Matrizes e Sistemas Lineares

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Anotac¸o˜es sobre matrizes e sistemas lineares
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Matrizes e sistemas lineares 3
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Alguma Matrizes especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Multiplicac¸a˜o de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Matriz transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1 Matrizes nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Exponencial de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2
Capı´tulo 1
Matrizes e sistemas lineares
Iremos a princı´pio considerar sempre elementos em um corpo K .
m Definic¸a˜o 1 (Equac¸a˜o linear). Dados (ak)n1 a` equac¸a˜o
n∑
k=1
akxk = b
onde cada xk sa˜o varia´veis e´ chamada de equac¸a˜o linear sobre K nas inco´gnitas
(xk)
n
1 .
m Definic¸a˜o 2 (Soluc¸a˜o de equac¸a˜o Linear). Uma soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o
linear
n∑
k=1
akxk = b
e´ uma sequeˆncia (bk)n1 de nu´meros tais que
n∑
k=1
akbk = b
m Definic¸a˜o 3 (Sistema linear). Um sistema linear de m equac¸o˜es lineares com
3
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 4
n inco´gnitas e´ um conjunto de m equac¸o˜es lineares cada uma com n inco´gnitas
S = {
n∑
k=1
a(k,s)xk = bs, s ∈ Im}.
m Definic¸a˜o 4 (Soluc¸a˜o de um sistema). A soluc¸a˜o de um sistema
S = {
n∑
k=1
a(s,k)xk = bs, s ∈ Im}
e´ uma n-upla (sk)n1 , tal que vale
n∑
k=1
a(s,k)sk = bs para todo s.
m Definic¸a˜o 5 (Sistema homogeˆneo). Um sistema S = {
n∑
k=1
a(s,k)xk = bs, s ∈ Im}
e´ homogeˆneo quando bs = 0 para todo s.
S = {
n∑
k=1
a(s,k)xk = 0, s ∈ Im}
$ Corola´rio 1. Todo sistema homogeˆneo possui soluc¸a˜o (0)n1 , pois
n∑
k=1
a(s,k)0 = 0
para qualquer s.
m Definic¸a˜o 6 (Soluc¸a˜o trivial). A soluc¸a˜o (0)n1 do sistema homogeˆneo S =
{
n∑
k=1
a(s,k)xk = 0, s ∈ Im} e´ chamada de soluc¸a˜o trivial.
Usaremos S para simbolizar um sistema linear.
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 5
m Definic¸a˜o 7 (Sistema impossı´vel). Um sistema linear S e´ impossı´vel se S na˜o
possui soluc¸a˜o.
m Definic¸a˜o 8 (Sistema possı´vel determinado). Um sistema linear S e´ possı´vel
determinado se S possui uma u´nica soluc¸a˜o.
m Definic¸a˜o 9 (Sistema possı´vel indeterminado). Um sistema linear S e´ possı´vel
indeterminado se S possui mais de uma soluc¸a˜o.
m Definic¸a˜o 10 (Combinac¸a˜o linear de sistemas).
1.1 Matrizes
m Definic¸a˜o 11 (Matriz m por n.). Uma matriz A, m por n com coeficientes
em K e´ uma tabela com m linhas e n colunas compostas de m linhas de n-uplas
(a(i,j))
n
j=1 de elementos de K onde i simboliza o ı´ndice da linha. Denotamos a
matriz definida acima como A = (a(i,j)) e o conjunto de todas as matrizes com
coeficientes em K com m linhas e n colunas por Mm×n(K). Os elementos a(i,j) sa˜o
chamados de coeficientes ou entradas da matriz A. Se a matriz tivesse coeficientes
complexos denotarı´amos como Mm×n(C).
Podemos denotar a matriz A como
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 6

a1 1 a1 2 · · · a1 n
a2 1 a2 2 · · · a2 n
... ... ... ...
am 1 am 2 · · · am n

A k-e´sima linha da matriz A e´ a n-upla (akj)nj=1 (fixe a linha k e deixe j variar)
a p-e´sima coluna da matriz A e´ (aip)mi=1 (fixe a coluna p e deixe i variar).
m Definic¸a˜o 12 (Igualdade de matrizes). Dadas duas matrizes A = (aij) ∈
Mm×n(R) e B = (bij) ∈ Nr×s(K). Dizemos que A e B sa˜o iguais quando m = r,
n = s e aij = bij para todo i ∈ Im e j ∈ In sendo satisfeitas m.n igualdades.
m Definic¸a˜o 13. Definimos M(m×n) como o conjunto de todas matrizes m×n
com entradas em K.
Para as pro´ximas definic¸o˜es iremos considerar matrizes em M(m× n).
m Definic¸a˜o 14 (Adic¸a˜o de matrizes). Dadas A = (ai,j), B = (bi,j) matrizes
arbitra´rias em M(m × n)(K), definimos a soma das matrizes A e B como uma
matriz C = (ci,j) em M(m× n)(K) tal que
ci,j = ai,j + bi,j.
m Definic¸a˜o 15 (Produto por escalar). Definimos o produto de uma matriz A
arbitra´ria por um elemento c ∈ K qualquer, como a matriz B = (bi,j) em M(m×n)
tal que
bi,j = c.ai,j
e denotamos B = cA.
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 7
b Propriedade 1. O conjunto M(m × n) munido do produto por escalar e
adic¸a˜o definidas acima e´ um espac¸o vetorial.
ê Demonstrac¸a˜o.
• A adic¸a˜o e´ comutativa A+ B = B+A pois (ai,j + bi,j) = (bi,j + ai,j).
• A adic¸a˜o e´ associativa (A + B) + C = A + (B + C) pois ((ai,j + bi,j) + ci,j) =
((ai,j + (bi,j) + ci,j)).
• Existe elemento neutro para adic¸a˜o que e´ a matriz nula 0 = (ai,j) onde ai,j = 0
independente dos ı´ndices.
B+ 0 = (ai,j + bi,j) = (0+ bi,j) = (bi,j) = B.
• Dada A = (ai,j) existe um elemento sime´trico −A = (−ai,j), cuja soma resulta
na matriz nula
A+ (−A) = (ai,j − ai,j) = (0).
• Agora vejamos as propriedades da multiplicac¸a˜o . Vale que 1A = A pois
1A = (1.ai,j) = (ai,j) = A.
• Distributividade do produto por escalar
c(A+ B) = (cai,j + cbi,j) = (cai,j) + (cbi,j) = cA+ cB.
•
(c+ t)A = (cai,j + tai,j) = (cai,j) + (tai,j) = cA+ tA
• Associatividade
(c.t)(A) = (c(tai,j)) = c(tA).
Portanto M(m× n)(K) e´ espac¸o vetorial.
$ Corola´rio 2. (M(m× n)(K),+) e´ grupo abeliano.
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 8
1.2 Alguma Matrizes especiais
m Definic¸a˜o 16 (Matriz linha). E´ toda matriz do tipo 1 × n, matriz que tem
apenas uma linha.
A = (a1,1 a1,2 · · ·a1,n)
m Definic¸a˜o 17 (Matriz coluna). E´ toda matriz do tipo n×1, isto e´, toda matriz
que possui apenas uma coluna.

a1,1
...
an,1

m Definic¸a˜o 18 (Matriz nula). E´ toda matriz que possui todos seus elementos
iguais a zero.

0 · · · 0
... · · · ...
0 · · · 0

m Definic¸a˜o 19 (Matriz quadrada de ordem n). E´ toda matriz n × n, matriz
que possui nu´mero de linhas iguais ao nu´mero de colunas.

a1,1 · · · a1,n
· · · ... · · ·
an,1 · · · an,n
 .
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 9
m Definic¸a˜o 20 (Diagonal principal). Chama-se diagonal principal Dp(A) de
uma matriz quadrada A de ordem n o conjunto de elementos que teˆm os ı´ndices
iguais
Dp(A) = {aij ∈ A|i = j}.
m Definic¸a˜o 21 (Diagonal secunda´ria). Chama-se diagonal secunda´ria Ds de
uma matriz quadrada A de ordem n o conjunto de elementos que teˆm soma dos
ı´ndices igual a n+ 1
Ds(A) = {aij ∈ A|i+ j = n+ 1}.
m Definic¸a˜o 22 (Matriz diagonal). E´ toda matriz quadrada em que os elementos
que na˜o pertencem a` diagonal principal sa˜o iguais a zero.

a1,1 0 · · ·0 0
... · · · ...
0 0 · · ·0 an,n

m Definic¸a˜o 23 (Matriz identidade de ordem n). E´ a matriz diagonal de ordem
n em que todos elementos da diagonal sa˜o iguais a 1. Simbolizaremos essa matriz
como I. 
1 0 · · ·0 0
... · · · ...
0 0 · · ·0 1

CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 10
Z Exemplo 1. A matriz identidade 3× 3 e´
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 .
m Definic¸a˜o 24 (Matriz triangular superior). E´ toda matriz quadrada com
aij = 0 para todo i > j, todo elemento abaixo da diagonal principal e´ nulo.

a1,1 a1,2 · · · a1,n
0 a2,2 · · · a2,n
... · · · · · · ...
0 0 · · · an,n

.
Z Exemplo 2. As matrizes triangulares superiores 3× 3 sa˜o da forma

a1,1 a1,2 a1,3
0 a2,2 a2,3
0 0 a3,3
 .
m Definic¸a˜o 25 (Matriz triangular inferior). E´ toda matriz quadrada com
aij = 0 para todo i < j, todo elemento acima da diagonal principal e´ nulo.

a1,1 0 · · · 0
a2,1a2,2 · · · 0
... · · · · · · ...
an,1 an,2 · · · an,n

.
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 11
Z Exemplo 3. As matrizes triangulares inferiores 3× 3 sa˜o da forma
a1,1 0 0
a2,1 a2,2 0
a3,1 a3,2 a3,3
 .
Z Exemplo 4. A matriz identidade e´ uma matriz triangular superior e inferior.
1.3 Multiplicac¸a˜o de matrizes
m Definic¸a˜o 26 (Multiplicac¸a˜o de matrizes). Dadas duas matrizes A ∈Mm×n(K)
e B ∈ Mn×p(K), definimos o produto das duas matrizes por uma matriz C ∈
Mm×p(K) com
ci,j =
n∑
k=1
ai,kbk,j.
Podemos tentar memorizar a fo´rmula do elemento da matriz produto tentando
lembrar que ci,j o primeiro ı´ndice em ai,k e´ o ı´ndice i o segundo ı´ndice e´ k ,varia´vel
no somato´rio, o primeiro ı´ndice de bk,j e´ k (igual ao segundo ı´ndice em ai,k ), o
segundo ı´ndice em bk,j e´ o segundo ı´ndice em ci,j, j .
b Propriedade 2. Seja A ∈ Mn×n(K) e I a identidade de ordem n enta˜o
AI = IA = A.
ê Demonstrac¸a˜o. AI = C com
ci,j =
n∑
k=1
ai,kbk,j = ai,j.
IA = C ′ com
ci,j =
n∑
k=1
bi,kak,j = ai,j.
Enta˜o C = C ′ = A.
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 12
b Propriedade 3. Sejam B = (bi,j), C = (ci,j) ∈Mn, (ek)n1 base canoˆnica de Rn.
Vale que
B(ej) = Bj
onde Bj e´ a j-e´sima coluna de B, tomando ej como matriz n× 1.
ê Demonstrac¸a˜o.
O produto e´ uma matriz L = (li,j) ∈Mn×1, cujo termo e´ dado por
li,1 =
n∑
k=1
bi,kek,1
onde apenas ej,1 = 1 e outras entradas sa˜o nulas de ej, por isso
li,1 = bi,j.
Daı´ temos que o resultado e´ Bj a j-e´sima coluna da matriz B .
1.3.1 Matriz transposta
m Definic¸a˜o 27. Se A = [ai,j] e´ uma matriz n ×m, enta˜o AT e´ uma matriz
m× n com AT = [aj,i], trocamos os elementos das linhas pelas colunas.
b Propriedade 4. Se A = [ai,j] e´ uma matriz n×m, enta˜o
(AT)T = A.
ê Demonstrac¸a˜o. AT e´ uma matriz m × n com AT = [a ′i,j] = [aj,i] a transposta
dessa matriz e´ (AT)T com entradas [a ′′i,j] = [ai,j] sendo de dimenso˜es n × m enta˜o
(AT)T = A por terem mesmos elementos e dimenso˜es.
b Propriedade 5. Sejam A = [ai,j] , B = [bi,j] matrizes n×m, enta˜o
(A+ B)T = AT + BT .
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 13
ê Demonstrac¸a˜o. (A+B)T e´ uma matriz m×n com entrada [aj,i+bj,i]. AT = [aj,i]
, BT = [bj,i], ambas de dimensa˜o m × n logo sua soma possui entrada [aj,i + bj,i] de
dimensa˜o m× n logo (A+ B)T = AT + BT .
b Propriedade 6. Se A = [ai,j] e´ uma matriz n×m, enta˜o
(cA)T = c(AT)
ê Demonstrac¸a˜o. cA = [cai,j] cuja transposta e´ (cA)T = [caj,i] = c[aj,i] = cAT .
b Propriedade 7. Se A e´ quadrada det(AT) = det(A).
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 8. Se C = AB enta˜o CT = BTAT , sendo A n×m, B m× p.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que C = AB com C = (ci,j) matriz n× p
ci,j =
n∑
k=1
ai,kbk,j.
Logo sua transposta CT = (AB)T e´ p× n tem elementos cj,i
cj,i =
n∑
k=1
aj,kbk,i.
Agora vamos calcular BTAT , BT e´ p×m, AT e´ m×n logo BTAT e´ p×n . Os elementos
de BT sa˜o da forma (bj,i) = (b ′i,j) e de AT sa˜o da forma (aj,i) = (a ′i,j), BTAT = D
di,j =
n∑
k=1
b ′i,ka
′
k,j =
n∑
k=1
bk,iaj,k
logo di,j = cj,i e tem as mesmas dimenso˜es, enta˜o
(AB)T = BTAT .
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 14
b Propriedade 9. Vale que
(A1 · · ·An)T = ATn · · ·AT1 .
ê Demonstrac¸a˜o. Provamos por induc¸a˜o sobre n, para n = 1, 2 ja´ sabemos que
vale, supondo para n vamos provar para n+ 1
([A1 · · ·An]An+1)T = ATn+1[A1 · · ·An]T = ATn+1ATn · · ·AT1
como querı´amos demonstrar.
$ Corola´rio 3. Para n natural vale que
(An)T = (AT)n
basta fazer Ak = A ∀ k em
(A1 · · ·An)T = ATn · · ·AT1
(An)T = (A · · ·A︸ ︷︷ ︸
An
)T = AT · · ·AT = (AT)n.
Poteˆncia e transposic¸a˜o comutam .
b Propriedade 10. Se A e B sa˜o matrizes de ordem n que comutam enta˜o AT
e BT comutam.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que
(AB)T = BTAT
de outro lado
(AB)T = (BA)T = ATBT
disso concluı´mos que ATBT = BTAT .
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 15
b Propriedade 11. Se A e´ uma matriz diagonal de ordem n enta˜o AT = A.
ê Demonstrac¸a˜o. Os elementos da diagonal na˜o sa˜o alterados pela transposic¸a˜o.
$ Corola´rio 4. It = I, pois I a identidade de ordem n e´ diagonal .
b Propriedade 12. Se A e´ invertı´vel de ordem n, enta˜o (A−1)T = (AT)−1.
ê Demonstrac¸a˜o.
Temos que AA−1 = I, aplicando a transposta de ambos lados segue que
(A−1)TAT = I
logo a inversa de AT e´ (A−1)T , isto e´, (AT)−1 = (A−1)T .
1.4 Matriz adjunta
1.5 Inversas
(
a b
c d
)(
d −b
−c a
)
1
ad− cb
=
(
1 0
0 1
)
.
b Propriedade 13. Dadas duas matrizes A,B, n × n temos que I − AB e´
invertı´vel ⇔ I− BA e´ invertı´vel.
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar que (I− BA)−1 = I+ B(I−AB)−1A, que vale
pois
(I− BA)(I+ B(I−AB)−1A) = I+ B(I−AB)−1A− BAB(I−AB)−1A− BA =
colocando B em evideˆncia a` esquerda e A a` direita temos
= I+ B[(I−AB)−1 −AB(I−AB)−1 − I]A = I+ B[(I−AB)−1(I−AB) − I]A = I.
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 16
Z Exemplo 5. Se A e B sa˜o matrizes invertı´veis, determine X tal que
X = B+ (I− BA)X.
X = B+ (I− BA)X⇔ X− (I− BA)X = B⇔
(I− I+ BA)X = B = BAX
como BAX = B enta˜o AX = I e X = A−1.
m Definic¸a˜o 28 (Matriz sime´trica ). Uma matriz An×n e´ dita sime´trica se
a(i,j) = a(j,i) ∀ i, j, isto e´, vale A = AT .
Z Exemplo 6 (Matrizes sime´tricas). O conjunto das matrizes sime´tricas e´
subespac¸o vetorial do espac¸o das matrizes, pois a matriz nula e´ sime´trica, vale
ainda que se A e B sa˜o sime´trica enta˜o
C = c1(A) + c2B = {c1a(i,j) + c2b(i,j)︸ ︷︷ ︸
c(i,j)
} = {c1a(j,i) + c2b(j,i)︸ ︷︷ ︸
c(j,i)
}
logo temos que o conjunto das matrizes sime´tricas e´ um subespac¸o.
m Definic¸a˜o 29 (Matriz hermitiana). Uma matriz An×n com entradas em C e´
hermitiana ( tambe´m chamada de auto-adjunta) se vale
(a(i,j)) = (a(j,i)).
Z Exemplo 7. O conjunto das matrizes hermitianas n×n na˜o e´ um subespac¸o
do espac¸o de todas as matrizes n × n sobre C, pois a diagonal de uma matriz
hermitiana e´ formada por elementos reais e iA tem elemento complexo na diago-
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 17
nal, se a diagonal tiver algum elemento na˜o nulo. Pore´m o conjunto das matrizes
hermitianas e´ subespac¸o das matrizes n× n sobre R, pois
W = c1(A) + c2B = {c1a(i,j) + c2b(i,j)︸ ︷︷ ︸
c(i,j)
} = {c1a(j,i) + c2b(j,i)︸ ︷︷ ︸
c(j,i)
}
pois c1 e c2 sa˜o reais daı´ c1a(j,i)+c2b(j,i) = c1a(j,i) + c2b(j,i) = c(i,j). E o conjunto das
matrizes hermitianas na˜o e´ vazio pois a matriz nula e´ hermitiana.
m Definic¸a˜o 30 (Matriz triangular inferior). Uma matriz A = (ai,j) ∈ M(n×n)
tais que a(i,j) = 0 quando i < j e´ chamada de triangular inferior, ela tem todos
elementos "acima"da diagonal nulos.

a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
 =

a1,1 0 0
a2,1 a2,2 0
a3,1 a3,2 a3,3

m Definic¸a˜o 31 (Matriz triangular superior). Uma matriz A = (ai,j) ∈M(n×n)
tais que a(i,j) = 0 quando i > j e´ chamada de triangular inferior, ela tem todos
elementos "abaixo"da diagonal nulos.

a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
 =

a1,1 a1,2 a1,3
0 a2,2 a2,3
0 0 a3,3

Z Exemplo 8. O subconjunto das matrizes triangulares superiores e inferiores
e´ um subespac¸o das matrizes n × n, pois a matriz nula e´ inferior e superior e
dadas duas matrizes superiores (superiores) A e B e uma constante c, temos que
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 18
cA+ B e´ triangular inferior ( superior), pois
cA+ B = C = {cai,j + bi,j} = {ci,j}
que continua tendo entradas nulas para i < j pois soma de elementos nulos sa˜o
nulos e produto por constante tambe´m (mesmo para i > j. )
Toda matriz n×n pode ser escrita como soma de uma matriz triangular inferior
com uma matriz triangular superior. Dada uma matriz A = {ai,j}podemos escrever
A = B+ C = {bi,j + ci,j}
definindo bi,j = 0 se i > j elementos de uma matriz triangular superior e bi,j = ai,j
se i ≤ j, agora os elementos da matriz triangular inferior, ci,j = 0 se i ≤ j e
ci,j = ai,j caso i > j, resumindo
• i ≤ j , bi,j = ai,j, ci,j = 0.
• i > j, bi,j = 0 e ci,j = ai,j.
A soma desses espac¸os na˜o e´ direta, pois toda matriz com elementos na˜o nulos
na diagonal e´ triangular superior e inferior, isto e´, A = {ai,j} com ai,j = 0 se
i 6= j e ai,j = 1 se i = j, isto e´, ai,j = δi,j Logo na˜o vale Mn×n = TS ⊕ TI, onde
Ts e´ o conjunto das matrizes triangulares superiores e TI o conjunto das matrizes
triangulares inferiores, pore´m vale Mn×n = TS + TI, TS ∩ Ts 6= {0}, TS ∩ Ts = {{δi,j}}
m Definic¸a˜o 32 (Matriz anti-sime´trica). Uma matriz A n× n e´ anti-sime´trica
⇔ (a(i,j)) = (−a(j,i)), isto e´, A = −AT .
Z Exemplo 9. Vamos achar uma base do espac¸o das matrizes sime´tricas S.
Definimos si,j como a matriz em que os termos (a(k,s)) tais que a(i,j) = a(j,i) = 1
e 0 caso contra´rio , tais matrizes geram o espac¸o das matrizes sime´tricas S, pois
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 19
podemos escrever
A =
n∑
k=1
a(k,k)s(k,k) +
n∑
k=2
a(1,k)s(1,k)︸ ︷︷ ︸
linha 1
+
n∑
k=3
a(k,k)s(k,k)︸ ︷︷ ︸
linha2
+ · · ·+
n∑
k=n
a(n−1,k)s(n−1,k)︸ ︷︷ ︸
linhan−1
uma matriz nessa forma tem a(i,j) = a(j,i), consideramos i < j, fixamos i e j, u´nico
somato´rio que termo da linha i e´ o somato´rio
n∑
k=i+1
a(i,k)s(i,k)
e o u´nico termo dessa soma que possui elemento na coluna j e´ a(i,j)s(i,j) logo por
propriedade da matriz s(i,j) temos a(i,j) = a(j,i), nenhum outro termo altera o valor
dessa entrada, pois as matrizes va˜o alterar colunas e linha diferentes. As matrizes
definidas tambe´m sa˜o LI, por essa independeˆncia citada acima,
0 =
n∑
k=1
a(k,k)s(k,k) +
n∑
k=2
a(1,k)s(1,k)︸ ︷︷ ︸
linha 1
+
n∑
k=3
a(k,k)s(k,k)︸ ︷︷ ︸
linha2
+ · · ·+
n∑
k=n
a(n−1,k)s(n−1,k)︸ ︷︷ ︸
linhan−1
a(k,k) = 0 pois nenhum outro somato´rio tem elementos somado a diagonal da
matriz e o mesmo para os outros coeficientes.
Temos
n+ n− 1+ n− 2+ · · ·+ 1 = n(n+ 1)
2
logo temos base com n(n+ 1)
2
elementos.
Para uma matriz anti-sime´trica definimos s ′i,j como a matriz em que os termos
(a(k,s)) com a(i,j) = 1, a(j,i) = −1, i < j. Agora toda matriz anti-sime´trica e´ escrita
como
A =
n∑
k=2
a(1,k)s(1,k)︸ ︷︷ ︸
linha 1
+
n∑
k=3
a(k,k)s(k,k)︸ ︷︷ ︸
linha2
+ · · ·+
n∑
k=n
a(n−1,k)s(n−1,k)︸ ︷︷ ︸
linhan−1
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 20
mostramos da mesma maneira que o anterior, pore´m o nu´mero de elementos
da base e´ diferente, pois os elementos da diagonal sa˜o nulos em matrizes anti-
sime´tricas pois a(i,i) = −a(i,i) ⇒ a(i,i) = 2 (se Car(K) 6= 2.), enta˜o retiramos n
elementos da quantidade contada no caso anterior
n− 1+ n− 2+ · · ·+ 1 = n(n− 1)
2
.
O conjunto das matrizes anti-sime´tricas S ′ e´ subespac¸o do espac¸o das matrizes,
pois a matriz nula e´ anti-sime´trica, Se A e B sa˜o anti-sime´tricas enta˜o cA+B = T
e´ anti-sime´trica pois
(t(i,i)) = (ca(i,i) + b(i,i)) = (−ca(i,i) − b(i,i)) = (−t(i,i)).
Se uma matriz e´ sime´trica e anti-sime´trica num corpo de cardinalidade diferente
de 2, enta˜o a matriz e´ nula, pois vale
a(i,j) = a(j,i) = −a(i,j) ⇒ a(i,j) = 0
logo vale que
Mn×n = S⊕ S ′.
Z Exemplo 10. Obtenha base do conjunto das matrizes abaixo (em Mn×n).
• A = (a(i,j)) tal que
n∑
k=1
a(k,k) = 0, S o conjunto de tais matrizes.
Primeiro S e´ subespac¸o pois a matriz nula tem essa propriedade. Dados A,B
em S e c ∈ K enta˜o
cA+ B = T = (ca(i,j)+b(i,j))
temos que
n∑
k=1
ca(k,k) + b(k,k) = c
n∑
k=1
a(k,k) +
n∑
k=1
b(k,k) = 0.
O espac¸o dessas matrizes tem dimensa˜o n2 − 1. Seja S(m, t) a matriz que
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 21
possui entrada a(m,m) = −1 e a(t,t) = 1 e todas outras nulas, elementos da
diagonal, enta˜o podemos escrever uma matriz de S como
A =
n∑
k=2
a(k,k)s(1, k) +
n∑
k=1
+
n∑
k=1
n∑
j=1,j 6=k
a(k,j)A(k,j)
onde A(k,j) e´ matriz com 1 na entrada a(k,j) e 0 no restante. enta˜o temos na
primeira soma n− 1 elementos na segunda n2 −n no total n2 − 1 elementos.
Gerando o espac¸o sendo LI pois cada termo da soma corresponde a entradas
distintas da matriz.
b Propriedade 14. Se uma matriz e´ anti-sime´trica e sime´trica enta˜o ela e´
nula, em corpo de caracterı´stica 6= 2.
ê Demonstrac¸a˜o. A = AT = −AT = −A⇒ 2A = 0⇒ A = 0.
b Propriedade 15. Uma matriz quadrada qualquer pode ser escrita como soma
de uma matriz sime´trica e de uma matriz anti-sime´trica.
ê Demonstrac¸a˜o.
Podemos escrever
A =
A+AT
2
+
A−AT
2
.
O primeiro termo e´ uma matriz sime´trica pois (A+A
T
2
)T =
AT +A
2
o segundo
termo e´ anti-sime´trico
(
A−AT
2
)T =
AT −A
2
= −
A−AT
2
.
$ Corola´rio 5. Num corpo de caracterı´stica 6= 2 temos Mn×n(K) = S⊕A, onde A
e´ o conjunto das matrizes anti-sime´tricas e S o conjunto das matrizes sime´tricas.
1.5.1 Matrizes nilpotentes
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 22
m Definic¸a˜o 33 (Matriz nilpotente). Uma matriz A, n×n para algum n natural
e´ dita ser nilpotente se existe algum k tal que Ak = 0.
b Propriedade 16. Uma matriz nilpotente na˜o e´ invertı´vel, ou de forma
equivalente, possui determinante nulo.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que A seja nilpotente enta˜o existe t ∈ N tal que
At = 0 aplicando o determinante temos
det(A)t = 0
logo det(A) = 0 a matriz e´ na˜o inversı´vel .
b Propriedade 17. Se Bt+1 = 0 enta˜o I− B possui inversa sendo
t∑
s=0
Bk.
ê Demonstrac¸a˜o.
(I− B)
t∑
s=0
Bk = −
t∑
s=0
(Bk+1 − Bk) = −(Bt+1︸︷︷︸
0
−B0) = I.
Z Exemplo 11. Generalizamos o exemplo anterior. Suponha A matriz n×n e
m ∈ N, tal que
Am = kA, k 6= 1
enta˜o A− I e´ invertı´vel.
Temos que
Am − Im = kA− Im = (A− I)
m−1∑
k=0
Ak = kA− kI+ kI− Im = k(A− I) + I(k− 1)⇒
(A− I)
(−kI+
m−1∑
k=0
Ak)
k− 1
= I
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 23
enta˜o A− I e´ invertı´vel com inversa
(−kI+
m−1∑
k=0
Ak)
k− 1
.
Caso m seja ı´mpar enta˜o A+ I e´ invertı´vel. Usamos o mesmo procedimento
Am+Im = kA+Im = (A+I)
m−1∑
k=0
Ak(−1)m−1−k = kA+kI−kI+Im = k(A+I)+I(1−k)⇒
(A+ I)
(−kI+
m−1∑
k=0
Ak)
1− k
= I.
Z Exemplo 12. Soma de matrizes invertı´veis pode na˜o ser invertı´vel , como e´
o caso de I e −I, I− I = 0.
Z Exemplo 13 (ITA-2001-Questa˜o 8- Resolvida ). Sendo A e B matrizes n×n
e B uma matriz sime´trica, enta˜o sa˜o sime´tricas tambe´m
1. AB+ BAT .
2. A+AT + B.
3. ABAT .
Pois
1.
(AB+ BAT)T = (AB)T + (BAT)T = BTAT + (AT)TBT = BAT +AB
logo e´ sime´trica.
2.
(A+AT + B)T = AT + (AT)T + BT = AT +A+ B
portanto e´ sime´trica.
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 24
3.
(ABAT)T = (AT)TBTAT = ABAT
sendo sime´trica.
Usamos as propriedades (
n∑
k=1
Ak)
T =
n∑
k=1
(ATk) , (A1 · · ·An)T = ATn · · ·AT1 , (AT)T =
A e caso B sime´trica (BT) = B.
1.6 Exponencial de matriz
m Definic¸a˜o 34 (Exponencial de matriz). Dada A ∈ Mn(C), definimos a sua
exponencial como a matriz n× n simbolizada por eA, definida como
eA =
∞∑
k=0
Ak
k!
que tambe´m pode ser denotada por exp(A).
b Propriedade 18. Dada A ∈ Mn(C) enta˜o
∞∑
k=0
Ak
k!
converge no espac¸o nor-
mado Mn(C).
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que
∞∑
k=0
||
Ak
k!
|| ≤
∞∑
k=0
||A||k
k!
= e||A||
logo a se´rie
∞∑
k=0
Ak
k!
converge absolutamente e portanto converge em Mn(C).
$ Corola´rio 6. Sendo A = 0 a matriz nula, temos
e0 =
∞∑
k=0
0k
k!
=
00
0!
+
∞∑
k=1
0k
k!︸ ︷︷ ︸
0
= I
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 25
pois 00 = I a matriz identidade.$ Corola´rio 7. Se A e´ a matriz diagonal A =

λ1 · · · 0
0 . . . 0
0 · · · λn
, temos que
eA =
∞∑
k=0

λk1
k!
· · · 0
0 . . . 0
0 · · · λ
k
n
k!
 =

∞∑
k=0
λk1
k!
· · · 0
0 . . . 0
0 · · ·
∞∑
k=0
λkn
k!

=
=

eλ1 · · · 0
0 . . . 0
0 · · · eλn
 .
Em especial
eI =

e1 · · · 0
0 . . . 0
0 · · · e1
 = eI
e novamente tiramos que e0 = I.
$ Corola´rio 8. Seja a matriz n× n
Gc(n) =

0 0 · · · 0
c 0 · · · 0
... · · · · · · 0
0 · · · c 0

tal matriz e´ nilpotente e vale Gc(n)n = 0. Podemos calcular sua exponencial, sendo
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 26
que sua se´rie trunca
eGc(n) =
n−1∑
k=0
Gc(n)
k
k!
calculando as poteˆncias de tal matriz e somando podemos simplificar como
eGc(n) =

1 0 · · · 0
c 1 · · · 0
(
c2
2!
)︸︷︷︸
...
· · · · · · 0
cn−1
(n− 1)!
· · · c
2
2!
c 1

Z Exemplo 14. Obter a exponencial de A =
 0 b
−b 0
. Podemos provar por
induc¸a˜o que
 0 b
−b 0
2k = (−1)k
 b2k 0
0 b2k

 0 b
−b 0
2k+1 = (−1)k
 0 b2k+1
−b2k+1 0

logo
eA =
∞∑
k=0
A2k
(2k)!
+
∞∑
k=0
A2k+1
(2k+ 1)!
=
=

∞∑
k=0
(−1)kb2k
(2k)!
∞∑
k=0
(−1)kb2k+1
(2k+ 1)!
−
∞∑
k=0
(−1)kb2k+1
(2k+ 1)!
∞∑
k=0
(−1)kb2k
(2k)!
 =
 cos(b) sen(b)
−sen(b) cos(b)
 .
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 27
b Propriedade 19. Se A,B,Q ∈Mn tais que AQ = QB enta˜o eAQ = QeB. Em
especial se A e B sa˜o conjugadas enta˜o eA e eB tambe´m o sa˜o.
ê Demonstrac¸a˜o. De AQ = QB temos por induc¸a˜o que vale AsQ = QBs ∀ s ∈
N, logo
eAQ = (lim
n∑
k=0
Ak
k!
)Q = lim
n∑
k=0
AkQ
k!
= lim
n∑
k=0
QBk
k!
= QeB.
$ Corola´rio 9. Se Q ∈Mn invertı´vel com A = QBQ−1 enta˜o
eA = eQBQ
−1
= QeBQ−1
pois
AQ = QB⇒ eAQ = QeB ⇒ eA = QeBQ−1.
Se as matrizes sa˜o conjugadas basta calcular a exponencial de uma das matri-
zes a da outra e´ obtida por produto com Q e Q−1.
b Propriedade 20. Sejam A,B ∈Mn enta˜o et(A+B) = etAetB∀ t ∈ R⇔ AB = BA.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇐).
Vale que (AB)k = AkBk = BkAk
etAetB = (
∞∑
k=0
tkAk
k!
)(
∞∑
k=0
tkBk
k!
) =
∞∑
k=0
ckt
k
onde
ck =
k∑
s=0
Ak−sBs
(k− s)!s!
=
k∑
s=0
k!
Ak−sBs
(k− s)!s!k!
=
k∑
s=0
(
k
s
)
Ak−sBs
k!
=
(A+ B)k
k!
o bino˜mio de Newton pode ser aplicado pois A e B comutam, enta˜o
etAetB =
∞∑
k=0
(A+ B)k
k!
tk = et(A+B).
⇐).
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 28
Supondo a igualdade, derivando de ambos lados temos
(A+ B)et(A+B) = AetAetB + etABetB
derivando novamente
(A+ B)(A+ B)et(A+B) = A2etAetB +AetABetB +AetABetB + etAB2etB
tomando t = 0 tem-se
(A+ B)(A+ B) = A2 +AB+AB+ B2 = A2 +AB+ BA+ B2 ⇒ AB = BA
como querı´amos demonstrar.
b Propriedade 21. Vale que
||eA −
p∑
k=0
Ak
k!
|| ≤ e||A|| −
p∑
k=0
||A||k
k!
≤ ||A||p+1e||A||,
p ∈ N e A ∈Mn.
ê Demonstrac¸a˜o.
||eA −
p∑
k=0
Ak
k!
|| = ||
∞∑
k=p+1
Ak
k!
|| ≤
∞∑
k=p+1
||A||k
k!
= e||A|| −
p∑
k=0
||A||k
k!
temos ainda que
∞∑
k=p+1
||A||k
k!
=
||A||p+1
(k+ p+ 1) · · · (k+ 1)
∞∑
k=0
||A||k
k!
≤ ||A||p+1e||A||.
$ Corola´rio 10. Em especial no resultado anterior com p = 0 temos
||eA − I|| ≤ e||A|| − I ≤ ||A||e||A||,
caso p = 1
||eA − I−A|| ≤ e||A|| − 1− |A| ≤ ||A||2e||A||.
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 29
b Propriedade 22. Seja x : R → Mn um caminho contı´nuo de matrizes que
e´ deriva´vel em 0 ∈ R, com X(0) = I e x(t + u) = x(t)x(u) ∀ t, u ∈ R enta˜o x e´
deriva´vel em R com x ′(t) = x ′(0)x(t).
ê Demonstrac¸a˜o.
Consideramos a expressa˜o, com t ∈ R arbitra´rio fixo
x(t+ h) − x(t) − x ′(0)x(t)h
h
=
usamos que x(t+ h) = x(h+ t) = x(h)x(t), substituindo tem-se
=
x(h)x(t) − x(t) − x ′(0)x(t)h
h
=
[x(h) − I]x(t) − x ′(0)x(t)h
h
=
=
[x(h) − I− x ′(0)(h)]
h
x(t) +
x ′(0)hx(t)
h
−
x ′(0)x(t)(h)
h
=
=
[x(h) − I− x ′(0)(h)]
h
x(t)→ 0
quando h→ 0 pois x(s) e´ deriva´vel em s = 0, enta˜o vale realmente x ′(t) = x ′(0)x(t).
b Propriedade 23. Dada A ∈Mn, x(t) : R→Mn com x(t) = etA vale que
x(t+ u) = x(t)x(u) ∀ t, u ∈ R.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que
n∑
r=0
(tA)r
r!
n∑
s=0
(uA)s
s!
=
2n∑
k=0
ckA
k
onde
ck =
k∑
s=0
tsuk−s
(s)!(k− s)!(k− s)!
=
k∑
s=0
(
k
s
)
tsuk−s
(k)!
=
(t+ u)k
k!
onde essa expressa˜o e´ dada pelo regra do produto de polinoˆmios, enta˜o
n∑
r=0
(tA)r
r!
n∑
s=0
(uA)s
s!
=
2n∑
k=0
(t+ u)k
k!
Ak
com n→∞ todos expresso˜es com somato´rio convergem tomando o limite temos
∞∑
r=0
(tA)r
r!
∞∑
s=0
(uA)s
s!
=
∞∑
k=0
(t+ u)k
k!
Ak ⇒
e(t+u)A = etAeuA.
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 30
$ Corola´rio 11. Em especial vale que
e(t+u)A = etAeuA = euAetA
as expresso˜es comutam, pois t+ u = u+ t.
b Propriedade 24. Sejam A ∈ Mn, x0 ∈ Rn, X : R → Mn com X(t) = etA,
x : R→ Rn com x(t) = X(t)x0 = etAx0, enta˜o x e X sa˜o deriva´veis e vale
d(etA)
dt
= AetA ∈Mn
d(etAx0)
dt
= AetAx0 ∈ Rn.
ê Demonstrac¸a˜o. Dados A ∈ Mn e t ∈ R temos ||tA|| = |t| ||A||, temos por
desigualdade de exponencial que
|| etA︸︷︷︸
X(t)
− I︸︷︷︸
X(0)
− tA︸︷︷︸
A(t)
|| ≤
1
|t|
||tA||2e||tA|| = |t| ||A||2e|t| ||A|| ≤ |t|||A||2e||A||
com |t| < 1, onde usamos desigualdade que ja´ demonstramos para exponencial. Dessa
desigualdade tem-se que X ′(0) = A por definic¸a˜o de derivada. Como temos
X(t+ u) = X(t)X(u)
tem-se que X(t) e´ deriva´vel valendo
X ′(t) = X ′(0)X(t) = AX(t)
por aplicac¸a˜o em x0 segue que x(t) = X(t)x0 e´ deriva´vel em R e x ′(t) = Ax(t).
$ Corola´rio 12. Se A ∈Mn e x0 ∈ Rn enta˜o o caminho x(t) = etAx0, t ∈ R define
a u´nica soluc¸a˜o de x ′ = Ax com condic¸a˜o inicial x(0) = x0.
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 31
b Propriedade 25. Se A,B ∈ Mn tais que AB = BA enta˜o eA+B = eAeB.
Vejamos outra demonstrac¸a˜o dessa propriedade usando unicidade de soluc¸a˜o de
equac¸a˜o diferencial.
ê Demonstrac¸a˜o. Como BA = AB enta˜o B(tA) = (tA)B, daı´ por resultado que
ja´ mostramos tem-se BetA = etAB. Fixamos x0 ∈ Rn, definindo
x(t) = etAetBx0
a regra da derivada do produto garante que
x ′(t) = AetAetBx0 + etABetBx0 = AetAetBx0 + BetAetBx0 = (A+ B)x(t)
ale´m disso x(0) = x0, logo x(t) e´ soluc¸a˜o de x ′ = (A + B)x com condic¸a˜o inicial
x(0) = x0, pore´m et(A+B)x0 e´ a u´nica soluc¸a˜o desta equac¸a˜o, disso segue
etAetBx0 = e
t(A+B)x0
tomando t = 1 segue eAeBx0 = e(A+B)x0, como x0 e´ arbitra´rio, os dois operadores
devem ser ideˆnticos, por isso
eA+B = eAeB.
$ Corola´rio 13.
eAe−A = eA−A = e0 = I
enta˜o eA e´ sempre invertı´vel com inversa e−A.
Z Exemplo 15. Mostre que se u na˜o e´ autovalor de A enta˜o a equac¸a˜o
x ′ = Ax+ eutb, possui uma soluc¸a˜o da forma φ(t) = veut. Onde b ∈ Rn, u, t reais,
logo eut e´ a exponencial real.
Substituı´mos φ(t) = veut na equac¸a˜o diferencial para encontrar v.
uveut = Aveut + eutb⇒ (u−A)veut = eutb⇒ (u−A)v = b
como u na˜o e´ autovalor de A det(u−A) 6= 0 logo u−A e´ invertı´vel v = (u−A)−1b,
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 32
enta˜o realmente existe φ(t) = veut soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
b Propriedade 26. Seja V < Rn, A-invariante. Enta˜o V e´ etA invariante para
qualquer t ∈ R fixo .
ê Demonstrac¸a˜o. Como V e´ A invariante e subespac¸o de Rn, enta˜o e´ invariante
por t
kAk
k!
e soma de aplicac¸o˜es desse operador, por isso ∀ n temos
n∑
k=0
(tA)k
k!
(v) ∈ V ∀ v ∈ V
como subespac¸os vetoriais sa˜o fechados a propriedade se mante´m napassagem do
limite ∞∑
k=0
(tA)k
k!
(v) ∈ V ∀ v ∈ V.
b Propriedade 27. Se A e´ idempotente, enta˜o
eA = I+ (e− 1)A.
ê Demonstrac¸a˜o. A e´ idempotente, isto e´, A2 = A, Ak = A para k > 0 enta˜o
eA = I+A
∞∑
k=1
1
k!
= I+A(e− 1).
Z Exemplo 16. Deˆ exemplo de matrizes A e B tais que eA+B 6= eAeB. Tomamos
matrizes que na˜o comutam no produto.
A =
 1 0
0 0
 , B =
 0 0
1 0

 1 0
0 0
 0 0
1 0
 =
 0 0
0 0

CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 33
 0 0
1 0
 1 0
0 0
 =
 0 0
1 0

portanto elas na˜o comutam. B e´ nilpotente com B2 = 0, enta˜o
eB =
 1 0
1 1
 = I+ B.
A e´ idempotente A2 = A, enta˜o
eA = I+ (e− 1)A =
 e 0
0 1

A+ B =
 1 0
1 0

A+ B e´ idempotente logo
eA+B = I+ (e− 1)(A+ B) =
 e 0
e− 1 1

pore´m temos
eAeB =
 e 0
0 1
 1 0
1 1
 =
 e 0
1 1
 6= eA+B.
Portanto na˜o vale eA+B = eAeB, neste caso.
Z Exemplo 17. Calcule a exponencial da matriz a b
0 a
 .
CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 34
Escrevemos  a b
0 a
 =
 a 0
0 a
+
 0 b
0 0
 .
as duas matrizes comutam no produto, dando em qualquer ordem 0 ab
0 0

A =
 0 b
0 0
 satisfaz A2 = 0 enta˜o
eA =
 1 0
0 1
+
 0 b
0 0
 =
 1 b
0 1

a outra matriz possui exponencial
e
 ea 0
0 ea

usando que eA+B = eAeB quando A e B comutam, temos o resultado desejado
multiplicando as matrizes, resultando em ea bea
0 ea
 .
Z Exemplo 18. Calcule a exponencial da matriz
 a b
−b a
 .
Separamos a matriz como a soma a b
−b a
 =
 a 0
0 a
+
 0 b
−b 0

CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 35
sendo que as parcelas comutam (primeira chamamos de A, segunda de B) 0 b
−b 0
 a 0
0 a
 =
 0 ab
−ab 0
 =
 a 0
0 a
 0 b
−b 0

enta˜o
eA+B = eA.eB =
 ea 0
0 ea
 cos(b) sen(b)
−sen(b) cos(b)
 =
= ea
 cos(b) sen(b)
−sen(b) cos(b)
 .
	Matrizes e sistemas lineares
	Matrizes
	Alguma Matrizes especiais
	Multiplicação de matrizes
	Matriz transposta
	Matriz adjunta
	Inversas
	Matrizes nilpotentes
	Exponencial de matriz