Cálculo 1 - lista03 - Derivadas

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Complementos de Matemática Aplicada — 2016/01
Lista de exercícios 3 (Maio de 2016)
1. Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções.
(a) y = 1
2
(ex + e−x)
(b) y = x2ex
(c) y = x2e−x2
(d) y = xe + ex
(e) y = (x3 − 2x+ 5)ex2+2x+1
(f) y = e1/x2 + 1/ex2 Dica: Lembre que 1/x2 = x−2 e que 1/ex2 = e−x2 .
(g) y = e
x5+2x−1
e2x
Dica: Simplifique antes de calcular y′.
(h) y = e
x5+2x−1
e2x + 1
2. Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções. Sugestão: Quando possível,
use as propriedades do logaritmo para simplificar antes de derivar (ver o item (a),
por exemplo).
(a) y = ln(x
√
x2 + 1) = lnx+
1
2
ln(x2 + 1)
(b) y = ln
√
x− 1
x+ 1
(c) y = 3 ln x4
(d) y = ln 1
x
(e) y = ln 412x
(f) y = ln[(3x− 7)4(2x+ 5)3]
(g) y = e3x ln(2x+ 1)
Os exercícios abaixo referem-se ao livro de L. D. Hoffmann e G. L. Bradley (Cálculo: um
curso moderno e suas aplicações, décima edição, ltc, 2010).
Seção 2.4: 1, 3, 5, 13, 15, exercícios 21 a 42 (faça tantos quantos quiser/puder), 43, 45,
51, 53, 78(a). Observação: Os exercícios 21 a 42 são altamente recomendados!
Seção 4.3: Exercícios 1 a 38 (faça tantos quantos quiser/puder), 47, 49, 53, 55, 57, 59.
Para uma revisão das propriedades algébricas das funções exponencial e logaritmo, veja
também os exercícios das seções 4.1 e 4.2 do livro de Hoffmann e Bradley.
1
Respostas:
1. (a) y′ = (ex − e−x)/2
(b) y′ = 2xex + x2ex
(c) y′ = 2xe−x2 − 2x3e−x2
(d) y′ = exe−1 + ex
(e) y′ = (2x4 + 2x3 − x2 + 6x+ 8)ex2+2x+1
(f) y′ = −2e
1/x2
x3
− 2xe−x2
(g) y′ = 5x4ex5−1
(h) y′ = (5x
4 + 2)ex
5+2x−1 · (e2x + 1)− ex5+2x−1 · 2e2x
(e2x + 1)2
=
5x4e2x + 5x4 + 2
(e2x + 1)2
ex
5+2x−1
2. (a) y′ = 1
x
+
x
x2 + 1
(b) y′ = 1
2(x− 1) −
1
2(x+ 1)
(c) y′ = 12/x
(d) y′ = −1/x
(e) y′ = 1/x Curioso, não? As funções lnx e ln 412x têm a mesma derivada.
Como você explica ou interpreta este fato?
(f) y′ = 12
3x− 7 +
6
2x+ 5
(g) y′ = 3e3x ln(2x+ 1) + 2e
3x
2x+ 1
2