Lista de cálculo I

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Universidade Federal do Ceara´
Centro de Cieˆncias
Departamento de Matema´tica
Disciplina: Ca´lculo - Turma 01
Cursos: Agronomia e Eng. de Pesca
Lista de Exerc´ıcios
1. Seja
En =
(
1 +
1
n
)n
, n ∈ N.
(a) Provar que En e´ estritamente crescente.
(b) Provar que En e´ limitada superiormente pelo valor 3.
(c) Concluir que
∃ lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
.
(d) Denote por e o limite do item anterior e calcule o maior inteiro que na˜o
supera o valor de e.
2. Calcular o
lim
n→∞
n
(
n
√
a− 1) , n ∈ N
3. A multiplicac¸a˜o de uma coloˆnia de bacte´rias obedece, em cada instante t, a`
func¸a˜o matema´tica
P (t) = P0e
α(t−t0), t ∈ R,
em que α > 0, e´ uma constante real, e P0 = P (t0) e´ a populac¸a˜o no instante
t0.Calcular a raza˜o de variac¸a˜o instantaˆnea de P (t) e descubra a caracte-
rizac¸a˜o da derivada da func¸a˜o exponencial e interprete o nu´mero α nesta
caracterizac¸a˜o.
4. Considere, por definic¸a˜o, que o nu´mero pi e´ a medida nume´rica da a´rea da
regia˜o circular de raio 1.
(a) Calcular o maior inteiro que na˜o supera pi.
(b) Estabelec¸a, atrave´s de pol´ıgonos regulares inscritos em uma circun-
fereˆncia, um limite que defina o nu´mero pi como a medida nume´rica
da a´rea da regia˜o circular de raio 1.
5. Provar que em qualquer intervalo [a, b] de nu´meros reais existe pelo menos
um nu´mero racional.Deduza que existe ate´ mesmo uma quantidade infinita
de nu´meros racionais em [a, b].
1
6. Provar que em qualquer intervalo [a, b] de nu´meros reais existe pelo menos
um nu´mero irracional.Deduza que existe ate´ mesmo um nu´mero infinito de
nu´meros irracionais em [a, b].
7. Provar que uma reta r e´ tangente a uma circunfereˆncia C se, e somente se,
tiver um u´nico ponto de contato com esta circunfereˆncia.
8. Provar que se uma reta r e´ tangente a uma para´bola P enta˜o esta reta tem
um u´nico ponto de contato com esta para´bola.Mostre que a rec´ıproca na˜o e´
verdadeira como no caso da circunfereˆncia.
9. Provar que as regio˜es circulares de raio r sa˜o convexas.
10. Mostrar que a regia˜o situada acima do gra´fico da para´bola y = x2 e´ convexa.
11. Mostrar que a regia˜o delimitada por uma elipse e´ convexa.
12. Seja f : [a, b] −→ R e x0 ∈ [a, b]. Provar que se f e´ cont´ınua em x0 enta˜o
g(x) = |f(x)| e´ cont´ınua em x0.Deˆ exemplo de uma func¸a˜o com mo´dulo
cont´ınuo sem que a func¸a˜o o seja em um determinado ponto x0.
13. Deˆ exemplo de uma func¸a˜o que tenha derivada nula em cada ponto do seu
domı´nio mas que na˜o seja constante e tenha seu conjunto de valores infini-
tamente enumera´vel.
14. No plano cartesiano, considere o triaˆgulo retaˆngulo de ve´rticesO = (0, 0), A =
(a, b) e B = (a, 0) em que a > 0 e b > 0. Construa uma soma na
varia´vel n ∈ N cujo limite quando n→∞ defina a medida nume´rica da a´rea
desse triaˆngulo.
15. Construir uma soma na varia´vel n ∈ N cujo limite quando n → ∞ define
a medida nume´rica da a´rea delimitada pelo gra´fico da para´bola y = x2, o
semieixo na˜o negativo das abscissas e a reta x = 2.
16. Calcular os seguintes limites:
(a) lim
x→0
√
(a+ bx)(c+ dx)−√ac
x
(b) lim
x→∞
(√
x−√x−
√
x+
√
x
)
(c) lim
x→0+
x
a
[
b
x
]
, se a > 0 e b > 0
(d) lim
x→0+
[x
a
] b
x
, se a > 0 e b > 0
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(e) Discutir o limite dos ı´tens (c) e (d) anteriores quando x→ 0-
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