AULA 7 FUND MAT

Prévia do material em texto

Relatório - Plano de Aula
	
		10/01/2015 14:29
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
	
	
	
	
	
	
	
		Página: 1/11
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		Disciplina: GST1073 - FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
	Semana Aula: 7
	TEMA
	Função de Primeiro Grau
	OBJETIVOS
	Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Definir uma função afim e estudar suas particularidades.
Esboçar o gráfico de uma função afim.
Identificar os pontos notáveis do gráfico de uma função afim.
Identificar o domínio e a imagem de uma função afim.
	ESTRUTURA DO CONTEÚDO
	UNIDADE IV - FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU
4.1. Definição 
4.2. Casos particulares de uma função afim
4.2.1. Função Constante
4.2.2. Função Linear.
4.2.3. Função Identidade.
4.3. Determinação de uma função afim a partir de duas coordenadas.
4.4. Gráfico de uma função afim
4.5. Interseção do gráfico de uma função afim com o eixo ox.
4.6. Intersecção do gráfico de uma função afim com o eixo 0y.
4.7. Coeficientes angular e linear de uma função afim.
1. MOTIVAÇÃO/INTRODUÇÃO
Considere uma máquina que fabrica 2 m de corda por minuto. 
A tabela abaixo descreve a produção dessa máquina em função do tempo.
	Tempo (min)
	Produção (m)
	1
	2
	2
	4
	3
	6
	4
	8
	5
	10
Marcando estes pontos em um gráfico, obtemos:
Medindo a produção a cada meio minuto, temos a seguinte tabela:
	Tempo (min)
	Produção (m)
	0,5
	1
	1
	2
	1,5
	3
	2
	4
	2,5
	5
	3
	6
	3,5
	7
	4
	8
	4,5
	9
	5
	10
O gráfico correspondente a estas medições será:
	
Se diminuirmos mais e mais o intervalo entre as medições, ou seja, a cada 10 segundos, 5 segundos, etc., obteremos mais e mais pontos, e todos numa mesma reta. Podemos dizer que o gráfico abaixo descreve a produção dessa máquina em função do tempo.
	b
2. FUNÇÃO AFIM DO DE PRIMEIRO GRAU
Toda função do tipo f (x) = ax + b com e a 0 é chamada de função do 1o grau ou função afim.
Exemplos: 
(a) y = 3x + 1 
(b) y = x – 5 
(c) y = 4x 
(d) 
(e) Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilômetro rodado (valor variável). Podemos descrever o valor da corrida (y) em função da quantidade de quilômetros rodados (x): y=3,50+0,70x. 
A função do 1o grau y = ax + b na qual b = 0 recebe o nome particular de função LINEAR.
Exemplos. 
(a) y = 4x 
(b) 
3. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM
O gráfico de uma função de primeiro grau é uma reta. Para construirmos o gráfico de uma reta precisamos representar dois pontos distintos da função no plano cartesiano e traçar a reta que passa por eles. Basta que escolhamos dois valores para x e determine os valores de y correspondentes. 
4. RAIZ DA FUNÇÃO AFIM
Para determinarmos o ponto de interseção do gráfico da função com o eixo Ox, precisamos determinar a abscissa desse ponto. Basta substituirmos na expressão da reta. 
Assim, o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo é (-b/a , 0). 
Este ponto é chamado de raiz ou zero da função afim.
Exemplo.
Determine a raiz da função f (x) = 3x + 5. 
5. INTERSECÇÃO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM COM O EIXO 0y
A ordenada do ponto de interseção do gráfico da função afim com o eixo Oy é obtida substituindo x=0 na expressão da reta:
Assim, o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo Oy é (0,b) 
Exemplo.
Determine a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo .
Resolução.
A reta corta o eixo no ponto (0,15). 
6. COEFICIENTES ANGULAR E LINEAR DE UMA FUNÇÃO AFIM
Observe o gráfico da função afim .
x
y
Geometricamente, o parâmetro é chamado de coeficiente angular
O parâmetro é chamado de coeficiente linear. (interseção com o eixo Oy)
Exemplo.
Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (-1,3) e (-2,4).
Calculando o coeficiente angular:
	PROCEDIMENTOS DE ENSINO
	
1. MOTIVAÇÃO/INTRODUÇÃO
Sugerimos introduzir a noção de função afim, utilizando um exemplo contextualizado, como o exemplo da corda sugerido anteriormente. Se for possível, seria interessante o professor levar os alunos para utilizar o laboratório de informática e traçar os pontos e o gráfico utilizando o EXCEL. 
2. FUNÇÃO AFIM DO DE PRIMEIRO GRAU
Após a definição de função afim, convém exemplificar algumas funções afins e identificar os coeficientes das funções. 
3. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM 
É importante que o aluno exercite o traçado de gráficos, determinando a raiz da função, as interseções com os eixos x e y e identificando graficamente estes pontos notáveis.
4. COEFICIENTES ANGULAR E LINEAR DE UMA FUNÇÃO AFIM
A partir da análise de gráficos, determinar geometricamente o coeficiente angular, além de determina-lo algebricamente. É importante se estabelecer a relação do coeficiente angular com a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x. 
	RECURSOS FÍSICOS
	Além dos recursos físicos oferecidos pela sala de aula tradicional, como quadro branco, é proveitoso fazer uso do Laboratório de informática com acesso a jornais, revistas, vídeos e jogos virtuais. 
Recomendamos a leitura do capítulo referente a função afim no material didático.
Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros disponíveis.
D( f ) = { x R | x < 4}
 
Sugestão de vídeo
KHAN : FUNÇÃO AFIM http://www.youtube.com/watch?v=YDuTlN5LPFk
KHAN : CONSTRUÇÃO DE GRAFICO
http://www.youtube.com/watch?v=beaUIB3PeY4
Sugestão de software online: Gráficos
http://www.somatematica.com.br/softOnline/ComportamentoFuncoes/funcoes.html
	APLICAÇÃO: ARTICULAÇÃO TEORIA E PRÁTICA
	SUGESTÕES DE EXERCÍCIOS
1. A função real de variável real, definida por é crescente quando:
a) a > 0	b) a < 3/2	 c) a = 3/2 d) a >3/2	 e) a < 3
2. A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor de f(3) é:
a) 0	 b) 2	 c) - 5		 d) - 3		e) - 1
3. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas:
a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças.
b) calcule o custo para 100 peças.
4. A função f: R → R definida por y = f(x) = ax + b tem o gráfico esboçado. O coeficiente linear e o zero da função são, respectivamente:
a) 3 e 3 b) 5 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 5 e) 5/3 e 3/5
5. O gráfico da função y = 5x + m – 1 corta o eixo y no ponto de ordenada 3. Determine o valor de m.
6. (FAAP). Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra aumenta, aproximadamente, 3ºC a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, a temperatura e de 25ºC. Nessas condições, podemos afirmar que a temperatura a 1500m de profundidade e:
a) 7ºC b) 45ºC c) 42ºC d) 60ºC e) 67ºC
7. (Unioeste 2013). Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para seus clientes optarem entre um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00 e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar que, para o cliente, 
a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. 
b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. 
c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B. 
d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos sejam cobrados. 
e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos sejam cobrados. 
	AVALIAÇÃOSUGESTÕES DE EXERCÍCIOS
1. A função real de variável real, definida por é crescente quando:
a) a > 0	b) a < 3/2	 c) a = 3/2 d) a >3/2	 e) a < 3
Resolução.
A função afim é crescente quando o coeficiente angular for positivo. 
3 – 2a > 0 => – 2a > – 3 => 2a < 3 => a < 3/2.
2. A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor de f(3) é:
a) 0	 b) 2	 c) - 5		 d) - 3		e) - 1
.
3. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas:
a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças.
b) calcule o custo para 100 peças.
Gabarito.
a) C(x) = 0,5x + 8.
b) O custo de 100 peças é o valor de C(100) = 0,5(100) + 8 = R$58,00.
4. A função f: R → R definida por y = f(x) = ax + b tem o gráfico esboçado. O coeficiente linear e o zero da função são, respectivamente:
a) 3 e 3 b) 5 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 5 e) 5/3 e 3/5
Resolução.
.
5. O gráfico da função y = 5x + m – 1 corta o eixo y no ponto de ordenada 3. Determine o valor de m.
Resolução. 
Substituindo os valores na lei da função, temos:
.
6. (FAAP). Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra aumenta, aproximadamente, 3ºC a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, a temperatura e de 25ºC. Nessas condições, podemos afirmar que a temperatura a 1500m de profundidade e:
a) 7ºC b) 45ºC c) 42ºC d) 60ºC e) 67ºC
Resolução. 
P(100m, 25ºC) e Q(200m, 28ºC) são dois pontos, pois aumentando 100m, a temperatura passa de 25º para (25º + 3º) = 28ºC. 
Substituindo na função afim, temos:
.
7. (Unioeste 2013). Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para seus clientes optarem entre um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00 e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar que, para o cliente, 
a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. 
b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. 
c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B. 
d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos sejam cobrados. 
e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos sejam cobrados. 
Resolução.
Preço da ligação do plano A: 
Preço da ligação do plano B: em que t é o tempo da ligação em minutos.
Fazendo PA = PB, temos: 
Graficamente temos:
Analisando o gráfico concluímos que a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. 
Resposta: B
	CONSIDERAÇÃO ADICIONAL
	Bibliografias Básica e Complementar propostas no Plano de Ensino do curso, indubitavelmente, deverão sempre ser objeto de constantes consultas para os estudos e desenvolvimento do Plano de Aula. 
Bibliografia
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, volume 1: Conjuntos e Funções. Rio de Janeiro: Atual. 2004.