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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
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NOTA
Geometria Analítica - Reavaliação AB1 - Manhã
18 de novembro de 2015
Aluno(a):
Professor(a):
Curso:
• Justifique todas suas respostas
1. Sejam −→u ,−→v ∈ R2 tais que ||−→u || = ||−→v || = 1 e 〈−→u ,−→v 〉 = 0. Sendo −→w = a−→u + b−→v−→z = c−→u + d−→v , calcule em termos de a, b, c e d.
(a) (1,0 ponto) ||−→w || e ||−→z ||.
(b) (1,0 ponto) 〈−→w ,−→z 〉.
(c) (0,5 ponto) O ângulo entre −→w e −→z .
2. (2,5 pontos) Dada uma elipse de semieixos a e b calcule, em termos destes parâmetros, a
área do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse.
3. Dados os pontos A = (2, 7), B = (2,−6) e C = (5,−6):
(a) (1,0 ponto) Encontre as equações das retas que passam por AB, BC e CA;
(b) (1,0 ponto) Mostre que o triângulo 4ABC é um triângulo retângulo;
(c) (0,5 ponto) Calcule a área deste triângulo.
4. (a) (1,0 ponto) Encontre uma equação para a parábola que passa pelos pontos P1 = (0, 0),
P2 = (1,−3) e P3 = (5, 5) e tem eixo de simetria paralelo ao eixo das ordenadas.
Esboce a parábola indicando diretriz, foco e vértice.
(b) (1,5 pontos) Identifique e esboce, indicando vértices e focos, a cônica com equação
x2 + y2 + xy = 3.
BOA PROVA!
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NOTA
Geometria Analítica - Reavaliação AB1 - Tarde
18 de novembro de 2015
Aluno(a):
Professor(a):
Curso:
• Justifique todas suas respostas
1. Considere a reta r : 4x− 3y + 10 = 0.
(a) (1,5 pontos) Encontre uma reta que passa por R = (3, 1) e que faz ângulo de pi/3 rad
com r.
(b) (1,0 ponto) Esta reta é única?
2. (2,5 pontos) Na figura a seguir tem-se um octógono regular inscrito na circunferência de
equação x2+y2−16 = 0 e com os vértices A, C, E e G sobre os eixos coordenados. Calcule
a medida do lado deste octógono.
3. (2,5 pontos) Calcule o ângulo entre −→u +−→v e −→u −−→v , sabendo que ||−→u || = √2, ||−→v || = 1
e que o ângulo entre −→u e −→v é 45◦.
4. (2,5 pontos) Tangenciando externamente a elipse E1 : 9x2 + 4y2 − 72x − 24y + 144 = 0,
considere uma elipse E2 de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de E1 e cujos
eixos têm a mesma medida que os eixos de E1. Sabendo que E2 está inteiramente contida no
primeiro quadrante, calcule sua equação e esboce as duas elipses indicando focos e vértices.
BOA PROVA!
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
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NOTA
Geometria Analítica - Reavaliação AB2 - Manhã
18 de novembro de 2015
Aluno(a):
Professor(a):
Curso:
• Justifique todas suas respostas
1. a) (1,5 pontos) Determine o centro e o raio da circunferência formada pela interseção do
plano 2x+ y + 2z = 5 com a esfera (x− 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 4.
b) (1,0 ponto) Determinar os valores de m e n para que a reta
r:

x = 2 + t
y = 1 + t
z = −3− 2t
esteja contida no plano pi : mx+ ny + 2z − 1 = 0.
2. (2,5 pontos) Encontre os pontos da reta r :
{
y + z − 2 = 0
x− y − z = 0 que distam
√
6 do plano
pi : 2x− 4y − 2z − 2=0.
3. (2,5 pontos) Seja C o lugar geométrico dos pontos P tais que a razão entre d(P, F ) e d(P, pi)
seja 2, onde F = (0, 1, 0) e pi : y = −1. Encontre uma equação para C , identifique esta
superfície e faça um esboço.
4. Considere a superfície quádrica Q representada pela equação 4x2 − 2y2 + z2 = 1.
(a) (1,0 ponto) Identifique e esboce Q;
(b) (1,5 ponto) Descreva as as curvas resultantes das interseções de Q com os planos do
tipo z = k indicando seus vértices e focos.
BOA PROVA!
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INSTITUTO DE MATEMÁTICA
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NOTA
Geometria Analítica - Reavaliação AB2 - Tarde
18 de novembro de 2015
Aluno(a):
Professor(a):
Curso:
• Justifique todas suas respostas
1. (a) (1,0 ponto) Ache a equação do plano tangente à esfera x2+y2+z2+4x−6(y+z)−3 = 0
no ponto (−2, 0, 7).
(b) (1,5 pontos ) Um quadrado ABCD tem a diagonal BD sobre a reta r :
{
x = 1
y = z
.
Sabendo que o ponto A = (0, 0, 0), encontre os vértices B, C e D.
2. (2,5 pontos) A altura e a mediana relativas ao vértice B do triângulo4ABC estão contidas
respectivamente em r : (−6, 0, 3)+λ(3, 2, 0) e s : (0, 0, 3)+µ(3,−2, 0). Sendo C = (4,−1, 3),
encontre A e B.
3. (2,5 pontos) Seja C o lugar geométrico dos pontos P equidistantes às retas r = {(α, 0, 0);α ∈
R} e s = {(0, β,−1);β ∈ R}. Encontre uma equação para C , identifique esta superfície e
faça um esboço.
4. Considere a superfície quádrica Q representada pela equação 4x2 − 2y2 + z2 = 0.
(a) (1,0 ponto) Identifique e esboce Q;
(b) (1,5 ponto) Descreva as as curvas resultantes das interseções de Q com os planos do
tipo z = k indicando seus vértices e focos.
BOA PROVA!