Lista de Exercícios Espaços Vetoriais

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Álgebra Linear
Lista de Exercícios n◦3
1. Suponha que A é uma matriz ortogonal. Mostre que o
det(A) =±1.
2. Determine a solução do seguinte sistema de equações lineares,
x1+2x2+ x4 = 1,
x2− x3 = 0,
2x1+ x2+ x3−2x4 = 2,
x1+ x2+ x3− x4 = −1,
usando eliminação Gaussiana. Determine o determinante da matriz dos coeficientes do sistema de
equações lineares, usando as propriedades de determinantes.
3. Quais dos subconjuntosW do espaço vetorialV é um subespaço? Se o subconjunto é um subespaço,
verifique que as condições (I) são satisfeitas. Se o conjunto não for um subespaço, mostre, usando
um exemplo, que pelo menos uma das condições (I) não é satisfeita.
(a) V = R2×2 e
W =
{
A ∈V
∣∣∣∣A =
(
a11 a12
0 a22
)
, onde a11,a12,a22 ∈ R
}
.
(b) V = P3, onde P3 é o conjunto de todos os polinômios de variável t de grau inferior ou igual a
3, e W =
{
a0+a1t +a2t
2+a3t
3 ∈V |a−0a1+a1a2+a2a3 = 0
}
.
(c) V = R3×1 e W =
{
(x1,x2,x3)
T ∈V |x21+ x
2
2+ x
2
3 = 1
}
.
(d) V = R2×2 e
W =
{
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
∈V
∣∣∣∣det(A) = 1
}
.
Façam também os exercícios 1, 2 e 3 da seção 4.8, página 129, do livro do Boldrini.
Soluções
2. (x1,x2,x3,x4)T = (4,−2,−2,1)T O determinante da matriz dos coeficientes é 4. 3.(a) O subconjunto
W é um subespaço de V . 3.(b) Usando p1 = 1+ t3 e p2 = 2t, conseguimos mostrar que W não é um
subespaço de V . 3(c) O vetor nulo não pertence a W , portanto W não é um subespaço de V . 3(d) A matriz
nula não pertence a W , portanto W não é um subespaço de V .
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