Capitulo15 Conexão com a matemática

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conexões com 
a matemática 
1
 DVD do professor 
banco De questões
Capítulo 15 complementos e aprofundamento de trigonometria 
	 1.	 Calcule,	se	existir,	o	valor	de:
a)	sec	210°	 c)	sec	270°
b)	
π
sec
4
7
	 d)	
π
sec
3
5
	 2.	 Determine,	se	existir,	o	valor	de:
a)	cossec	330°	 c)	cossec	120°
b)	
π
cossec
4
5
	 d)	
π
cossec
4
	 3.	 Encontre,	se	existir,	os	valores	de:
a)	cotg	150°	 c)	cotg	180°
b)	
π
cotg
6
7
	 d)	
π
cotg
3
4
	 4.	 Sendo	 x
13
5
sen 2= ,	com	π , ,
π
x
2
3
,	calcule:
a)	cossec	x	 d)	cotg	x
b)	cos	x	 e)	sec	x
c)	 tg	x
	 5.	 Simplifique	a	expressão:
( )cos
cossec
y x x
x x
2
sen
sec
2 1 8
2=
	 6.	 Simplifique	a	expressão:
cot cot
y
x x x
x x
g sec g
tg sen
8 1
1
=
	 7.	 Calcule	o	valor	de	y	5	sen	x	1	4 8	cos	x	sabendo	que
sec x
4
5
= e	que	x	Ñ	QI.
	 8.	 Simplifique	as	expressões.
a)	 x
x
x1
1
cotg
cos
sec8 2 8d n
b)	
x
x
x
x1 1
cotg
cotg
tg
tg1
1
12 2
c)	
cot cossecx x
x x
g
sec sen
8
8
d)	
cot x
x x
g
cos cossec8
	 9.	 Sendo	 x	 Ñ	 QI	 e	 sen	 x	 5	 0,1,	 calcule	 o	 valor	
	aproximado	das	expressões:
a)	1	1	cos	x	2	sec	x	 b)	
cossecx x
x x3
tg
sen sec
1
8 8
	10. (Udesc)	O	ângulo	x	é	tal	que	sen	x
m
2
= 	
e	 .cosx
m
2
22
= 	Obtenha	o	valor	de	m	e,	a	partir	
deste,	obtenha	os	valores	numéricos	de	tg	x,	sec	x,	
cossec	x	e	cotg	x.
capítulo 15 complementos e aprofundamento 
de trigonometria
	11. (UPF-RS)	Considerando	que	 x
3
2
sen = 	e	x	pertence	
ao	segundo	quadrante,	o	valor	de	
sec cossec
cot
x x
x xtg g
1
1
	é:
a)	 2sen	x	 d)	 ( )3 2 52 1
b)	
3
5 	 e)	 6 52 1
c)	 cos2	x
	12. (Mackenzie-SP)	A	 equação	 1	 1	 tg	2	 x	 5	 cos	 x	 tem	
uma	solução	pertencente	ao	intervalo:
a)	 ,
π π
4 4
3< F	 d)	 ,π π
4
3< F
b)	 ,π
π
2
3< F	 e)	 ,π π
2
3
4
7< F
c)	 ,
π π
4
7
4
9< F
	13. Resolva	a	equação	tg	2	x	2	3	5	0	para	x	Ñ	R.
	14. (UFSCar-SP)	O	valor	de	x,	0	<	x	<	
π
2
,	tal	que	
4	8	(1	2	sen2	x)	8	(sec2	x	2	1)	5	3	é:
a)	
π
2
	 b)	
π
3
	 c)	
π
4
	 d)	
π
6
	 e)	0
	15. (Fuvest-SP)	Seja	x	no	 intervalo	 ;
π
0
2
;E 	 satisfazendo	
a	equação	tg
5
2
sec
2
3
.x1x = 	Assim,	calcule	o	va-
lor	de:
a)	sec	x	 b)	sen
4
1
π
xc m
	16. Determine	o	conjunto	solução	das	equações	em	R.
a)	2	8	cos	x	1	1	5	0
b)	 tg 3x 13 08 5
c)	 2	8	sen2	x	2	5 8	sen	x	1	2	5	0
	 17.	 Resolva,	em	R,	a	equação	trigonométrica:
tg	2	x	2	tg	x	5	0
	18. Determine	o	conjunto	solução	das	equações.
a)	2 8	sen x	2	cossec	x	5	1
b)	2 8	sen2	x	1	cos2	x	2	2	5	0
c)	 tg	x	2	cossec	x	5	cotg	x
	19. Calcule	o	valor	de	x,	0	<	x	<	2	π,	tal	que:
cos 3 cosx x22 08 82 =
	20. Determine	o	conjunto	solução	das	inequações.
a)	sen 2
2
x .
b)	2 8	cos	x	<	1
c)	 tg 3 tgx x2 08 ,2
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Fácil	 Médio	 Difícil
Grau de dificuldade das questões:
conexões com 
a matemática 
2
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Capítulo 15 complementos e aprofundamento de trigonometria 
	21. (UFSCar-SP)	Na	figura,	ADBW 	é	reto,	BACX 	5	a,	CADX 	5	b,	
AC	5	4	dm	e	BC	5	1	dm.	Sabendo	que	cos( )
5
4
1 ba 5 ,	
o	valor	de	sen	(a)	é:
4
1
α
β
A D
C
B
a)	
3
2
	 b)	
5
3
	 c)	
5
2
	 d)	
5
1
	 e)	
6
1
	22. (Unifesp)	A	expressão	
	 	 sen	(x	2	y)	8	cos	y	1	cos	(x	2	y)	8	sen	y
	 	 é	equivalente	a:
a)		sen	(2x	1	y)
b)	cos	(2x)
c)	 sen	(x)
d)	sen	(2x)
e)	 cos	(2x	1	2y)
	23. Simplifique	 a	 expressão	 sen	 (x	 1	 y)	 8	 sen	 (x	 2	 y),	
sendo	x i y.
	24. (Mackenzie-SP)	Na	figura,	tg	b	é	igual	a:
10,0 cm
0,5 cm
2,0 cm
β
a)	
81
16
	 c)	
63
19
	 e)	
4
1
b)	
27
8
	 d)	
3
2
	25. Resolva	a	equação:
	 	 2
π
1 2
π
2x x
4 4
2cos sen =e eo o
	26. Prove	que:
a)	sec	(π	2	x)	5	2sec	x
b)	tg	(π	1	x)	5	tg	x
c)	 cotg	(2π	2	x)	5	2cotg	x
	 27. Classifique	cada	igualdade	em	verdadeira	ou	falsa.
a)	sen	75°	5	sen	60°	1	sen	15°
b)	cos	105°	5	cos	(60°	1	45°)
c)	 cotg	(60°	2	45°)	5	cotg	60°	2	cotg	45°
d)	tg	42°	5	tg	(80°	2	38°)
	28. Quantas	soluções	tem	a	equação	
2	8	cos2	x	2	3 8	cos	x 1	1	5	0	no	intervalo	
0	<	x	,	2π?
	29. (Insper)	 Seja	 t	 a	 medida,	 em	 grau,	 de	 um	 ângulo
agudo.	Se	4 8	sen	(2t)	5	12	cos2	t,	então	pode-se	con-
cluir	que:
a)	0	,	t	,	15
b)	15	,	t	,	30
c)	 30	,	t	,	45
d)	45	,	t	,	60
e)	 60	,	t	,	90
	30. No	 triângulo	 retângulo	 abaixo,	 sabe-se	 que	
.cos x
5
2
= 	Calcule	o	valor	de	tg	(2x	1	y).
	
y
C
A
B
x
	31. (Mackenzie-SP)	Se	sec	x	5	4,	com	 ,
π
,x0
2
< 	então	
tg	2x	é	igual	a:
a)	
5
4 15
2 	 d)	
16
15
b)	
5
15
	 e)	
7
15
2
c)	
7
2 15
2
	32. Sendo	sec	x	5	22,	com	 .π , ,
π
x
2
3
,	calcule:
a)	sen	(2x)	 c)	tg	(2x)
b)	cos	(2x)	 d)	sec	(2x)
	33. Resolva	a	equação	2 8	cos	(2x)	5	21,	com	0	<	x	<	2π.	
	34. (Unifor-CE)	Sejam	x	e	y	números	reais	tais	que	
, ,
π
x0
2
	e	 ., ,
π
y0
2
	Se	cosx
4
3
= 	e	 ,y
4
1
sen = 	o	
valor	de	sen	2x	1	cos	2y	é:
a)	
8
1 151 	 d)	
8
7 3 71
b)	
16
12 2 12 	 e)	
16
59 6 71
c)	
8
8 3 71
	35. (Unifesp)	 Se	 x	 é	 a	 medida	 de	 um	 arco	 do	 primeiro	
quadrante	e	se	sen	x	5	3	cos	x,	então	sen	(2x)	é	igual	a:
a)	
5
5 	 b)	
5
3 	 c)	
5
1 51 	 d)	
5
4 	 e)	
2
3
	36. Calcule	o	valor	de:
a)	
π
12
sen c m	 c)	 π
12
tg c m
b)	
π
12
5
cos d n	 d)	cos	195°
conexões com 
a matemática 
3
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Capítulo 15 complementos e aprofundamento de trigonometria 
	 37. Sabendo	que	 .x
2
1
cos = ,	com	 ,
π
x0
2
, , 	calcule:
a)	
x
2
sen c m	 c)	 x
2
tg c m
b)	cos
x
2
c m	 d)	
x
2
sec c m
	38. (Fuvest-SP)	No	quadrilátero	ABCD,	onde	os	ângulos	
B	e	D	são	retos	e	os	lados	têm	as	medidas	indicadas,	
o	valor	de	sen	AX	é:
	 	
2x
2x x
x
C
B
D
A
a)	
5
5
	 b)	
5
2 5
	 c)	
5
4 	 d)	
5
2 	 e)	
2
1
	39. (Mackenzie-SP)	 A	 soma	 das	 soluções	 da	 equação	
2	cos2	x	2	2	cos	2x	2	1	5 0,	para	0	<	x	<	2π,	é:
a)	 π	 b)	2π	 c)	3π	 d)	4π	 e)	5π
	40. (Fuvest-SP)	Se	tg	t	5	2,	então	o	valor	de	 é
cos
1 2
2
sen1 t
t
:
a)	23	 b)	
3
1
2 	 c)	
3
1
	 d)	
3
2
	 e)	
4
3
	41. (Mackenzie-SP)	 Se	 4	 ,cos x 2
2
1
22 = 	 então	 um	
possível	valor	para	tg	2x	é:
a)	 3	 b)	 6	 c)	 2	 d)	 7	 e)	 5
	42. (Mackenzie-SP)	Se	tg	a	5	2,	então	cos	2a	é	igual	a:
a)	
5
3
2 	 b)	
5
2
2 	 c)	
5
1
2 	 d)	
5
1 	 e)	
5
2
	43. 	(Mackenzie-SP)	Em	[0,	2π],	as	soluções	da	equação	
cos x
x
x2 1
2
1
1sen
sen2 1=
	são	em	número	de:
a)	1	 b)	2	 c)	3	 d)	4	 e)	5
	44. (UFT-TO)	Dado	 ,
4
3
sen t = 	0°	,	t	,	90°.	O	valor	de	
sen	(4t)	é:
a)	
16
7
2 	 b)	
32
3 7 	 c)	
8
7 	 d)	
32
3 7
2
	45. (Unifesp)	 Um	 observador,	 em	 P,	 enxerga	 uma	 cir-
cunferência	de	centro	O	e	raio	1	sob	um	ângulo	t,	
conforme	mostra	a	figura.
θ
S P
O
T
a)	Prove	que	o	ponto	O	se	encontra	na	bissetriz	do	
ângulo	t.
b)	Calcule	tg	t,	dado	que	a	distância	de	P	a	O	vale	
3	metros.
	46. Sendo	 x	 um	 arco	 do	 primeiro	 quadrante	 tal	 que	
π π
x
6 2
, , ,	e	sabendo	que	x	é	solução	da	equação	
5	8	cos	(2x)	1	3 8	sen	x	5	4,	determine	cossec	x.
	47. Sabendo	que	tg	a	5	2,	determine	o	valor	de	
.
cos
1 2
2
sen1 a
a
	48. Transforme	em	produto	as	expressões.
a)	sen	80°	1	sen	20°
b)	cos	80°	2	cos	20°
c)	 cos	60°	1	cos	30°
d)	sen	60°	2	sen	20°