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Continuidade de funções de duas variáveis Dizemos que uma função f é contínua em um ponto (a, b) ∈ Dom(f) se lim (x,y)→(a,b) f(x, y) = f(a, b) Observe que para f ser contínua em um ponto (a, b) é necessário que esse ponto (a, b) pertença ao domínio de f (isto é, f precisa estar definida em (a, b)) e o limite de f quando (x, y) tende a (a, b) precisa de existir E coincidir com o valor de f em (a, b). Dizemos que uma função f é contínua se ela for contínua em TODOS os pontos de seu domínio. Se f e g são funções contínuas em (a, b) e se k ∈ R é uma constante qualquer, então as seguintes funções também são contínuas em (a, b): 1. f + g. 2. f − g. 3. k · f . 4. f · g. 5. f g se g(a, b) 6= 0. Observamos que as funções polinomiais e as funções racionais são contínuas. Continuidade da composta Se g é uma função de duas variáveis contínua no ponto (a, b) e f é uma função de uma variável contínua no ponto g(a, b), então a função composta f ◦ g é contínua no ponto (a, b). Exemplo 1. Como a função g(x, y) = x3+xy+2y4 é contínua em R2 e a função f(x) = cos x é contínua em R, então f ◦ g(x, y) = f(g(x, y)) = cos (x3 + xy + 2y4) também é contínua em R2. Exemplo 2. A função f(x, y) definida por partes f(x, y) = { x2y2 sen ( 1 x2+y2 ) se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) é contínua. De fato, como lim (x,y)→(0,0) x2y2 sen ( 1 x2 + y2 ) = 0 e f(0, 0) = 0, então f é contínua na origem. Seja (x, y) 6= (0, 0). Como • a função seno é contínua em R; • a função 1 x2 + y2 é contínua em R2\(0, 0) (por ser uma função racional cujo denominador só se anula em (0, 0)); 1 então a função sen 1 x2 + y2 é contínua em (x, y) 6= (0, 0). Como • sen ( 1 x2 + y2 ) é contínua em (x, y) 6= (0, 0); • x2y2 é contínua em (x, y) 6= (0, 0); então f é contínua em (x, y) 6= (0, 0). Concluímos assim, que f é contínua para todo (x, y) ∈ R2. Funções de três variáveis Definimos os conceitos de limites e continuidade para funções de três variáveis de forma completamente análoga à que fizemos para funções de duas variáveis: Dizemos que o limite de f quando (x, y, z) tende a (a, b, c) é um certo valor real L se os valores da função f(x, y, z) se aproximam arbitrariamente de L à medida que os pontos (x, y, z) ∈ Dom(f) se aproximam de (a, b, c). Ou seja, se f é uma função de três variáveis, então dizemos que o limite de f(x, y, z) quando (x, y, z) tende a (a, b, c) é L e escrevemos lim (x,y,z)→(a,b,c) f(x, y, z) = L se para todo � > 0 existir δ > 0 tal que |f(x, y, z)− L| < � PARA TODO (x, y, z) ∈ Dom(f) que esteja à uma distância menor que δ do ponto (a, b, c) (mas não nula), isto é, PARA TODO (x, y, z) ∈ Dom(f) satisfazendo√ (x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 < δ, (x, y, z) 6= (a, b, c) Dizemos que uma função f é contínua em um ponto (a, b, c) ∈ Dom(f) se lim (x,y,z)→(a,b,c) f(x, y, z) = f(a, b, c) e dizemos que uma função f é contínua se ela for contínua em TODOS os pontos de seu domínio. Os resultados análogos (propriedades de limites, teorema do confronto, propriedades de continuidade e continuidade de compostas) continuam valendo para funções de três variáveis. Derivadas parciais de funções de duas variáveis Seja f(x, y) for uma função de duas variáveis e suponha que (a, b) ∈ Dom(f). Se permitirmos somente a variável x variar e mantivermos y = b fixo, então passamos a ter uma função de uma única variável g(x) = f(x, b) já que y é constante igual a b e, portanto, deixa de ser uma variável. Se g for derivável em a, então definimos g′(a) como sendo a derivada parcial de f com relação à x no ponto (a, b) e a denotamos por fx(a, b). Ou seja, fx(a, b) = g ′(a) onde g(x) = f(x, b) 2 Como, pela definição de derivadas de uma única variável, temos que g′(a) = lim h→0 g(a+ h)− g(a) h então, temos que a derivada parcial de f com relação à x no ponto (a, b) é dada pelo limite fx(a, b) = lim h→0 f(a+ h, b)− f(a, b) h caso o limite exista. Observação 1. Também costumamos denotar a derivada parcial de f com relação à x no ponto (a, b) por ∂f ∂x (a, b), ∂ ∂x f(a, b), ∂z ∂x (a, b), D1f(a, b), Dxf(a, b) Observe que, geometricamente, a superfície y = b é um plano perpendicular ao eixo y. A interseção desse plano com a superfície z = f(x, y) é a curva dada pelo gráfico da função z = f(x, b). A derivada parcial de f com relação à x no ponto (a, b) é exatamente a inclinação da reta tangente à essa curva passando pelo ponto (a, b). Exemplo 3. Calcule fx(1, 1) se f(x, y) = 4− x2 − 2y2. Fixando y = 1, temos que g(x) = f(x, 1) = 4− x2 − 2.12 = 2− x2 Derivando esta expressão com relação à x, obtemos fx(x, 1) = g ′(x) = −2x Quando x = 1 temos então fx(1, 1) = −2 3 De forma análoga, se permitirmos somente a variável y variar e mantivermos x = a fixo, então passamos a ter uma função de uma única variável m(y) = f(a, y) já que x é constante igual a a e, portanto, deixa de ser uma variável. Se m for derivável em b, então definimos m′(b) como sendo a derivada parcial de f com relação à y no ponto (a, b) e a denotamos por fy(a, b). Ou seja, fy(a, b) = m ′(b) onde m(y) = f(a, y) Como, pela definição de derivadas de uma única variável, temos que m′(b) = lim h→0 m(b+ h)−m(b) h então, temos que a derivada parcial de f com relação à y no ponto (a, b) é dada pelo limite fy(a, b) = lim h→0 f(a, b+ h)− f(a, b) h caso o limite exista. Observação 2. Também costumamos denotar a derivada parcial de f com relação à y no ponto (a, b) por ∂f ∂y (a, b), ∂ ∂y f(a, b), ∂z ∂y (a, b), D2f(a, b), Dyf(a, b) Observe que, geometricamente, a superfície x = a é um plano perpendicular ao eixo x. A interseção desse plano com a superfície z = f(x, y) é a curva dada pelo gráfico da função z = f(a, y). A derivada parcial de f com relação à y no ponto (a, b) é exatamente a inclinação da reta tangente à essa curva passando pelo ponto (a, b). 4 Exemplo 4. Calcule fy(1, 1) se f(x, y) = 4− x2 − 2y2. Fixando x = 1, temos que m(y) = f(1, y) = 4− 12 − 2y2 = 3− 2y2 Derivando esta expressão com relação à y, obtemos fy(1, y) = m ′(y) = −4y Quando y = 1 temos então fy(1, 1) = −4 5 Se f(x, y) é uma função de duas variáveis, então chamamos as funções fx(x, y) = lim h→0 f(x+ h, y)− f(x, y) h fy(x, y) = lim h→0 f(x, y + h)− f(x, y) h de derivadas parciais de f . Na prática, para calcular a derivada parcial de f com relação à x, consideramos y como uma constante e derivamos f(x, y) com relação à x. Analogamente, para calcular a derivada parcial de f com relação à y, consideramos x como uma constante e derivamos f(x, y) com relação à y. Exemplo 5. Se f(x, y) = xy + x2, então fx(x, y) = y + 2x fy(x, y) = x Exemplo 6. Se f(x, y) = x cos y, então fx(x, y) = cos y fy(x, y) = −x sen y Exemplo 7. Se f(x, y) = x cosx, então fx(x, y) = cos x− x sen x fy(x, y) = 0 Exemplo 8. Se f(x, y) = y cosx, então fx(x, y) = −y sen x fy(x, y) = cos x Exemplo 9. Se f(x, y) = y2 cos(y3), então fx(x, y) = 0 fy(x, y) = 2y cos(y 3) + y2 · (− sen (y3)) · 3y2 = 2y cos(y3)− 3y4 sen (y3) Exemplo 10. Se f(x, y) = x cos(xy), então fx(x, y) = cos(xy)− xy sen (xy) fy(x, y) = −x2 sen (xy) Exemplo 11. Se f(x, y) = x2 ln(xy + y2), então fx(x, y) = 2x ln(xy + y 2) + x2 · 1 xy + y2 · y = 2x ln(xy + y2) + x 2 x+ y fy(x, y) = x 2 · 1 xy + y2 · (x+ 2y) = x 3 + 2x2y xy + y2 6 Derivadas parciais de segunda ordem Como as derivadas parciais fx e fy de uma função de duas variáveis f são funções de duas variáveis também, então podemos calcular suas derivadas parciais (fx)x, (fx)y, (fy)x e (fy)y. Estas derivadas parciais são chamadas de derivadas parciais de segunda ordem de f e utilizamos as seguintes notações para elas se z = f(x, y): (fx)x = fxx = ∂ ∂x( ∂f ∂x ) = ∂2f ∂x2 = ∂2z ∂x2 (fx)y = fxy = ∂ ∂y ( ∂f ∂x ) = ∂2f ∂y∂x = ∂2z ∂y∂x (fy)x = fyx = ∂ ∂x ( ∂f ∂y ) = ∂2f ∂x∂y = ∂2z ∂x∂y (fy)y = fyy = ∂ ∂y ( ∂f ∂y ) = ∂2f ∂y2 = ∂2z ∂y2 Assim, o subíndice de f nos remete à ordem em que devemos derivar. Por exemplo, fxy significa que temos que derivar primeiro com relação à x e depois com relação à y. Exemplo 12. Calcule as derivadas de segunda ordem da função f(x, y) = x2 ln(xy). Calculando as derivadas parciais de primeira ordem de f , obtemos fx(x, y) = 2x ln(xy) + x, e que fy(x, y) = x2 y Temos então que fxx(x, y) = ∂ ∂x (2x ln(xy) + x) = 2 ln(xy) + 2x · 1 xy · y + 1 = 2 ln(xy) + 3 fxy(x, y) = ∂ ∂y (2x ln(xy) + x) = 2x · 1 xy · x = 2x y fyx(x, y) = ∂ ∂x ( x2 y ) = 2x y fyy(x, y) = ∂ ∂y ( x2 y ) = −x 2 y2 Observamos no exemplo anterior que as derivadas parciais de segunda ordem fxy e fyx são iguais. Isto não foi uma mera coincidência. De fato, a maior parte das funções com as quais nos deparamos tem esta propriedade. Existe um teorema, chamado de Teorema de Clairaut, que nos diz que se f é uma função de duas variáveis definida em todos os pontos de um disco do plano centrado em (a, b) (inclusive em (a, b)) e se as funções fxy e fyx forem ambas contínuas neste disco, então necessariamente fxy(a, b) = fyx(a, b) 7
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