Aula1: Funções de duas variáveis: definição, domínio, imagem e gráficos

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Funções de duas variáveis
Em Cálculo 1 estudamos funções de uma única variável. Nesse caso, o domínio das funções
eram conjuntos de números reais e as funções associavam a cada ponto de seu domínio um
único número real.
Em Cálculo 2, estaremos interessados em estudar funções que dependem de mais de uma
variável. Por exemplo, o volume do cilindro circular reto de raio da base r e altura h é dado
por V = pihr2. Logo, a função volume V depende de duas variáveis independentes diferentes:
r e h.
Temos que entender inicialmente o que seriam os domínios, as imagens e os gráficos de
funções que dependem de mais de uma variável. Inicialmente vamos estudar as funções que
dependem de duas variáveis reais.
Uma função f de duas variáveis é uma lei que associa, a cada par ordenado de números
reais (x, y) de um conjunto D ⊂ R2, um único número real denotado por f(x, y). Chamamos
o conjunto D de domínio de f e o denotamos por Dom(f). O conjunto de todos os números
reais assumidos por f ao percorrermos todos os pontos de seu domínio é chamado de imagem
de f e é denotado por Im(f). Assim,
Im(f) = {f(x, y) : (x, y) ∈ Dom(f)}
Observação 1. Dependendo do contexto, podemos utilizar letras diferentes para representar
as variáveis e a função. Por exemplo, para representar a função volume é interessante utilizar
a letra V e é interessante utilizar as letras r e h para representar o raio de um cilindro reto
e sua altura, respectivamente. Assim, o volume do cilindro de raio r e altura h é dado por
V (r, h) = pihr2.
Quando não explicitarmos o domínio de uma função, consideraremos o domínio da função
como sendo o maior conjunto possível de pares ordenados de números reais (x, y) para os quais
f está bem definida (isto é, para os quais a fórmula de f está bem definida).
Observe que o domínio de uma função de duas variáveis é um subconjunto de R2 ou seja,
um subconjunto do plano e sua imagem é um subconjunto de R.
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Exemplo 1. Determine o domínio da função f(x, y) =
√
x+ y + 1
x− 1 .
Observe inicialmente que a raiz
√
x+ y + 1 só assume valores reais se x + y + 1 ≥ 0. Além
disso, se x = 1, então x − 1 = 0 e o denominador da função se anularia, o que não pode
acontecer (uma vez que NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO!). Logo,
Dom(f) =
{
(x, y) ∈ R2 | x+ y + 1 ≥ 0 e x 6= 1}
Observe que o conjunto dos pontos (x, y) para os quais x = 1 pertencem à uma reta do plano e
que o conjunto do pontos do plano para os quais x + y + 1 = 0 pertencem à reta y = −x + 1.
Logo, os pontos para os quais x + y + 1 ≥ 0 são os pontos que pertencem à essa reta ou que
estão à direita dela.
Exemplo 2. Determine o domínio da função f(x, y) = x ln(y2 − x).
Observe que o logarítmo ln(y2 − x) só está definido se y2 − x > 0 (uma vez que não existe
logarítmo de número negativo, nem de zero). Logo,
Dom(f) =
{
(x, y) ∈ R2 | y2 − x > 0}
Observe que o conjunto dos pontos (x, y) para os quais y2−x = 0 pertencem à parábola x = y2.
Logo, os pontos para os quais y2 − x > 0 são os pontos que satisfazem x < y2 e, portanto, são
os pontos que estão no exterior dessa parábola.
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Exemplo 3. Determine o domínio da função f(x, y) =
√
9− x2 − y2.
Observe que a raiz
√
9− x2 − y2 só assume valores reais se 9− x2 − y2 ≥ 0. Logo,
Dom(f) =
{
(x, y) ∈ R2 | 9− x2 − y2 ≥ 0}
Observe que o conjunto dos pontos (x, y) para os quais 9−x2−y2 = 0 pertencem à circunferência
de raio 3 dada por x2+y2 = 9 e que o conjunto dos pontos do plano para os quais 9−x2−y2 ≥ 0
são os pontos que pertencem ao disco de raio 3.
Definimos o gráfico de uma função de duas variáveis f como sendo o conjunto dos pontos
(x, y, z) ∈ R3 para os quais (x, y) ∈ Dom(f) e z = f(x, y). Ou seja,
Gráfico de f = {(x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ Dom(f)}
Observe que o gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície com equação
z = f(x, y)
(por isso, muitas vezes usamos z = f(x, y) para representar uma função de duas variáveis) e
que o domínio de f é a projeção desta superfície no plano xy.
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Exemplo 4. Esboce o gráfico da função f(x, y) = 6− 3x− 2y.
Observe que Dom(f) = R2 e que o gráfico de f é o conjunto dos pontos do espaço
{(x, y, z) | z = 6− 3x− 2y} = {(x, y, z) | 3x+ 2y + z = 6}
Como 3x+2y+ z = 6 é a equação de um plano no espaço, o gráfico de f é um plano. Observe
que
• x = y = 0 ⇒ z = 6;
• z = y = 0 ⇒ x = 2;
• x = z = 0 ⇒ y = 3;
Logo, as interseções deste plano com os eixo coordenados são (0, 0, 6), (2, 0, 0) e (0, 3, 0).
Generalizando o exercício anterior, o gráfico de qualquer função da forma
f(x, y) = ax+ by + c onde a, b, c ∈ R
é um plano. Tais funções são chamadas de funções lineares de duas variáveis.
Exemplo 5. Esboce o gráfico da função f(x, y) =
√
9− x2 − y2.
Já sabemos que
Dom(f) =
{
(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 9}
O gráfico de f é o conjunto dos pontos do espaço{
(x, y, z) | z =
√
9− x2 − y2 e 9− x2 − y2 ≥ 0
}
Observe que se z = f(x, y) =
√
9− x2 − y2 e 9− x2 − y2 ≥ 0, então z ≥ 0. Além disso, temos
que
z2 + x2 + y2 = 9− x2 − y2 + x2 + y2 = 9
isto é, o gráfico de f é dado pelos pontos{
(x, y, z) | z2 + x2 + y2 = 9 e z ≥ 0}
Ou seja, o gráfico de f é a metade superior de uma esfera de raio 3.
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Exercício 1: Determine o domínio da função f(x, y) =
1
xy2
.
Exercício 2: Determine o domínio da função f(x, y) =
1√
xy2
.
Exercício 3: Esboce o gráfico da função f(x, y) = 4x2 + y2.
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Respostas:
Exercício 1: O domínio da função é o conjunto de todos os pontos do plano, exceto os
eixos coordenados.
Exercício 2: O domínio da função é o conjunto de todos os pontos do plano para os quais
x > 0 e y 6= 0.
Exercício 3: O gráfico da função é o parabolóide elíptico:
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