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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA Prof. Paula Marinho Aula 8 APRESENTAÇÃO 2 MODELO DISCRETO DE PROBABILIDADE Quando aplicamos a Estatística na resolução de problemas é comum verificarmos que algumas situações têm características semelhantes, que se repetem. Nesses casos podemos estabelecer modelos matemáticos que nos ajudarão nas suas soluções. Os modelos trabalham com os seguintes componentes: Os possíveis valores que a variável aleatória pode assumir; A função de probabilidade associada a ela; O valor esperado, e A variância e o desvio padrão estimado. Nesta aula, aprenderemos a trabalhar e aplicar os modelos discretos de probabilidade: A Distribuição de Bernoulli e a Distribuição Binomial. OBJETIVOS Ao final desta aula você deverá ser capaz de: Aplicar modelos discretos de probabilidade; Utilizar a Distribuição de Benoulli para solucionar problemas; Tomar decisões a partir da aplicação da Distribuição Binomial na resolução de problemas. 3 8.1 – DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI 4 Se uma variável aleatória x: só pode assumir os valores 0 e 1, com P(x=0)=q e P(x=1)=p, onde p é a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, onde p+q=1, então a variável x admite distribuição de Bernoulli. Imagine uma variável que só pode assumir dois valores: zero e um. Onde a probabilidade de sair zero está associada ao fracasso e portanto ao valor q. E onde a probabilidade de sair um é p e está associada ao sucesso do experimento. Construindo a tabela abaixo podemos calcularmos o valor da esperança matemática E(x)= m(x), da variância s² e do desvio padrão s da seguinte forma: 8.1 – DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI 5 A Esperança matemática ou média é x p(x) x. p(x) (x -m)²p(x) 0 q 0 p²q = p².(1-p) 1 p p (1-p)².p total 100% p p².(1-p) + (1-p)².p m(x) = p Lembre que p = 1-q e quep+q= 1 s² (x) = p².(1-p) + (1-p)².p = s² (x) = p(1-p) (p+(1-p)) = s² (x) =pq(p+q) =pq(1) = A variância é s² (x) = p q E o desvio padrão é EXEMPLO A variável x se interessa por damas em uma extração de uma carta de um baralho. Esta carta poderá então ser dama ou não ser dama. Os possíveis resultados de x são 1 ou 0 respectivamente, com probabilidades de sucesso p =4/52 ou probabilidade de fracasso q=48/52 . Este é um caso em que se pode aplicar o modelo de Bernoulli. Então: 6 Uma carta é retirada ao acaso de um baralho com 52 cartas. A variável aleatória x anota o número de damas obtidas nesta retirada. Determine a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x. 8.2 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 7 Imagine a seguinte situação: determine a probabilidade de se obter exatamente duas faces 4 em três lançamentos de um dado. Estes eventos são mutuamente exclusivos e independentes (suas probabilidades são constantes independentemente da repetição do experimento), então devemos calcular a soma das probabilidades de obtermos um 4, outro 4 e uma carta qualquer em qualquer ordem que isto ocorra. 8.2 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 8 Matematicamente representamos assim: As probabilidades dos 3 casos são iguais. O que interessa é determinarmos o número de casos que podemos formar. Este número pode ser calculado por combinação: 8.2 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 9 Como uma grande quantidade de problemas envolvem essas mesmas características podemos construir um modelo estatístico teórico para resolvê-lo: a Distribuição Binomial. Suas características são: Se um experimento admite somente dois resultados S – sucesso e F – fracasso, com probabilidades P(S) = p e P(F) = q; Se o experimento for repetido n vezes independentemente (em cada repetição a probabilidade de sucesso se mantém igual a p e a de fracasso igual a q); Se estamos interessados na ocorrência de x sucessos e (n-x) fracassos, independentemente da ordem de ocorrência, Então diremos que a variável aleatória x admite distribuição binomial de probabilidades. 8.2 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 10 Suas fórmulas são: Podemos entender a Distribuição Binomial como n repetições de uma Distribuição de Bernoulli. Por isso, a média e a variância ficam multiplicadas por n. EXEMPLO 11 O gerente de uma loja estima que de dez vendas realizadas, três são microcomputadores e sete equipamentos eletrônicos em geral. Qual a probabilidade de que uma das quatro próximas vendas seja um microcomputador? O experimento está interessado em vendas de microcomputadores. Isto é o sucesso. Chamemos a venda de equipamento eletrônico de E e a venda de microcomputador de M. Os eventos elementares são = MEEE, EMEE, EEME e EEEM O problema informa que as probabilidades são 70% de vendas de equipamentos eletrônicos e 30% de vendas de microcomputadores. Portanto: p = 30%= 0,3 associada à venda do micro e q = 70% = 0,7 associada à venda de equipamentos em geral EXEMPLO 12 Se desenvolvermos usando o cálculo de probabilidades temos: P(x=1) = P(MEEE)+ P(EMEE) + P(EEME) + P(EEEM) = =0,7.0,7.0,7.0,3 + 0,7.0,7.0,7.0,3 + 0,7.0,7.0,7.0,3 + 0,7.0,7.0,7.0,3 = = 4 . 0,73 .0,31 = = 0,4116 = 41,16% Aplicando diretamente a fórmula da distribuição Binomial temos: Chegamos ao mesmo resultado de maneira mais rápida pois não foi preciso determinarmos todas a combinações possíveis. Bastou que calculássemos quantas eram as combinações possíveis. PROBABILIDADE ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA Profa. Paula Marinho ATIVIDADE ATIVIDADE 14 Uma firma exploradora de petróleo acha que 5% dos poços que perfura acusam deposito de gás natural. Se ele perfurar 6 poços, determine a probabilidade de: a - nenhum poço ter gás natural; b - dois poços terem gás natural; c - dois ou menos poços terem gás natural. a) 0,735091891 =DISTRBINOM(0;6;5%;FALSO) b) 0,030543984 =DISTRBINOM(2;6;5%;FALSO) c) 0,997770156 =DISTRBINOM(2;6;5%;VERDADEIRO) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS e RECURSOS PEDAGÓGICOS BIBLIOTECA DO CAMPUS BIBLIOTECA VIRTUAL MATERIAL DIDÁTICO CONTEÚDO ONLINE USO DO EXCEL E CALCULADORA CIENTÍFICA. 15 REFERÊNCIAS BALDI, Brigitte; MOORE, David S. A Prática da Estatística nas Ciências da Vida. Rio de Janeiro: LTC, 2014. LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando o Excel. São Paulo: Lapponi Treinamento de Editora LTDA, 2000. LEVINE, David M.; STEPHAN, David F.; KREHBIEL, Timothy C.; BERENSON, Mark L.. Estatística – Teoria e Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2008. MC CLAVE, James; BENSON, P. George; SINCICH, Terry. Satistics For Business and Economics. Ney Jersey: Pearson, 2005. 16 REFERÊNCIAS MOORE, David S; NOTZ, William I.; FLINGER, Michael A. A Estatística Básica e sua Prática. Rio de Janeiro: LTC, 2014. MORETTIN, Pedro; BUSSAB, Wilton. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva, 2002. TOLEDO, Geraldo; OVALE, Ivo. Estatística Básica. São Paulo: Atlas, 1985. TRIOLA, Mario F.. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 17 Atividade Estruturada e Avaliação Trabalho de pesquisa, coleta e tratamento dos dados. Desenvolvida ao longo de todo o semestre. Compondo 2 pontos na AV1 e AV2 Provas online. Agendar com antecedência e não faltar. 18 SÍNTESE DA AULA Nesta aula: Aprendemos a trabalhar e aplicar modelos discretos de probabilidade; Estudamos a Distribuição de Bernoulli e suas aplicações; Estudamos a Distribuição Binomial e suas aplicações; 19 PRÓXIMA AULA PRÓXIMA AULA Aprenderemos a trabalhar e aplicar um novo modelo discreto de probabilidade – Distribuição de Poisson. 20
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