Matematica vall 2016##

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A U L A
Problemas do 2” grau
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A U L A
IntroduçªoNas Aulas 24 e 25, tratamos de resoluçıes
de equaçıes do 2” grau. Nesta aula, vamos resolver problemas que dependem
dessas equaçıes.
Observe que o significado das incógnitas deve ficar bem claro para que o
equacionamento do problema possa ser feito sem dificuldade. Após a resoluçªo
da equaçªo, devemos verificar se as duas raízes servem como resposta para o
problema em questªo. Freqüentemente, como vocŒ irÆ perceber, uma delas nªo
faz sentido.
Como esta Ø uma aula de resoluçªo de problemas, Ø interessante que
vocΠleia atentamente cada enunciado e pense um pouco antes de ver a
soluçªo.
PROBLEMA 1
Um operÆrio foi contratado para construir uma calçada em volta de dois
lados de um terreno retangular, como mostra a figura abaixo.
O terreno mede 20 m por 30 m e a calçada deve ter sempre a mesma largura.
Sabendo que o operÆrio dispıe de 72 m† de lajotas para fazer a obra, qual
Nossa aula
calçada
20 m
30 m
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A U L A deve ser a largura da calçada?
Soluçªo: É claro que a largura da calçada Ø nossa incógnita. Vamos entªo
chamar de x a medida que desejamos calcular. Podemos calcular de vÆrias
formas a Ærea da calçada, que Ø igual a 72 m†. Uma delas Ø a que
mostramos na figura abaixo:
Somando as Æreas das trŒs partes em que a calçada foi dividida, temos:
x² + 30x + 20x = 72 ou
x² + 50x - 72 = 0
Essa Ø uma equaçªo do 2” grau e nossa incógnita x, a largura da calçada,
Ø uma de suas raízes. Vamos entªo resolver a equaçªo:
x =
-50 ± 502 - 4×1• -72α φ
2
x =
-50 ± 2.500 + 288
2
x =
-50 ± 2.788
2
Utilizando uma calculadora para obter valores aproximados das raízes, temos:
Observe que a raiz x = ----- 51,4 nªo faz sentido no nosso problema. A medida
do comprimento Ø sempre um nœmero positivo. Portanto, a largura da
calçada Ø de 1,4 m, ou seja, 1 metro e 40 centímetros.
‡rea = 30 x
20 
30
x
x
x
x
‡rea = 20 x
‡rea = x2
-50 - 52,8
2
= -
102,8
2
= - 51,4
-50 + 52,8
2
=
2,8
2
=1,4
fi
fix =
-50 ± 52,8
2
(- ).
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A U L APROBLEMA 2
Joªo comprou um certo nœmero de camisetas (todas iguais) para dar a
seus empregados e gastou R$ 96,00. Dias depois, passando em outra loja,
viu a mesma camiseta em promoçªo, R$ 2,00 mais barata. Desta vez,
comprou uma camiseta a mais que na compra anterior e gastou R$ 90,00.
Quantas camisetas Joªo comprou ao todo?
Soluçªo: precisamos dar nome às nossas incógnitas, isto Ø, àquilo que nªo
conhecemos no problema. Nós nªo sabemos quantas camisetas Joªo com-
prou da primeira vez. Vamos entªo chamar essa quantidade de x. TambØm
nªo sabemos o preço da camiseta na primeira compra. Vamos chamar esse
preço de y. Desta forma, na segunda compra, Joªo comprou x + 1 camisetas
e o preço de cada uma Ø y ----- 2, ou seja, R$ 2,00 a menos. Podemos entªo
resumir o que conhecemos no quadro abaixo:
COMPRA N” DE CAMISETAS PRE˙O TOTAL GASTO
1“ COMPRA x y 96
2“ COMPRA x + 1 y - 2 90
Multiplicando o nœmero de camisetas pelo preço de uma delas, teremos o
total gasto em cada compra. Logo, as equaçıes sªo as seguintes:
 xy = 96
(x + 1) (y - 2) = 90
Temos aqui um sistema de duas equaçıes com duas incógnitas. Vamos
inicialmente desenvolver a 2“ equaçªo:
(x + 1) (y - 2) = 90
xy - 2x + y - 2 = 90
Como a 1“ equaçªo nos informa que xy = 96, ficamos com:
96 - 2x + y - 2 = 90
- 2x + y = - 4
y = 2x - 4
Agora, vamos substituir esse valor de y na 1“ equaçªo:
xy = 96
x (2x - 4) = 96
2x² - 4x - 96 = 0
{
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A U L A Aí estÆ a equaçªo do 2” grau fornecida pelo problema. Vamos simplificar
todos os termos por 2 e resolvŒ-la.
x2 - 2x - 48 = 0
x =
2 ± 4 - 4×1× -48α φ
2
x =
2 ± 4 +192
2
x =
2 ± 196
2
x =
2 ±14
2
x =
2 +14
2
=
16
2
= 8
x =
2 -14
2
=
-12
2
= -6
Lembre-se de que x Ø o nœmero de camisetas que Joªo adquiriu na primeira
compra. Logo, esse nœmero nªo pode ser - 6. Concluímos que x = 8, ou seja,
Joªo comprou 8 camisetas. Como na segunda compra ele adquiriu uma
camiseta a mais, o nœmero total de camisetas compradas Ø 8 + 9 = 17.
PROBLEMA 3
Com uma corda de 10 m de comprimento, Pedro deseja cercar uma Ærea
retangular de 5 m†. Quais as medidas dos lados desse retângulo?
Soluçªo: Vamos chamar de x e y o comprimento e a largura do retângulo,
respectivamente, como mostra a figura:
JÆ que o perímetro do retângulo Ø 10 m, temos, como 1“ equaçªo:
x + y + x + y = 10 ou
2x + 2y = 10 ou ainda
x + y = 5
Como a Ærea do retângulo deve ser 10 m†, temos, como 2“ equaçªo:
xy = 5
fifi
x
x
y y5 m2
 .(-. )
²
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A U L AAs duas equaçıes formam o sistema:
x + y = 5
xy = 5
que Ø resolvido facilmente. Da 1“ equaçªo temos y = 5 ----- x; substituindo na
2“ equaçªo, encontramos:
x (5 - x) = 5
Vamos entªo desenvolver, arrumar e resolver essa equaçªo:
5x - x² = 5
- x² + 5x - 5 = 0
x² - 5x + 5 = 0
Usando a mÆquina de calcular para obter valores aproximados das raízes,
encontramos:
5 + 2,24
2
=
7,24
2
= 3,62
x =
5 ± 2,24
2
5 - 2, 24
2
=
2,76
2
= 1,38
Chegamos a dois valores diferentes para x e, aparentemente, ambos servem
ao nosso problema. No entanto, x Ø o comprimento do retângulo e
precisamos ainda calcular a largura y. Observando novamente o desenvol-
vimento, vemos que x + y = 5, ou seja, y = 5 ----- x. Entªo:
a) se x = 3,62 entªo y = 5 - 3,62 = 1,38
b) se x = 1,38 entªo y = 5 - 1,38 = 3,62
Nªo encontramos, portanto, dois retângulos diferentes. As duas raízes da
equaçªo fornecem como resposta o mesmo retângulo. Suas medidas apro-
ximadas sªo 3,62 m e 1,38 m, nªo importando qual delas Ø o comprimento
ou a largura.
{
fi
fi
x =
5 ± 52 - 4×1×5
2
x =
5 ± 25 - 20
2
x =
5 ± 5
2
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A U L A Conferindo resultados
Depois de resolver um problema, Ø aconselhÆvel conferir o resultado
encontrado para verificar se ele estÆ mesmo correto. Afinal, Ø sempre possível
ocorrer algum engano. Vamos entªo conferir os resultados dos trŒs problemas
que resolvemos nesta aula.
Conferindo o problema 1
Nesse problema, encontramos para a largura da calçada x = 1,4 m, aproxi-
madamente. Vamos entªo calcular a Ærea da calçada usando esse valor:
`rea da calçada = 1,4² + 30 . 1,4 + 20 . 1,4
= 1,96 + 42 + 2,8
= 71,96
que Ø aproximadamente 72. Se o operÆrio tem 72 m† de lajotas para fazer
a calçada, entªo a largura de 1,4 m estÆ certa.
Conferindo o problema 2
Concluímos nesse problema que Joªo adquiriu 8 camisetas na primeira
compra e 9 na segunda. Vamos entªo calcular o valor de y, que Ø o preço de
cada camiseta na primeira compra.
Temos x = 8 e a equaçªo xy = 96. Logo,
8y = 96
y = 96 = 12 8
Entªo, cada camiseta custou R$ 12,00.
Vamos agora conferir a segunda compra. Sabemos que ele comprou
9 camisetas e cada uma custou R$ 10,00, ou seja, R$ 2,00 a menos. Entªo, ele
gastou 9 • 10 = 90 reais, o que confere com o enunciado.
Conferindo o problema 3
Nesse problema, concluímos que as medidas do retângulo devem ser 3,62
m e 1,38 m. Vamos entªo conferir sua Ærea.
`rea do retângulo = 3,62 . 1,38 = 4,9956 m², que Ø aproximadamente 5 m²,
como pede o enunciado. Nossa resposta, portanto, estÆ certa.
Exercício 1
Os nœmeros 1, 2, 3, 4 ... sªo chamados de nœmeros naturais. Cada nœmero
natural possui um consecutivo, que Ø o nœmero que vem depois dele.
Por exemplo, o consecutivo de 1 Ø 2. O consecutivo de 8 Ø 9 etc.
Multiplicando-se um nœmero natural por seu consecutivo, encontramos
132. Que nœmero Ø esse?
Exercício 2
Um triângulo retângulo tem hipotenusa 15. Um dos catetos tem 3 unidades
a mais que o outro. Qual Ø o perímetro desse triângulo?
Sugestªo: Chame o menor cateto de x e recorra ao Teorema de PitÆgoras.
Exercícios
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A U L AExercício 3
Um terreno retangular tem50 m² de Ærea. Diminuindo seu comprimento
em 3 m e aumentando sua largura em 2 m, o terreno transforma-se em um
quadrado. Qual Ø a Ærea desse quadrado?
Sugestªo: Observe a figura abaixo:
Exercício 4
Um grupo de pessoas saiu para almoçar em um restaurante, sendo que trŒs
delas sªo mulheres. A conta, de R$ 72,00, foi inicialmente dividida entre todos,
mas depois os homens resolveram que, por gentileza, as mulheres nªo deve-
riam pagar. Entªo, cada homem contribuiu com mais R$ 4,00 e a conta foi
paga. Quantas pessoas havia no grupo?
Sugestªo: Escolha as seguintes incógnitas:
x = nœmero de pessoas do grupo
y = valor que cada um deveria pagar
a) Se a conta foi de R$ 72,00, qual Ø a primeira equaçªo?
b) Se existem 3 mulheres no grupo, quantos sªo os homens?
c) Se, no pagamento, cada homem contribuiu com mais R$ 4,00, qual Ø
a segunda equaçªo?
Exercício 5
Na figura abaixo existem 20 pontos arrumados em 5 linhas e 4 colunas:
Imagine que 480 soldados estªo formados, arrumados em linhas e colunas.
O nœmero de linhas Ø 4 unidades maior que o nœmero de colunas. Quantas
sªo as linhas e as colunas dessa formaçªo?
x 3
x
2
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1 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r 
 
Exercícios de Matemática 
Equações de Segundo Grau 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO 
(Ufba 96) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos 
parênteses a soma dos itens corretos. 
 
1. Considerando-se os conjuntos 
 
A = { x Æ IN, x < 4 }, 
B = { x Æ Z, 2x + 3 = 7 }, 
C = { x Æ IR, x£ + 5x + 6 = 0 }, 
 
é verdade que: 
 
 
 
Soma ( ) 
 
2. (Ita 2001) O conjunto de todos os valores de m 
para os quais a função 
 
 
 
está definida e é não-negativa para todo x real é: 
a) [1/4, 7/4[ 
b) ]1/4, ¶[ 
c) ]0, 7/4[ 
d) ]-¶, 1/4] 
e) ]1/4, 7/4[ 
 
3. (Unitau 95) Qual é o valor da soma dos inversos 
dos quadrados das duas raízes da equação 
x£+x+1=0? 
 
4. (Cesgranrio 95) A maior raiz da equação -
2x£+3x+5=0 vale: 
a) -1 
b) 1 
c) 2 
d) 2,5 
e) (3 + Ë19)/4 
 
5. (Fuvest 96) Sejam x e x‚ as raízes da equação 
10x£+33x-7=0. O número inteiro mais próximo do 
número 5xx‚+2(x+x‚) é: 
a) - 33 
b) - 10 
c) - 7 
d) 10 
e) 33 
 
 
 
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6. (Ita 96) Seja ‘ um número real tal que ‘>2(1+Ë2) 
e considere a equação x£-‘x+‘+1=0. Sabendo que 
as raízes reais dessa equação são as cotangentes de 
dois dos ângulos internos de um triângulo, então o 
terceiro ângulo interno desse triângulo vale: 
a) 30° 
b) 45° 
c) 60° 
d) 135° 
e) 120° 
 
7. (Ufpe 96) Se x é um número real positivo tal que ao 
adicionarmos 1 ao seu inverso obtemos como 
resultado o número x, qual é o valor de x? 
a) (1 - Ë5)/2 
b) (1 + Ë5)/2 
c) 1 
d) (1 + Ë3)/2 
e) (1 + Ë2)/2 
 
8. (Puccamp 95) Considere as seguintes equações: 
 
 I. x£ + 4 = 0 
 II. x£ - 2 = 0 
III. 0,3x = 0,1 
 
Sobre as soluções dessas equações é verdade que 
em 
a) II são números irracionais. 
b) III é número irracional. 
c) I e II são números reais. 
d) I e III são números não reais. 
e) II e III são números racionais. 
 
9. (Uel 94) Os valores de m, para os quais a equação 
3x£-mx+4=0 tem duas raízes reais iguais, são 
a) - Ë5 e 2Ë5 
b) - 4Ë3 e 4Ë3 
c) 3Ë2 e -3Ë2 
d) 2 e 5 
e) - 6 e 8 
 
10. (Uel 96) Sabe-se que os números reais ‘ e ’ são 
raízes da equação x£-kx+6=0, na qual k Æ IR. A 
equação do 2° grau que admite as raízes ‘+1 e ’+1 
é 
a) x£ + (k+2)x + (k+7) = 0 
b) x£ - (k+2)x + (k+7) = 0 
c) x£ + (k+2)x - (k+7) = 0 
d) x£ - (k+1)x + 7 = 0 
e) x£ + (k+1)x + 7 = 0 
 
11. (Unesp 96) Seja "a" uma raiz da equação 
x£+2x+c£=0, em que c é um número real positivo. Se 
o discriminante dessa equação é menor que zero, 
então |a| é igual a 
a) c. 
b) 2c. 
c) c£. 
d) 2c£. 
e) c/2. 
 
12. (Unesp 96) Para todo número real 'a', o número '-
a' chama-se oposto de 'a' e para todo número real 'a', 
a·0, o número 1/a chama-se inverso de a. Assim 
sendo, determine todos os números reais x, x·1, tais 
que o inverso do oposto de (1-x) seja x+3. 
 
13. (Unesp 96) Dada a equação x£ + x - Ë(2) = 0, 
calcule a soma dos inversos de suas raízes. 
 
14. (Uece 96) Se x e x‚ são as raízes da equação 
3x£-2x-8=0, sendo x<x‚, então 3x‚£-2x•-8 é igual a: 
a) 2/3 
b) 8/3 
c) 16/3 
d) 20/3 
 
 
15. (Mackenzie 96) Se A = {x Æ IR tal que (4 - x£) / (4 
- 2Ñ) µ 0} e 
B = A º R_ , então os pontos (x, y) pertencentes a B 
x B definem no plano uma região de área: 
a) 1. 
b) 4. 
c) 9. 
d) 16. 
e) 25. 
 
 
 
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16. (Faap 96) Um reservatório de água está sendo 
esvaziado para limpeza. A quantidade de água no 
reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter 
começado é dada por: 
 
 V = 50 (80 - t)£ 
 
A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 
primeiras horas de escoamento é: 
a) 281.250 litros 
b) 32.350 litros 
c) 42.500 litros 
d) 38.750 litros 
e) 320.000 litros 
 
17. (Ufpe 95) Se a equação y=Ë(2x£+px+32) define 
uma função real y=f(x) cujo domínio é o conjunto dos 
reais, encontre o maior valor que p pode assumir. 
 
18. (Fei 96) A equação x£ - x + c = 0 possui duas 
raízes reais "r" e "s" tais que r=2s. Os valores de "r" e 
"s": 
a) 2/3 e 1/3 
b) 2 e 1 
c) -1/3 e -1/6 
d) -2 e -1 
e) 6 e 3 
 
19. (Cesgranrio 90) Se a equação 10x£+ bx + 2 = 0 
não tem raízes reais, então o coeficiente b satisfaz a 
condição: 
a) -4Ë5 < b < 4Ë5. 
b) b < 4Ë5. 
c) b > 4Ë5. 
d) 0 < b < 8Ë5. 
e) -8Ë5 < b < 0. 
 
20. (Cesgranrio 90) Se x e x‚ são as raízes de 
x£+57x-228 =0, então (1/x)+(1/x‚) vale: 
a) - 1/4. 
b) 1/4. 
c) -1/2. 
d) 1/2. 
e) 1/6 ou -1/6. 
 
21. (Cesgranrio 90) Se as raízes da equação x£ + bx 
+ 27 = 0 são múltiplos positivos de 3, então o 
coeficiente b vale: 
a) 12. 
b) -12. 
c) 9. 
d) -9. 
e) 6. 
 
22. (Mackenzie 97) Se x e y são números naturais 
tais que y=(x£+3)/(x+2), então x + y vale: 
a) 15 
b) 10 
c) 12 
d) 9 
e) 8 
 
23. (Cesgranrio 90) Determine o parâmetro m na 
equação x£+mx+m£-m-12=0, de modo que ela tenha 
uma raíz nula e outra positiva. 
 
24. (Unicamp 98) O índice I de massa corporal de 
uma pessoa adulta é dado pela fórmula: I = M/h£ onde 
M é a massa do corpo, dada em quilogramas, e h é a 
altura da pessoa, em metros. O índice I permite 
classificar uma pessoa adulta, de acordo com a 
seguinte tabela: 
 
 
 
a) Calcule o índice I para uma mulher cuja massa é 
de 64,0kg e cuja altura 1,60m. Classifique-a segundo 
a tabela anterior. 
b) Qual é a altura mínima para que o homem cuja 
massa é de 97,2kg não seja considerado obeso? 
 
 
 
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25. (Fatec 98) Sejam VÛ o conjunto verdade da 
equação Ë(x+8).Ë(x+3)=6 e V½ o conjunto verdade 
da equação Ë[(x+8).(x+3)]=6 no conjunto universo 
U=IR. 
 
Sobre as sentenças 
 
I. VÛ = V½ 
II. VÛ Å V½ 
III. -12 È VÛ; 1 Æ VÛ º V½; -12 Æ V½ 
 
é verdade que 
a) somente a I é falsa. 
b) somente a II é falsa. 
c) somente a III é falsa. 
d) todas são verdadeiras. 
e) todas são falsas. 
 
26. (Fatec 98) Se a equação x£ - 10x + k = 0 tem uma 
raiz de multiplicidade 2, então o valor de k é 
a) 100 
b) 25 
c) 5 
d) 1e) 0 
 
27. (Ufmg 98) A soma de todas as raízes de 
f(x)=(2x£+4x-30)(3x-1) é 
a) -5/3 
b) 5/3 
c) -3/5 
d) 3/5 
 
 
28. (Mackenzie 98) A equação (3k - 1)x£ - (2k + 3)x + 
(k - 4) = 0, em x, com k·1/3, admite duas raízes reais 
a e b tais que a<1<b. O número de valores inteiros 
que k pode assumir é: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
29. (Unirio 98) Sejam x um número real tal que a 
soma do seu quadrado com o seu triplo é menor do 
que o próprio número mais três. Determine os valores 
de x que satisfazem a condição anterior. 
 
30. (Uel 98) A soma de um número racional não 
inteiro com o dobro do seu inverso multiplicativo é 
33/4. Esse número está compreendido entre 
a) 5 e 6 
b) 1 e 5 
c) 1/2 e 1 
d) 3/10 e 1/2 
e) 0 e 3/10 
 
31. (Unirio 99) A equação f(x)=0 possui S={-2,5}, 
U=IR. Logo, o conjunto-solução da desigualdade 
f(x)·0 é igual a: 
a) { x Æ IR | x · -2 ou x · 5 } 
b) { x Æ IR | x · -2 e x · 5 } 
c) { x Æ IR | x < -2 < ou x >5 } 
d) { x Æ IR | -2 < x < 5 } 
e) IR 
 
32. (Puccamp 99) Uma bola é largada do alto de um 
edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em 
relação ao solo, t segundos após o lançamento, é 
dada pela expressão h=-25t£+625. Após quantos 
segundos do lançamento a bola atingirá o solo? 
a) 2,5 
b) 5 
c) 7 
d) 10 
e) 25 
 
33. (Puc-rio 99) Quando o polinômio x£ + x - a tem 
raízes iguais? 
 
34. (Uff 99) Na divisão dos lucros com seus 20 
acionistas, uma empresa distribuiu R$600,00 entre os 
preferenciais e R$600,00 entre os ordinários. Sabe-se 
que cada acionista preferencial recebeu R$80,00 a 
menos do que cada acionista ordinário. 
Determine quantos acionistas preferenciais esta 
empresa possui. 
 
 
 
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35. (Uff 99) Classifique cada afirmativa abaixo, em 
verdadeira ou falsa, justificando. 
 
I) ¯ x Æ IR, x < 0, Ë-x sempre existe em R. 
 
II) ¯ x Æ IR, log (-x) não existe em R. 
 
III) ¯ x Æ IR, se (x - a)£ = (x - b)£ então a = b. 
 
IV) ¯ x Æ IR, 2-Ñ < 0. 
 
V) ¯ x Æ IR, |sen x| ´ 1. 
 
36. (Ufrrj 99) Encontre o conjunto das soluções reais 
do sistema a seguir. 
 
ýx£ = y£ 
þ 
ÿx£ + y£ + 1 = -2 (x + y) 
 
37. (Ufrrj 99) Encontre o conjunto das soluções reais 
da equação a seguir. 
 
x/(x£ - 5x + 6) + (x£ - 9)/[(x - 3)£] = 1 
 
38. (Ufv 99) Sendo 2Ñ + 2-Ñ = 7, o valor da expressão 
4Ñ + 4-Ñ é: 
a) 49 
b) 14 
c) 51 
d) 45 
e) 47 
 
39. (Ufv 99) As medidas da hipotenusa e de um dos 
catetos de um triângulo retângulo são dadas pelas 
raízes da equação x£-9x+20=0. A área desse 
triângulo é: 
a) 10 
b) 6 
c) 12 
d) 15 
e) 20 
 
40. (Unicamp 2000) A soma de dois números 
positivos é igual ao triplo da diferença entre esses 
mesmos dois números. Essa diferença, por sua vez, é 
igual ao dobro do quociente do maior pelo menor. 
 
a) Encontre esses dois números. 
 
b) Escreva uma equação do tipo x£ + bx + c = 0 cujas 
raízes são aqueles dois números. 
 
41. (Pucsp 2000) Se x e y são números reais tais que 
2x+y=8, o valor máximo do produto x.y é 
a) 24 
b) 20 
c) 16 
d) 12 
e) 8 
 
42. (Unb 2000) Para fazer o percurso de 195km de 
Brasília a Goiânia, dois ciclistas partem 
simultaneamente do mesmo local em Brasília. Um 
deles, mantendo uma velocidade média superior em 
4km/h à velocidade média do outro, chega ao destino 
exatamente 1 hora antes deste. Calcule, em km/h, o 
valor absoluto da soma das velocidades médias dos 
dois ciclistas durante esse percurso, desprezando a 
parte fracionária de seu resultado, caso exista. 
 
43. (Pucmg 2001) Os números m e n são as raízes da 
equação x£-2rx+r£-1=0. O valor de m£+n£ é: 
a) 2r + 1 
b) 2 + r 
c) r£ + 1 
d) 2 (r£ + 1) 
 
 
44. (Unesp 2002) Em uma loja, todos os CDs de uma 
determinada seção estavam com o mesmo preço, y. 
Um jovem escolheu, nesta seção, uma quantidade x 
de CDs, totalizando R$ 60,00. 
 
a) Determine y em função de x. 
 
b) Ao pagar sua compra no caixa, o jovem ganhou, de 
bonificação, 2 CDs a mais, da mesma seção e, com 
isso, cada CD ficou R$ 5,00 mais barato. Com 
quantos CDs o jovem saiu da loja e a que preço saiu 
realmente cada CD (incluindo os CDs que ganhou)? 
 
 
 
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45. (Pucsp 2002) Um funcionário de certa empresa 
recebeu 120 documentos para arquivar. Durante a 
execução da tarefa, fez uma pausa para um café e, 
nesse instante, percebeu que já havia arquivado 1/(n-
1) do total de documentos (n Æ IN - {0, 1}). 
Observou também que, se tivesse arquivado 9 
documentos a menos, a quantidade arquivada 
corresponderia a 1/(n+2) do total. A partir do instante 
da pausa para o café, o número de documentos que 
ele ainda deverá arquivar é 
a) 92 
b) 94 
c) 96 
d) 98 
e) 100 
 
46. (Unicamp 2002) Uma transportadora entrega, com 
caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido a 
problemas operacionais, em um certo dia cada 
caminhão foi carregado com 500kg a menos que o 
usual, tendo sido necessário, naquele dia, alugar 
mais 4 caminhões. 
 
a) Quantos caminhões foram necessários naquele 
dia? 
 
b) Quantos quilos transportou cada caminhão naquele 
dia? 
 
47. (Puccamp 2001) Em agosto de 2000, Zuza gastou 
R$192,00 na compra de algumas peças de certo 
artigo. No mês seguinte, o preço unitário desse artigo 
aumentou R$8,00 e, com a mesma quantia que 
gastou em agosto, ele pode comprar duas peças a 
menos. Em setembro, o preço de cada peça de tal 
artigo era 
a) R$ 24,00 
b) R$ 25,00 
c) R$ 28,00 
d) R$ 30,00 
e) R$ 32,00 
 
48. (Fei 99) Uma das raízes da equação x£-x-a=0 é 
também raiz da equação x£+x-(a+20)=0. Qual é o 
valor de a? 
a) a = 10 
b) a = 20 
c) a = -20 
d) a = 90 
e) a = -9 
 
49. (Ufpi 2000) Seja f: IR ë IR a função definida por: 
 
ýf(x) = x£ - 1, se x < 1 
þ 
ÿf(x) = - x£ + 2x, se x µ 1 
 
A equação f(x) = 0 possui: 
a) 1 solução 
b) 2 soluções 
c) 3 soluções 
d) 4 soluções 
e) nenhuma solução 
 
50. (Puc-rio 2000) A diferença entre as raízes do 
polinômio x£+ax+(a-1) é 1. Quanto vale a? 
 
51. (Ufal 2000) As afirmações seguintes referem-se a 
uma equação da forma ax£+bx+c=0, com a, b, c 
constantes reais e a·0 
 
( ) A equação dada sempre tem duas raízes reais. 
( ) A equação dada pode ter duas raízes reais 
iguais. 
( ) Se b£ - 4ac < 0, a equação tem duas raízes 
complexas. 
( ) Se b£ - 4ac < 0, a equação não tem raízes. 
( ) A equação dada pode ter duas raízes não reais 
e iguais. 
 
52. (Ufc 2000) O teorema de Ptolomeu afirma que 
"em todo quadrilátero convexo inscritível a soma dos 
produtos das medidas dos lados opostos é igual ao 
produto das medidas das diagonais". Use esse 
teorema para mostrar que: se d e Ø representam, 
respectivamente, as medidas da diagonal e do lado 
de um pentágono regular, então d/Ø=(1+Ë5)/2. 
 
53. (Uflavras 2000) Calcule o valor de x na expressão 
 
 Ëx + Ë[x - Ë(1 - x)] =1 
 
 
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54. (Uflavras 2000) Uma empreiteira destinou 
originalmente alguns operários para a construção de 
uma obra de 72m£. Como 4 deles foram demitidos 
antes do início da obra, os demais tiveram que 
trabalhar 9m£ a mais cada um para compensar. 
 
a) Qual o número de operários originalmente 
designadospara a obra? 
 
b) Qual a porcentagem de operários demitidos? 
 
55. (Ufpe 2000) Os alunos de uma turma resolveram 
comprar um presente custando R$ 48,00 para o 
professor de Matemática, dividindo igualmente o 
gasto entre eles. Depois que 6 alunos recusaram-se a 
participar da divisão, cada um dos alunos restantes 
teve que contribuir com mais R$ 0,40 para a compra 
do presente. Qual a percentagem de alunos da turma 
que contribuíram para a compra do presente? 
a) 85% 
b) 65% 
c) 60% 
d) 80% 
e) 75% 
 
56. (Ufpel 2000) Se y é uma constante e x e x‚ são 
raízes da equação x£+6x.cosy+9=0 em U=C 
(Conjunto dos Números Complexos), o módulo de 
(x+x‚) é 
a) 3 (sen y + cos y) 
b) 18 
c) 6 sen y 
d) 3 cos y 
e) 6 cos y 
 
57. (Mackenzie 2001) Para que a equação kx£ + x + 1 
= 0, com k inteiro e diferente de zero, admita uma raiz 
inteira, deveremos ter k igual a: 
a) -4 
b) 2 
c) 4 
d) -2 
e) 8 
 
58. (Ufmg 2002) O quadrado da diferença entre o 
número natural x e 3 é acrescido da soma de 11 e x. 
O resultado é, então, dividido pelo dobro de x, 
obtendo-se quociente 8 e resto 20. 
A soma dos algarismos de x é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 2 
 
 
59. (Fgv 2002) A soma das raízes da equação (x£-
2xË2+Ë3).(x£-xË2-Ë3)=0 vale: 
a) 0 
b) 2Ë3 
c) 3Ë2 
d) 5Ë6 
e) 6Ë5 
 
60. (Fuvest 2003) No segmento åè, toma-se um 
ponto B de forma que AB/BC = 2 BC/AB. Então, o 
valor de BC/AB é: 
 
 
 
 
 
 
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61. (Fuvest 2003) As soluções da equação 
 
 
onde a · 0, são: 
a) -a/2 e a/4 
b) -a /4 e a/4 
c) -1/2a e 1/2a 
d) -1/a e 1/2a 
e) -1/a e 1/a 
 
62. (Ufrrj 2004) Se a e b são raízes não nulas da 
equação x£-6ax+8b=0, calculando 2a+b, temos 
a) 5. 
b) 42. 
c) 48. 
d) 56. 
e) 40. 
 
63. (Pucpr 2005) Sejam "x" e "x‚" números reais, 
zeros da equação 
(2 - k)x£ + 4kx + k + 1 = 0. 
Se x > 0 e x‚ < 0, deve-se ter: 
a) k > 0 
b) 0 < k < 3 
c) k < -1 ou k > 2 
d) -1 < k < 2 
e) k > 2 
 
64. (Ufc 2006) O produto das raízes reais da equação 
4x£ - 14x + 6 = 0 é igual a: 
a) - 3/2 
b) - 1/2 
c) 1/2 
d) 3/2 
e) 5/2 
 
65. (Ufrrj 2006) A soma de dois números é 6, e a 
soma de seus quadrados é 68. O módulo da 
diferença desses dois números é 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10. 
 
66. (Pucrj 2006) Ache um valor de m tal que as duas 
soluções da equação x(x + 1) = m (x + 2) sejam 
iguais. 
 
67. (Fatec 98) Seja a equação x£ + 4 = 0 no conjunto 
Universo U=C, onde C é o conjunto dos números 
complexos . 
Sobre as sentenças 
 
I. A soma das raízes dessa equação é zero. 
II. O produto das raízes dessa equação é 4. 
III. O conjunto solução dessa equação é {-2,2} 
 
é verdade que 
a) somente a I é falsa. 
b) somente a II é falsa. 
c) somente a III é falsa. 
d) todas são verdadeiras. 
e) todas são falsas. 
 
 
 
 
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GABARITO 
 
1. 01 + 04 + 16 = 21 
 
2. [D] 
 
3. -1 
 
4. [D] 
 
5. [B] 
 
6. [D] 
 
7. [B] 
 
8. [A] 
 
9. [B] 
 
10. [B] 
 
11. [A] 
 
12. x = -1 + Ë5 ou x = -1 -Ë5 
 
13. Ë2/2 
 
14. [D] 
 
15. [B] 
 
16. [D] 
 
17. 16 
 
18. [A] 
 
19. [A] 
 
20. [B] 
 
21. [B] 
 
22. [D] 
 
23. m = - 3 
 
24. a) I = 25 e a mulher é levemente obesa. 
b) A altura mínima é 1,8 m. 
 
25. [A] 
 
26. [B] 
 
27. [A] 
 
28. [B] 
 
29. -3 < x < 1 
 
30. [E] 
 
31. [B] 
 
32. [B] 
 
33. a = - 0,25 
 
34. O número de acionistas preferenciais é 15. 
 
35. I) Verdadeira pois Ë-x para ser um número real, -
xµ0 ë x´0 Portanto, para todo x Æ IR, Ë-x existe 
em IR. 
 
II) Falsa pois log(-x) para ser um número real, -x>0 
ë x<0 Portanto existe x Æ IR÷* para o qual log(-x) 
existe. 
 
III) Verdadeira, pois (x-a)£=(x-b)£ ë x£-2ax+a£=x£-
2bx+b£ 
ý2a = 2b 
þ 
ÿa£ = b£ 
 
ýa = b 
þ ë a = b 
ÿa = •b 
 
IV) Falsa pois 2-Ñ=1/2Ñ e 2Ñ>0, ¯ x Æ IR. Então 
2-Ñ>0, ¯ x Æ IR. 
 
V) Verdadeira, pois -1´sen x´1, ¯ x Æ IR. 
 
36. V = {[(-2-Ë2)/2, (-2-Ë2)/2], [(-2+Ë2)/2, (-2+Ë2)/2]} 
 
37. V = {12/7} 
 
 
 
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38. [E] 
 
39. [B] 
 
40. a) 8 e 4 
 
b) x£ - 12x + 32 = 0 
 
41. [E] 
 
42. 56 
 
43. [D] 
 
44. a) y = 60/x. 
 
b) 6 CDs e R$ 10,00. 
 
45. [C] 
 
46. a) 24 
 
b) 2.500 kg 
 
47. [E] 
 
48. [D] 
 
49. [B] 
 
50. a = 1 ou a = 3 
 
51. F V V F F 
 
52. Considere a figura: 
 
 
 
Sejam Ø e d respectivamente as medidas do lado e da 
diagonal do pentágono regular. 
Aplicando o Teorema de Ptolomeu ao quadrilátero 
BCDE temos d£=Ø£+Ød. Daí d£-Ød-Ø£=0 e portanto 
 
d = [Ø • Ë(Ø£ + 4Ø£)]/2 
d = (Ø • Ø Ë5)/2. 
 
Como d > 0, temos d = (Ø • Ø Ë5)/2 e assim 
d/Ø=(1+Ë5)/2. 
 
53. V = {16/25} 
 
54. a) 8 operários 
 
b) 50 % 
 
55. [D] 
 
56. [E] 
 
57. [D] 
 
58. [A] 
 
59. [C] 
 
60. [B] 
 
61. [E] 
 
62. [D] 
 
63. [C] 
 
64. [D] 
 
65. [E] 
 
66. m = - 3 + Ë8 ou m = - 3 - Ë8 
 
67. [C] 
 
 
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1. Limites
Considere a função 
1
1)(
2
−
−
==
x
xxfy . )(xf é definida no domínio }1/{ ≠ℜ∈ xx . 
Fatorando o numerador e cancelando os fatores comuns, obtemos 1+= xy , uma forma 
simplificada para 1≠x . 
Portanto, o gráfico de )(xfy = é a reta 1+= xy sem o ponto (1, 2). Embora )1(f não esteja 
definido, podemos obter valores de )(xf muito próximos de 2. Para isto, basta escolhermos para x 
valores bem próximos de 1.
Na proximidade esquerda de x = 1 temos:
x f(x)
0 1
0,5 1,5
0,9 1,9
0,99 1,99
0,999 1,999
0,9999 1,9999
 y
 2
 1
 -1 0 1 2 x
Na proximidade direita de x = 1 temos:
x f(x)
2 3
1,5 2,5
1,1 2,1
1,01 2,01
1,001 2,001
1,0001 2,0001
 y
 2
 1
 -1 0 1 2 x
1.1 Tendência de uma variável.
 x x x
1,8 2,5 2,5
1,89 2,1 1,89
1,956 2,04 2,04
1,9934 2,015 1,956
1,9995 2,007 2,007
1,99994 2,0003 1,9995
2,0 2,0 2,0
x 2,0- x 2,0+ x 2,0 + 
Aquele que sabe o que quer já percorreu um longo caminho para alcança-lo. (Harold Shermam)
1
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1.2 Limites laterais de uma função.
Considere a função 
2
)2)(43()(
−
−+
==
x
xxxfy . )(xf é definida no domínio}2/{ ≠ℜ∈ xx . 
Fatorando o numerador e cancelando os fatores comuns, obtemos 43 += xy , uma forma 
simplificada para 2≠x . 
Portanto, o gráfico de )(xfy = é a reta 43 += xy sem o ponto (2, 10). Embora )2(f não 
esteja definido, podemos obter valores de )(xf muito próximos de 10. Para isto, basta escolhermos 
para x valores bem próximos de 2.
Na proximidade esquerda de x = 2 temos:
x f(x)
1 7
1,5 8,5
1,9 9,7
1,99 9,97
1,999 9,997
1,9999 9,9997
 y
 10
 
 4
 0 1 2 x
Na proximidade direita de x = 2 temos:
x f(x)
3 13
2,5 11,5
2,1 10,3
2,01 10,03
2,001 10,003
2,0001 10,0003
 y
 10
 
 4
 0 1 2 x
Dizemos que a função 
2
)2)(43()(
−
−+
=
x
xxxf tem limite 10 quando x se aproxima de 2, por
números maiores ou menores que 2 e escrevemos:
10
2
)2)(43(lim
2
=
−
−+
→ x
xx
x
Dizemos que 
f(x) fica muito próximo de 10 quando x se aproxima de 2, ou ainda que
f(x) tem limite 10 ( f(x) tende para 10 ) quando x  2 ( x tende para 2 ).
Aquele que sabe o que quer já percorreu um longo caminho para alcança-lo. (Harold Shermam)
2
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Dizemos que 
f(x) tem limite lateral a esquerda igual a 10 quando x  2-.
f(x) tende para 10 quando x tende para 2 e x < 2.
f(x) tem limite lateral a direita igual a 10 quando x  2+.
f(x) tende para 10 quando x tende para 2 e x > 2.
E escrevemos
10
2
)2)(43(lim
2
=
−
−+
−→ x
xx
x
,
10
2
)2)(43(lim
2
=
−
−+
+→ x
xx
x
Alguns limites podem ser encontrados por substituição direta ou mediante uma simplificação.
Exemplo 01: Considere a função 25)( +== xxfy . Então 
12225)25(lim)(lim
22
=+×=+=
−− →→
xxf
xx
(limite lateral a esquerda)
12225)25(lim)(lim
22
=+×=+=
++ →→
xxf
xx
(limite lateral a direita)
12225)25(lim)(lim
22
=+×=+=
→→
xxf
xx
Exemplo 02: Considere a função 2,
2
8)(
3
≠
−
−
== x
x
xxfy . Observe que
42
2
)42)(2(
2
8 223 ++=
−
++−
=
−
− xx
x
xxx
x
x
A fatoração de 83 −x pode ser obtida mediante o algoritmo de Ruffini. Veja logo abaixo.
12)42(lim)
2
8(lim)(lim 2
2
3
22
=++=
−
−
=
−−− →→→
xx
x
xxf
xxx
(limite lateral a esquerda)
12)42(lim)
2
8(lim)(lim 2
2
3
22
=++=
−
−
=
+++ →→→
xx
x
xxf
xxx
(limite lateral a direita)
12)42(lim)
2
8(lim)(lim 2
2
3
22
=++=
−
−
=
→→→
xx
x
xxf
xxx
Aquele que sabe o que quer já percorreu um longo caminho para alcança-lo. (Harold Shermam)
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Algoritmo de Briot-Ruffini: Divisão de 83 −x por x – 2.
x3 x2 x C
x - 2 1 0 0 -8
2 1 (2x1+0) = 2 (2x2+0) = 4 (2x4-8) = 0
1 2 4 0
Resultado da divisão: 422 ++ xx
1.3 Limite de uma função.
Dizemos que a função f tem limite L quando x se aproxima de a, se o valor de f(x) se aproxima
do número L.
Denotamos esse fato por: Lxf
ax
=
→
)(lim
Também costumamos dizer que 
L é o limite de f(x) quando x tende para a.
Dizemos que existe o limite )(lim xf
ax →
 quando existem os limites laterais
 )(lim xf
ax −→
, )(lim xf
ax +→
 e )(lim)(lim xfxf
axax +− →→
= . 
Neste caso, )(lim)(lim)(lim xfxfxf
axaxax +− →→→
==
Exemplo 03: Calcule os limites laterais e o limite da função )(xf quando x  0, caso existam.
 



>+
=
<−
=
04
00
01
)(
2
2
xsex
xse
xsex
xf
1101lim )(lim 2
00
−=−=−=
−− →→
xxf
xx
4404lim )(lim 2
00
=+=+=
++ →→
xxf
xx
Como )(lim )(lim
00
xfxf
xx +− →→
≠ , então )(lim
0
xf
x →
 não existe.
Exemplo 04: Calcule o limite da função f(x) quando x -> 0, caso exista.
||
)(
x
xxf =
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Desde que 

<−
≥
=
0 se 
0 se 
| |
xx
xx
x , temos que
11limlim )(lim
000
−=−=
−
=
−−− →→→ xxx x
xxf , 
11limlim )(lim
000
===
+++ →→→ xxx x
xxf , logo
 )(lim
0
xf
x →
 não existe.
1.4 Utilização em Administração
• Determinação de valores máximos e mínimos
• Auxílio na confecção de gráficos
• Determinação do custo e receitas marginais
1.5 Teoremas sobre Limites
(1) Teorema da unicidade: 
Se existe )(lim xf
ax →
, então este limite é único.
Dada uma função f(x), se 1)(lim Lxf
ax
=
→
 e 2)(lim Lxf
ax
=
→
, então, L1=L2. 
Em palavras, só existe um único limite para uma função em um determinado ponto.
(2) Limite da função constante:
Se c é uma constante, então, para qualquer número a, o limite de c quando x tende 
para a é igual a c 
cc
ax
=
→
lim
O valor do limite para qualquer ponto de uma função constante f(x) = c é o próprio valor 
de c.
O limite de uma função constante é a própria constante.
Exemplo 05: 55lim
3
=
→x
; 55lim
0
=
→x
; 55lim
2
=
−
→x
(3) Limite da função identidade:
O limite da função identidade xxf =)( , quando ax → , é igual a a 
Aquele que sabe o que quer já percorreu um longo caminho para alcança-lo. (Harold Shermam)
5
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ax
ax
=
→
lim
Exemplo 06: 3lim
3
=
→
x
x
; 0lim
0
=
→
x
x
; 3lim
3
−=
−
→
x
x
(4) Limite da função afim: 
Se m e b são constantes quaisquer, então, bmabmx
ax
+=+
→
lim
O limite de uma função afim (1o grau) em um determinado ponto é o valor da função no 
ponto.
Exemplo 06: 23320345)35(lim
4
=+=+×=+
→
x
x
;
208128)3(4)84(lim
3
=+=+−×−=+−
−
→
x
x
(5) Limite da soma:
O limite da soma é a soma dos limites 
)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax →→→
+=+
Exemplo 07: 23)35(lim
4
=+
→
x
x
8)84(lim
4
−=+−
→
x
x
)84(lim)35(lim)]84()35[(lim
444
+−++=+−++
→→→
xxxx
xxx
 15823 =−=
(6) Limite da diferença:
O limite da diferença é a diferença dos limites 
)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax →→→
−=− 
Exemplo 08: 23)35(lim
4
=+
→
x
x
8)84(lim
4
−=+−
→
x
x
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)84(lim)35(lim)]84()35[(lim
444
+−−+=+−−+
→→→
xxxx
xxx
 31)8(23 =−−=
(7) Limite do produto:
O limite do produto é o produto dos limites 
)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax →→→
×=×
Exemplo 09: 23)35(lim
4
=+
→
x
x
8)84(lim
4
−=+−
→
x
x
)84(lim)35(lim)]84()35[(lim
444
+−×+=+−×+
→→→
xxxx
xxx
 184)8(23 −=−×=
(8) Limite do produto de uma constante por uma função:
)(lim))((lim xgkxgk
axax →→
=
É um caso particular do limite do produto, basta fazer kxf =)(
(9) Limite do quociente: 
O limite do quociente é o quociente dos limites: 
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
→
→
→
=
Exemplo 10: 23)35(lim
4
=+
→
x
x
8)84(lim
4
−=+−
→
x
x
875,2
8
23
)84(lim
)35(lim
84
35lim
4
4
4
−=
−
=
+−
+
=
+−
+
→
→
→ x
x
x
x
x
x
x
(10) Limite da potência: 
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O limite da potência inteira nxf )]([ é a potência inteira do limite da função 
n
ax
n
ax
xfxf )](lim[)]([lim
→→
=
Exemplo 10: 3)175(lim
4
=−
→
x
x
2433)]175(lim[)175(lim 55
4
5
4
==−=−
→→
xx
xx
(11) Limite da raiz n-ésima: 
O limite da raiz n-ésima n xf )]([ é a raiz n-ésima do limite da função:
 n
ax
n
ax
xfxf )](lim[)]([lim
→→
=
Exemplo 11: 3)175(lim
4
=−
→
x
x
33 53 5
4
3 5
4
2433)]175(lim[)175(lim ==−=−
→→
xx
xx
Exemplos: 
Exemplo 12: Se xxf =)( , temos:
3lim)(lim
33
==
→→
xxf
xx
0lim)(lim
00
==
→→
xxf
xx
3lim)(lim
33
−==
−
→
−
→
xxf
xx
 
Exemplo 13: Se 10)( =xf , temos:
1010lim)(lim
33
==
→→ xx
xf
1010lim)(lim
00
==
→→ xx
xf
1010lim)(lim
33
==
−
→
−
→ xx
xf 
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Exemplo 14: Se xxf −= 3)( , temos:
033lim3lim)3(lim)(lim
3333
=−=−=−=
→→→→
xxxf
xxxx
 
Exemplo 15: Se 75)( 2 −+= xxxf , temos:
 
77007lim5limlim)75(lim)(lim
00
2
0
2
00
−=−+=−+=−+=
→→→→→ xxxxx
xxxxxf
Exemplo 16: Se )4)(14()( 32 +−+= xxxxf , temos:
=+−+=+−+=
→→→→
)4(lim)14(lim)]4)(14[(lim)(lim 3
2
2
2
32
22
xxxxxxxf
xxxx
 
1321211)48)(184()4limlim)(1lim4limlim(
2
3
222
2
2
=×=+−+=+−+=
→→→→→ xxxxx
xxx 
Exemplo 17: Se 
1
1)( 2
2
+
−
=
x
xxf , temos:
5
4
10
8
19
19
1limlim
1limlim
1lim
1lim
1
1lim
3
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
==
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
→→
→→
→
→
→
xx
xx
x
x
x x
x
x
x
x
x
Exemplo 18: Se 43 )2()( xxxf += temos:
813)21()2limlim()]2(lim[)2(lim 444
1
3
1
43
1
43
1
==+=+=+=+
→→→→
xxxxxx
xxxx
Exemplo 19: Se 
1
1)( 3
3
+
−
=
x
xxf temos: 
9
7
18
18
1lim
1lim
1
1lim
1
1lim 3
2
3
2
3
3
23
3
2
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
→
→
→→ x
x
x
x
x
x
x
x
xx
1.5 Exercícios: 
Calcule, se existir, os limites: 
)73(lim.1 5 −xx )25(lim.2 4 +− xx
)12(lim.3 22 −− xxx )542(lim.4
2
3 +− xxx
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)8(lim.5 32 +− xx )432(lim.6
23
1 −+−− xxxx
15
54lim.7 3
−
−
x
x
x 18
43lim.8 2
−
+
x
x
x
62
5lim.9
2
2 +
−
x
x
x 43
12lim.10 21 +−
+
− xx
x
x
3
18lim.11 1 +
+
x
x
x 1
43lim.12 3
2
1
−
++
− x
xx
x
7
49lim.13
2
7
−
−
x
x
x 5
25lim.14
2
5 +
−
− x
x
x
32
94lim.15
2
2
3
+
−
− x
x
x 19
13lim.16 2
3
1
−
−
x
x
x
492
1683lim.17 2
2
4 +−
−−
xx
xx
x 36254
20173lim.18 2
2
4 +−
+−
xx
xx
x
2
8lim.19
3
2 +
+
− x
x
x 1
1lim.20
3
1
−
−
x
x
x
372
9lim.21 2
2
3 ++
−
− xx
x
x 94
278lim.22 2
3
2
3
−
−
x
x
x
1
1lim.23 1
−
−
x
x
x 1
25lim.24 1 +
−+
− x
x
x
x
x
x
22lim.25 0
−+
1
1lim.26
3
1
−
−
x
x
x
23
10lim.27 2
23
0 ++
+−−
xx
xxx
x 562
32lim.28 23
2
0
−++
−−
xxx
xx
x



≥−
<≤−
−<+
=
39
334
39
)(
2
2
xsex
xse
xsex
xffunçãoaDada 
 )(lim)29(
3
xfCalcule
x −→
)(lim)30(
0
xfCalcule
x →
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)(lim)31(
3
xfCalcule
x →
Calcule, se existir, os limites 
 |)|(lim)1(
1
xx
x
−
−→
|)|(lim)2(
1
xx
x
−
+→
|)|(lim)3(
1
xx
x
−
→
 
||
lim)4(
0 x
x
x −→
||
lim)5(
0 x
x
x +→ ||
lim)6(
0 x
x
x →
1
1lim)7(
2
1
−
−
−→ x
x
x 1
1lim)8(
2
1
−
−
+→ x
x
x
1
1lim)9(
2
1
−
−
→ x
x
x


<+
≥−
=
→ 02
02
)()(lim)10(
0 xsex
xsex
xfparaxfCalcule
x
 


<−
≥+−
=
→ 012
012
)()(lim)11(
0 xsex
xsex
xfparaxfCalcule
x
 
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1.6 Limites infinitos.
Dizemos que a função f tem limite infinito (+∞) quando x se aproxima de a, se o valor de f(x) 
se torna muito grande.
Denotamos esse fato por: + ∞=
→
)(lim xf
ax
Também costumamos dizer que 
+∞ é o limite de f(x) quando x tende para a.
Dizemos que a função f tem limite menos infinito (-∞) quando x se aproxima de a, se o valorde 
f(x) se torna negativo e muito grande em valor absoluto.
Denotamos esse fato por: − ∞=
→
)(lim xf
ax
Também costumamos dizer que 
- ∞ é o limite de f(x) quando x tende para a.
Exemplo 20: Considere a função 0 ,1)( ≠= x
x
xf
x f(x)
-1 -1
-0,5 -2
-0,1 -10
-0,01 -100
-0,001 -1000
-0,0001 -10000
x f(x)
1 1
0,5 2
0,1 10
0,01 100
0,001 1000
0,0001 10000
Podemos dizer então que:
 − ∞===
−→→ −− 0
11lim)(lim
00 x
xf
xx
+ ∞===
+→→ ++ 0
11lim)(lim
00 x
xf
xx
Exemplo 21: Calcule os limites laterais e o limite da função )(xf quando x  0, caso existam, 
onde:
(a) 0 ,1)( 2 ≠= xx
xf b) 0 ,1)( 3 ≠= xx
xf
(a) + ∞=== +→→ −− 0
11lim)(lim 200 x
xf
xx
e + ∞===
+→→ ++ 0
11lim)(lim 200 x
xf
xx
;
Então, + ∞==
→→ 200
1lim)(lim
x
xf
xx
1
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(a) − ∞===
−→→ −− 0
11lim)(lim 300 x
xf
xx
e + ∞===
+→→ ++ 0
11lim)(lim 300 x
xf
xx
;
Então, existenão
x
xf
xx
 1lim)(lim 300 == →→
Gráfico de 0 ,1)( 2 ≠= xx
xf
Gráfico de 0 ,1)( 3 ≠= xx
xf
Se r é um número inteiro positivo, então 
− ∞===
−→→ −− 0
11lim)(lim
00 rxx x
xf se r for impar;
+ ∞===
+→→ −− 0
11lim)(lim
00 rxx x
xf se r for par e
+ ∞===
+→→ ++ 0
11lim)(lim
00 rxx x
xf qualquer que seja r par ou 
impar;
1.7 Exercícios: 
Calcule, se existir, os limites: 
2
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4
2lim)01( 22
−
+
x
x
x 22 )2(
2lim)02(
−
+−
x
x
x
x
x
x
2
0
3lim)03( + 2
2
0
3lim)04(
x
x
x
+
3
9lim)05(
2
3
−
−
x
x
x 4
16lim)06(
2
4
−
−
x
x
x
)11(lim)07( 20 xxx
− )
4
1
2
1(lim)08( 22
−
−
− xxx
1.8 Propriedades: 
(1) Se + ∞=)(lim xfax e cxgax =)(lim , onde c é uma constante, então 
 + ∞=++ ∞=+ cxgxfax )]()([lim
(2) Se + ∞=)(lim xfax e cxgax =)(lim , onde c é uma constante, então 
 + ∞=−+ ∞=− cxgxfax )]()([lim
(3) Se − ∞=)(lim xfax e cxgax =)(lim , onde c é uma constante, então 
 − ∞=+− ∞=+ cxgxfax )]()([lim
(4) Se − ∞=)(lim xfax e cxgax =)(lim , onde c é uma constante, então 
 − ∞=−− ∞=− cxgxfax )]()([lim
Exemplo 22: Se + ∞=20
1lim
xx
 e 33lim0 =+xx , então 
+ ∞=++ ∞=++ 331lim 20 xxx
(5) Se + ∞=)(lim xfax e cxgax =)(lim , onde c é uma constante qualquer diferente 
de zero, então 
(i) ⇒> 0c + ∞=×+ ∞=× cxgxfax )]()([lim
(ii) ⇒< 0c − ∞=×+ ∞=× cxgxfax )]()([lim
Exemplo 23: Se + ∞=20
1lim
xx
 e 33lim0 =+xx , então 
3
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+ ∞=×+ ∞=+× 3)3()1(lim 20 xxx
(6) Se − ∞=)(lim xfax e cxgax =)(lim , onde c é uma constante qualquer diferente 
de zero, então 
(i) ⇒> 0c − ∞=×− ∞=× cxgxfax )]()([lim
(ii) ⇒< 0c + ∞=×− ∞=× cxgxfax )]()([lim
Exemplo 23: Se − ∞=− 20
1lim
xx
 e 33lim0 =+xx , então 
− ∞=×− ∞=+×− 3)3()1(lim 20 xxx
Exemplo 24: Se a é um número qualquer não nulo, então 
axax
11lim = 
Exemplo 25: Como − ∞==
−
−
0
11lim0 xx
 e + ∞==
+− 0
11lim0 xx
, então 
 
xx
1lim0 não existe.
1.9 Exercícios: 
1
12lim)01(
2
1
−
+−
− x
xx
x x
x
x
24lim)02( 0
−+
322
lim)03( 231 +−− xxx
x
x 5
2lim)04( 5 +− xx
xx /10 21
1lim)05(
+
+
1.10 Limites no infinito.
Se os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de um número L, a medida que x cresce 
indefinidamente, então dizemos que
Lxfx =∞+ )(lim
Analogamente, se os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de um número L, a medida 
que x dcresce indefinidamente, então dizemos que
Lxfx =∞− )(lim
1.11 Exercícios 
4
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Determinar os limites das seguintes funções quando ∞→− ∞→ xex :
3
9.1
2
−
−
x
x
4
16.2
2
+
−
x
x
65
96.3 2
2
++
+−
xx
xx
2
2
)3(
9.4
−
−
x
x
16
)4(.5 2
2
−
+
x
x
54
556.6 2
2
−+
−−
xx
xx
7
49.7
2
−
−
x
x
5
25.8
2
+
−
x
x
32
94.9
2
+
−
x
x
19
13.10 2
−
−
x
x
492
1683.11 2
2
+−
−−
xx
xx
36254
20173.12 2
2
+−
+−
xx
xx
2
8.13
3
+
+
x
x
1
1.14
3
−
−
x
x
1
1.15
−
−
x
x
1
25.16
+
−+
x
x
x
x 22.17 −+
1
1.18
3
−
−
x
x
96.19 2 +− xx 985.20 2 +−− xx
9
12
85.20 2 +
+−
−−
x
xx
xx
xx 9
1
85.21 2
2 +
−
−−
984
985.22 2
2
++
+−−
xx
xx
1.12 Funções contínuas.
5
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Dizemos que y = f(x) é contínua no ponto x= a se
(1) existe o limite de f(x) quando x  a
(2) y = f(x) está definida no ponto x = a
(3) )()(lim afxf
ax
=
→
Exemplo 26: A função 2)( xxf = é contínua no ponto x = 0 pois
(1) 0lim)(lim 2
00
==
→→
xxf
xx
(2) 00)0( 2 ==f
(3) )0(0lim)(lim
2
00
fxxf
xx
===
→→
Exemplo 27: A função 0 ,1)( ≠= x
x
xf não é contínua no ponto x = 0 pois
(1) existenão
x
xf
xx
 1lim)(lim
00
==
→→
, pois
+ ∞=
+→ xx
1lim
0
 e − ∞=
−→ xx
1lim
0
1.13 Exercícios 
Verifique se as seguintes funções são contínuas nos pontos indicados:
2)()1 xxf = 3)()2 xxf =
xxf 2)()3 = xxf −= 2)()4
585)()5 2 +−= xxxf 1,1
1
1)()6 2 −≠
−
= x
x
xf
1
4)()7
2
−
−
=
x
xxf
1
1
1
1)()8
+
+
−
=
xx
xf
1,1,0 −=== xxxpontosnos
Verifique se as seguintes funções são contínuas nos pontos indicados:
13)()1 −= xxf 1=xpontono
||1)()2 xxf += 0=xpontono
6
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0,||)()3 ≠= x
x
xxf 0=xpontono
1)0(0,
1
1)()4
2
=≠
−
−
= fex
x
xxf 0=xpontono
0,13)()5 ≠+= x
x
xf 0=xpontono
x
xf 13)()6 −= 0=xpontono
x
xxf
85
47)()7
−
−
=8
5,0 −== xxpontosnos
585
47)()8 2 +−
−
=
xx
xxf
8
5,0 −== xxpontosnos
58
472)()9
2
+
−+
=
x
xxxf
8
5,0 −== xxpontosnos
14)7(,
7
49)().10
2
=
−
−
= f
x
xxf 7,7 −== xxpontosnos
14)7(,
49
7)().11 2 =
−
−
= f
x
xxf 7,7 −== xxpontosnos
9)5(,
5
25)()12
2
−=−
+
−
= f
x
xxf 5,5 −== xxpontosnos
10
1)5(,
25
5)()13 2 −=−
−
+
= f
x
xxf 5,5 −== xxpontosnos
32
94)()14
2
+
−
=
x
xxf 3
2,
3
2
−== xxpontosnos
94
32)()15 2
−
+
=
x
xxf
3
2,
3
2
−== xxpontosnos
2
1)
3
1(,
19
13)()16 2 =
−
−
= f
x
xxf
3
1,
3
1
−== xxpontosnos
7
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2
1)
3
1(,
19
13)()17 2 =
−
−
= f
x
xxf
3
1,
3
1
−== xxpontosnos
2
1)1(,
1
1)()18 =
−
−
= f
x
xxf 1=xpontono
2
1)1(,
1
1)()19 =
−
−
= f
x
xxf 1=xpontono
0)1(,
1
25)()20 =−
+
−+
= f
x
xxf 1−=xpontono
0)1(,
25
1)()21 =−
−+
+
= f
x
xxf 1−=xpontono
1)0(,22)()22 =−+= f
x
xxf 0=xpontono
1)0(,
22
)()23 =
−+
= f
x
xxf 0=xpontono
8
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1.6 Descontinuidades
Descontinuidade Infinita
Uma função tem descontinuidade infinita em x = a, se f(x) tende para infinito (positivo ou 
negativo) nesse ponto.
Exemplo 28: A função 0 ,1)( ≠= x
x
xf tem descontinuidade infinita no ponto x = 0 pois
+ ∞=
+→ xx
1lim
0
 e − ∞=
−→ xx
1lim
0
Neste caso, o salto é igual a + ∞=∞++ ∞=− ∞−+ ∞=−
−+ →→
)(1lim 1lim
00 xx xx
Descontinuidade de Salto
Uma função tem descontinuidade de salto em x = a, quando f(x) varia abruptamente neste 
ponto (x = a).
Exemplo 29: A função 0 ,||)( ≠= x
x
xxf tem descontinuidade de salto no ponto x = 0 pois
1||lim
0
=
+→ x
x
x
 e 1||lim
0
−=
−→ x
x
x
Neste caso, o salto é igual a 211)1(1||lim ||lim
00
=+=−−=−
−+ →→ x
x
x
x
xx
1
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Descontinuidade Removível
Quando existe )(lim xf
ax →
, mas )(xf não está definida em a.
Exemplo 30: A função 2 ,)( ≠= xxxf tem descontinuidade removível no ponto x = 2 pois
2lim
2
=
→
x
x
 e )(xf não está definida no ponto x = 2.
1.7 Exercícios
Determine os tipos de descontinuidades das seguintes funções:


>+
≤+
=
3 ,102
3 ,32
)( )1(
xx
xx
xf 3 ,
3
65)( )2(
2
−≠
+
++
= x
x
xxxf
2/3 ,
32
94)()3(
2
−≠
+
−
= x
x
xxf 3/1 ,
19
13)()4( 2 −≠
−
−
= x
x
xxf
1.8 Propriedades
Se f e g são funções contínuas em x = a, então:
f + g é contínua em x = a;
f - g é contínua em x = a;
f x g é contínua em x = a;
f / g é contínua em x = a, desde que g(a) ≠ 0.
1.9 Continuidade em um intervalo
Uma função é contínua em um intervalo aberto, se e somente se ela for contínua para todo 
número do intervalo aberto.
Em um intervalo fechado ou semi-aberto, devemos estender o conceito de continuidade para 
incluir os extremos, definindo:
2
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– Continuidade à direita
– Continuidade à esquerda
Continuidade à direita
Uma função f é contínua à direita de x = a, se e somente se:
(1) existe f(a)
(2) existe )(lim xf
ax +→
(3) )()(lim afxf
ax
=
+→
Continuidade à esquerda
Uma função f é contínua à esquerda de x = a, se e somente se:
(1) existe f(a)
(2) existe )(lim xf
ax −→
(3) )()(lim afxf
ax
=
−→
Uma função é contínua em [a,b] se e somente se:
– for contínua no intervalo aberto (a,b)
– for contínua à direita em a
– for contínua à esquerda em b
Exemplo 31: A função 2)( xxf = é contínua no intervalo ]2 ,0[ pois 
– é contínua no intervalo )2 ,0( ;
– é continua a direita em 0, pois
(1) 0)0( =f
(2) 0lim)(lim 2
00
==
++ →→
xxf
xx
(3) )0()(lim
0
fxf
x
=
+→
– é continua a esquerda em 2, pois
(1) 42)2( 2 ==f
(2) 42lim)(lim 22
22
===
−− →→
xxf
xx
(3) )2()(lim
2
fxf
x
=
−→
1.10 Assíntota Horizontal
Dizemos que a reta y = b (b constante) é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f, 
se pelo menos uma das afirmações for verdadeira:
(1) bxf
x
=
∞+→
)(lim
(2) bxf
x
=
∞−→
)(lim
3
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Exemplo 32: A função xexf −=)( tem assíntota horizontal dada pela função 0)( =xf , pois 
0lim =−
∞+→
x
x
e .
Dizemos que a reta x = a (a constante) é uma assíntota vertical do gráfico de uma função f, se 
pelo menos uma das afirmações for verdadeira:
(1) + ∞=+→
)(lim xf
ax
(2) − ∞=+→
)(lim xf
ax
(3) + ∞=
−→
)(lim xf
ax
(4) − ∞=
−→
)(lim xf
ax
Exemplo 34: A função 2)2(
1)(
−
=
x
xf tem assíntotas verticais em x = 2, pois a função não 
existe no ponto x = 2 e 
(1) + ∞==
−
−→ − 0
1
)2(
1lim 22 xx
(2) + ∞==
−
+→ + 0
1
)2(
1lim 22 xx
4
Exemplo 33: A função xexf =)( tem assíntota 
horizontal dada pela função 0)( =xf , pois 
0lim =
∞−→
x
x
e .
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Exemplo 35: A função 3
1)(
x
xf = tem assíntotas verticais em x = 0, pois a função não existe 
no ponto x = 0 e 
(1) − ∞==
−→ − 0
11lim 30 xx
(2) + ∞==
+→ + 0
11lim 30 xx
Exemplo 36: Determine para quais valores de x a A função 
1
1)(
−
=
x
xf é descontínua, 
classificando o tipo de descontinuidade, esboçando seu gráfico e possíveis assíntotas. 
Determinação dos pontos de descontinuidade: 
1 01 =⇒=− xx , logo a função tem descontinuidade em 1 =x .
Determinação das assíntotas verticais e dos tipos de descontinuidade:
+ ∞==
−
+→ + 0
1
1
1lim
1 xx
− ∞==
−
−→ − 0
1
1
1lim
1 xx
A reta 1 =x é uma assíntota vertical.
A função tem descontinuidadeinfinita em 1 =x ( ))(salto ∞=− ∞−+ ∞= .
Determinação das assíntotas horizontais e dos tipos de descontinuidade:
01
1
1lim =
∞+
=
−
∞+→ xx
01
1
1lim =
∞−
=
−
∞−→ xx
A reta 0 =y é uma assíntota horizontal.
Exemplo 37: Determine para quais valores de x a função 
3
65)(
2
+
++
=
x
xxxf é descontínua, 
classificando o tipo de descontinuidade, esboçando seu gráfico e possíveis assíntotas.
5
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Determinação dos pontos de descontinuidade: 
3 03 −=⇒=+ xx , logo a função tem descontinuidade em 3 −=x .
Determinação das assíntotas verticais e dos tipos de descontinuidade:
123)2(lim
3
65lim
3
2
3
−=+−=+=
+
++
++
−
→
−
→
x
x
xx
xx
123)2(lim
3
65lim
3
2
3
−=+−=+=
+
++
−−
−
→
−
→
x
x
xx
xx
Neste caso, a função tem descontinuidade removível em 3 −=x , pois )(lim 3 xfx −→ 
existe. Logo, não existe assíntota vertical em 3 −=x .
Acabaríamos com a descontinuidade redefinindo a função em 3 −=x como –1, isto é, 
1(-3) −=f .
Determinação das assíntotas horizontais e dos tipos de descontinuidade:
∞=++ ∞=+=
+
++
∞+→∞+→
2)2(lim
3
65lim
2
x
x
xx
xx
− ∞=+− ∞=+=
+
++
∞−→∞−→
2)2(lim
3
65lim
2
x
x
xx
xx
A função )( xfy = não tem assíntota horizontal. 
Veja o gráfico de )( xfy = a seguir:
6
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Exemplo 38: Determine para quais valores de x a função 



>
−−
≤≤−
−<−
=
3 se ,
12
1
32 se ,3
2 se ,2
)(
2 xxx
x
xx
xf é 
descontínua, classificando o tipo de descontinuidade, esboçando seu gráfico e possíveis assíntotas.
Determinação dos pontos de descontinuidade: 
Como 2)( −= xxf é contínua para todo 2<x , 3)( =xf é contínua no intervalo 
32 <<− x e 
12
1)( 2
−−
=
xx
xf é contínua para todo 3>x , então devemos verificar a 
descontinuidade nos pontos 2 =x e 3 =x . 
Comecemos por 2 =x :
422)2(lim )(lim
22
−=−−=−=
−−
−
→
−
→
xxf
xx
33lim )(lim
22
==
++
−
→
−
→ xx
xf 
Como )(lim )(lim
22
xfxf
xx +− −→−→
≠ , o limite não existe e a função tem 
descontinuidade de salto em 2 =x .
743)4(3Salto =+=−−= .
Vejamos agora em 3 =x :
33lim )(lim
33
==
−− →→ xx
xf
2
1
12
1lim )(lim 233 =
−−
=
++ →→ xx
xf
xx
 
Como )(lim )(lim
33
xfxf
xx +− →→
≠ , o limite não existe e a função tem descontinuidade 
de salto em 3 =x .
Essa função não possui assíntotas verticais pois
422)2(lim )(lim
22
−=−−=−=
−−
−
→
−
→
xxf
xx
33lim )(lim
22
==
++
−
→
−
→ xx
xf 
7
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33lim )(lim
33
==
−− →→ xx
xf
2
1
12
1lim )(lim 233 =
−−
=
++ →→ xx
xf
xx
 
Determinação das assíntotas horizontais e dos tipos de descontinuidade:
− ∞=−− ∞=−=
∞−→∞−→
2)2(lim )(lim xxf
xx
01
12
1lim )(lim 2 =
∞+
=
−−
=
∞+→∞+→ xx
xf
xx
A reta 0)f( =x é uma assíntota horizontal.
1.11 Teoremas
Teorema do confronto: Sejam )f( x , )g( x e )h( x funções tais que )()()f( xgxhx ≤≤ 
para todo x num mesmo intervalo contendo um ponto a . Se Lxgxf
axax
==
→→
)(lim )(lim , então 
Lxh
ax
=
→
 )(lim .
Teoremas fundamentais: 
1 )sen(lim =
→ x
x
ax
 e
x
x
x
=


+
∞→
11lim b
x
b x
x
ln1lim
0
=
−
→
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2 - Derivadas
Considere um carro se movendo de acordo com o gráfico abaixo, onde a posição, y, é 
medida em quilômetros e o tempo, x, é medido em horas:
y=15 y=55 y=95 y=135 y=175
x=0 x=1 x=2 x=3 x=4
- A posição inicial do carro é o km 15;
- A cada intervalo de 1 hora, o carro se desloca 40km.
- Podemos encontrar a posição y em função do tempo x:
y = y(x) = 15 + 40x
Qual a taxa de variação do espaço percorrido por unidade de tempo? Ou ainda: qual a 
velocidade do carro?
134231201 =−=−=−=−=∆ x
401351759513555951555 =−=−=−=−=∆ y
Para dois instantes quaisquer, digamos x=2 e x=5 teremos as posições correspondentes 
y=95 e y=215. Portanto,
325 =−=∆ x
12095215 =−=∆ y
40
3
120
==
∆
∆
x
y
 
mede a taxa de variação do espaço percorrido por unidade de tempo ou ainda, a 
velocidade do carro.
2.1 - Taxa média de variação
Seja y uma função definida num conjunto D e x1 e x2 dois pontos de D. Quando a 
variável x passa do valor x1 para o valor x2 sofrendo uma variação ∆x = x2 – x1, o 
correspondente valor da função passa de f(x1) para o valor f(x2) sofrendo, portanto, uma 
variação ∆y = f(x2) - f(x1).
1
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∆x = x2 – x1
∆y = f(x2) - f(x1)
O quociente
12
12 )()(
xx
xfxf
x
y
−
−
=
∆
∆
recebe o nome de taxa média de variação da função y = f(x) quando x passa do valor x1 
para o valor x2.
Exemplo: 1) Seja f(x) = 3x+1, com x real. Calcule a taxa de variação média de f(x) em relação 
a x no intervalo: (a) [3, 5] (b) [3, 3,1]
 (c) [3, 3,01] (d) [3, 3,001]
Exemplo: 2) Seja f(x) = x2+1, com x real. Calcule a taxa de variação média de f(x) em relação 
a x no intervalo: (a) [1, 2] (b) [1, 1,1]
(c) [1, 1,01] (d) [1, 1,001]
Exemplo: 3) Seja f(x) = x2+3x+1, com x real. Calcule a taxa de variação média de f(x) em 
relação a x no intervalo: (a) [2, 4] (b) [2, 2,1]
(c) [2, 2,01] (d) [2, 2,001]
Exemplo: 4) Seja f(x) = x3+1, com x real. Calcule a taxa de variação média de f(x) em relação 
a x no intervalo: (a) [-1, 5] (b) [-1, -1,1]
(c) [-1, -1,01] (d) [-1, -1,001]
2.2 - Derivada de uma função num ponto
A taxa de variação instantânea do espaço percorrido é a velocidade instantânea, dada 
por:
∆x = x – x1  x = x1 + ∆x
∆y = f(x) - f(x1) = f(x1 + ∆x) – f(x1) 
x
xfxxf
x
y
xx ∆
−∆+
=
∆
∆
→∆→∆
)()(
limlim 11
00
O limite, 
x
xfxxf
x
y
xx ∆
−∆+
=
∆
∆
→∆→∆
)()(
limlim 11
00
quando existe, recebe o nome de derivada da função f no ponto x1 .
Exemplo: 5) Seja f(x) = 3x+1, com x real. Calcule a taxa devariação instantânea de f(x) em 
relação a x no ponto: (a) x = -1 (b) x = 1 (c) x = - 3 (d) x = 3
Exemplo: 6) Seja f(x) = 3x+1, com x real. Calcule a taxa de variação instantânea de f(x) em 
relação a x no ponto: (a) x = -1 (b) x = 1 (c) x = - 3 (d) x = 3
Exemplo: 7) Seja f(x) = x2+3x+1, com x real. Calcule a taxa de variação instantânea de f(x) em 
relação a x no ponto: (a) x = -1 (b) x = 1 (c) x = - 3 (d) x = 3
2
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Exemplo: 8) Seja f(x) = x3+1, com x real. Calcule a taxa de variação instantânea de f(x) em 
relação a x no ponto: (a) x = -1 (b) x = 1 (c) x = - 3 (d) x = 3
Exemplo: 9) Seja f(x) = x2+1, com x real. Calcule a taxa de variação instantânea de f(x) em 
relação a x num ponto genérico.
Exemplo: 10) Seja f(x) = x3+1, com x real. Calcule a taxa de variação instantânea de f(x) em 
relação a x num ponto genérico.
2.3 - Função derivada
Seja f uma função derivável em todo ponto x de um intervalo aberto I. A função definida 
por
x
xfxxf
x
yxf
xx ∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
)()(limlim)´(
00
é chamada de derivada da função f no ponto x
2.3.1 – Interpretação geométrica
Notações para a função derivada
x
xfxxf
x
yxfyD
dx
dyy
xxx ∆
−∆+
=
∆
∆
====
→∆→∆
)()(limlim)´(´
00
Regras de derivação
Função simples Derivada
(1) f(x) = k f´(x) = 0
kxf =)(
kxxf =∆+ )(
0)()( =−∆+ xfxxf
3
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0)()( =
∆
−∆+
x
xfxxf
0)´(00lim)()(lim 00 =⇒==∆
−∆+
∆∆ xfx
xfxxf
xx
(2) f(x) = x f´(x) = 1
xxf =)(
xxxxf ∆+=∆+ )(
xxxxxfxxf ∆=−∆+=−∆+ )()(
1)()( =
∆
∆
=
∆
−∆+
x
x
x
xfxxf
1)´(11lim)()(lim 00 =⇒==∆
−∆+
∆∆ xfx
xfxxf
xx
(3) f(x) = x2 f´(x) = 2x
2)( xxf =
222 2)()( xxxxxxxxf ∆+∆+=∆+=∆+
)2(22)()( 2222 xxxxxxxxxxxxfxxf ∆+∆=∆+∆=−∆+∆+=−∆+
xx
x
xxx
x
xfxxf ∆+=
∆
∆+∆
=
∆
−∆+ 2)2()()(
xxfxxx
x
xfxxf
xx 2)´(2)2(lim
)()(lim 00 =⇒=∆+=∆
−∆+
∆∆
(4) f(x) = x3 f´(x) = 3x2
3)( xxf =
32233 33)()( xxxxxxxxxxf ∆+∆+∆+=∆+=∆+
32233223 3333)()( xxxxxxxxxxxxxfxxf ∆+∆+∆=−∆+∆+∆+=−∆+
)33()()( 22 xxxxxxfxxf ∆+∆+∆=−∆+
22
22
33)33()()( xxxx
x
xxxxx
x
xfxxf ∆+∆+=
∆
∆+∆+∆
=
∆
−∆+
xxfxxxxx
x
xfxxf
xx 2)´(3)33(lim
)()(lim 22200 =⇒=∆+∆+=∆
−∆+
∆∆ 
(5) f(x) = xn f´(x) = n xn-1
4
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(5) f(x) = xα f´(x) = α xα-1
(6) f(x) = ex f´(x) = ex
(7) f(x) = ln x f´(x) = x
1
(8) f(x) = ax f´(x) = ax lna
(9) f(x) = sen x f´(x) = cos x
(10) f(x) = cos x f´(x) = - sen x
(11) f(x) = tg x f´(x) = sec2 x
Exemplo: 11) Calcular a função derivada de 
(a) y = 3 (b) y = x 
(c) y = x2 + 1 (d) y = x3
(e) y = x4 – 5x3 + 1 (f) y = x5 + 3x4 – 4x3
(g) y = x6 (h) y = x7- x5 - 7x3 – 4x
(i) y = x8 (j) y = x200 
(k) y = x0,3 (l) y = x1000
Exemplo: 12) Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos sugeridos:
1. f(x) = |x| para x = 0 e x = 2
2. 

>+
≤+
=
3 para ,5
3 para ,2
)(
xx
xx
xf nos pontos x = 0, x = 3 e x = 6
Se uma função é contínua em um ponto, isso não implica dizer que ela tem derivada 
nesse ponto.
Se uma função tem derivada em um ponto, isso implica em dizer que a função é contínua 
nesse ponto.
Função composta Derivada
(12) f(x) = u(x) + v(x) f´(x) = u´(x) + v´(x)
(13) f(x) = u(x) − v(x) f´(x) = u´(x) − v´(x)
5
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(14) f(x) = u(x) . v(x) f´(x) = u´(x) v(x) + u(x) v´(x)
(15) f(x) = k . u(x) f´(x) = k . u´(x)
(16) f(x) = )(
)(
xv
xu
f´(x) = 2)(
)´().()().´(
xv
xvxuxvxu −
Exercícios: 1) Calcular a derivada de cada uma das funções seguintes, nos pontos 
indicados.
(1) f(x) = 5, x = 4 (2) f(x) = x
1 , x = -2
(3) f(x) = 2x + 5, x = -3 (4) f(x) = 1 - x2, x = 0
(5) f(x) = x2 + 4, x = 
2
1 (6) f(x) = 3x2 + 10x - 5, x = 4
(7) Seja 0,
1)( ≠= x
x
xf , com x real. Ache a taxa de variação instantânea de y 
em relação a x para: (a) x1 = 1 (b) x1 = -1
(8) Seja 0,
1)( 2 ≠= xx
xf , com x real. Ache a taxa de variação instantânea de y 
em relação a x num ponto genérico.
(9) Dada a função 23)( 2 ++= xxxf , com x real. 
(a) Ache a inclinação da reta tangente a curva (ao gráfico) num ponto genérico. 
(b) Use o resultado da parte (a) para achar a inclinação da reta tangente a 
curva no ponto (2, 12).
(10) Dada a função 0,
1)( 2 ≠= xx
xf , com x real. 
(a) Ache a inclinação da reta tangente a curva (ao gráfico) num ponto (1, 1). 
(b) Achar a inclinação da reta tangente a curva num ponto genérico.
(11) Dada a função 23)( 2 ++= xxxf , com x real, ache a equação da reta 
tangente a curva (ao gráfico) no ponto (1, 6). 
(12) Ache a derivada em relação a x da função 2)( 3 +−= xxxf . 
6
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(13) Ache a derivada em relação a x da função ))(()( 33 xxxxxf +−= . 
(14) Ache a derivada em relação a x da função 1,0)( 3
3
−≠
+
−
= x
xx
xxxf . 
(15) Ache a derivada em relação a x da função xxxf −= 3)( . 
(16) Ache a derivada em relação a x da função 
xx
xf
+
=
3
1)( . 
Exercícios: 2) Calcular a derivada de cada uma das funções seguintes.
(1) f(x) = 5 (2) f(x) = 2x + 5
(3) f(x) = x2 + 4 (4) f(x) = 1 - x2
(5) f(x) = 3x2 + 10x – 5 (6) f(x) = 5x7 – 8x5 + 3x2 + 10x – 5
(7) f(x) = (10x – 5)(2x – 5) (8) f(x) = (3x2 + 10x – 5)( x2 + 4) 
(9) f(x) = (x5 – 5)( x4 + 4)
(10) f(x) = (x7 – 3x5 + 3x2 – 10x – 5)( x6 – 5x5 + 3x4 – x2 + 4)
(11) f(x) = x
1 (12) f(x) = 
1
1
−
−
x
x
(13) f(x) = 
1
1
2
2
+
−
x
x (14) f(x) = 
1
1
2
2
−−
++
xx
xx
(15) f(x) = x5 - 3x4 + 6x3 - 8x2 + 10x – 3
(16) f(x) = 5 ex + 2 e-x (17) f(x) = 2 ln x + 5x – 3
(18) f(x) = 5 sen x - 4 cos x (19) f(x) = sen x cos x
(20) f(x) = x
x
cos
sen (21) f(x) = ex sen x ln x cos x
(22) f(x) = 
xx
xe x
cosln
sen
7
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(23) f(x) = 8x2 sen x + 10x cos x – 3 sen x cos x
(24) f(x) = 
xxxx
xxxx
sen3cos
cos8sen7
42
23
−
+
(25) f(x) = xxx
x
ex
xxe
15cos10
coslnsen
+
−
(26) f(x) = 
))((
)1)((
5457
35
xxxx
xxx
−+
−−
(27) f(x) = 
xx
xxxx
x
x
5
5)43)(23(
1 2
2
+
−
+−−+
+
(28) 35,023 125010
5
2
3
4)( xxxxxf +++−=
(29) xxxxf )8,0.(5,0
10
206)(
24
+
+−
=
(30) f(x) = xx xxe 2ln105 3 −+−
(31) xxxx xexxxxxf −−−−++−+−−= 2)
2
1(ln105333ln
4
3
2
1)( 3420
xxxe
x
x
x
xxf xxx ln5sen10cosln
4
)()32(
2
+−−+
+
=
Regra da cadeia: Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da função 
composta ))(()( xhgxf = é dada pela fórmula
)´())(´()´( xhxhgxf ×=
Se z = f(y) e y = h(x), então:
dx
dy
dy
dz
dx
dz
×=
8
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Exercícios: 3) – Calcular a derivada das seguintes funções:
(1) 4)3()( += xxf
(2) 12.3)( += xexf
(3) f(x) = 2x3 + 4x -3 
(4) 32
1
5)22(3)( −−+= xxxf
(5) )5)()22(3()( 32
1
−+= xxxf
(6) 2
3
4
32)(
x
xxxf +=
(7) )32sen()( 3 xxxf +=
(8) )3sen(sen)( 2 xxxf +=
(9) xx eexf sen)( sen +=
(10) )1sen(5)( 2 += xxf
(11) )493ln()( 2 ++= xxxf
(12) Use a regra da cadeia para calcular 
dt
dz
, quando:
(a) z = 3x2y3, sendo x = t4 e y = t2;
(b) z = 3cost − sin (xy), sendo x = 1/t e y = 3t;
(c) z = e1−xy, sendo x = t1/3 e y = t3.
9
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4 - Derivação implícita.
Considere a função y = f(x) definida por x = y2. Então,
´21)()(1)()( 22 yyy
dx
dy
dy
dy
dx
dx
dx
d
=⇒=⇒=
Uma função explícita de y em x expressa explicitamente y em termos de x e podem ser 
diferenciadas (ou derivadas) de acordo com as regras estudadas até agora.
Uma função implícita (algumas equações do tipo f(x,y) = 0) não podem explicitar y em 
relação a x.
Exemplo: 022 =+− yxyx
0)()()( 222 =+−+ y
dx
dx
dx
d
dx
dyxyx
dx
d
0)()()( 222 =+−+
dx
dyy
dy
dx
dx
d
dx
dyxyx
dx
d
0'21'2 2 =+−+ yyyxxy
xyyyx 21')2( 2 −=+
)2(
21' 2 yx
xyy
+
−
=
Exercícios: 4) Calcular as derivadas das seguintes funções definidas implicitamente:
12)1( 2 =−+ xxyx 33)2( 32 =−+ xxyyx
xsenyy =+)3( yyx =cos)4(
1)5( 22 =+ yx 1cos)6( 22 =+ senxyyx
1)7( 3/23/2 =+ yx
5 - Diferencial de x e y
Até agora, 
dx
dy
 foi considerado como 
x
y
x ∆
∆
→∆ 0
lim . Em alguns casos é interessante interpretar 
dy e dx separadamente. Dessa forma, definimos:
1
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Diferencial de x : dx
Diferencial de y : dxxfdx
dx
dydy )('==
Exemplos: 1) Se 2xy = então xdxdxxfdy 2)(' ==
2) Se 45xy = então dxxdxxfdy 320)(' ==
3) 22 )
1()1(
x
dxdx
xx
d −=−=
4) dxxvxuxvxuuvd )](')()()('[)( +=
dxxvxudxxvxuuvd )(')()()(')( +=
udvvduuvd +=)(
5) Para ver como essa idéia funciona num caso simples, seja x o lado de um quadrado 
e y = x2 a sua área. Se cada lado aumenta de uma quantidade pequena h, então o incremento 
da área é 
xhxdxdxxfdy 22)(' ===
2
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6) Utilize o conceito de diferencial para calcular o valor de 3 1010 . Sabe-se que 
1010003 = .
3 xy =
dx
x
dxxfdy
3 23
1)(' ==
033,010 =⇒= dydx
033,10033,010033,010001010 33 =+=+=
6 - Derivadas sucessivas
A derivada da primeira derivada é a segunda derivada. A derivada da segunda derivada é a 
terceira derivada, e assim por diante.
derivadaprimeiradechamadaéxf )´(
derivadasegundadechamadaéxf )´´(
derivadaterceiradechamadaéxf )´´´(
derivadaquartadechamadaéxf )(4
derivadaésimandechamadaéxf n −)(
Notações da derivada de ordem n:
yDyxf
dx
yd n
x
nn
n
n
===
)()(
Ex. Calcular as derivadas de ordem superior de 10)( 234567 +++++++= xxxxxxxxf
1234567)´( 23456 ++++++= xxxxxxxf
10612203042)´´( 2345 +++++= xxxxxxf
3
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62460120210)´´´( 234 ++++= xxxxxf
24120360840)´´´( 23 +++= xxxxf
1207202520)( 24 ++= xxxf
7205040)(5 += xxf
5040)(6 =xf
0)(7 =xf
Ex. Calcular as derivadas de ordem superior de xxf sen)( =
xxf cos)´( =
xxf sen)´´( −=
xxf cos)´´´( −=
xxf sen)(4 =
xxf cos)(5 =
xxf sen)(6 −=
xxf cos)(7 −=
xxf sen)(8 =
Exercícios: 12) – Calcular as derivadas sucessivas de cada uma das funções seguintes:
20)()1( =xf xxf =)()2(
2)()3( xxf = 3)()4( xxf =
7)()5( xxf = xexf =)()6(
xxf sen)()7( = xxf cos)()8( =
10)()9( 234567 −+−+−+−= xxxxxxxxf xxxf cossen)()10( +=
xxxf sen)()11( 7= xexxf 7)()12( =
xxxf cos)()13( 7= xexf x sen)()14( =
xexf x cos)()15( = )cos(sen)()16( xxexf x +=
4
)()17(
2
+
=
x
xxf
x
xxf ln)()18( =
xxxf 3ln)42()()19( +=
2
2
1
1)()20(
x
xxf
−
+
=
4
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xexf −=)()21(
4
)()22(
2
+
=
x
xxf
x
xxf ln)()23( = xxxf 3ln)42()()24( +=
2
2
1
1)()25(
x
xxf
−
+
= 3
)4(
)()26(
2
x
x
ex
exxf
−
−
+
=
xxf ln)()27( = xeexf xx 2ln)()28( 22 ++= −
7 - Aplicações do estudo de derivadas. Máximos e Mínimos. Pontos de inflexão.
A função f é dita crescente no ponto x se f’(x) > 0.
A função f é dita decrescente no ponto x se f’(x) < 0.
Exemplo: Ache o intervalo em que a função 73 2 += xy é crescente e o intervalo em que 
ela é decrescente.
xxf 6)(' =
0060)(' >⇒>⇒> xxxf
0060)(' <⇒<⇒< xxxf
Portanto, a função 73 2 += xy é crescente para 0>x e é decrescente para 0<x .
7.1 - Pontos de máximo e de mínimo
Dizemos que c é ponto de máximo relativo (ou local) da função f, se )()( xfcf ≥ para todo 
x pertencentea uma vizinhança de c. Nesse caso, dizemos que f (c) é o máximo relativo (ou local) da 
função f no ponto c.
5
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Dizemos que c é ponto de mínimo relativo (ou local) da função f, se )()( xfcf ≤ para todo 
x pertencente a uma vizinhança de c. Nesse caso, dizemos que f (c) é o máximo relativo (ou local) da 
função f no ponto c.
Observações: 
1. Se f(x) possui um máximo ou um mínimo relativo em x = c, então f’(c)=0
 
2. f’(c)=0 não implica na existência de um máximo ou de um mínimo relativo em x = c, 
mesmo que f(x) e f ’(x) sejam contínuas em c.
3. Um máximo ou um mínimo relativo no ponto c implica em f ’(c) = 0 somente se f e f ’ 
forem contínuas em c.
7.2 - Critérios para localização de pontos de máximo e de mínimo.
1. Calcule f’(x);
2. Encontre os pontos críticos da função: as raízes da equação f’(x) = 0 e/ou os pontos de 
descontinuidade (finita ou infinita);
6
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3. Verifique a mudança de sinal em torno dos pontos críticos:
Se f ’ (x) muda de + para –, então f(c) é um máximo relativo. 
Se f ´(x) > 0 para x < c e 
f ´(x) < 0 para x > c então c é um ponto de máximo de f(x).
Se f ’ (x) muda de – para +, então f(c) é um mínimo relativo. 
Se f ´(x) < 0 para x < c e 
f ´(x) > 0 para x > c então c é um ponto de mínimo de f(x).
Se f’ (x) não muda de sinal, então c é um ponto de inflexão.
Se f ´(x) < 0 para x < c e 
f ´(x) < 0 para x > c então c é um ponto de inflexão de f(x).
Se f ´(x) > 0 para x < c e 
f ´(x) > 0 para x > c então c é um ponto de inflexão de f(x).
7
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Exemplos:
1) Encontre os máximos e/ou mínimos relativos da seguinte função:
23)( 2 +−= xxxf
Solução: 32)(' −= xxf
5,10320)(' =⇒=−⇒= xxxf
2,0)6,1('2,1)4,1(' =⇒−= fef
Portanto, 5,1=x é um ponto de mínimo relativo.
2) Encontre os máximos e/ou mínimos relativos da seguinte função:
13)( 23 +−= xxxf
Solução: xxxf 63)(' 2 −=
200630)(' 2 ==⇒=−⇒= xouxxxxf
63,0)1,0(6)1,0(3)1,0(' 2 =−×−−×=−f
57,0)1,0(6)1,0(3)1,0(' 2 −=×−×=f
57,0)9,1(6)9,1(3)9,1(' 2 −=×−×=f
63,0)1,2(6)1,2(3)1,2(' 2 =×−×=f
Portanto, 0=x é um ponto de máximo relativo e 2=x é um ponto de mínimo relativo.
7.3 - Critérios para a determinação da concavidade e dos pontos de inflexão.
Se f´´(x) > 0 para todo x ε D, então f é tem a concavidade voltada para cima em D.
Se f´´(x) < 0 para todo x ε D, então f é tem a concavidade voltada para baixo em D.
8
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Se f ´´(x) > 0 para todo x < c e f ´´(x) < 0 para todo x > c, então c é um ponto de inflexão 
de f(x).
Se f ´´(x) < 0 para todo x < c e f ´´(x) > 0 para todo x > c, então c é um ponto de inflexão 
de f(x).
Exercícios: 13 – Estudar (1) o crescimento e o decrescimento, (2) as concavidades e os pontos de 
inflexão, (3) os pontos de máximo e de mínimo de cada uma das seguintes funções:
510)()1( += xxf 9)()2( 2 += xxf
65)()3( 2 −+−= xxxf 550
2
15
3
)()4( 2
3
++−= xxxxf
1)()5( 3 −= xxf 10
3
)()6(
3
4 +−=
xxxf
0,1)()7( 2 ≠= xx
xf xxexf −=)()8(
10
5
)()9( 4
5
+−= xxxf 5
35
)()10(
35
+−=
xxxf
21
1)()11(
x
xf
+
=
2
)()12( xexf −=
8 – Máximos e Mínimos Absolutos.
Dizemos que c é ponto de máximo absoluto da função f no intervalo [a, b], se f(c) > f(x) 
para todo x pertencente a esse intervalo. Nesse caso, dizemos que f(c) é o máximo absoluto da 
função no intervalo.
Dizemos que c é ponto de mínimo absoluto da função f no intervalo [a, b], se f(c) < f(x) para 
todo x pertencente a esse intervalo. Nesse caso, dizemos que f(c) é o mínimo absoluto da função no 
intervalo.
Exemplos: Encontre os extremos absolutos de y = 3x + 2
1. No intervalo [2, 5]
2. No intervalo [2, 5)
3. No intervalo (2, 5)
9
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Exercício: Encontre os máximos e mínimos da função 23)( 2 ++= xxxf
4. No intervalo [-3, 1]
5. No intervalo [-3, 1)
6. No intervalo (-3, 1)
9 - Critérios para localização de pontos de máximo e de mínimo com a derivada de segunda 
ordem.
Seja uma função f, derivável em 1a e 2a ordens em c, com f(x) e )(' xf contínuas. Então:
– Se 0)(' =cf e 0)('' >cf , c é um mínimo relativo;
– Se 0)(' =cf e 0)('' <cf , c é um máximo relativo;
– Se 0)(' =cf e 0)('' =cf , testar a vizinhança de c.
Exemplo: Dada a função 5)( 23 +−−= xxxxf , calcule seus extremos relativos e 
indique se são máximos ou mínimos.
5)( 23 +−−= xxxxf
123)(' 2 −−= xxxf
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1x3/101230)(' 2 =−=⇒=−−⇒= ouxxxxf
26)('' −= xxf
042)3/1(6)3/1('' <−=−−×=−f 
04216)1('' >=−×=f
A função 5)( 23 +−−= xxxxf , possui um máximo local em 3/1−=x e um 
mínimo local em 1=x .
Exemplo: Dada a função 3)( 3 += xxf , calcule seus extremos relativos e indique se são 
máximos ou mínimos.
3)( 3 += xxf
23)(' xxf =
0030)(' 2 =⇒=⇒= xxxf
xxf 6)('' =
0)0('' =f 
003,001,03)1,0(' >=×=−f
003,001,03)1,0(' >=×=f
O amor é a força mais poderosa que possui o mundo e, entretanto, ela é a mais humilde que 
se possa imaginar. Mahatma Gandhi
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Derivadas
Função Derivada
 f(x) f’(x) 
 x 1 
 x2 2x
 x3 3x2
 x4 4x3
 x5 5x4
......................................................
 xn nxn-1
 sen x cos x 
 cos x - sen xex ex
 ln x 1/x
 ax axlna
 tg x sec 2 x
Primitivas
Dizemos que F(x) é uma primitiva de f(x) se F´(x) = f(x)
Exemplos: (1) F(x) = x2 é uma primitiva de f(x) = 2x
(2) F(x) = x2 + 1 é uma primitiva de f(x) = 2x
(3) F(x) = x2 + 100 é uma primitiva de f(x) = 2x
(4) F(x) = x2 - 1000 é uma primitiva de f(x) = 2x
(5) F(x) = x2 + 2x + 1 é uma primitiva de f(x) = 2x + 2
(6) F(x) = x2 + 2x - 1 é uma primitiva de f(x) = 2x + 2
Função Primitiva
 f(x) F(x) 
 1 x + c 
 2x x2 + c
 3x2 x3 + c
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 4x3 x4 + c
 5x4 x5 + c
 ...............…......................................
 nxn xn+1 + c
 cos x sen x + c
 - sen x cos x + c
 ex ex + c
 1/x ln x
 axlna ax 
 sec 2 x tg x
Integrais Indefinidas
A integral indefinida de f em relação a x é o conjunto de todas as primitivas de f.
)()´()()( xfxFondeCxFdxxf =+=∫
Função Primitiva Integral indefinida
 f(x) F(x) ∫ dxxf )(
 1 x + c x + c
 2x x2 + c x2 + c
 3x2 x3 + c x3 + c
 4x3 x4 + c x4 + c
 5x4 x5 + c x5 + c
 ...........................................................…….......................................
 nxn xn+1 + c xn+1 + c
 cos x sen x + c sen x + c
 - sen x cos x + c cos x + c
 ex ex + c ex + c
 1/x ln x + c ln x + c
 axlna ax + c ax + c
 sec 2 x tg x + c tg x + c
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Se y = F(x) é uma função cuja derivada é conhecida, digamos, )()( xfxF
dx
d
= , podemos dizer que
CdxxfxF += ∫ )()(
)()( xfxF
dx
d
= ⇔ CdxxfxF += ∫ )()( (são igualdades equivalentes)
Exemplos: (1) Cx
n
dxxn
n
dxx nnn +
+
=+
+
=
+∫∫ 111)1(11
(2) Cxdxxdxx +−=−−= ∫∫ cossensen
(3) Cxsendxx +=∫ cos
(4) Cedxe xx +=∫
(5) Cxdx
x
+=∫ ln1
(6) Cxdx
x
+=∫ 21
Integrais imediatas
(1) Cxdxdx +== ∫∫ 1
(2) Cxdxx +=∫ 22
(3) Cxdxx +=∫ 323
(4) Cxdxx +=∫ 434
(5) Cxdxnx nn +=∫ − 1
(6) C
xdxxdxx +== ∫∫ 2221
2
(7) C
xdxxdxx +== ∫∫ 3331
3
22
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(8) C
xdxxdxx +== ∫∫ 4441
4
33
(9) C
n
xdxxn
n
dxx
n
nn +
+
=+
+
=
+∫∫ 1)1(11
1
(10) Cxdxx +=∫ sencos
(11) Cxdxxdxx +−=−−= ∫∫ cossensen
(12) Cedxe xx +=∫
(13) C
a
adxaa
a
dxa
x
xx +== ∫∫ lnlnln1
(14) Cxdx
x
+=∫ ln1
Propriedades da integral indefinida
(1) ∫∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
(2) ∫∫∫ −=− dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
(3) ∫∫ = dxxfkdxxkf )()(
(4) ∫∫∫ +=+ dxxgndxxfmdxxngxmf )()()()(
Integração termo a termo
(1) =+−=+− ∫∫∫∫ dxdxxdxxdxxx 5252 22
Cxxx ++− 5
3
2
3
(2) =+−=+− ∫∫∫∫ −− dxdxxdxxdxxx 5252 44
Cxxx ++− 5
3
2
3
(3) ∫ ∫ ∫∫ =+−=+− dxxdxxdxxdxxxx sen5cos2sen5cos2 3/23/2
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Cxxx +−− cos5sen2
3/5
3/5
(4) =+=+ ∫∫∫ dxxdxxdxxx 11
=+ ∫∫ − dxxdxx 2121
Cxx ++
2/12/3
2/12/3
(5) ∫ −−− +− dxxxx 3/43/23/2 4532
(6) ∫ + dxxx 3
(7) Resolver o problema de valor inicial 1)(,cossen)´( =+= pisttts
Cdttdttts ++= ∫∫ cossen)(
Cttts ++−= sencos)(
Como 1)( =pis temos
Cs ++−= pipipi sencos)(
0011 =⇒++= CC
Portanto,
ttts sencos)( +−=
A regra da potência na forma integral. Integração por substituição
 
dx
duxu =)´(  )´(xu
dx
du
=  dxxudu )´(=
CxuFCuFduufdxxuxuf +=+== ∫∫ ))((()()()´())((
C
n
xuC
n
uduudxxuxu
nn
nn +
+
=+
+
==
++∫∫ 1)(1)´()(
11
Exemplos:
(1) ∫ + dxxx 21 2
xdxdudxxuduxu 2)('1 2 =⇒=⇒+=
===+ ∫∫∫ duuduudxxx 212 21
CxCu ++=+
2/3
)1(
2/3
2/322/3
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(2) ∫ − dxx 14
(3) ∫ − dxx23 (4) ∫ − dxxx4 21
(5) ∫ − dxxx 2313 (6) ∫
−
dx
x 2)2(
3
(7) ∫ + dxx )57cos( (8) ∫ dxxx 32 sen
(9) ∫
+
dx
x
x )
13
2
2
(10) ∫ dxxe
x2
A Integral ∫ duu1
A equação 0,1ln >= u
dx
du
u
u
dx
d
conduz a fórmula
Cudu
u
+=∫ ln1
Se 0<u então Cuud
u
du
u
+−=−
−
= ∫∫ )ln()(11
Portanto Cudu
u
+=∫ ||ln1
Exemplos:
(1) ∫
−
dx
x
x
5
2
2 (2) ∫ dxtgx
(3) ∫ + dxx x 42 (4) ∫ − dxxxcos2 sen
(5) ∫ dxxx )3cos()3(sen5 (6) ∫ + dxxx )1sen( 2/32/1
Exercícios: 
(1) – Determine uma primitiva para cada uma das funções a seguir:
1) 6x 2) x7
3) x7 – 6x + 8 4) -3 x-4
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5) x-4 + 2x + 3 6) 3
3 1
x
x −
7) 3
3 1
x
x + 8) )3(3)( xsenxsen −pi
(02) Calcule as integrais nos seguintes exercícios:
1) ∫ − dxx 14 2) ∫ − dxxx 23 2
3) ∫ −− dxxx 311 22 4) ∫ − dxxx 34
5) ∫ − dxxx cos22 6) ∫ + dxxx 22
(03) Calcule, usando substituição, as integrais nos seguintes exercícios:
1) ∫ dxxsenx )( 32 2) ∫
−
dx
x
x
5
2
2
3) ∫ − dxxx 243 )1( 4) ∫
−
dx
x 2)2(
3
5) ∫ dxxe
x2
6) ∫ dxex x
1
2
1
(04) Resolver os problemas de valor inicial nos seguintes exercícios:
1) 3)1(,)13(12 32 =−= yxx
dx
dy
2) 3)1(,11 =+= y
xdx
dy
3) 1)0´(,2)0(,12
2
==+= yyx
dx
yd
4) 0)0´(,1)0(,22
2
===
− yye
dx
yd x
5) 1)0´´(,1)0´(,2)0(,13
3
==== yyy
dx
yd
6) 0)1´(,1)1(,1 22
2
=−=−= yye
dx
yd x
(05) Calcule as integrais nos seguintes exercícios:
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1) ∫ − dxxx )14( 22 2) ∫ + dxxx 42
3) ∫ − dxe x5 4) ∫ + dxee x
x1
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Integrais definidas
Considere uma função contínua arbitrária f(x) definida em um intervalo fechado [a, b]. 
Começe dividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos escolhendo n-1 pontos, digamos x1, 
x2, ... xn-1, entre a e b, sujeitos apenas a condição 
bxxxa n <<<<< − 121 ....
Para tornar a notação coerente, denote a por x0 e b por xn. 
O conjunto 
},,....,,,{ 1210 nn xxxxxP −= é chamado de partição de [a, b].
Seja 1−−=∆ kkk xxx
Selecione em cada subintervalo um número ck. Considere em cada subintervalo um retângulo 
com uma base no eixo x de valor kx∆ e que toca a curva y = f(x) em (ck, f(ck)). Veja gráfico abaixo.
Os retângulos permitem fazer uma aproximação para o cálculo da região que fica entre o 
gráfico da função y = f(x) e o eixo x.
Em cada subintervalo, formamos o produto kk xcf ƥ)( , que pode ser positivo, negativo ou 
nulo.
Por fim, tomamos a soma desses produtos: 
nnn xcfxcfxcfxcfs ƥ++ƥ+ƥ+ƥ= )(...)()()( 332211 <=>
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kk
n
k
n xcfs ∆•= ∑
=
)(
1
Esta soma, é chamada de soma de Riemann para f(x) no intervalo [a, b]
O limite 
kk
n
kn
nn
xcfS ∆•= ∑
=
∞→∞→
)(limlim
1
 
se existir, é chamado de integral definida de f em [a, b].
kk
n
kn
b
a
xcfdxxf ∆•= ∑∫
=
∞→
)(lim)(
1
Propriedades das Integrais definidas
(1) ∫∫ −= b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
(2) 0)( =∫a
a
dxxf
(3) ∫∫ = b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
(4) ∫∫∫ +=+ b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
(5) ∫∫∫ −=− b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
(6) ∫∫∫ =+ c
a
c
b
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Exemplo: Suponha que 5)(
1
1
=∫
−
dxxf , 2)(
4
1
−=∫ dxxf e 7)(1
1
=∫
−
dxxh .
Encontre (1) ∫1
4
)( dxxf
(2) ∫
−
+
1
1
)](3)(2[ dxxhxf 
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(3) ∫
−
4
1
)( dxxf
Exemplos: 1) Se f(x) = 1 então uma primitiva de f(x) é F(x) = x, logo
∫ −=−=×−=b
a
aFbFababdxxf )()(1)()(
2) Se f(x) = x então uma primitiva de f(x) é F(x) = x2/2, logo 
)()(
22222
)(
2
)( 22 aFbFabaabbaafbbfdxx
b
a
−=−=−=−=∫
Exercícios: 1) ∫ −1
4
)1( dxx 2) ∫ −1
0
)1( dxx
3) ∫ +1
0
2 )1( dxx 4) ∫− +1
1
2 )1( dxx
5) ∫
−
−−
0
1
23 )2( dxxxx 6) ∫
−
−−
2
2
23 )2( dxxxx
Teorema do valor médio para integrais definidas
Se f for contínua em [a, b], então em algum ponto c de [a, b],
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∫=−• b
a
dxxfabcf )()()(
Exemplo: Determine o valor médio de f(x) = 4 – x em [0, 3] e em que ponto do domínio dado 
realmente assume este valor.
∫=−• b
a
dxxfabcf )()()( <=> ∫
−
=
b
a
dxxf
ab
cf )(1)(
∫∫ −
−
=
−
==
3
0
)4(
03
1)(
)(
1)()( dxxdxxf
ab
cffM
b
a
2
5])
2
4()
2
4[(
3
1)(
0
2
3
2
=−−−=
== xx
xxxxfM
Teorema fundamental do Cálculo. Parte I
Se f for contínua em [a, b], então a função
∫= x
a
dttfxF )()( é derivável em todo ponto x em [a, b] e
∫ == x
a
xfdttf
dx
dxF )()()´(
Exemplo: (1) Determine ∫
−
=
x
dtt
dx
dxF
pi
)cos()´( .
(2) Determine ∫ +=
x
dt
tdx
dxF
0
21
1)´( .
(3) Determine ∫
−
=
2
)cos()´(
x
dtt
dx
dxF
pi
.
Teorema fundamental do Cálculo. Parte II
Se f for contínua em [a, b] e se F(x) é qualquer primitiva de f(x) em [a, b], então 
)()()( aFbFdxxf
b
a
−=∫
Exemplo: Determine 
(1) ∫
−
+
3
1
)1( dxx
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(2) ∫
−
+
3
1
3 )1( dxx
(3) ∫
−
+−−
3
1
23 )152( dxxxx
Cálculo de áreas
Exemplo 01: Calcule a integral definida de xxf =)( no intervalo ]2,0[ .
Exemplo 02: Determine a área da região entre o eixo x e o gráfico de xxf =)( no intervalo 
]2,0[ .
Exemplo 03: Calcule a integral definida de xxf =)( no intervalo ]2,2[− .
Exemplo 04: Determine a área da região entre o eixo x e o gráfico de xxf =)( no intervalo 
]2,2[− .
Exemplo 05: Calcule a integral definida de 2)( xxf = no intervalo ]2,2[− .
Exemplo 06: Determine a área da região entre o eixo x e o gráfico de 2)( xxf = no intervalo 
]2,2[− .
Exemplo 07: Calcule a integral definida de 3)( xxf = no intervalo ]2,2[− .
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Exemplo 08: Determine a área da região entre o eixo x e o gráfico de 3)( xxf = no intervalo 
]2,2[− .
Exemplo 09: Calcule a integral definida de xxxxf 2)( 23 −−= no intervalo.
Exemplo 10: Determine a área da região entre o eixo x e o gráfico de xxxxf 2)( 23 −−= 
no intervalo ]2,1[− .
A área entre duas curvas
Suponha que sejam dadas duas curvas, y = f(x) e y = g(x), com pontos de interseção em x = 
a e x = b, e com f(x) > g(x) no intervalo a < x < b.
O elemento de área é, então,
dxxgxfdA ])()([ −=
e a área total é
dxxgxfdAA
b
a
])()([ −== ∫∫
Passos que devem ser seguidos para se achar uma área por integração
Passo 1: Esboçar a região cuja área quer se determinar. Anotar no esboço as equações das 
curvas limites e achar seus pontos de interseção.
Passo 2: Decidir se vão ser utilizadas faixas verticais com largura dx ou horizontais com altura 
dy e desenhar uma faixa típica no esboço.
Passo 3: Olhando o esboço e usando as equações das curvas limites, anotar a área dA da faixa 
típica como o produto do comprimento pela largura. Expressar dA inteiramente em termos da variável 
x ou y que aparece na largura (dx) ou na altura (dy).
Passo 4: Integrar dA entre os limites x ou y apropriados, sendo esses limites encontrados no 
esboço.
Exemplo 01: Determine a área da região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4.
Determinando os pontos de interseção
f(x) = g(x)
x2 = 4=> x2 – 4 = 0 => x´ = - 2 e x´´ = 2
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dA = [ g(x) – f(x) ] dx = ( 4 - x2 ) dx
dxxdAA ]4[ 2
2
2
−== ∫∫
−
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Técnicas de Integração
Integração por partes
Considere duas funções u(x) e v(x) diferenciáveis. Do conceito de derivada tiramos que
)()(' )(' )()]()([ xvxuxvxuxvxu
dx
d
+= 
e do conceito de diferencial, podemos concluir que
dxxvxudxxvxuxvxud )()(' )(' )()]()([ +=
Como dxxudu )(' = e dxxvdv )(' = a expressão acima pode ser escrita na forma mais 
simples: 
vduudvuvd +=)(
Aplicando integral a ambos os membros, obtemos
∫∫∫ += vduudvuvd )(
ou
∫∫ −= vduuvudv
Exemplo: ∫ dxx ln
Fazendo 
xu ln= e 
dxdv = obtemos
dx
x
du 1=
xdxv == ∫
Então
∫∫∫∫ −=−== dxxxxxvduuvudvdxx 1ln ln
Cxxxdxxxdxx +−=−= ∫∫ lnln ln
Exemplo: ∫ dxxex 
Fazendo 
xu = e 
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dxedv x= obtemos
dxdu =
xx edxev == ∫
Então
∫∫∫∫ −=−== dxexevduuvudvdxxe xxx 
Cexedxxe xxx +−=∫ 
Integração por frações parciais
Cdx
xh
Bdx
xg
Adx
xhxg
xf
++= ∫∫∫ )()()()( )(
Exemplo: ∫
−
dx
xx
 
5
1
2
Como 
)5(52 −=− xxxx então, fazendo 
)5(
1
5 −
=
−
+
xxx
B
x
A
 obtemos
1)5( =+− BxxA
15)( =−+ AxBA


=−
=+
15
0
A
BA
ou



−=
=
5
1
5
1
A
B
Então
∫ ∫∫
−
+−=
−
dx
x
dx
x
dx
xx
 
5
1
5
1 1
5
1 
5
1
2
)5ln(
5
1ln
5
1 
5
1
2 −+−=
−
∫ xxdxxx
Integrais trigonométricas 
1) CxsenCuduusenxdxsendx xxsen +=+=== ∫∫∫ 44333 4141 )( cos 
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2) CxtgCuduutgxdxtgdxxsxtg +=+=== ∫∫∫ 332222 3131 )( ec 
3) ∫∫∫ === )( )-(1 cos os os 222232 senxdxsenxsendxxxcxsendxxcxsen
Cxsenxsensenxdxsenxsen +−== ∫ 5342 5131)( ) - (
4) Cxxxdxdxxsenxsendxxsen ++−=−== ∫∫∫ 3223 cos31cos)(cos )cos-(1 
 
Matemática II 2011 Período 2 Nota Nota Nota Aval Aval Media Recup Sit 
Resultado Nota Parcial 3 Parcial 1 Parcial 2 Parcial 3 1 2 Final 
Adeilton Nascimento Sales 4,5 7,3 7,1 7,3 7,1 71,8 Aprov 
Alano Coelho Mauriz Netto 6,4 7,0 4,5 6,4 7,0 67,4 45 Aprov 
Aline Câmara Bezerra 8,2 7,6 0,0 8,2 7,6 78,5 Aprov 
Daniel Augusto 1,1 0,0 0,0 1,1 0,0 4,3 Reprov 
Denis Formiga Gomes 6,2 7,4 8,1 7,4 8,1 78,2 Aprov 
Donato Silva Barbosa 7,2 7,1 0,0 7,2 7,1 71,3 Aprov 
Edália Azevedo de Faria 6,7 8,4 7,0 8,4 7,0 75,6 Aprov 
Éder Brendo da Silva Souza 7,3 7,2 6,0 7,3 7,2 72,0 Aprov 
Evandson da Costa Maranhão 4,8 7,1 7,0 7,1 7,0 70,4 Aprov 
Felipe Eduardo Cabral Vianna de Souza 9,1 7,6 9,0 9,1 9,0 90,6 Aprov 
Felipe Fernandes Cassiano Fagundes 5,6 6,5 8,4 6,5 7,5 71,0 Aprov 
Francisco Antônio da Fonsêca Andrade 7,4 8,6 6,5 7,4 8,6 80,8 Aprov 
Geraldo Bezerra de Souza Neto 6,2 5,7 5,7 6,2 5,7 58,8 57 Aprov 
Joel Sotero da Cunha 7,0 8,2 2,0 7,0 8,2 77,1 Aprov 
Kaio Magno Lemos de Miranda 5,7 6,8 9,5 6,8 9,5 84,2 Aprov 
Kandell A. Andrade d Oliveira 4,8 6,3 8,7 6,3 8,7 77,4 Aprov 
Leonardo Cortez Soares Torres 5,9 4,2 6,9 5,9 6,9 65,1 42 Aprov 
Luiz Felipe Varela Lima de Gois 6,6 6,7 6,0 6,6 6,7 66,9 60,0 Aprov 
Matheus Lucena Marques 7,9 6,8 6,3 7,9 6,8 72,2 Aprov 
Paula Angela Vasconcelos de Carvalho 7,8 7,3 6,5 7,8 7,3 74,8 Aprov 
Rafael de Souza Pires Tavares 6,7 7,8 8,4 7,8 8,4 81,6 Aprov 
Ricardo Pereira da Silva 7,9 8,5 6,5 7,9 8,5 82,4 Aprov 
Thiago de Oliveira Barbosa 6,1 2,4 0,0 6,1 2,4 38,8 Reprov 
Tiago Targino de Sousa 5,8 5,6 4,5 5,8 5,6 56,9 45 Aprov 
Valdenilson Lopes Gomes 4,4 7,1 7,0 7,1 7,0 70,4 Aprov 
Vitor Eduardo Saraiva Coelho 5,2 5,9 7,2 5,9 7,2 66,8 52 Aprov 
WILKER PINHEIRO DE OLIVEIRA SILVA 4,4 6,7 8,0 6,7 8,0 74,8 Aprov 
YURI WANDERLEY DO NASCIMENTO 7,4 5,4 0,0 7,4 5,4 62,1 Reprov 
José Amaro Silva dos Santos 4,3 5,0 0,0 4,3 5,0 47,1 Reprov 
Jose Seliandro Morais 1,3 0,0 0,0 1,3 0,0 5,3 T Rede 
Daniel Donizeti Correa da Cruz 6,7 7,7 5,5 6,7 7,7 72,9 Aprov 
 
 
ResultadoFinal
Página 1
Matemática II Período 2012.2 M1 M2 M3 Av1 Av2 MF
Anderson Alves Vieira da Silva 0 0 0 0 0 0 0
Anderson Luiz da Silva 68 54 40 68 54 60 40
Artur Medeiros Junior de Magalhães66 68 79 68 79 75
61 41 77 61 77 71
54 71 74 71 74 73
Daniel Martins dos Santos 66 58 62 66 62 64 58
0 0 0 0 0 0 0
52 72 62 72 62 66 52
85 61 69 85 69 75
47 68 59 68 59 63 47
Felipe de Araújo Lima de Souza Soares78 80 0 78 80 79
67 66 71 67 71 69 66
Hudson Rafael Gomes da Rocha0 0 0 0 0 0 0
Hugo Leonardo de Oliveira Soares64 79 57 64 79 73
68 50 72 68 72 70
João Antônio da Silva Neto 78 81 0 78 81 80
João José Alves Neto 57 61 64 61 64 63 57
77 60 81 77 81 79
Leandro Rocha Souto Lima 56 64 77 64 77 72
73 60 64 73 64 68 60
Lucas Bezerra Mendonça 44 67 69 67 69 68 44
53 52 62 53 62 58 52
37 65 67 65 67 66 37
61 65 57 61 65 63 57
Sandro Rodrigues Leite 0 0 0 0 0 0
Thiago Alves Couto da Silva 77 70 0 77 70 73
Thiago Ferreira da Silva 55 60 59 60 59 59 55
Wilson Vieira Junior 82 53 72 82 68 74
Rec Sit
Rep
Apr
Apr
Augusto Jose Silveira Paizinho Apr
Brunno Werick Santos de Carvalho Apr
Apr
Edivilma Cavalcante Soares Rep
Edlyn Bruce Xavier Duarte Apr
Edmar Diogenes de Oliveira Paes Apr
Edmilson Ferreira Martins Apr
Apr
Herivelton Guilherme Paiva Apr
Rep
Apr
Ihago Pietro da Silva Alves Apr
Apr
Apr
Josinaldo de Andrade Pereira Apr
Apr
Lee Hernandiz Lima Maranhão Apr
Apr
Mário Idival Gomes Duarte Apr
Raniere Moura de Oliveira Apr
Rodrigo Emereciano de Oliveira Apr
Rep
Apr
Apr
Apr
 Matemática Financeira –2007.1 Prof.: Luiz Gonzaga Damasceno
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1
1. Introdução. Regra de três e percentagem.
1.1 Regra de três simples.
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro
valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já
conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples: Construir uma tabela, agrupando as grandezas
da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em
correspondência. Identificarse as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
Exemplos: (01) Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo tecido?
(D)
Tecido Preço
8 m R$ 156,00
12 m X
Observe que as grandezas são diretamente proporcionais, aumentando o metro do tecido
aumenta na mesma proporção o preço a ser pago.
234783
24
15612
8
15612156128156
12
8





 xxxx
x
(02) Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro
fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?
 (I)
Velocidade Tempo gasto para o Percurso
60 km 4 horas
80 km X
Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo
diminui na razão inversa.
3
24
46
8
46468
480
60





 xxxxx
1.2 Regra de três composta.
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou
inversamente proporcionais.
 Exemplo: (01) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m3 de areia. Em 5 horas, quantos
caminhões serão necessários para descarregar 125 m3?
 (I) (D)
Horas Caminhões m3 de areia
8 h 20 c 160 m3
5 h X 125 m3
 Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões.
Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
 Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação
é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o
termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
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2
25
20
2025202520
25
2020
8
5
125
16020


 xxx
xx
Exercícios: (10) Resolver os seguintes exercícios:
(01) Comprei 10 canetas por R$ 5,00. Quanto pagarei por 16 canetas? Resp.: R$ 8,00
(02) (L-1) Com 10 pedreiros podemos construir um muro em 2 dias. Quantos dias levarão 5
pedreiros para fazer o mesmo trabalho? Resp.: 4 dias
03) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia
solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual
será a energia produzida? Resp.: 500 watts
(04) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas
do mesmo tipo e preço? Resp.: R$ 200,00
05) (L-1) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado
percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de
480km/h? Resp.: 2,5 horas
(06) Uma fábrica, em 3 dias de trabalho, produz 360m de tecidos, fazendo funcionar 8 máquinas. Em
quantos dias poderá produzir 1.080m de tecidos, fazendo funcionar 6 máquinas? Resp.:
07) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se
o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo
trabalho? Resp.:
08) (L-1) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos
serão montados por 4 homens em 16 dias? Resp.:
09) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e
aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Resp.:
10) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher
2 piscinas? Resp.: 6 horas.
11) (L-1) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for
aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resp.: 35
dias.
(12) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m.
Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um
muro de 225m? Resp.: 15 dias.
13) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade
média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a
uma velocidade média de 60 km/h? Resp.: 10 horas por dia.
14) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em
50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos
em 25 minutos? Resp.: 2025 metros.
(15) (L-1) Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36 m de certo tecido.
Quantos dias levarão, para fazer 12 m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operários,
trabalhando 6 horas por dia?
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3
1.3 Porcentagem.
Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por
cem ou por cento.
Exemplos: %12
100
12)01(  %5
100
5)02(  %78
100
78)03( 
Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.
Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita
freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.
Exemplos:
01) O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de 24%.
02) A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano.
03) Desconto de 25% nas compras à vista.
Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de números
decimal, observe os exemplos.
Exemplos: 12,0%12
100
12)01(  05,0%5
100
5)02( 
78,0%78
100
78)03(  003,0%3,0
100
3,0)04( 
1.4 Trabalhando com porcentagem.
Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens. Exemplos:
01) Qual é a comissão de 10% sobre 800?
x

%10
800%100
 8080010,0800
100
10
100
80010


x
02) Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei
se comprar esta televisão à vista?
x

%10
300%100
 3030010,0300
100
10
100
30010


x
Portanto, pagarei 27030300  reais. Logo, pagarei 270 reais.
1.5 Problemas de porcentagem.
01) Um depósito de água tinha 640 litros. Sabendo que se gastaram 15% da quantidade existente,
calcule:
a) Quantos litros se gastaram. Resp.: 96 litros
b) Que quantidade de água ficou no depósito. Resp.: 544 litros
02) (L-2) Um vestido estava marcado com o preço de R$ 43,00. Sabendo que o dono da loja fez um
desconto de 12%, por que preço foi vendido? Resp.: R$ 37,84
03) (L-2) Sobre uma fatura de R$ 3.679,49 se concede o abatimento de R$ 93,91. De quantos por
cento é este desconto? Resp.: 2,55%
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4
2. Operações sobre mercadorias.
2.1 Vendas com lucro sobre o preço de custo.
Preço de venda = Preço de custo + LucroLucro = Taxa x Preço de custo
Preço de venda = Preço de custo ( 1 + Taxa )
04) (L-2) Por quanto se deve vender uma mercadoria que custou R$ 4.126,75, para obter uma
rentabilidade (lucro) de 6%? Deduza qual é o índice para calcular diretamente o preço de venda?
Resp.: R$ 4.374,35; 1,06
05) Um produto comprado por R$ 4,00 foi vendido por R$ 6,00. De quanto foi o lucro percentual?
Resp.: 50%
06) (L-3) Um produto custou R$ 10,00 e foi vendido por R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro?
Resp.: 20%
07) (L-2) Um comerciante ganha 892,14 sobre o custo de certa mercadoria. A taxa de lucro é de
5%. Qual é o custo? Resp.: R$ 17.842,80
08) (L-3) Um comerciante vendeu certas mercadorias com o lucro de 8%, sobre o custo por R$
12.393,00. Qual é o seu lucro? Resp.: R$ 918,00
09) Um comerciante vendeu uma certa mercadoria por R$ 15.825,81 e ganhou R$ 1.438,71 de lucro.
De quanto foi a taxa de lucro obtido nesta negociação? Resp.: 10%
10) (L-3) Um investidor comprou uma casa por R$ 50.000,00 e gastou 80% do custo em reparos.
Mais tarde vendeu a casa por R$ 120.000,00. Qual foi o seu lucro? De quanto por cento foi o seu
lucro? Resp.: R$ 30.000,00; 33,33%
11) Um negociante ganhou sobre o custo de 32 metros de mercadorias 16% ou R$ 6,40. Qual foi o
custo de cada metro? Resp.: R$ 1,25
12) (L-2) Um produto é vendido por R$ 1.850,00 com 15% sobre o lucro. Se o preço de venda fosse
R$ 2.210,00, qual seria o percentual de lucro? Resp.: 37,38%
2.2 Vendas com lucro sobre o preço de venda.
Preço de venda = Preço de custo + Lucro
Lucro = Taxa x Preço de Venda
Preço de Custo = Preço de venda ( 1 - Taxa )
14) Por quanto se deve vender uma mercadoria que custou R$ 4.126,75, para obter uma
rentabilidade (lucro) de 6% sobre o preço de venda? Deduza qual é o índice para calcular diretamente
o preço de venda? Resp.: R$ 4.390,16; 1,0638
15) Um produto comprado por R$ 4,00 foi vendido por R$ 6,00. De quanto foi o lucro percentual
sobre o preço de venda? Resp.: 33,33%
16) Um produto custou R$ 10,00 e foi vendido por R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro em
relação ao preço de venda? Resp.: 16,67%
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5
17) Um comerciante ganha 892,14 sobre o custo de certa mercadoria. A taxa de lucro é de 5% sobre
a venda. Qual é o custo? Resp.: R$ 16.690,66
18) Um comerciante comprou certas mercadorias por R$ 12.393,00 e vendeu com o lucro de 8%,
sobre o preço de venda. Qual é o seu lucro? Resp.: R$ 1.077,65
19) Um comerciante vendeu uma certa mercadoria por R$ 15.825,81 e ganhou R$ 1.438,71 de lucro.
De quanto foi a taxa de lucro sobre o preço de venda obtido nesta negociação? Resp.: 9,09%
20) Um investidor comprou uma casa por R$ 50.000,00 e gastou 80% do custo em reparos. Mais
tarde vendeu a casa por R$ 120.000,00. Qual foi o seu lucro? De quanto por cento foi o seu lucro
sobre o preço de venda? Resp.: R$ 30.000,00; 25,00%
21) Um negociante ganhou sobre o preço de venda de 32 metros de mercadorias 16% sobre o preço
de venda ou R$ 6,40. Qual foi o custo de cada metro? Resp.: R$ 1,05
2.3 Vendas com prejuízo sobre o preço de custo.
Preço de venda = Preço de custo - Prejuízo
Prejuízo = Taxa x Preço de custo
Preço de venda = Preço de custo ( 1 - Taxa )
22) Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido por R$ 60,00. De quanto por cento foi o prejuízo?
Resp.: 25%
23) Um objeto comprado por R$ 40,00 é vendido 20% abaixo do custo. De quanto é o prejuízo?
Resp.: R$ 8,00
24) Certas mercadorias custaram R$ 4.800,00 e foram vendidas com o prejuízo de 5,25%. Qual o
preço de venda? Resp.: R$ 4.548,00
25) Um objeto foi vendido por R$ 346,50 com prejuízo de 3,75%. Qual o custo? Resp.: R$ 360,00
26) Um produto foi vendido por R$ 4751,29 com o prejuízo de 5% sobre o custo. Qual foi o seu
prejuízo? Resp.: R$ 250,07
2.4 Vendas com prejuízo sobre o preço de venda.
Preço de venda = Preço de custo - Prejuízo
Prejuízo = Taxa x Preço de venda
Preço de custo = Preço de venda ( 1 + Taxa )
27) Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido por R$ 60,00. De quanto por cento foi o prejuízo
em relação ao preço de venda? Resp.: 33,33%
28) Um objeto comprado por R$ 40,00 é vendido com um prejuízo de 25% em relação ao preço de
venda. De quanto é o prejuízo? Resp.: R$ 8,00
29) Certas mercadorias custaram R$ 4.800,00 e foram vendidas com o prejuízo de 5,54% em relação
ao preço de venda. Qual o preço de venda? Resp.: R$ 4.548,00
30) Um objeto foi vendido por R$ 346,50 com prejuízo de 3,896% em relação ao preço de venda.
Qual o custo? Resp.: R$ 360,00
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6
31) Um produto foi vendido por R$ 4751,29 com o prejuízo de 5,263% sobre o preço de venda. Qual
foi o seu prejuízo? Resp.: R$ 250,07
32) Um objeto custa R$ 100,00 e é vendido por R$ 75,00. Determinar:
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo;
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda.
2.5 Aumentos e descontos sucessivos.
Consideremos um valor inicial V, e vamos supor que ele irá sofrer dois aumentos sucessivos de
i1% e i2%.
 Sendo V1 o valor após o primeiro aumento, temos
V1 = V + V x i1 = V ( 1 + i1 )
Sendo V2 o valor após o segundo aumento, temos
V2 = V1 + V1 x i1 = V1 ( 1 + i2 ) = V ( 1 + i1 ) ( 1 + i2 )
Consideremos um valor inicial V, e vamos supor que ele irá sofrer dois descontos sucessivos
de i1% e i2%.
 Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, temos
V1 = V - V x i1 = V ( 1 - i1 )
Sendo V2 o valor após o segundo desconto, temos
V2 = V1 - V1 x i1 = V1 ( 1 - i2 ) = V ( 1 - i1 ) ( 1 - i2 )
33) O preço de um artigo sofreu dois descontos sucessivos de 15% e 12%. Qual foi a taxa total de
descontos? Resp.: 25,2%
34) Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço sofre dois aumentos sucessivos de 20%, quanto
passará a custar? Resp.: R$ 46,08
35) (L–3) Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço sofre dois aumentos sucessivos de 20%,
e a seguir é dado um desconto de 40%, quanto passará a custar? Resp.: R$ 27,65
36) (Fuvest-SP) Barnabé tinha um salário de R$ 1,200,00 reais em janeiro. Recebeu aumento de
80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é:
a) R$ 3.072,00 b) R$ 3.120,00 c)R$ 1.920,00 d) R$ 3.888,00 
e) R$ 1.360,00 Resp.: d
37) (L–3) (Mackenzie–SP) Um produto teve um aumento total de preço de 61% através de 2
aumentos sucessivos. Se o 1o aumento foi de 15%, então o 2o foi de:
a) 38% b) 40% c) 42% d) 44% e) 46% Resp.: b
38) (Vunesp-SP) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos
feitos numa certa modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais
nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito,
é:
a) R$ 1.150,36 b) R$ 1.520,88 c) R$ 2.011,36 d) R$ 1.322,50
e) R$ 1.749,00 Resp.: c
39) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de:
a) 25% b) 26% c) 44% d) 44% e) 50% Resp.: c
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40) (Fuvest-SP) A cada ano que passa o valor de um carro diminui em 30% em relação ao seu valor
do ano anterior. Se R$ 22.000,00 for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo ano
será:
a) R$ 1.268,26 b) R$ 1.811,80 c) R$ 3.697,54 d) R$ 7.546,00
e) R$ 15.400,00 Resp.: a
41) (Vunesp-SP ) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais
(preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu
aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se
afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo:
a) prejuízo de 10%. b) prejuízo de 5%. c) lucro de 20%.
d) lucro de 25%. e) lucro de 30%. Resp.: c
Exercícios diversos:
42) Um produto é comercializado por R$ 5.460,32. Deste produto podemos descontar alguns
impostos na ordem de 8,5%. Qual deverá ser o preço sem impostos? Resp.: R$ 4.996,19
43) Um comerciante vendeu uma certa mercadoria com o desconto de 8% e recebeu o líquido de R$
2.448,13. Qual foi o preço de venda? Resp.: R$ 2.661,01
44) Um título foi liquidado por R$ 879,64 com o abatimento de R$ 46,30. Determinar a taxa do
desconto. Resp.: 5%
45) (L-4) (Fuvest-94) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições à vista com 30% de
desconto sobre o preço de tabela ou no cartão de crédito com 10% de acréscimo sobre o preço da
tabela. Um artigo que à vista sai por CR$ 7.000,00 no cartão sairá por:
a) CR$ 13.000,00 b) CR$ 11.000,00 c) CR$ 10.010,00 d) CR$ 9.800,00
e) CR$ 7.700,00 Resp.: b
46) (L-4) (Fuvest-95) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos
deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de
venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque ele sabe que o cliente gosta de obter um
desconto no momento de compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente,
sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?
a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36% Resp.: c
47) (Fuvest-96) Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 30%. Em
função disso, o seu preço para o importador é de R$19.500,00. Supondo que tal imposto passe de
30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro, para o importador ?
a) R$ 22.500,00 b) R$ 24.000,00 c) R$ 25.350,00 d) R$ 31.200,00
e) R$ 39.000,00 Resp.: b
48) (L-4) Sabendo que um produto em promoção é vendido com 20% de desconto, qual será a
porcentagem de aumento com relação ao preço normal? Resp.: 25%
49) (L-4) Um comerciante que não possuía conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria
por R$ 2.000,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o
comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de
10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor? Resp.: R$ 200,00 de prejuízo.
50) (L-4) (CBMERJ) Um grande incêndio destruiu 30% da mata virgem de uma floresta.
Considerando-se que 20% da área total da floresta, é constituída de rios e lagos e o restante somente
de mata virgem, calcule o percentual da área destruída pelo fogo. Resp.: 24%
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3. Capital. Montante.
3.1 Capital ou Valor Presente. Taxa. Prazo. Montante.
( C ou VP ) – Capital ou Valor Presente é o valor aplicado através de alguma operação
financeira.
 ( i ) – Taxa é o coeficiente obtido da relação dos juros ( J ) com o capital ( C = VP ),
podendo ser representado na forma de percentual.
Exemplos: Taxa de inflação;
Taxa real de juros;
Taxa acumulada;
( t ou n ) - Prazo é o tempo necessário que um certo capital ( C ), aplicado a uma
taxa ( i ), necessita para produzir um montante ( M ).
Exemplos: 1 dia; 1 mês comercial (30 dias); 1 ano comercial (360 dias); 3,5 dias;
15,8 meses; 5 anos, 2 meses e 15 dias.
( M ) – Montante é a soma do capital ( C ) com o juro ( J ). M = C + J
Exercícios:
(01) – Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um
determinado tempo. Qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada
foi de R$ 1.568,78? Resp.: R$ R$ 1.647,03
3.2 Regimes de capitalização.
Regime de capitalização simples:
Ex.: Seja um capital de R$ 1.000,00, aplicado a taxa de 10% a.m. durante 5 meses.
Qual o valor acumulado no final de cada período num regime de capitalização simples?
N Capital aplicado Juros de cada período Montante
1 1.000,00 1.000,00 x 10% = 100,00 1.000,00 + 100,00 = 1.100,00
2 1.000,00 1.000,00 x 10% = 100,00 1.000,00 + 100,00 = 1.200,00
3 1.000,00 1.000,00 x 10% = 100,00 1.000,00 + 100,00 = 1.300,00
4 1.000,00 1.000,00 x 10% = 100,00 1.000,00 + 100,00 = 1.400,00
5 1.000,00 1.000,00 x 10% = 100,00 1.000,00 + 100,00 = 1.500,00
Regime de capitalização composta:
Ex.: Seja um capital de R$ 1.000,00, aplicado a taxa de 10% a.m. durante 5 meses.
Qual o valor acumulado no final de cada período num regime de capitalização
composta?
N Capital aplicado Juros de cada período Montante
1 1.000,00 1.000,00 x 10% = 100,00 1.000,00 + 100,00 = 1.100,00
2 1.100,00 1.100,00 x 10% = 110,00 1.100,00 + 110,00 = 1.210,00
3 1.210,00 1.210,00 x 10% = 121,00 1.210,00 + 121,00 = 1.331,00
4 1.331,00 1.331,00 x 10% = 133,10 1.331,00 + 133,10 = 1.464,10
5 1.464,10 1.464,10 x 10% = 146,41 1.464,10 + 146,41 = 1.610,51
 Taxa Taxa decimal
Percentual ou unitária
 25% 0,25
 1,5% 0,015
 0,18% 0,0018
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2
3.3 Fluxo de caixa.
Definimos fluxo de caixa como sendo a movimentação de recursos financeiros ao
longo de um período de tempo.
O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras
em um período de tempo.
 ( Entradas ) ( Saídas )
Diagrama de fluxo de caixa para a capitalização simples Ci = R$ 1.500,00
 Ci = R$ 100,00 Ci = R$ 100,00 Ci = R$ 100,00 Ci = R$ 100,00 Ci = R$ 100,00
C=R$ 1.000,00
Diagrama de fluxo de caixa para a capitalização composta Ci = R$ 1.610,51
 Ci = R$ 100,00 Ci = R$ 110,00 Ci = R$ 121,00 Ci = R$ 133,10 Ci = R$ 146,41
C=R$ 1.000,00
Do ponto de vista do emprestador:
Diagrama de fluxo de caixa para a capitalização composta Ci = R$ 1.610,51
 Ci = R$ 100,00 Ci = R$ 110,00 Ci = R$ 121,00 Ci = R$ 133,10 Ci = R$ 146,41
C=R$ 1.000,00
Do ponto de vista do tomador:
Diagrama de fluxo de caixa para a capitalização composta
C=R$ 1.000,00 (captação de recursos)
 Ci = R$ 100,00 Ci = R$ 110,00 Ci = R$ 121,00 Ci = R$ 133,10 Ci = R$ 146,41
 (pagamento dos recursos) Ci = R$ 1.610,51
3.4 Juros simples.
J = Ci juros para o 1o período
J = Ci+Ci = Ci x 2 juros para o 2o período
J = Ci = Ci+Ci+Ci = Ci x 3 juros para o 3o período
J = Ci = Ci+...+Ci = Ci x t juros para o to período
J = Cit = VPit = PVin juros para o no período
Exercícios:
(02) Determine o juroobtido com um capital de R$ 1.250,23 durante 5 meses com a
taxa de 5,5% a.m.
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3.5 Regras básicas da HP 12C.
Para ter um número de decimais mostrados na sua calculadora digite:
Simbologia observada:
< • > and [•] denota tecla de função
{•} denota entrada de dados
< f > → {N} onde N varia de 0 a 9
[CLx] para limpar o visor da calculadora
< f > → [x<->y] para limpar o segundo conteúdo, quando a tecla [CLX] for apertada.
< f > → [SST] para limpar os conteúdos de todos os registros.
< f > → [CLx] para limpar os conteúdos de todos os registros.
(03) Qual o capital que gerou rendimentos de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma
taxa de 2,5% a.m.?
(04) Pedro pagou ao Banco da Praça S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um
dia de atraso sobre uma prestação de R$ 537,17. Qual foi a taxa mensal de juros
aplicados pelo banco? Resp.: 11,95% a.m.
(05) Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou
rendimentos de R$ 226,45 com uma taxa de 1,5% a.m.?
(06) Joaquim emprestou R$ 15,00 de Salim. Após 6 meses Salim resolveu cobrar sua
dívida. Joaquim efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Salim. Qual foi a taxa de
juros acumulados nesta operação? Qual foi a taxa mensal de juros? Resp.:
58,33% (ac) e 9,72% (mensal)
3.6 Montante ou Valor Futuro.
M = C + J ou VF = VP + J
M = C + Cit ou M = C(1+it) ou M = C(1+in) ou VF = VP(1+in)
(07) Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em um CDB
pós-fixado de 90 dias, a uma taxa de 1,45% ao mês? Resp.: R$ 88.672,03
(08) (L-5) Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$
84.248,00 por um período de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de
1,77% ao mês. Resp.: R$ 80.000,00
3.7 Juro Exato e Juro Comercial.
Solução algébrica
J = Cit
J = 1.250,23 x 0,055 x 5
J = 343,81
Solução HP-12C
1.250,23 Enter
0,055 x
5 x
343,81
Solução algébrica
J = Cit
342,96 = C x 0,025 x 11
342,96 = C x 0,275
C = 342,96 / 0,275
C = 1.247,13
Solução HP-12C
342,96 Enter
0,025 Enter
11 x 
1.247,13
Solução Calc Cient
1.250,23 x
0,055 x
5 Enter ou =
343,81
Solução Calc Cient
342,96/(0,025 x 11)
= ou Enter
1247,13
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Quando falamos em juro exato, devemos considerar a quantidade de dias
existente em cada mês.
Juro exato: Janeiro (31) Fevereiro (28 ou 29) Março (31)
Abril (30) Maio (31) Junho (30)
Julho (31) Agosto (31) Setembro (30)
Abril (30) Maio (31) Junho (30)
Outubro (31) Novembro (30) Dezembro (31)
No caso do juro comercial devemos considerar sempre um mês de 30 dias, e, sendo
assim, um ano comercial vai Ter sempre 360 dias.
(09) Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/01 sendo quitada em
15/03/01, com a taxa de 48% ao ano. Determine os juros exato e comercial pagos
nesta operação. Resp.: J. E. = 800,88; J. C. = 812,00
(10) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$
2.756,31. Determinar a taxa correspondente. Resp.: 0,025 ou 2,5% a.m.
(11) Uma aplicação de R$ 13.000,00, pelo prazo 180 dias obteve um rendimento de
R$ 1.147,25. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? Resp.: 17,65%
(12) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$
9.750,00, a taxa de 5% ao trimestre. Pede-se para determinar o prazo. Resp: 16
trimestres.
(13) Qual o capital aplicado, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em
360 dias? Resp.: R$ 2.827,38
(14) (L-5) Um financiamento de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final
de 141 dias. Calcular a taxa mensal de juros. Resp.: 5,74% ao mês.
(15) Calcuar o valor dos juros e do valor futuro de uma aplicação de R$ 21.150,00,
feita de 3,64% ao mês, pelo prazo de 32 dias. Resp.: J = R$ 821,18 e VF = R$
21.971,18
(16) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo
de 12 meses, à taxa de 2,5% ao mês. Resp.: R$ 9.834,51
(17) Determinar o valor presente de um título cujo valor de resgate é de R$
56.737,59, sabendo-se que a taxa de juros é de 2,8% ao mês e que faltam 3
meses para o seu vencimento. Resp.: R$ 52.340,95
(18) Em quanto tempo um capital aplicado a 3,05% ao mês dobra o seu valor?
Resp.: 32 meses e 24 dias.
(19) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 2.500,00 a 7% ao ano
durante 3 anos? Resp.: R$ 525,00
(20) A que taxa um capital de R$ 175,00 durante 3 anos, 7 meses e 6 dias produz um
montante de R$ 508,25? Resp.: 52,896825% a.a.
(21) O valor futuro de uma aplicação financeira é de R$ 571,20. Sabendo-se que o
período desta aplicação é de 4 meses e que a taxa é de 5% ao mês, determine o
valor dos juros nesta aplicação. Resp.: R$ 95,20
(22) (L-5) Um investidor possui uma certa quantia depositada no Banco da Praça
S/A. Este investidor efetuou um saque equivalente a um terço dessa importância e
aplicou em um investimento empresarial a juros de 6% ao mês durante 8 meses,
recebendo ao final deste período o valor acumulado de R$ 1.850,00. Qual foi o
valor aplicado no investimento empresarial? Qual era o valor aplicado no Banco da
Praça S/A antes do saque de um terço? Resp.: R$ 1.250,00 e R$ 3.750,00
(23) (L-5) Um título foi financiado para pagamento em 60 dias da data de sua
emissão com uma taxa de 4,5% ao mês. Sabe-se que este título foi pago com 4
dias de atraso pelo valor de R$ 1.259,89. Sabemos ainda que a taxa praticada para
cálculo dos juros do atraso era de 60% ao ano. Qual o valor do título? Resp.: R$
1.141,83
(24) A cliente da loja Tudo Pode Ltda efetuou um pagamento de uma prestação de
R$ 250,00 por R$ 277,08. Sabendo-se que a taxa de juros praticada pela loja foi de
5% ao mês, por quantos dias esta prestação ficou em atraso? Resp.: 65 dias.
(25) (L-5) Um banco oferece uma taxa de 28% a.a. pelo regime de capitalização
simples. Quanto ganharia de rendimento um investidor que aplicasse R$ 15.000,00
durante a) 92 dias b) 72 horas c) 6 meses e quatro dias. Resp.: R$ 1.073,33; R$
35,00; R$ 2.146,66
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4. Regime de capitalização composta.
4.1 Valor Futuro (VF) ou Montante (M).
Ex.: Seja um capital de R$ 1.000,00, aplicado a taxa de 10% a.m. durante 5 meses.
Qual o valor acumulado no final de cada período num regime de capitalização
composta?
N Capital aplicado Juros de cada período Montante
1 1.000,00 1.000,00 x 10% = 100,00 1.000,00 + 100,00 = 1.100,00
2 1.100,00 1.100,00 x 10% = 110,00 1.100,00 + 110,00 = 1.210,00
3 1.210,00 1.210,00 x 10% = 121,00 1.210,00 + 121,00 = 1.331,00
4 1.331,00 1.331,00 x 10% = 133,10 1.331,00 + 133,10 = 1.464,10
5 1.464,10 1.464,10 x 10% = 146,41 1.464,10 + 146,41 = 1.610,51
Valor futuro após o período n = 1
VF1 = VP + VP x i = VP ( 1 + i )
Valor futuro após o período n = 2
VF2 = VF1 + VF1 x i = VF1 ( 1 + i ) = VP ( 1 + i ) ( 1 + i ) = VP ( 1 + i )2
Valor futuro após o período n = 3
VF3 = VF2 + VF2 x i = VF2 ( 1 + i ) = VP ( 1 + i )2 ( 1 + i )= VP ( 1 + i )3
Valor futuro após o período n = 4
VF4 = VF3 + VF3 x i = VF3 ( 1 + i ) = VP ( 1 + i )3 ( 1 + i ) = VP ( 1 + i )4
Valor futuro após o período n = n
VFn = VP ( 1 + i )4
Exercícios:
(26) Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao
mês, durante 5 meses.
VFn = VP ( 1 + i )5
VFn = 5.000 ( 1 + 0,04 )5 = 5.000 ( 1,04 )5 = 5..000 x 1,16986 = 6.083,26
(27) Calcular o montante de um capital de R$ 50.000,00, aplicado à taxa de 15% ao
mês, para 29, 30 E 31 dias, pelos regimes de juros simples e juros compostos.
Juros simples
n = 29 dias; 00,250.57)
30
2915,01(000.50 VF
n = 30 dias; 00,500.57)
30
3015,01(000.50 VF
n = 31 dias; 00,750.57)
30
3115,01(000.50 VF
Juros compostos
n = 29 dias; 75,232.57)15,01(000.50 30
29
VF
n = 30 dias; 00,500.57)15,01(000.50 30
30
VF
Solução HP-12C
5000.00 Enter
1 Enter
0.04 +
5 YX x
Solução HP-12C
<f> [CLx]
5000.00 CHS PV
4 i
5 n FV
Solução Calc Cient
5000 x ( 1 + 0,04) x^y 5
Enter ou =
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6
n = 31 dias; 50,768.57)15,01(000.50 30
31
VF
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1
Obs.: (1) Quando o período de tempo (prazo) for inferior ao tempo da taxa, será mais
vantajoso utilizar o regime de capitalização simples.
(2) Quando o período de tempo (prazo) for superior ao tempo da taxa, será mais
vantajoso utilizar o regime de capitalização composta.
(3) Quando o período de tempo (prazo) for igual ao tempo da taxa, os dois regimes de
capitalização são iguais.
(02) Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.450.300,00, aplicado à taxa de
15% ao ano, durante 3,5 anos, pelo regime de juros compostos.
n = 3,5 anos;
5,3)15,01(300.450.1 VF
5,3)15,1(300.450.1VF
6309567,1300.450.1 VF
56,376.365.2VF
(03) No final de dois anos, o Sr. Misterioso da Silva deverá efetuar um pagamento de R$
2.000,00, referente ao valor de um empréstimo contratado na data de hoje, mais os juros
devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se qual o valor emprestado?
niVPVF )1( 
24)04,01(000.2  VP
24)04,1(000.2 VP
563304,2000.2  VP
24,780
563304,2
000.2
VP
(04) Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único
pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa é de 3% ao mês?
niVPVF )1( 
n)03,01(43,278.2433,524.41 
n)03,1(
43,278.24
33,524.41

n)03,1(710338,1 
n)03,1(ln)710338,1(ln 
)03,1(ln)710338,1(ln n
0295588.0536691.0  n
156731.18
0295588.0
536691.0
n meses = 18 meses 4 dias 16 horas 50 min 27 Seg
Calculadora científica
2.000 / (1.04 x^y 24) = 780,24
Calculadora financeira
2000,00 Enter
1,04 Enter
24 YX /
Calculadora científica
 41.524,33 / 24.278,43 = 1,710338
 1,710338 ln = 0.536691
 1.03 ln = 0.0295588
 0.536691 / 0.0295588 = 18.156731
Calculadora científica
1.450.300 x (1+0.15) x^y 3,5 = 2.365.376,56
Calculadora financeira
1.450.300 Enter
1,15 Enter
3,5 YX X
Calculadora financeira
 41.524,33 Enter
 24.278,43 / ln
1.03 ln / = 18.156731
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2
(05) A loja Arrisca Tudo financia a venda de uma máquina no valor de R$ 10.210,72,
sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 276 dias.
Qual a taxa mensal cobrada pela loja?
niVPVF )1( 
276)1(72,210.1068,520.14 i
276)1(
72,210.10
68,520.14 i
276)1(4221015,1 i
i 1)4221015,1( 276
1
i 1)4221015,1( 00362319,0
i 10012766688,1
.10012766688,1 i
..0012766688,0 dai 
300012766688,0 i
ami %83,30383,0 
(06) Calcular os juros de capital de R$ 1.000,00, pelo prazo de 5 meses à taxa de 10%
ao mês, em uma capitalização composta.
5)10,01(000.1 VF
5)10,1(000.1VF
61051,1000.1 VF
51,1610VF
000.151,1610  VPVFJ
51,610J
4.2 Juros compostos para períodos não inteiros.
1 ano exato = 365 ou 366 dias;
1 ano = 360 dias;
1 semestre = 180 dias;
1 trimestre = 90 dias;
1 mês comercial = 30 dias;
1 mês exato = 29, 30 ou 31 dias;
1 quinzena = 15 dias.
(07) Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa
de 25% ao ano, para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos. Resp. R$
14.292,22 Sugestão: Considere: 
niVPVFemn )1(
360
92

Calculadora científica
 14.520,68 / 10.210,72 = 1,4221015
 1 / 276 = 0.00362319
 1,4221015 x^y 0.00362319 = 1.0012766688
 1.0012766688  1 = 0.0012766688 a. d.
 0.0012766688 x 30 = 0,0383 = 3,83% a.m.
Calculadora científica
 1.10 x^y 5 = 1,61051
 1.000 x 1,61051 = 1.610,51
 1.610,51 – 1.000 = 610,51
Calculadora financeira
 14.520,68 Enter
 10.210,72 /
1 Enter
276 / YX
1 -
30 X
Calculadora financeira
 1.000,00 Enter
 1,10 Enter
 5 YX X
 1.000,00 
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3
(08) Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicação financeira de R$ 15.000,00,
admitindo-se uma taxa de 2,5% ao mês, para um período de 17 meses pelo regime de juros
compostos. Resp. R$ 22.824,27
(09) Calcular o valor presente ou capital de uma aplicação de R$ 98.562,25, efetuada
pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês, pelo regime de juros compostos. Resp.
R$ 88.296,69
(10) (L-6) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 26.564,85, produziu um
montante de R$ 26.564,85 com uma taxa de 0,98% ao mês (juros compostos)? Resp. 55
meses e 10 dias.
(11) Qual a taxa mensal de juros (compostos) necessária para um capital R$ 2.500,00
produzir um montante de R$ 4.489,64 durante um ano? Resp. 5% ao mês.
(12) Determinar os juros (compostos) obtidos através de uma aplicação de R$ 580,22
com uma taxa de 4,5% durante 7 meses. Resp. R$ 209,38
(13) Um investidor resgatou a importância de R$ 255.000,00 nos bancos Alfa e Beta.
Sabe-se que o investidor aplicou 38,55% no banco Alfa e o restante no banco Beta, com as
taxas de 8% e 6%, respectivamente. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Quais
foram os valores aplicados nos bancos Alfa e Beta? Resp. R$ 91.020,83 e R$ 147.827,83
(14) Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros
compostos, com uma taxa de 2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500,00 no final
de 25 meses. Resp. R$ 1.253,46
(15) Quanto tempo será necessário para triplicar um capital de R$ 56,28 com a taxa de
3,5% ao mês? Resp. 37 meses e 6 dias.
(16) (L-6) Um investidor possui a importância de R$ 95.532,00 para comprarum
imóvel à vista. Este imóvel também está sendo oferecido com 35% de entrada, R$ 32.300,00
para 90 dias e R$ 38.850,55 para 180 dias. Sabe-se que este investidor possui uma
possibilidade de investir seu capital à taxa de 3% ao mês. Determine a melhor opção para o
investidor. Resp. Estes investimentos são equivalentes.
(17) (L-6) A concessionária Topa Tudo S/A está oferecendo um automóvel por R$
14.500,00 à vista ou R$ 4.832,85 de entrada e mais uma parcela de R$ 11.000,00, no final de
5 meses. Sabendo-se que uma outra opção seria aplicar este capital à taxa de 3,5% no
mercado financeiro, determinar a melhor opção para um interessado, que possua recursos
disponíveis, comprá-lo pelo método do valor presente e pelo método do valor futuro. Resp. VF
= R$ 11.481,54; VP = 14.094,55
(18) Qual o valor do investimento, que aplicado à taxa de 12% ao trimestre, durante
218 dias, produziu um resgate de R$ 125.563,25? Resp. R$ 95.421,35
(19) Qual a taxa de juros necessária para se dobrar um capital, no final de 15 meses?
Resp. 4,73% ao mês
(20) Qual o valor futuro de um investimento, de R$ 10.000,00, aplicado a uma taxa de
18,5% ao ano, pelo período de 95 dias? Resp. R$ 10.458,12
(21) (L-6) Paulo deseja antecipar uma dívida no valor de R$ 890,28 com o vencimento
de hoje a 75 dias com taxa de 9% ao trimestre. Determinar o valor a ser liquidado na data de
hoje. Resp. R$ 828,59
(22) (L-6) Qual a taxa trimestral, mensal e anual de juros de uma aplicação de R$
5.000,00 que deverá ser resgatada ao final de 2 anos e 62 dias pelo valor de R$ 8.000,00?
Resp. 5,55% a.t.; 1,82% a.m. e 24,16% a.a.
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4
(23) (L-7) Qual o montante de uma aplicação de R$ 56.750,25 aplicada em 05/03/01 e
resgatada em 28/02/02, com taxa de 14,75% ao trimestre? Resp. R$ 98.396,25
(24) Um título está sendo quitado 23 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que o
valor de resgate era de R$ 58,26, qual será o valor pago pelo devedor adotando-se o regime
de juros compostos, se a taxa de juros negociada foi 5% ao mês? Resp. R$ 56,12
(25) (L-7) Considere uma operação de capital de giro no valor de R$ 35.000,00
contratada para pagamento em 105 dias da data de liberação de recursos, negociado a uma
taxa de 2,7% ao mês (correção). Qual seria o valor devolvido ao banco, se a empresa
atrasasse em quinze dias o pagamento da dívida, sabendo que o banco cobra 5% ao mês em
caso de atrasos? Qual seria a taxa de juros acumulada em todo o período da operação? Resp.
R$ 39.369,44; 12,48% ao período de 120 dias.
(26) (L-7) Suponha que uma pessoa acumulou 35,8% de rendimento de uma
determinada aplicação financeira, durante 315 dias. Determinar a taxa mensal e anual desta
operação. Resp. 2,96% ao mês e 41,87% ao ano.
(27) Quantos dias serão necessários para triplicar uma aplicação financeira aplicada a
juros compostos de 6% ao ano. Resp. 6.788 dias.
5. Operações com taxas de juros.
No mercado financeiro e nas operações bancárias e comerciais, a palavra taxa é empregada de
várias formas, ou seja, vários conceitos são abordados em várias situações.
Conforme o Banco Central do Brasil S.A., as taxas de juros de cada instituição financeira
representam médias geométricas ponderadas pelas concessões observadas nos últimos cinco
dias úteis, período esse apresentado no ranking de cada modalidade de operação de crédito.
Na verdade entendemos que as taxas são maiores ou menores dependendo do tempo e
principalmente do risco em que são negociadas. Para compreender melhor esses conceitos,
vamos observar a seguinte tabela de taxas e sua relação com o risco.
Do ponto de vista de quem possui recursos financeiros:
Taxa (a.m.) Aplicação Considerações
0,5% Poupança Menor risco – menor taxa
4% Amigo Risco maior para receber
20% Bolsa de
Valores
Risco é mais iminente – mercado financeiro sofre de ataques
especulativos – aumenta ou diminui o rendimento
150% Contravenção Tudo que estiver relacionado com a ilegalidade – risco altíssimo
– podendo virar um enorme prejuízo em todos os aspectos
Do ponto de vista de quem não possui recursos financeiros:
Taxa (a.m.) Aplicação Considerações
20% Agiota Péssimo negócio – Operação ilegal
12% Cartão de
Crédito
Taxas altas de juros
4% Amigo Às vezes é uma opção melhor do que recorrer as instituições
financeiras
1% Banco
Comercial
Taxas oferecidas quando o grau de risco é diminuído,
dependendo das garantias reais oferecidas ao banco
5.1 Taxas equivalentes a juros compostos.
Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um
mesmo capital, por um período de tempo equivalente geram o mesmo rendimento.
i – taxa conhecida
niVPVF )1( 
ieq – taxa equivalente )1( eqiVPVF 
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5
n
eq ii )1(1 
1)1(  neq ii
QQ = Quanto eu Quero
QT = Quanto eu Tenho
QT
QQn  1)1(  QT
QQ
eq ii
(28) Determine a taxa equivalente a 79,5856% ao ano para o período de 1 mês.
(29) Determine a taxa equivalente a 28,59% ao trimestre para o período de 1 semestre.
(30) Determine a taxa equivalente a 2,5% ao mês para o período de 105 dias.
(31) (L-7) Determine a taxa equivalente a 0,5% ao dia para o período de 1 ano.
(32) Determine a taxa equivalente a 25% (ano comercial) para o período de 1 ano
exato.
(33) (L-7) Determine a taxa equivalente a 0,0795856% ao dia para o período de 5
anos.
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1
5.2 Taxa Over mensal equivalente.
Para determinar a rentabilidade por dia útil
onde ndu = número de dias úteis. 1)1(
1
 ndueqdu ii
Taxa Over mensal ==> 30)1)1((30
1
 ndueqduov iii
(28) O gerente financeiro da empresa Investimentos S/A cotou taxas de CDB
(Certificado de Depósito Bancário) em dois bancos. No banco A, foi oferecido uma
taxa de 28,00% a.a. para uma aplicação de 63 dias, considerando 43 dias úteis.
Enquanto o banco B oferece uma taxa de 26,00% a.a. para 32 dias, considerando
19 dias úteis. Qual é a melhor aplicação? Resp. A aplicação do banco B.
(29) Um título público, com valor de resgate igual a R$ 1.000,00 é adquirido por um
banco 28 dias antes de seu vencimento por R$ 985,00.
(a) qual a taxa de rendimento do título no período?
(b) qual a taxa de rendimento por dia útil do papel, sabendo-se que há no período
20 dias úteis?
(c) Qual a taxa Over mensal de rentabilidade do papel?
 Resp. 1,52% a.p.; 0,0756% a.d.u.; 2,268% a.m.
(30) (L-3) Uma instituição financeira aplicou R$ 20.000.000,00 em um CDI de outra
instituição por 1 dia útil à taxa de 19% a.a. com base em 252 dias úteis.
(a) qual o montante?
(b) qual a taxa efetiva por dia útil?
(c) qual a taxa over mensal?
Resp. R$ 20.013.810,58; 0,0691% a.d.u; 2,073% a.m.
(31) Um título governamental com valor de face (valor de resgate) igual a R$
10.000,00 é vendido 60 dias antes do vencimento (sendo 42 dias úteis). Se o
banco comprador deseja Ter uma taxa de rentabilidade de 0,08% a.d.u. (ao dia
útil), qual o preço que deverá aceitar para a compra do papel? Resp. R$ 9.669,71
(32)Um título público com valor de face (valor de resgate) igual a R$ 10.000,00 é
vendido para um banco 83 dias antes do vencimento (sendo 42 dias úteis). Se o
banco comprador pretende ganhar uma taxa de over mensal de 2,2% a.m. (ao
mês), qual o preço que deverá pagar pelo papel? Resp. R$ 9.409,70
(33) Um banco aplicou um excedente de caixa no valor de R$ 24.000.000,00 num CDI
por 1 dia a uma taxa over de 2,4% a.m.. (a) qual o montante? (b) qual a taxa por
dia (c) qual a taxa anual da aplicação (base: ano de 252 dias)? Resp. R$
24.019.200,00; 0,08%; 22,33%a.a.
5.3 Taxa acumulada de juros com taxas variáveis.
A taxa de juros com taxas variáveis é utilizada em situações de correções como,
atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral.
A composição das taxas pode ocorrer com taxas positivas ou com taxas negativas.
iac – taxa acumulada
)1)(...)1)(1)(1(1 321 nac iiiii 
1)1)(...)1)(1)(1( 321  nac iiiii
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2
(34) Com base na tabela a seguir, calcular a variação do IGP-M (FGV) acumulada
durante os meses de Jan/2001 a Mai/2001. Resp. 3,31% a. p.
IGP-M
Jan/2001 0,62
Fev/2001 0,23
Mar/2001 0,56
Abr/2001 1,00
Mai/2001 0,86
(35) Calcular a taxa acumulada de juros à seguinte seqüência de taxas: 5%, 3%, -
1,5%, -2% e 6,5%. Resp. 11,18% ao período.
5.4 Taxa média de juros.
A taxa média de juros tem como base teórica o conceito estatístico da média geométrica.
Im – taxa média
)1)(...)1)(1)(1()1( 321 nnm iiiii 
n
nm iiiii
1
321 )]1)(...)1)(1)(1[(1 
1)]1)(...)1)(1)(1[(
1
321  nnm iiiii
(36) Com base na tabela a seguir, calcular a taxa média do IGP-M (FGV) acumulada
durante os meses de Jan/2001 a Mai/2001. Resp. 0,65% a. m.
IGP-M
Jan/2001 0,62
Fev/2001 0,23
Mar/2001 0,56
Abr/2001 1,00
Mai/2001 0,86
(37) Calcular a taxa média de juros à seguinte seqüência de taxas: 5%, 3%, -1,5%, -
2% e 6,5%. Resp. 2,14% a. m.
5.5 Taxa real de juros.
A taxa real de juros nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa
de inflação ou de um custo de oportunidade.
Se um capital VP é aplicado durante certo período a uma taxa i por período, o montante
resultante será:
)1(1 iCM 
Se no mesmo período a taxa de inflação for iinf, o capital corrigido monetariamente pela
inflação será:
)1( inf2 iCM 
Assim, o percentual do ganho ou perda real, será:
1
1
11)1(
)1(1
infinf2
1
2
21 








i
i
iC
iC
M
M
M
MMir
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3
(38) Uma aplicação durante o ano de 2001 rendeu 9,5% ao ano, sabendo-se que a taxa
de inflação do período foi de 5,8% ao ano, determine a taxa real de juros. Resp.
3,5% ao ano.
5.6 Taxa efetiva e taxa líquida de juros.
O conceito de taxa efetiva de juros pode ser entendido como sendo o ganho real para uma
aplicação, para um determinado período, sem considerarmos a taxa de inflação. Seu conceito
é muito semelhante ao da taxa equivalente.
A taxa líquida quando é reduzida de possíveis custos financeiros.
(39) Uma aplicação paga 25% ao ano para um período de 30 dias, sabendo-se que a
taxa de inflação do mesmo período é de 18% ao ano e que o governo tributa o
rendimento das aplicações em 15%; calcular a taxa efetiva, a taxa líquida, a taxa
real de juros e o rendimento para uma aplicação de R$ 20.000,00. Resp. 3,5% ao
ano.
Taxa efetiva para 30 dias:
%8769,1018769,01)25,01(1)1( 360
30
 QT
QQ
ef ii ao mês.
Taxa efetiva de inflação para 30 dias:
%3888,1013888,01)18,01(1)1( 360
30
 QT
QQ
ei ii ao mês.
Taxa real:
%4814,0004814,01
013888,01
018769,011
1
1
inf







i
iir ao mês.
Rendimentos:
39,375.20)018769,01(00,000.20)1(  efiVPVF
39,37500,,000.2039,375.20  VPVFJ
Rendimento líquido:
08,319)015,01(39,375)1(  imiRRL
Taxa líquida:
%5954,1015954,0
00,000.20
08,319

VP
RLiL
(40) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. Resp. 26,82% ao ano.
(41) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano. Resp. 4,0% ao mês.
(42) Determinar a taxa anual equivalente a 0,1612% ao dia. Resp. 78,58% ao ano.
(43) Determinar a taxa trimestral equivalente a 39,46% em dois anos. Resp. 4,25% ao
trimestre.
(44) (L-8) Uma determinada revista de informações financeiras apresentou as
seguintes taxas de CDIs: Fev = 2,11%; Mar = 2,18%; Abr = 1,69%; Mai = 1,63%;
Jun = 1,60% e Jul = 1,69% para o ano de 1998. Pergunta-se: (a) Qual a taxa
média no período? (Resp. 1,82% ao mês) (b) Qual a taxa acumulada no período?
(Resp. 11,41% ao período)
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4
(45) Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital de giro no
valor de R$ 125.519,92, por 3 meses, tendo de pagar no final R$ 148.020,26. Qual
a taxa média desta aplicação. Resp. 5,65% ao mês.
(46) O senhor Dúvidas pretende investir R$ 16.500.000,00 em uma aplicação no
Banco dos Palmeirenses S/A que paga 45,5% ao ano por 30 dias corridos e
correspondentes a 21 dias úteis. Suponha que o Banco dos Corinthianos S/A
pague 45% ao ano por 33 dias corridos e correspondentes a 22 dias úteis. Você foi
contratado como Gerente Financeiro(a) e encontra-se em período de experiência.
Na sua opinião, qual dos dois seria melhor para o aplicador. Resp. A melhor taxa é
do Banco dos Corinthianos S/A.
(47) Se o preço de um produto de dezembro de 2000 foi de R$ 1.580,00 e em janeiro
de 2001 foi de R$ 1.780,00, o índice de preço correspondente foi de: Resp.:
12,66%.
(48) (L-8) Suponha que no mês base o preço médio de uma cesta básica seja de R$
33,50 e nos três meses subsequentes seja R$ 42,85, R$ 65,00 e R$ 72,25,
respectivamente. Obter a inflação acumulada. Resp.: 115,67%
(49) Um capital foi aplicado por um ano, à taxa de juros de 11% ao ano, e no mesmo
período a inflação foi de 9% ao ano. Qual a taxa real de juros? Resp.: 1,83%
(50) Calcular a taxa mensal de juros pelo regime de capitalização simples para uma
taxa de 60% ao ano e para o regime de juros composto por uma taxa de 79,59%
ao ano. Resp.: 5% ao mês e 5% ao mês.
(51) (L-8) Uma indústria deseja ampliar a capacidade produtiva de sua fábrica. Foi
calculado que a taxa de retorno deste investimento é 15,00% ao ano. Sabe-se que
esta fábrica possui uma rentabilidade real de seus projetos de 5% ao ano. Qual
será a rentabilidade real desse projeto se a taxa de inflação do período for de
12,50% ao ano? Considerando a política de rentabilidade da empresa este projeto
deve ser aceito? Resp.: 2,22% ao ano. O projeto não deve ser aceito.
(52) Calcule a taxa acumulada e a média das taxas 5%, 2%, 1%, -3,5% e 4%. Resp.:
taxa acumulada = 8,56% ao período; taxa média = 1,66%
(53) Qual a melhor taxa para aplicação? 0,1% ao dia ou 40% ao ano. Resp.: 0,1% ao
dia.
(54) (L-8) Considere uma aplicaçãoem CDB de 19,5% ao ano para um período de 33
dias. Observe ainda que a taxa de inflação para o mesmo período foi de 15% ao
ano. Sabendo que o rendimento desta aplicação pagará imposto de 15%, pergunta-
se: Qual a taxa efetiva desta aplicação? Qual a taxa real de juros? Resp.: Taxa
efetiva = 1,65 ao período; taxa líquida = 1,40% e taxa real = 0,1087% ao período.
(55) Em dois anos sucessivos, um determinado produto aumentou 10% e 12%
respectivamente. Qual a taxa de aumento acumulada no período? Resp.: 23,2%
(56) (L-8) Em janeiro, fevereiro, março e abril, o preço de um produto teve
respectivamente os seguintes aumentos: 2%, 5%, 3,6% e 7%. Qual a taxa
acumulada de aumento no quadrimestre? Resp.: 18,72%
(57) A taxa de inflação acumulada em 5 meses foi de 8%. Qual deverá ser a taxa de
inflação no 6% mês para que a taxa acumulada no semestre seja 10%? Re: 1,85%
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5
6 Desconto.
Desconto é o abatimento feito no valor nominal de uma dívida, quando ela é negociada antes
do seu vencimento.
Podemos classificar os tipos de descontos como simples e compostos.
 - =
6.1 Desconto racional simples ou por dentro.
DRS = Desconto Racional Simples
VN = Valor Nominal = Valor de face = Valor do título apresentado na data do
vencimento.
VL = Valor Líquido = valor negociado antes do vencimento
Id = taxa de desconto
T = prazo de desconto
tiVLVLVNDRS d 
)1( tiVLVN d ti
VNVL
d

1
(58) Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu
vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional?
Resp. VN = R$ 25.000,00; VL = R$ 23.809,52; DRS = R$ 1.190,48
6.2 Desconto bancário ou comercial ou por fora.
Podemos definir o Desconto Bancário (DBS), ou Desconto Comercial (DCS), como o valor
obtido pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal de um determinado compromisso
antes do seu vencimento.
tiVNVLVNDBS d 
)1( tiVNVL d ti
VLVN
d

1
(59) Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu
vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional?
Resp. VN = R$ 25.000,00; VL = R$ 23.750,00; DRS = R$ 1.250,00
(60) Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses
antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o
banco cobra 1% a título de despesas administrativas e que o IOF é de 0,0041% ao
dia sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra
alternativa seria tomar um empréstimo com uma taxa líquida de 2,8% ao mês.
Qual a melhor opção?
 ADMIOF DDDBSVNVL 
Vencimento
Prazo de
antecipação
de Recursos
Antes do
Vencimento
VALOR NOMINAL DESCONTO VALOR LÍQUIDO
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6
00,250.12025,000,000.25  tiVNDBS d
00,25001,000,000.25 ADMD
50,616000041,000,000.25 IOFD
 50,438.2350,6100,25000,250.100,000.25 VL
Se considerarmos que o VP = 23.438,50 e VF = 25.000,00, então teremos que
%12,30312,0
00,000.50
50,561.1
00,000.20
50,438.2300,000.25
2






VF
VPVFi
A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% será a melhor opção.
6.3 Operações com um conjunto de títulos.
(61) Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas
num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido
recebido pela empresa?
Solução:
6.4 Prazo médio de um conjunto de títulos.
N
NN
VNVNVN
NVNNVNNVNPM



21
2211 onde
IVN - é o valor nominal do título IN
(62) Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas
num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido
recebido pela empresa (Utilize o prazo médio para o cálculo)?
Solução:
Duplicata Valor (R$) Prazo vencimento
(em dias)
DBS
3% a.m.
DBS
Período
(dias)
A 2.500,00 25 75,00 62,50
B 3.500,00 57 105,00 199,50
C 6.500,00 72 195,00 468,00
D 8.000,00 85 240,00 680,00
E 12.000,00 92 360,00 1104,00
F 15.000,00 102 450,00 1530,00
Total 47.500,00 4044,00
Duplicata Valor (R$) Prazo vencimento (em dias)
A 2.500,00 25
B 3.500,00 57
C 6.500,00 72
D 8.000,00 85
E 12.000,00 92
F 15.000,00 102
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7
Duplicata Valor (R$) Prazo vencimento
(em dias)
DBS
3% a.m.
DBS
Período
(dias)
A 2.500,00 25 62500
B 3.500,00 57 199500
C 6.500,00 72 468000 58,4
D 8.000,00 85 680000
E 12.000,00 92 1104000
F 15.000,00 102 1530000
Total 47.500,00 4044000 85,136844
Para as duplicatas A, B e C:
00,730
30
4,5803,000,500.12


 tiVNDBS d
00,770.1100,73000,500.12 VL
Para as duplicatas A, B, C, D, E e F:
00,4044
30
136844,8503,000,500.47


 tiVNDBS d
00,456.4300,404400,500.47 VL
6.5 Desconto racional composto.
VLVNDRS 
nd
diVLVN )1(  nd
di
VNVL )1( 
(63) Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal R$
5.000,00, considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo
descontado 3 meses antes do seu vencimento. Resp.: R$ 490,29
6.6 Desconto bancário ou comercial.
VLVNDBS 
nd
diVNVL )1(  nd
di
VLVN )1( 
(64) (L-9) Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, 60 dias para o seu vencimento, é
descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto
composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto
concedido. Resp.: VL = R$ 23.765,63; DBC = R$ 1.234,38
(65) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com
vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês? Resp.: R$ 225,00
(66) Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo
valor nominal é de R$ 1.000,00 e cujo valor líquido é de R$ 880,00? Resp.: 3% ao
mês.
(67) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês,
conforme o borderô a seguir: (a) R$ 6.000,00 para 15 dias; (b) R$ 3.500,00 para
25 dias e (c) 2.500,00 para 45 dias. Resp.: R$ 11.768,00
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8
(68) Uma duplicata de R$ 32.000,00 com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi
descontada por um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido
entregue ou creditado ao cliente. Resp.: R$ 29.408,00
(69) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de
R$ 9.800,00, que sofreu um desconto de R$ 448,50 à taxa de 18% ao ano. Resp.:
92 dias.
(70) (L-9) Calcular o valor do desconto composto concedido num Certificado de
Depósito Bancário, de valor de resgate igual a R$ 128.496,72, sabendo-se que
faltam 90dias para o seu vencimento e que a taxa de desconto é de 2,8% ao mês.
Resp.: R$ 10.494,32
(71) Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado 2 meses antes do seu
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de
60% ao mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? Resp.: R$
50.000,00
(72) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes do seu
vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% ao
mês. De quanto foi o valor pago pelo título? Resp.: R$ 2.740,00
(73) Um título com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado 2 meses antes do seu
vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de
20% ao mês. Neste caso, de quanto foi o valor pago pelo título? Resp.: R$
5.300,00
(74) Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo valor nominal é de R$ 2.040,00, 4
meses antes de seu vencimento. Qual o valor que deverá pagar pelo título, se a
taxa racional simples usada no mercado é de 5% ao mês? Resp.: R$ 1.700,00
(75) (L-9) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos.
No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% ao ano, vencível em 180
dias, com desconto comercial (por fora). No segundo caso, com desconto racional
(por dentro), mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos
descontos, por fora e por dentro, foi de R$ 635,50. Qual o valor do título? Resp.:
R$ 6.510,00
(76) Um título com vencimento em 18/02/1998 foi descontado em 20/11/1997. Se o
desconto comercial simples foi de R$ 300,00 e a taxa mensal foi de 4%, o valor
nominal desse título era: Resp.: R$ 2.500,00
(77) (L-9) Você possui uma duplicata cujo valor de face é de R$ 150,00. Essa
duplicata vence em 3 meses. O banco com o qual você normalmente opera, além
da taxa normal de desconto mensal (simples por fora), também fará uma retenção
de 15% do valor de face da duplicata a título de saldo médio, permanecendo
bloqueado em sua conta este valor desde a data do desconto até a data do
vencimento da duplicata. Caso você desconte a duplicata no banco você receberá
líquidos, hoje, R$ 105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da taxa
praticada por este banco é: Resp.: 5% ao mês.
(78) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 meses, a taxa anual
empregada deve ser de 18%. Se o desconto comercial simples excede o racional
simples em R$ 18,00, o valor nominal do título é: Resp.: R$ 5.300,00
(79) João deve a um banco R$ 190.000,00 que vencem daqui a 30 dias. Por não dispor
de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias.
Admitindo-se a data focal atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto
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9
comercial simples de 72% ao ano, o valor do novo título será de: Resp.: R$
235.000,00
(80) (L-9) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% ao
mês). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juro mais principal, é de R$
1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento
será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de 70% do total dos
pagamentos, será paga no final do quarto mês, e a Segunda parcela, no valor de
30% do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo primeiro mês. O valor
financiado é: Resp.: R$ 900,00.
(81) O desconto comercial simples de um título 4 meses antes do seu vencimento é de
R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente
no caso de um desconto racional simples. Resp.: R$ 500,00
1
7 Anuidades imediatas, rendas, série de pagamentos, desembolsos.
Trataremos como anuidades todas as operações financeiras que envolvem pagamentos ou
recebimentos parcelados.
7.1 Dados que compõem a anuidade.
PMT – parcela, prestação, depósito ou qualquer outra expressão que possa ser utilizada para
definir o valor a ser pago ou recebido em cada momento.
i – taxa de juros cobrada ou recebida.
n – número de pagamentos.
VP – valor presente, valor atual.
VF – valor futuro, saldo na última data considerada.
FVP(n/i) – fator para calcular o valor presente.
FVF(n/i) – fator para calcular o valor futuro ou montante.
7.2 Fluxo de caixa.
a) Do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos
 PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT .......... PMT
b) Do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos
...........
 PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT
7.3 Série de pagamento postecipada.
São aquelas em que o primeiro pagamento ou recebimento ocorre no momento 1; este sistema é
também conhecido de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada.
7.3.1 Dada a prestação (PMT) achar o valor presente (VP).
ni
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMTVP )1(...)1()1()1(1 432  ( Progressão geométrica )
q
qaS
n



1
)1(1 onde 
i
qe
i
PMTa




1
1
11
i
i
i
i
i
PMT
i
ii
PMT
i
ii
PMT
VP
n
n
n
n














1
))1(
1)1((
1
1
11
))1(
11(
1
1
11
))
1
1(1(
1
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2
))1(
1)1((1))1(
1)1((
1 ii
iPMT
i
i
i
i
i
PMTVP n
n
n
n








ii
iinFVP n
n
)1(
1)1()/(


 )/( inFVPPMTVP 
7.3.2 Exercícios.
(01) Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos de R$
1.500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5%
a.m. a taxa de juros negociada na operação. Resp.: R$ 7.992,83
)
035,0)035,01(
1)035,01((00,1500 6
6


VP
(02) Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se
o comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada,
considerando que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês? Resp.:
R$ 115,49
)
05,0)05,01(
1)05,01((00,500 5
5


 PMT
(03) Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês
durante 7 meses, produz um montante de R$ 5.000,00, pelo regime de juros compostos.
Resp.: R$ 633,05
))1(
1)1((
ii
iPMTVP n
n


 )1)1(()1(
i
iPMTiVP
n
n 
)1)1((
i
iPMTVF
n 

i
iinFVF
n 1)1()/( 
)/( inFVFPMTVF 
(04) Um produto é comercializado à vista por R$ 1.750,00. Uma outra alternativa seria financiar
este produto a uma taxa de 3% ao mês, gerando uma prestação de R$ 175,81;
considerando que o comprador escolha a Segunda alternativa, determinar a quantidade de
prestações deste financiamento. Resp.: 12
))1(
1)1((
ii
iPMTVP n
n


 )
03,0)03,01(
1)03,01((81,17500,1750 n
n



(05) Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança; após um
determinado tempo observou-se que o saldo da conta era de R$ 30.032,62. Considerando
uma taxa média de poupança de 0,8% ao mês, determine a quantidade de depósitos
efetuado por este poupador. Resp.: 186
)1)1((
i
iPMTVF
n 
 )
008,0
1)008,01((00,15062,30032 
n
(06) Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à
taxa de 5% ao mês (SP). Resp.: R$ 5.525,63
(07) Determinar o valor do um investimento necessário para garantir um recebimento anual de
R$ 10.000,00, no final de cadaum dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento
é remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos (SP).
Resp.: 53.349,26
(08) Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa
efetiva de 2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é R$ 1.000,00 e que o prazo é de
4 meses. Resp.: 265,82
(09) Um automóvel custa a vista o valor de 14.480,00, e pode ser financiado em 48 parcelas
mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações. Resp.:
R$ 453,07
3
(10) Um automóvel custa a vista o valor de 14.480,00, e pode ser financiado com uma entrada
de 20% e 48 parcelas mensais e iguais, com a taxa de 1,5% ao mês. Determinar o valor
das prestações. Resp.: R$ 340,28
Tabela para resolução de problemas de anuidades postecipadas e antecipadas
PMT i 1 + i Carência 
100 0,0725 1,0725 1 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Soma 
1 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 600,00 
0 93,24 86,94 81,06 75,58 70,47 65,71 473,00 = VP
 
 VP 100,00 473,00 100,00 473,00 100,00 
 X PMT X 150,00 2000,00 PMT 
 
7.4 Série de pagamento antecipada.
São aquelas em que o primeiro pagamento ou recebimento ocorre no momento 0; este sistema é
também conhecido de sistema de pagamento ou recebimento com entrada.
7.4.1 Dada a prestação (PMT) achar o valor presente (VP).
1321 )1(...)1()1()1(  ni
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMTPMTVP ( Progressão geométrica )
)1)()1(
1)1(( i
ii
iPMTVP n
n



 ))1(
1)1(( 1ii
iPMTVP n
n



ii
iinFVP n
n
1)1(
1)1()/( 


)/( inFVPPMTVP 
7.4.2 Exercícios.
(11) Uma mercadoria é comercializada em 4 pagamentos iguais de R$ 185,00; Sabendo-se que
a taxa de financiamento é de 5% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como
entrada, determine o preço a vista desta mercadoria. Resp.: R$ 688,80
)
05,0)05,01(
1)05,01((00,185 3
4


VP
(12) Um automóvel que custa à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos
iguais (um dos pagamentos foi considerado como entrada); sabendo-se que a taxa de
financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mensal deste
financiamento. Resp.: R$ 683,62
)
0199,0)0199,01(
1)0199,01((00,800.17 35
36


 PMT
(13) Um produto custa à vista R$ 1.500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal
de R$ 170,72, sendo que a primeira será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa
de juros contratada foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste
financiamento? Resp.: 10 meses
))1(
1)1(( 1ii
iPMTVP n
n


 )
03,0)03,01(
1)03,01((72,17000,500.1 1

 n
n
(14) Um eletrodoméstico é vendido à vista por R$ 1.250,00 e poderá ser financiado em até 12
meses com a taxa de 1% ao mês, para tanto o comprador deverá dar uma entrada de 35%
do valor total da compra; sabe-se ainda que o lojista cobra R$ 20,00 a título de tarifa para
4
consultar o cadastro. Pergunta-se: qual será o valor da prestação, se o comprador optar
pelo prazo máximo de financiamento. Resp.: R$ 72,19
50,43735,000,250.10 PMT
50,81250,43700,250.1 VP )
01,0)01,01(
1)01,01((50,832 12
12


 PMV
(15) Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ 37.500,00, e
acredita que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Popular S. A.,
com depósitos mensais de R$ 500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a
poupança paga, em média, uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: o nosso amigo
poupador vai conseguir acumular o valor de que precisa? Resp.: R$ 38.618,43
)1)(1)1(( i
i
iPMTVF
n


 )1)(1)1(()/( i
i
iinFVF
n



)/( inFVFPMTVF  )008,01)(
008,0
1)008,01((00,500
60


VF
(16) Considere o nosso poupador do exercício anterior, que se depositar R$ 500,00 na data de
hoje, para resgatar ao final de 5 anos a importância de R$ 37.500,00, deverá resgatar um
pouco mais. Considerado a mesma taxa, ou seja, 0,8% ao mês, de quanto deverá ser o
valor de cada depósito para que o nosso poupador consigaacumular exatamene o valor de
R$ 37.500,00? Resp.: R$ 485,52
1
7.5 Série de uniforme pagamento diferida.
São aquelas em que o primeiro pagamento ou recebimento ocorre a partir do segundo período.
cn
n
iii
iPMTVP )1(
1))1(
1)1((


 ))1(
1)1((
ii
iPMTVP cn
n



(01) Uma mercadoria encontra-se em promoção e é comercializada em 5 prestações iguais de
R$ 150,00; a loja está oferecendo ainda uma carência de 4 meses para o primeiro
pagamento. Determine o valor à vista desta mercadoria, sabendo-se que a taxa de juros
praticada pela loja é de 3% ao mês. Resp.: R$ 610,35
(02) A loja Barrabás vende um determinado produto à vista por R$ 850,00, em 24 parcelas
mensais, sendo que a primeira prestação somente será paga após 3 meses do fechamento
da compra. Considerando uma taxa de 4% ao mês, determinar o valor de cada prestação.
Resp.: R$ 62,71
(03) Um empréstimo de R$ 50.000,00 é concedido a uma empresa em prestações mensais e
iguais de R$ 2.805,36. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 2% ao
mês e foi concedido um prazo de carência de 3 meses para o primeiro pagamento,
pergunta-se: Qual a quantidade de prestações do financiamento? Resp.: 24 meses
(04) Um empréstimo de R$ 50.000,00 é concedido a uma empresa em prestações mensais e
iguais de R$ 2.805,36. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 2% ao
mês e que a quantidade de prestações do financiamento foi de 24 meses, pergunta-se:
Qual o prazo de carência para o primeiro pagamento? Resp.: 3 meses
(05) Uma mercadoria custa R$ 1549,00 a vista, e pode ser adquirida em 10 prestações mensais
de R$ 230,00, com a primeira a ser paga 3 meses após a compra. Calcule a taxa de juros.
Resp.: 5,5829%
(06) Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à
taxa de 5% ao mês (Série postecipada). Resp.: R$ 5.525,63
(07) Determinar o valor do um investimento necessário para garantir um recebimento anual de
R$ 10.000,00, no final de cada um dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento
é remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos (Série
postecipada). Resp.: 53.349,26
(08) Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa
efetiva de 2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é R$ 1.000,00 e que o prazo é de
4 meses (a) Série postecipada (b) Série antecipada. Resp.: (a) R$ 265,82 (a) R$
259,34
(09) Um automóvel custa a vista o valor de 14.480,00, e pode ser financiado em 48 parcelas
mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações (a) Série
postecipada (b) Série antecipada. Resp.: (a) R$ 453,07 (a) R$ 445,06
(10) Um automóvel custa a vista o valor de 14.480,00, e pode ser financiado com uma entrada
de 20% e 48 parcelas mensais e iguais, com a taxa de 1,5% ao mês. Determinar o valor
das prestações. Resp.: R$ 340,28
8 Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos.
Empréstimo – Recurso financeiro que, em tese, não necessita ser justificado quanto a sua
finalidade. Ex.: Cheque especial e CDC (Crédito Direto ao Consumidor);
Financiamento - Recurso financeiro que tem a necessidade de ser justificado quanto a sua
finalidade. Ex.: Compra de um automóvel, imóvel, crediário, entre outros;
Saldo devedor – valor nominal do empréstimo ou financiamento, ou simplesmente o valor
presente (VP) na data focal zero, que é diminuído da parcela de amortização a cada período n;
Amortização – parcela que é deduzida do saldo devedor a cada pagamento;
Juros compensatórios – é o valor calculado a partir do saldo devedor e posteriormente somadoà parcela de amortização;
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2
Prestação – é o pagamento efetuado a cada período (n), composto da parcela de amortização
mais juros compensatórios.
8.1 Sistema francês de amortização, também chamado Sistema Price (SFA).
Sistema de empréstimos ou financiamentos com prestações iguais e com periodicidade constante.
Principais características:
A prestação é constante durante todo o período do financiamento;
A parcela de amortização aumenta a cada período (n);
Os juros compensatórios diminuem a cada período (n).
8.1.1 Exercícios.
(11) Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com a taxa de 10% ao mês, para ser pago
em 5 pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Francês de
Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.
a) Cálculo do valor da prestação (PMT) do financiamento
))1(
1)1((
ii
iPMTVP n
n


 )
10,0)10,01(
1)10,01((00,000.10 5
5


 PMT
)
10,0)1,1(
1)1,1((00,000.10 5
5 
 PMT )
10,0610510,1
1610510,1(00,000.10


 PMT
)
1610510,0
610510,0(00,000.10 PMT
610510,0
161051,000,000.10 
PMT
97,637.2PMT
b) Cálculo dos juros, parcela de amortização e saldo devedor:
Juros para o período n Parcela de amortização Saldo devedor
J = VP x i x n PA = PMT – J SD = VP - PA
10.000,00 x 0,10 x 1 = 1.000,00 2.637,97 – 1.000,00 = 1.637,97 8.362,03
 8.362,03 x 0,10 x 1 = 836,20 2.637,97 – 836,20 = 1.801,77 6.560,26
 6.560,26 x 0,10 x 1 = 656,03 2.637,97 – 656,03 = 1.981,94 4.578,32
 4.578,32 x 0,10 x 1 = 457,83 2.637,97 – 457,83 = 2.180,14 2.398,18
 2.398,18 x 0,10 x 1 = 239,82 2.637,97 – 259,82 = 2.398,15 0,03
Planilha de financiamento:
N SD (Saldo Devedor) PA (Amortização) Juros PMT (Prestação)
0 10.000,00 0,00 0,00 0,00
1 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,97
2 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,97
3 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,97
4 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,97
5 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97
9.999,97 3.189,88 13.189,85
(12) Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com a taxa de 10% ao mês, para ser pago
em 5 pagamentos mensais, com 2 meses de carência, calculado pelo Sistema Francês de
Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento (Sistema Francês +
juros compensatórios).
a) Cálculo do valor da prestação (PMT) do financiamento
3
))1(
1)1((
ii
iPMTVP n
n


 97,637.2PMT
b) Cálculo dos juros, parcela de amortização e saldo devedor:
Juros para o período n Parcela de amortização Saldo devedor
J = VP x i x n PA = PMT – J SD = VP - PA
10.000,00 x 0,10 x 1 = 1.000,00 1.000,00 – 1.000,00 = 0,00 10.000,00
10.000,00 x 0,10 x 1 = 1.000,00 1.000,00 – 1.000,00 = 0,00 10.000,00
10.000,00 x 0,10 x 1 = 1.000,00 2.637,97 – 1.000,00 = 1.637,97 8.362,03
 8.362,03 x 0,10 x 1 = 836,20 2.637,97 – 836,20 = 1.801,77 6.560,26
 6.560,26 x 0,10 x 1 = 656,03 2.637,97 – 656,03 = 1.981,94 4.578,32
 4.578,32 x 0,10 x 1 = 457,83 2.637,97 – 457,83 = 2.180,14 2.398,18
 2.398,18 x 0,10 x 1 = 239,82 2.637,97 – 259,82 = 2.398,15 0,03
Planilha de financiamento:
N SD (Saldo Devedor) PA (Amortização) Juros PMT (Prestação)
0 10.000,00 0,00 0,00 0,00
1 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,00
2 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,00
3 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,97
4 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,97
5 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,97
6 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,97
7 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97
9.999,97 5.189,88 15.189,85
(13) Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com a taxa de 10% ao mês, para ser pago
em 5 pagamentos mensais, com 2 meses de carência; porém não haverá o respectivo
pagamento de juros durante o período de carência, devendo portanto, ser incorporado ao
saldo devedor, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a
planilha de financiamento (Sistema Francês + saldo devedor corrigido).
a) Cálculo do valor da prestação (PMT) do financiamento
))1(
1)1((
ii
iPMTVP n
n


 95,191.3PMT
b) Cálculo dos juros, parcela de amortização e saldo devedor:
Juros para o período n Parcela de amortização Saldo devedor
J = VP x i x n PA = PMT – J SD = VP - PA
10.000,00 x 0,10 x 1 = 1.000,00 1.000,00 – 0,00 = 1.000,00 11.000,00
11.000,00 x 0,10 x 1 = 1.100,00 1.000,00 – 0,00 = 1.100,00 12.100,00
12.100,00 x 0,10 x 1 = 1.210,00 3.191,95 – 1.210,00 = 1.981,95 10.118,05
10.118,05 x 0,10 x 1 = 1.011,81 3.191,95 – 1.011,81 = 2.180,14 7.937,91
 7.937,91 x 0,10 x 1 = 793,79 3.191,95 – 793,79 = 2.398,16 5.539,75
 5.539,75 x 0,10 x 1 = 553,98 3.191,95 – 553,98 = 2.637,97 2.901,78
 2.901,78 x 0,10 x 1 = 290,18 3.191,95 – 290,18 = 2.901,77 0,01
Planilha de financiamento:
N SD (Saldo Devedor) PA (Amortização) Juros PMT (Prestação)
0 10.000,00 0,00 0,00 0,00
1 11.000,00 0,00 0,00 0,00
2 12.100,00 0,00 0,00 0,00
3 10.118,05 1.981,95 1.210,00 3.191,95
4
4 7.937,91 2.180,14 1.011,81 3.191,95
5 5.539,75 2.398,16 793,79 3.191,95
6 2.901,78 2.637,97 553,98 3.191,95
7 0,01 2.901,77 290,18 3.191,95
12.099,99 3.859,99 15.959,75
(14) Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com a taxa de 12% ao ano, para ser pago
em 7 pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de
Amortização ou Tabela Price (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento
(Sistema Francês + saldo devedor corrigido).
a) Cálculo do valor da prestação (PMT) do financiamento
))1(
1)1((
ii
iPMTVP n
n


 28,486.1PMT
Planilha de financiamento:
N SD (Saldo Devedor) PA (Amortização) Juros PMT (Prestação)
0 10000 0 0 0
1 8613,72 1386,28 100,00 1486,28
2 7213,58 1400,14 86,14 1486,28
3 5799,43 1414,14 72,14 1486,28
4 4371,15 1428,29 57,99 1486,28
5 2928,58 1442,57 43,71 1486,28
6 1471,58 1456,99 29,29 1486,28
7 0,02 1471,56 14,72 1486,28
9.999,98 403,99 10.403,96
(15) Um microcomputador é vendido pelo preço à vista de R$ 2.000,00, mas pode ser financiado
com 20% de entrada a uma taxa de juros de 96% ao ano, pela Tabela Price. Sabendo-se
que o financiamento deve ser amortizado em 5 meses, o total de juros pagos pelo
comprador é de aproximadamente: (a) 403,65 (b) 408,24 (c) 410,74 (d) 412,89 (e) 420,23
Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento (SFA).
(16) Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 120.000,00, a uma taxa de juros de 2% ao mês,
que deverá ser pago em 10 parcelas iguais. Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento
(SFA) Deve ser entregue no formato de tabela como mostrado acima.
(17) Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 300.000,00, a uma taxa de juros de 3,5% ao
mês, que deverá ser pago em 10 parcelas iguais, com 4 meses de carência. Pede-se:
Elaborar a planilha de financiamento (SFA) Deve ser entregue impresso no formato de
tabela como mostrado acima.