lado BC mede, em cm,
a) 
b) 
c) 
d) 
59) (EEAR 1/2006 ) Se e , então
a) 
b) 
c) 
d) 
60) (EEAR 1/2006 ) Sejam as medidas de arcos trigonométricos:
I- e 
II- 1490° e – 1030°
É correto afirmar que as medidas
a) em I são de arcos côngruos.
b) em I são de arcos suplementares.
c) em II são de arcos côngruos.
d) em II são de arcos complementares.
61) (EEAR 1/2006 ) Se 2.sen x + 5.cos x = 0 e , então cos x =
a) 
b) 
c) 
d) 
62) (EEAR 2/2006 ) O quadrante em que as funções seno, cosseno e tangente são, simultaneamente, crescentes é o
a) 1º.
b) 2º.
c) 3º.
d) 4º.
63) (EEAR 2/2006 ) O domínio da função 
a) 
b) 
c) 
d) 
64) (EEAR 2/2006 ) A solução real da inequação, no intervalo é:
a) 
b) 
c) 
d) 
65) (EEAR 2/2005 ) Existirá que satisfaça a igualdade sen x = 2k – 5 se, e somente se,
a) 1 < k 3..
b) 1 < k < 4. 
c) 2 k < 4
d) 2 k 3.
66) (EEAR 2/2005 ) Se , então é
a) 
b) 
c) 
d) 
GABARITO 
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	B
	C
	D
	C
	D
	A
	C
	D
	A
	C
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	C
	A
	B
	C
	A
	C
	B
	C
	C
	A
	21
	22
	23
	24
	25
	26
	27
	28
	29
	30
	D
	B
	D
	A
	D
	C
	C
	D
	C
	B
	31
	32
	33
	34
	35
	36
	37
	38
	39
	40
	A
	B
	B
	C
	B
	A
	C
	C
	C
	A
	41
	42
	43
	44
	45
	46
	47
	48
	49
	50
	A
	A
	D
	C
	D
	D
	C
	A
	C
	B
	51
	52
	53
	54
	55
	56
	57
	58
	59
	60
	A
	B
	A
	D
	A
	C
	D
	A
	C
	C
	61
	62
	63
	64
	65
	66
	
	
	
	
	B
	D
	B
	D
	D
	D
	
	
	
	
	
	- 4 -
	
	
tg 
tg 
tg 
tg 
tg 
(
)
.
a
b
a
b
a
b
+
=
+
-
1
sen 
sen 
cos 
cos 
sen 
(
)
.
.
b
a
b
a
b
a
-
=
-
cos 
cos 
cos 
sen 
sen 
(
)
.
.
b
a
b
a
b
a
-
=
+
tg 
tg 
tg 
tg 
tg 
(
)
.
a
b
a
b
a
b
-
=
-
+
1
sen 
sen 
cos 
2
2
a
a
a
=
.
.
a
c
=
=
Hipotenusa
adjacente
 
Cateto
 x
cos
cos 
cos
sen
2
2
2
a
a
a
=
-
tg 
2.
tg 
tg
2
1
2
a
a
a
=
-
[
]
:1,1,()()
ffxsenx
®-=
[
]
:1,1,()cos()
ffxx
®-=
:/,,()()
2
fxxkkZfxtgx
p
p
ìü
ι+ήÂ=
íý
îþ
®
®
®
c
b
=
=
Adjacente
 
Cateto
oposto
 
Cateto
 x
tg
2
c
p
®
Î
10
3
p
°
£
£
°
90
0
x
2
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4
(
-
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x
sen
p
4
1
2
p
3
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2
p
2
3
p
1
cot
sec
sec
cos
+
+
=
gx
x
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M
2
p
k
x
¹
Z
k
Î
4
1
4
3
4
6
2
+
2
2
8
6
2
+
4
3
2
1
cos
£
x
þ
ý
ü
î
í
ì
<
<
Î
3
5
3
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p
p
x
R
x
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3
5
3
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p
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x
R
x
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6
11
6
/
p
p
x
R
x
þ
ý
ü
î
í
ì
£
£
£
£
Î
p
p
p
2
6
7
,
,
6
0
/
x
ou
x
R
x
^
^
C
sen
B
sen
BC
AC
3
2
AC
AB
13
4
cos
.
=
b
a
sen
65
36
cos
.
=
a
ab
sen
(
)
b
a
+
sen
65
56
65
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13
56
13
3
2
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13
13
13
13
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13
13
2
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13
13
3
-
2
3
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p
2
0
£
£
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2
p
p
2
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p
p
2
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5
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3
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3
1
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2
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y
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9
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2
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4
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°
+
°
-
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ˆ
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^
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sen
a
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x
x
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p
p
p
p
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sen
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6
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4
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sen
sen
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sen
sen
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sen
sen
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11
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x
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