Resumão de Funções com Exercícios e Respostas

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Disciplina de Matemática Discreta
Termos Semelhantes(redução)
a) 2x+1 (não há termos semelhantes)
b) x²+3x-5 (não há termos semelhantes)
c) 2x+3x+4 => 5x+4
d) 5x + (3x – 4) - (2x – 9)
5x + 3x – 4 – 2x + 9
5x + 3x – 2x – 4 + 9
6x + 5
e) 8x – [ -2x + (10 + 3x – 7)]
8x – [ -2x + 10 +3x – 7]
8x +2x – 10 – 3x + 7
8x + 2x -3x - 10 +7
7x – 3
f) 2a² + { 3a – [ 6a – (3a² + a)]}
2a² + { 3a – [ 6a – 3a² – a]}
2a² + { 3a – 6a + 3a² + a}
2a² + 3a – 6a + 3a² + a
2a² + 3a² + 3a – 6a +a
5 a² -2a
Propriedades de potenciação
Sejam u e v números reais, variáveis ou expressões algébricas e
m e n números inteiros. Todas as bases são consideradas
diferentes de zero.
Exemplo:
a) u
m
u
n n= um+ 5354= 57 ou x1 x2= x3
b)
u
m
u
n
= u(m− n )
x
9
x
4
= x(9− 4)= x5
c) u
0= 1 80= 1
d) u
− m=
1
u
x
− 3=
1
3
e) (uv)m= um vn (2x)5= 25 x5= 32x⁵
f) (um)n= um.n (x2)3= x2.3= x6
g) ( uv )
m
=
u
m
v
m ( ab )
7
=
a
7
b
7
Exercícios de ixação IF
Simplifique as expressões considerando que as variáveis dos
denominadores sejam diferentes de zero.
a)
x
4
y
3
x
2
y
5
⇒
x
2
.1
1. y
2
⇒
x
2
y
2
b)
(3x2)2 y4
3y
2
⇒
3
2(x4) y4
3y
2
⇒
9x
4
y
4
3y
2
⇒3x
4
y
2
c) ( 4x2 )
2
⇒
(4)2
(x2)2
⇒
4
2
x
4
⇒
16
x
4
d)
(x− 3 y2)− 4
( y6 x− 4)− 2
⇒
x
12
y
− 8
y
− 12
x
8
⇒
x
4
y
− 4
e) ( 4a
3
b
a
2
b
3 )( 3b
2
2a
2
b
4 )⇒( 4ab2 )( 32a2 b2 )⇒ 12a2a2b4 ⇒ 6ab 4
Propriedades dos radicais
Sejam u e v números reais, variáveis ou expressões algébricas e
m e n números positivos inteiros maiores que 1. Vamos supor
que todas as raízes seja números reais e todos os
denominadores não sejam zero.
Produtos Notáveis
Sejam u e v números reais, variáveis ou expressões algébricas.
a) Produto de uma soma de
uma diferença
(u + v)(u – v) = u² - v²
b) Quadrado de uma soma de
dois termos
(u + v)² = u² + 2uv + v²
c) Quadrado de uma diferença
de dois termos
(u - v)² = u² - 2uv + v²
d) Cubo de uma soma de dois
termos
(u + v)³ = u³ + 3u²v + 3uv² + v³
e) Cubo de uma diferença de
dois termos:
(u – v)³ = u³ – 3u²v + 3uv² - v³
Expressões Algébricas
Multiplicação de expressões algébricas: Para a multiplicação
das expressões algébricas, deve-se multiplicar cada monômio
da primeira expressão por cada monômio da segunda
expressão.
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Exemplo:
a) (3x+2)(5x+3)⇒ (3x+2)
X
(5x+3)
15x
2+10x
+ 9x+6
15x
2+19x+6
b) (x+5)( x− 3)
Resposta: x2+2x− 15
c) (3x2− 2x+5)(2x+3)
Resposta: 6x
3− 5x2+4x+15
d) (4x3+2x2− 3x+5)(3x2+2x+1)
Resposta: 12x
5+14x4− x3+11x 2+7x+5
Divisão de expressões algébricas: Para a divisão, deve-se
colocá-las na forma de fração e depois simplificar a expressão
obtida. A simplificação ocorre assim como apresentado nos
exercícios de fixação I.
ou
c)
x2+3x+2
x+2
x2+3x +2 x+2
− x2− 2x
0+1x+2
x + 1
− 1x− 2
0
Conjunto Domínio / Imagem
Definição de Domínio (D(f)): O conjunto Domínio são todos
os valores possíveis para a variável X.
Definição de Conjunto Imagem (Im(f)): O Conjunto Imagem
são os valores de Y, ou seja, quando você substitui na função
um valor de x e encontra o valor correspondente de Y.
a) x+1 D(f): {x∈!} Im(f): {x∈!}
Nesse caso não há restrições para o valor de x, isto é, para o
Domínio da função, x poderá assumir qualquer número Real.
Da mesma forma que o valor resultado obtido com essa
operação, isto é x+1 poderá ser tanto positivo quanto negativo,
incluindo o valor 0, logo a Imagem da função poderá ser
também qualquer número Real.
b) √ x D(f): {x∈!∣x>0} Im(f): {x∈! + }
Para o Domínio, a raiz de x não poderá ser um valor negativo.
Para a Imagem, o resultado somente poderá será um valor
positivo.
c)
1
x−3
D(f): {x∈!∣x≠3} Im(f): {x∈!}
Para o Domínio, o resultado do quociente não poderá ser 0
(zero). Para a Imagem, o resultado poderá será um valor
positivo ou negativo, decimal o inteiro.
d) log2 x D(f): {x∈!∣x(1} Im(f): {x∈! + }
Toda função definida pela lei de formação f(x)=logax,
com a ≠ 1 e a>0 é denominada função logarítmica de base a.
Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto
dos números reais maiores que zero e o contradomínio ou
imagem, é o conjunto dos reais. O mesmo é válido para
logaritmo neperiano ou natural (ln).
e) tg x D(f): Im(f):
Sugestão: Não há tangente de 90 e 270 graus.
f) √ x2−5x+6 D(f): Im(f):
Sugestão: encontre as raízes através de Bháskara e em seguida
faça uma análise
1) Resolva as seguintes equações lineares
a) 2(2x− 3)+3(x+1)= 5x+2 Resposta: x= 2,5
b)
5y− 2
8
= 2+
y
4
Resposta: y =6
3) Efetue as seguintes divisões das expressões algébricas
a)
x2+7x+12
x+4
Resposta: x+3
b)
x3− 5x2+7x− 3
x− 3
Resposta: x2− 2x+1
c)
3x
3+5x2+8x+7
3x+2
Resposta: (x2+ x+2)+(3)
Quando houver resto, esse é
somado junto a expressão.
2) Encontre o domínio de cada função:
a) f (x )= √ x+3
Resposta: A expressão dentro do radical não pode ser negativa.
Como devemos ter x+3≥ 0 , então x≥ − 3 . O domínio
de f é o intervalo [ -3, +∞ ).
Exercícios de ixação IF I
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b) f (x )= √ x
x− 5
Resposta: A expressão dentro do radical não pode ser negativa;
portanto, x≥ 0 . Também, o denominador de uma função
não pode ser zero; portanto, x≠ 5 . O domínio de f é o
intervalo [0, +∞ com o número 5 removido, o qual podemos)
escrever como a união de dois intervalos, da seguinte maneira:
[ 0, 5 ) e (5, + ∞ ).
c) A(s )= √3
4
s² onde A(s) é a área de um triângulo
equilátero com lados de comprimento s.
Resposta: A expressão algébrica tem como domínio todos os
números reais, mas pelo que a função representa (cálculo da
área), s não pode ser negativo. O domínio de A é o intervalo
[ 0, +∞).
d) f (x )= x2+4
Resposta: Não há nenhuma restrição para essa expressão, logo
o domínio de f são todos os números reais.
e) f (x )=
3x− 1
(x+3)(x− 1)
Resposta: Para essa expressão o denominador não poderá ser
zero. Assim, (x + 3) ou (x – 1) não poderão ser zero. Logo o
domínio de f são todos os números reais, exceto x≠ − 3 e
x≠ 1 . Esses valores podem ser expressos em forma de
intervalo, isto é: ( -∞ , -3 ) ∪( - )3, 1 ∪ ( 1, +∞ )
f) f (x )=
1
x
+
5
x− 3
Resposta: Analogamente a questão anterior, os
denominadores não poderão ser zero. Logo x≠ 0 e
x≠ 3 .
g) f (x )= √4− x
2
x− 3
Resposta: A expressão dentro do radical não poderá ser
negativa, 4− x2≥ 0 , logo x≠ +2 e x≠ − 2 .
Além disso, e para o denominador, o qual não pode ser zero.
Então, x≠ +3 . O domínio de f é portanto, a união de
x≠ +2 ∪ x≠ +2 ∪ x≠ +3 .
h) f (x )=
x
x2− 5x
Resposta: A expressão x2− 5x não poderá ser zero. Assim,
se colocarmos o x em evidência teremos x (x− 5) .
Dessa forma, x≠ 0 e x≠ 5 , sendo esses resultados o
domínio de f.
Inequações
Quando comparamos dois números reais a e b, somente uma das
três afirmações é verdadeira:
a < b a = b a > bou ou .
Se os números a e b forem distintos, então a < b ou a > b e dizemos
que a e b são desiguais, isto é, existe entre eles uma desigualdade.
Vejamos alguns exemplos de desigualdades, todas verdadeiras:
• 4 é menor que 7(4 < 7)
• 32 é maior que 11 (32 > 11)
• -12 é menor que 0 (-12 < 0)
• 7/2 é maior que 2/3 (7/2 > 2/3)
Vejamos agora sentenças abertas representadas por
desigualdades:
• O dobro de um número é maior que 8 (2x > 8)
• O consecutivo do triplo de um número é menor que menos 14
(3x +1 < -14)
Essas sentenças abertas são denominadas .inequações
Inequações é uma sentença aberta expressa por uma
desigualdade entre duas expressões algébricas.
A letra em cada uma das desigualdades é denominada incógnitax
ou variável, e cada expressão algébrica são os membros da
inequação. O membro à direita é o 1º membro e o da esquerda é o
2º membro da inequação. Para resolver uma inequação, o
primeiro passo é isolar o , por exemplo:x
3x + 5 > 7
3x > 7 - 5
x > 2/3
Ou seja, para satisfazer a inequação, x deve ter valor maior do
que 2/7. Outro exemplo:
4x – 4 20>
4x 20 + 4>
x 24/4>
x 6>
Ou seja, para satisfazer a inequação, x deve ter valor maior ou
igual a 6.
Propriedades das Desigualdades
1ª Propriedade: Uma desigualdade não se altera quando
adicionamos ou subtraímos um mesmo número a
ambos de seus membros.
3
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+ + +
+ + +
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Resolvendo Inequações de 1º grau
Passo 2 - Esboço do gráfico
+ + +
+ + +
- - -
- - -
Passo 3 - Análise do Sinal (x + 2) 0>
Se a raiz é -2 e a reta é crescente, então os valores possível para
que a expressão (x+2) > 0 seja satisfeita, são todos os valores
que -2, isto é, o intervalo está entre (-2, + ).maiores
Podendo ser expresso também por: S={x R | x > -2}
Passo 2 - Esboço do gráfico
Passo 3 - Análise do Sinal 2x - 7 -1 ou 2x -6 0
Se a raiz é 3 e a reta é crescente, então os valores possível para
que a expressão 2x-6 0 seja satisfeita, são todos os valores
a 3, isto é, o intervalo está entre [3, + ).maiores ou igual
Podendo ser expresso também por: S={x R | x 3}
Exemplo 03
Passo 1 - Determinar a raiz
-2x + 7 > 0 Dada a inequação
-2x + 7 = 0 Iguala a zero
x = 7/2 Encontra-se a raiz
Passo 2 - Esboço do gráfico
Passo 3 - Análise do Sinal -2x +7 0>
Se a raiz é 7/2 e a reta é decrescente, então os valores possível
para que a expressão -2x+7 > 0 seja satisfeita, são todos os
valores 7/2, isto é, o intervalo está entre .menores (- ,7/2)
Podendo ser expresso também por: S={x R | x < 7/2}
Exemplo 04
Passo 1 - Determinar a raiz
3x - 12 < 0 Dada a inequação
Iguala a zero3x - 12 = 0
x = 4 Encontra-se a raiz
Passo 2 - Esboço do gráfico
≥
≥ ≥
≥
≥
+ + +
+ + +
- - -
- - -
2ª Propriedade: Uma desigualdade não se altera quando
multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros por
um mesmo número positivo.
3ª Propriedade: Uma desigualdade muda de sentido quando
multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros por
um mesmo número negativo.
Exemplo: -2 < 3 se multiplicarmos ambos os membros por – 1 e
não invertermos a desigualdade tem-se uma sentença falsa, isto é:
*(-1) 2 < -3 (sentença falsa)
*(-1) 2 > - 3 (sentença verdadeira)
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do
estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte
procedimento:
Ÿ Passo 1 - Determinar a raiz.
Ÿ Passo 2 - Esboçar do gráfico;
Ÿ Passo 3 - Analisar do sinal.
Exemplo 01
Passo 1 - Determinar a raiz
(x - 2) > 0 Dada a inequação
x+2 = 0 Iguala a zero
x = -2 Encontra-se a raiz
Exemplo 02
Passo 1 - Determinar a raiz
2x - 7 -1 Dada a inequação
2x-6 = 0 Iguala a zero
x = 3 Encontra-se a raiz
+ + +
+ + +
- - -
- - -
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S ={ x R | – 7 / 3 < x < – 1 }
Exemplo 2
Exemplo 3
Determine a solução da inequação –2x² – x + 1
Determine a solução da inequação x² – x4
≤ 0.
0.
S= { x R | -1 1/2 }x
S= { x R | 0 4 }x
≥
≥
≥
≥
Passo 3 - Análise do Sinal 3x -12 0<
Se a raiz é 4 e a reta é crescente, então os valores possível para
que a expressão 3x-12 < 0 seja satisfeita, são todos os valores
menores que 4, isto é, o intervalo está entre (- ,4).
Podendo ser expresso também por: S={x R | x < 4}
Resolvendo Inequação do 2° grau
De forma análoga, a inequação de 2° grau pode ser resolvida por
meio do estudo do sinal de uma função do 2° grau, com os mesmos
procedimentos:
Passo 1 - Determinação das raízes.
Passo 2 - Esboço do gráfico;
Passo 3 - Análise do sinal.
Exemplo 1
Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.
x,= -1 x ,, = -7/3
Obtendo as raízes por
Bháskara ou Soma e Produto
Analisando o Sinal, temos:
Se as raízes são; -7/3 e -1 e a parábola possui concavidade para
cima, então os valores possíveis para seja3x² + 10x + 7 0<
verdadeira devem ser estar no intervalo (-7/3, -1)
Analisando o Sinal, temos:
Se as raízes são; -1 e 1/2 e a parábola possui concavidade para
baixo, então os valores possíveis para que seja–2x² – x + 1 0≤
verdadeira, devem ser estar no intervalo (- , -1 ] e [1/2, + )
Analisando o Sinal, temos:
Se as raízes são; 0 e 4 e a parábola possui concavidade para
cima, então os valores possíveis para que sejax² – x 04
verdadeira, devem ser estar no intervalo (0 , 4].
Logo,
Obtendo as raízes por
Obtendo as raízes por
Bháskara ou Soma e Produto
Bháskara ou Soma e Produto
x,= -1 e x ,, = ½
0 4x,= e x ,, =
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
≥
≥
-7/3
0
-1
-1
4
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Exemplo 4
Determine a solução da inequação x² – x6 + 9 > 0.
S= { x R | 3 > x > 3 }
Analisando o Sinal, temos:
Se as raízes são; 3 e 3 e a parábola possui concavidade para
cima, então os valores possíveis para que sejax² – 6x + 9 0>
verdadeira, devem ser estar no intervalo ( - ,3) e (3,+ )
Obtendo as raízes por
Bháskara ou Soma e Produto 3 3x,= e x ,, =
3
Lista de Exercícios 01
1) Resolva as inequações e represente graficamente o
conjunto solução graficamente na reta real.
a) x− 4>2
Resposta: x > 6
b) x+3>5
Resposta: x > 2
c) 2x− 1)4x+3
Resposta: x(− 2
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− x − 3x <5 +3
− 4x <2
− <x
2
4
− <x
1
2
Se x é negativo, então pela
desigualdade,
Exercício resolvido
isso é (-1), * temos:
Resposta: x
5
e)
5x +7
4
)− 3
)
− 19
d) 3x− 1(6x+8
Resposta: x)− 3
2) Resolva as seguintes desigualdades
Resp. x>−
1
2
3− x < 5+ 3xa)
3ª Propriedade da
c) 3x − 5<
3
4
x+
1− x
3
S = { x∈!∣x <2
2
31
}
d) 2 ≤ 5− 3x <11 S ={x ∈!∣1≥ x >− 2 }
b) 5x + 2 > x − 6 S = {x ∈!∣ x > − 2 }
e) − 1<
3− 7x
4
≤6 S = {x∈ !∣1 < x ≤ − 3 }
f)
1
x + 1
<
2
3x− 1 S = { x ∈!∣x <3 }
1 x
g)
2
−
≤ 1 S = {x ∈!∣x ≤ − 1 }
h)
x 9
4
2
−
>1 S = { x∈!∣x <5 }
i) x
2
− 3x + 2 >0 S ={x ∈!∣1 ≥ x ≥ 2 }
j) (x− 3)( x+5)≤ 0 S = { x ∈!∣− 5≥ x ≥ 3 }
k) x
2
− 7x +6 ≤ 0 S = { x ∈!∣1 ≤ x ≤ 6 }
l) x
2
− 3x − 4 > 0 S = { x ∈!∣− 1 < x > 4 }
m) 3x
2
− 2x ≤ 0 S = { x ∈!∣0≤ x ≤
2
3
}
n) − x
2
+ x +12 >0 S = { x ∈!∣− 3 < x < 4 }
o) x
2
− 2x +1 < 0 S =∅
p) x
2
− 6x +9 ≤ 0 S = {3 }
q) x
2
− x + 6 >0 S = !
S =∅r)
− 3x
2
2
+ x−
1
2
≥ 0
6
3) Assinale a alternativa correta
(Alfenas) Os valores de k para que a função
f(x) = (k – 2)x + 1 seja estritamente decrescente são:
a k ≤ –2
b) k≥ 2
c) k≥ –2
d) k < 2
e) k = 2 Resp. d) k <2
Função Linear - A equação de uma reta
Intuitivamente é fácil perceber que dois pontos distintos definem
uma única reta. Na geometria analítica podemos determinar a
equaçãode uma reta que passa por dois pontos distintos do plano
cartesiano. Para tal, consideremos a reta definida pelos pontos
A = (x ; y ) e B = (x ; y ) da Figura 1.1 (a); um ponto qualquer0 0 1 1
P = (x; y) também estará sobre esta reta desde que A, B e P sejam
colineares (estejam alinhados) - Figura 1.1(b).
Figura 1.1: Definindo a equação de uma reta
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Figura 1.1: Definindo a equação de uma reta
Tal condição de alinhamento é satisfeita se os triângulos ABM e
APN forem semelhantes (neste caso uma semelhan
ça do tipo ângulo-ângulo-ângulo); assim podemos escrever
Simplicamos a equação (1.1) notando que a razão
é constante1. Tal constante é chamada de coeficiente angular da
reta e doravante vamos denotá-la pela letra a. É útil observar que
o coeficiente angular de uma reta pode ser prontamente
encontrado dividindo-se a variação y das ordenadas dos pontos
pela variação x de suas as abcissas; assim
Substituindo o valor do cofieciente angular dado em (1.2) na
equação da reta (1.1) obtemos
chamada equação da reta na forma ponto-cofieciente angular.
Isolando y nesta equação obtemos
ou, mais apropriadamente,
onde notamos que -ax + y é uma constante, denominada0 0
coeficiente linear da reta e a qual denotaremos pela letra b.
Podemos então reescrever a equação (1.4) como
y ax b= +
chamada equação da reta na forma reduzida.
Exemplo
Exemplo 1.1 (Reta por dois pontos dados)
Determine a equação da reta pelos pontos (1; 3) e (2; 5),
mostrada na Figura 1.2.
Inicialmente calculamos seu coeciente angular
a=
Δ y
Δ x
=
5− 3
2− 1
= 2
A seguir, usando o ponto (1; 3), obtemos a equação da reta na
forma ponto-coeficiente
y− 3= 2 ( x− 1 )
Finalmente isolamos a variável y para obter sua forma
reduzida
y = 2x + 1
Então, esta reta tem coe ciente angular! a = 2 e
coe!ciente linear b = 1.
No exemplo anterior poderíamos obter a equação da reta
usando o ponto (2; 5), ao invés do ponto (1; 3). Neste
caso a equação da reta na forma ponto-coeficiente seria
y - 5 = 2(x - 2);
e a forma reduzida
y = 2x + 1:
Observamos que a equação da reta na forma ponto-coeficiente
não é única: mudando-se o ponto usado muda-se a equação;
por outro lado a forma reduzida é única, independente de qual
ponto é usado para escrever sua equação.
Δ
Δ
Determine os coeficientes angulares das seguintes retas.
a) y= 5x− 1 Resposta: (coeficiente angular é o
valor número que acompanha x),
logo a resposta é 5.
b) 2x− 5y= 9 Resposta:
2
5
c) y− 7=
5
4
(x− 1) Resposta:
5
4
Exercícios de ixação IF I I
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8
1) Dados os seguintes pares ordenados da reta r, pede-se:
i) função f(x);
ii) esboço do gráfico;
b) c)
Resposta (a): Para essa questão é necessário escolher dois
pares ordenados. Nesse caso, (2,1) e (3,4) foram os pares
escolhidos aleatoriamente.
O coeficiente angular através da fórmula a =
y2 − y1
x2 − x1
Nesse caso, tem-se
4 − 1
3− 2
=
3
1
= 3
Como a fórmula geral da reta é y=ax+b , o valor do coeficiente
angular da reta é a = .3 Logo, y=3x+b.
Considerando ainda, que estamos trabalhando com uma reta
contínua, podemos escolher qualquer outro par ordenado para
a determinação do coeficiente linear. Nesse caso, foi novamente
escolhido o par ordenado (3,4).
Dessa forma, temos:
4=3.3+b → 4=9+b → 4-9=b → b=-5
x y
-3 2
-2 0
-1 -2
0 -4
1 -6
2 -8
x y
-3 -3
-2 -2
-1 -1
0 0
1 1
2 2
a)
x y
-1 -8
0 -5
1 -2
2 1
3 4
4 7
Logo, temos como coeficiente angular (a) o valor 3 e
coeficiente linear (b) igual a -5.
i) f(x) = 3x-5
ii) esboço do gráfico
iii) Como a função constante ocorre quando qualquer valor
que se substitua em x resulta sempre no mesmo resultado. O
gráfico é linha reta sem ângulo. Nesse caso, não é constante.
iv) O gráfico da função identidade é uma reta bissetriz do
primeiro e terceiro quadrante (x=y), ou seja, a reta passa pela
origem (0,0). Por essa mesma razão ele se parece com a função
linear.
Exercícios de ixaçãoF IV Resposta (b):
i) f(x) = -2x - 4
ii) gráfico
i) f(x) = x
ii) gráfico
Lista de Exercícios 02
1 os os gráficos) Dad seguintes , pede-se:
i)
ii)
duas coordenadas cartesianas;
Resposta (c):
iii)
raiz da função;
classifique a função quanto a: crescente ou
decrescente (caso ocorra);
Função Crescente e Decrescente
Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os
valores correspondentes em y também aumentam.
Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam,
os valores correspondentes de y diminuem.
Função Crescente a > 0 Função Decrescente a < 0
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CLM - Campus Luiz Meneghel / CCT - Centro de Ciências Tecnológicas
Disciplina de Matemática Discreta
Prof. Luiz Fernando
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
9
Questão ( )a
Função constante é toda função f : R→R, tal que f(x)=k, em
que k é uma constante real.
Em uma função constante, todos os elementos do Domínio terão
a mesma imagem, ou seja: Im = k
O domínio pertence a todos os reais: D = R
Outra característica importante é a ausência de raiz: Raiz =
Seu intercepto y é: y = k
Função Constante
Função Identidade
Questão (b)
5/3
5
Questão (c)
Questão (d)
Chama-se função identidade a toda função f: IR → IR definida
por: f(x) = x
Note que a função identidade é um caso particular da função
afim f(x) = ax + b, pois neste caso temos a = 1 e b = 0.
As principais características da função identidade são:
:: Domínio: R
:: Imagem: R
f (x )= √64
2
i) gráfico (função constante)
ii) coordenadas (0,4) e (1,4)
iii) raiz: Não existe
iv) Não há coeficiente angular, a função é uma
constante.
Exemplo:
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y
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-2 -1 0 1 2
i. equação do grá co;fi
ii. a(s) raiz(es) (se houver);
iii. vértice (se houver);
iv. conjunto Domínio f;
v. conjunto Imagem I;
vi. o valor do ângulo
vii. classi cação (crescente/decrescentefi
/constante/identidade )
Grá co Afi
Grá co Bfi
Grá co Cfi
x y
-2 -3
-1 -1
0 1
1 3
2 5
y
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-2 -1 0 1 2
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
x y
-2 9
-1 6
0 3
1 0
2 -3
x y
-2 -1136
-1 -564
0 8
1 580
2 1152
Grá co Dfi
Grá co Efi
Grá co Ffi
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
yx y
-2 -2
-1 -1
0 0
1 1
2 2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-2 -1 0 1 2
x y
-3 3
-2 3
-1 3
0 3
1 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2
x y
1 -2
1 -1
1 0
1 1
1 2
1 3
Exercício 02 - Refaça os grá cos apresentados nessa lista,fi
comparando os resultados obtidos através do
recurso de «linha tendência - Excel ou Libre
Of ce».fi
10
Lista de Exercícios 03
Prof. Luiz Fernando
Determinação das raízes de uma função quadrática
através de Bháskara
− b± √(b 2− 4.a.c )
2.a
para f(x)= ax² + bx + c
a)
(
(x
2+5x+6)⇒ x, = 2 e x,, = -3
b)
(
x
2− 9)⇒ x, = 3 e x,, = -3
c)
d) (
x
2− 3x+1)⇒ x, = 2,61 e x,, = 0,38
x
2+2x− 1)⇒ x, = -0,41 e x,, = -2,41
Função quadrática
Chama-se função quadrática, ou função polinomialdo 2º grau,
qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma
f(x) = ax
2
+ bx + c , onde a, b e c são números reais e a 0.
Caso f(x) for igual a 0 pode ser utilizado a forma de báskara
para achar as raízes.
As raízes da função quadrática são os valores de x
ou seja, r o "o gráfico corta eixo x""
Para:
, a função terá duas raízes.
, a equação terá uma raiz apenas
, não terá raiz
o vértice pode ser determinado pela fórmula:
quando sua (valor de y) for igual aimagem 0,
Vértice
raízes
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
(0,-4) (0,1)
Determinação da função quadrática pelo método de
Soma e Produto
Fórmula geral: x² – Sx + P
onde: S é a Soma das raízes (x, e x,,) e
P o produto entre essas mesmas raízes.
Assim, é possível determinar a função (resumida) de uma
função quadrática apenas observando suas raízes.
No baixo. onde são:gráfico a as raízes x, = -4 e x,, = 1.
Soma = -4 +1 = -3 Produto = -4 * +1 = -4
Logo, x² -(-3)x + (-4) => x² + 3x - 4
Atenção: É necessário observar o vértice do gráfico, uma
vez que a regra não apresenta informações sobre a concavidade
da parábola ., ou seja, se a > 0 ou a<0
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
-4 1
Em outro exemplo, para se obter as raízes da função
f(x) = 3x² -3x -2 , é necessário encontrar primeiramente a
função resumida.
A Soma é portanto -b/a = -(-3)/3 = 1 e
o Produto c/a = -6/3 = -2
Agora podemos testar os possíveis valores, começando pelo
produto e considerando que esses sejam apenas valores inteiros,
temos:
11
O quê ? * quê ? = -2
Possibilidades: ( 1 )* ( -2 ) ou ( -1 ) * ( 2 )
Testando os mesmos valores para a , a única possibilidadeSoma
a ser considerada é ( -1 ) + ( 2 ) = 1
Portanto: x, = -2 e x,, = 1
Aplicando os valores obtidos a x² - x + , temosS P f(x)= x² -x -2
Note que f(x)=3x² -3x-6 é 3 vezes f(x)= x² -x -2
Exercício (Matemática Aplicada)
Um fabricante produz caixas abertas de papelão retangular de
16 por 30 centímetros. Cortando pequenos quadrados, dos
cantos e dobrando pra cima os lados. Figura 01. O
Departamento de Pesquisa e de Desenvolvimento pede que
você determine o tamanho do retângulo (material utilizado), o
qual resulta numa caixa com o maior volume possível.
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Disciplina de Matemática Discreta
a) Seja x o comprimento do lado do quadrado a ser
cortado e seja V o volume da caixa resultante.
Determine a função que representa esse volume.
b) Caso haja alguma restrição quanto ao valor de x,
pede-se que seja justificado.
c) Faça um gráfico de V versus x em um intervalo
apropriado e use o gráfico para estimar o valor de x
que resulta no maior volume.
d) Estime o maior volume.
Trigonometria
Para explicar a função Seno de um ângulo qualquer, é
necessário familiarizar-se com o círculo trigonométrico e
as posições de seno, cosseno, tangente, cotangente,
secante e cossecante junto as retas x (abscissa) e y
Seno:
(ordenada) do plano cartesiano.
Observando a Figura 1, o valor de seno é dado através de
uma reta r que possui um ângulo o qual produz uma
“sombra” sobre o eixo y . O valor de seno está portanto
compreendido entre -1 a 1.
Figura 1 – Seno e Cosseno
Cosseno:
Analogamente, o valor de cosseno é dado através de uma
reta r que possui um ângulo o qual produz uma
“sombra” sobre o eixo x . O valor de cosseno está
compreendido entre -1 a 1. Tanto para seno quanto
cosseno os valores são dados dentro do círculo
trigonométrico.
Tangente:
Para a tangente, os valores obtidos são além do círculo
trigonométrico. Uma reta paralela ao eixo y é utilizado
como escala, observando que esta somente existe do lado
direito do círculo trigonométrico. Figura 2.
Figura 2 – Tangente e Cotangente
12Prof. Luiz Fernando
16cm
30 cm 30 -2x
16 -2x
a) b)
xx
x
x
x x
x x
x
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Cotangente:
Nesse caso, para a cotangente, uma reta paralela ao eixo
de x é utilizado como escala. Analogamente, a reta da
cotangente somente existe do lado de cima ao círculo
trigonométrico. Figura 2.
Secante:
Para a secante, os valores estão localizados além do
círculo trigonométrico. É o eixo y a escala utilizada para
a determinação da secante. Observe a Figura 3, onde a
partir da reta (r), onde essa toca o círculo trigonométrico
é construída uma segunda reta (l), a qual é perpendicular
a reta (r). O prolongamento da reta (l) ao tocar no eixo y,
permite determinar o valor da secante.
Figura 3 – secante e cossecante
Cossecante:
Analogamente a secante, a cossecante é dada como o
prolongamento da reta(l) sobre o eixo x. Figura 3.
Gráficos abertos das funções trigonométricas
Identidades Fundamentais
csc θ=
1
sen θ
tan θ=
sen θ
cos θ
sen
2
θ+ cos
2
θ= 1
sec θ=
1
cosθ
cot θ=
cos θ
sen θ
1 + tg
2
θ= sec
2
θ
cot θ=
1
tan θ
1 + cot
2
θ= csc
2
θ
Prof. Luiz Fernando 13