Aula 11: Método dos multiplicadores de Lagrange com uma condição

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Método dos multiplicadores de Lagrange para funções de duas
variáveis
Seja f uma função de duas variáveis. Suponha que queiramos calcular o máximo ou o
mínimo da função f , mas sujeita a uma certa restrição (ou condição) g(x, y) = k. Em outras
palavras, o que queremos é obter o máximo ou o mínimo da função f quando nos restringimos
à curva de nível de g dada por g(x, y) = k.
Observe que f é constante em cima de suas curvas de nível f(x, y) = c. Mas a restrição
é dada pela curva de nível de outra função g. Nesse caso, a função f varia na curva de nível
g(x, y) = k.
Maximizar f com a restrição g(x, y) = k é encontrar o maior valor de c para o qual as curvas
de nível g(x, y) = k e f(x, y) = c se interceptem.
Da mesma forma, minimizar f com a restrição g(x, y) = k é encontrar o menor valor de c
para o qual as curvas de nível g(x, y) = k e f(x, y) = c se interceptem.
Suponha que ∇g(x, y) 6= 0 para todo (x, y) da curva de nível g(x, y) = k e que a função f
tenha derivadas parciais de primeira ordem contínuas.
Suponha que c seja o maior valor no qual as duas curvas de nível g(x, y) = k e f(x, y) = c
se interceptem e suponha que isso ocorre no ponto P = (a, b). É possível mostrar que, nessas
condições, as curvas de nível g(x, y) = k e f(x, y) = c se tangenciam e, portanto, os vetores
normais à essas curvas de nível no ponto P têm que ser paralelos (uma vez que seus vetores
tangentes são paralelos). Como o vetor ∇f(a, b) é normal à curva de nível f(x, y) = c no
ponto P e o vetor ∇g(a, b) é normal à curva de nível g(x, y) = k no ponto P , então os vetores
gradiente de f e g no ponto (a, b) têm que ser paralelos e, portanto, ∇f(a, b) é um múltiplo
escalar de ∇g(a, b). Logo, existe um certo valor λ ∈ R satisfazendo
∇f(a, b) = λ∇g(a, b)
O número λ é chamado de multiplicador de Lagrange.
Concluímos assim, que, se ∇g(x, y) 6= 0 para todo (x, y) da curva de nível g(x, y) = k, se
a função f(x, y) tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas e se f possui pontos de
máximo e mínimo, então para determinar os pontos de máximo e mínimo devemos:
• Determinar todos os valores x, y, λ que satisfazem{ ∇f(x, y) = λ∇g(x, y)
g(x, y) = k
• Calcular f em todos os pontos (x, y) obtidos. O maior destes valores será o valor máximo
de f e o menor destes valores será o valor mínimo de f .
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Observação 1. O sistema
{ ∇f(x, y) = λ∇g(x, y)
g(x, y) = k
tem 3 equações e 3 incógnitas (uma vez
que ∇f(x, y) e ∇g(x, y) tem duas componentes cada).
Observação 2. Se a curva de nível g(x, y) = k for fechada e limitada, então f assume máximo
e mínimo.
Exemplo 1. Determine os valores extremos da função f(x, y) = x2+2y2 no círculo x2+y2 = 1.
Observe que, em outras palavras, temos que determinar os valores extremos da função f(x, y)
com a restrição g(x, y) = 1, onde g(x, y) = x2 + y2. Vamos determinar todos os valores x, y, λ
que satisfazem { ∇f(x, y) = λ∇g(x, y)
g(x, y) = 1
Como ∇f(x, y) = (2x, 4y) e ∇g(x, y) = (2x, 2y), temos que determinar todos os valores x, y, λ
que satisfazem {
(2x, 4y) = λ(2x, 2y)
x2 + y2 = 1
ou seja, 
2x = 2xλ
4y = 2yλ
x2 + y2 = 1
Da primeira equação, temos que x = 0 ou λ = 1.
• Se x = 0, então (pela terceira equação) y = 1 ou y = −1.
• Se λ = 1, então (pela segunda equação) y = 0 e, consequentemente, (pela terceira equação)
x = 1 ou x = −1.
Logo, os possíveis pontos de máximo ou mínimo de f são (0, 1), (0,−1), (1, 0) e (−1, 0). Temos
que
• f(0, 1) = f(0,−1) = 2
• f(1, 0) = f(−1, 0) = 1
Logo, o valor máximo de f é 2 e o valor mínimo de f é 1 no círculo unitário.
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Método dos multiplicadores de Lagrange para funções de três
variáveis
Seja f uma função de três variáveis. Suponha que queiramos calcular o máximo ou o mínimo
da função f , mas sujeita a uma certa restrição (ou condição) g(x, y, z) = k. Em outras palavras,
o que queremos é obter o máximo ou o mínimo da função f quando nos restringimos à superfície
de nível de g dada por g(x, y, z) = k. De forma análoga à que fizemos antes, o seguinte resultado
é válido:
Suponha que ∇g(x, y, z) 6= 0 para todo (x, y, z) da superfície de nível g(x, y, z) = k e que
a função f tenha derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Se f assumir um máximo e
um mínimo na restrição, então para determinar os pontos de máximo e mínimo devemos:
• Determinar todos os valores x, y, z, λ que satisfazem{ ∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z)
g(x, y, z) = k
• Calcular f em todos os pontos (x, y, z) obtidos. O maior destes valores será o valor
máximo de f e o menor destes valores será o valor mínimo de f .
Observação 3. O sistema
{ ∇f(x, y, z) = λ∇g(x, y, z)
g(x, y, z) = k
tem 4 equações e 4 incógnitas (uma
vez que ∇f(x, y, z) e ∇g(x, y, z) tem três componentes cada).
Observação 4. Se a superfície de nível g(x, y, z) = k for fechada e limitada, então f assume
máximo e mínimo.
Exemplo 2. Determine o volume máximo que pode ser obtido de uma caixa feita com 12 m2
de papelão.
Observe que, o volume de uma caixa de papelão de lados x, y e z é dada por
V (x, y, z) = xyz
Além disso, como a área dessa caixa é 2xy + 2xz + 2yz e queremos que esta área seja de 12
m2, então temos que determinar o valor máximo da função V com a restrição
g(x, y, z) = 2xy + 2xz + 2yz = 12
Vamos determinar todos os valores x, y, z, λ que satisfazem{ ∇V (x, y, z) = λ∇g(x, y, z)
g(x, y, z) = 12
Como ∇V (x, y, z) = (yz, xz, xy) e ∇g(x, y, z) = (2y+2z, 2x+2z, 2x+2y), temos que determinar
todos os valores x, y, z, λ que satisfazem{
(yz, xz, xy) = λ(2y + 2z, 2x+ 2z, 2x+ 2y)
2xy + 2xz + 2yz = 12
ou seja, 
yz = λ(2y + 2z)
xz = λ(2x+ 2z)
xy = λ(2x+ 2y)
2xy + 2xz + 2yz = 12
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Observe que se λ = 0, então xy, xz e yz seriam nulos, o que contradiz a equação 2xy + 2xz +
2yz = 12. Logo, λ 6= 0.
Multiplicando a primeira equação por x, a segunda por y e a terceira por z, obtemos
xyz = λ(2xy + 2xz)
xyz = λ(2xy + 2yz)
xyz = λ(2xz + 2yz)
2xy + 2xz + 2yz = 12
Como λ 6= 0, então (das duas primeiras equações)
2xy + 2xz = 2xy + 2yz ⇒ xz = yz
Mas z 6= 0 (uma vez que se z = 0, então V (x, y, z) = 0). Logo, x = y. Analogamente, da
primeira e da terceira equação, temos
2xy + 2xz = 2xz + 2yz ⇒ xy = yz
Mas y 6= 0 (uma vez que se y = 0, então V (x, y, z) = 0). Logo, z = x. Consequentemente,
temos x = y = z. Usando estas relações na quarta equação, temos
2xy + 2xz + 2yz = 6x2 = 12 ⇒ x2 = 2 ⇒ x =
√
2
(observe que não podemos ter x = −√2, pois x é o comprimento de um dos lados da caixa,
e portanto, é positivo). Consequentemente, o ponto de máximo de V é o ponto (
√
2,
√
2,
√
2).
Temos que
V (
√
2,
√
2,
√
2) = 2
√
2
Concluímos que o volume máximo que podemos obter da caixa de papelão é 2
√
2 m3.
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