Lista de Geometria Analítica 1- UFAL

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
GEOMETRIA ANALI´TICA UNIFICADA
Primeira lista de exerc´ıcios de Geometria Anal´ıtica
1. Dados os vetores −→u = (−1, 2) e −→v = (2, 2). Calcule e fac¸a a figura de
cada item abaixo:
a) −→u +−→v
b) 2−→u −−→v
c) −→u + 0, 5−→v
2. Sejam −→u e −→v vetores de R2, mostre que:
a) ||−→u +−→v ||2 = ||−→u ||2 + ||−→v ||2 + 2〈−→u ,−→v 〉.
b) ||−→u −−→v ||2 = ||−→u ||2 + ||−→v ||2 − 2〈−→u ,−→v 〉.
c) ||−→u +−→v ||2 + ||−→u −−→v ||2 = 2||−→u ||2 + 2||−→v ||2.
d) 〈−→u ,−→v 〉 = 1
4
||−→u +−→v ||2 − 1
4
||−→u −−→v ||2.
3. Seja −→u = (x, y) um vetor. Mostre que o vetor −→v = (−y, x) e´ ortogonal
a −→u . Fac¸a uma figura.
4. Seja −→u = (x, 1/4), onde x e´ um nu´mero real positivo. Suponhamos que−→u seja um vetor unita´rio. Calcule o valor de x.
5. Encontre o aˆngulo entre os vetores −→u e −→v , onde:
a) −→u = (1, 1) e −→v = (0, 3).
b) −→u = (4, 1) e −→v = (−2,−1).
6. Calcule o produto interno 〈−→u ,−→v 〉, onde
a) −→u = (1, 2) e −→v = (−2, 1).
b) −→u = (5,−1) e −→v = (−2,−1).
7. Sejam −→u = (2, 1), −→v = (4,−1) e −→w = (0, 7). Calcule
a) 〈−→u , 4−→v +−→w 〉, b) ||〈−→u ,−→w 〉−→v ||, c) ||−→v ||〈−→u ,−→w 〉, d) 〈||−→v ||−→u ,−→w 〉.
8. Justifique porque cada uma das expresso˜es abaixo na˜o faz sentido:
a) α +−→w , onde α ∈ R.
b) ||〈−→u ,−→v 〉||.
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