Matematica vall 2016##

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A U L A
Problemas do 2” grau
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A U L A
IntroduçªoNas Aulas 24 e 25, tratamos de resoluçıes
de equaçıes do 2” grau. Nesta aula, vamos resolver problemas que dependem
dessas equaçıes.
Observe que o significado das incógnitas deve ficar bem claro para que o
equacionamento do problema possa ser feito sem dificuldade. Após a resoluçªo
da equaçªo, devemos verificar se as duas raízes servem como resposta para o
problema em questªo. Freqüentemente, como vocŒ irÆ perceber, uma delas nªo
faz sentido.
Como esta Ø uma aula de resoluçªo de problemas, Ø interessante que
vocΠleia atentamente cada enunciado e pense um pouco antes de ver a
soluçªo.
PROBLEMA 1
Um operÆrio foi contratado para construir uma calçada em volta de dois
lados de um terreno retangular, como mostra a figura abaixo.
O terreno mede 20 m por 30 m e a calçada deve ter sempre a mesma largura.
Sabendo que o operÆrio dispıe de 72 m† de lajotas para fazer a obra, qual
Nossa aula
calçada
20 m
30 m
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A U L A deve ser a largura da calçada?
Soluçªo: É claro que a largura da calçada Ø nossa incógnita. Vamos entªo
chamar de x a medida que desejamos calcular. Podemos calcular de vÆrias
formas a Ærea da calçada, que Ø igual a 72 m†. Uma delas Ø a que
mostramos na figura abaixo:
Somando as Æreas das trŒs partes em que a calçada foi dividida, temos:
x² + 30x + 20x = 72 ou
x² + 50x - 72 = 0
Essa Ø uma equaçªo do 2” grau e nossa incógnita x, a largura da calçada,
Ø uma de suas raízes. Vamos entªo resolver a equaçªo:
x =
-50 ± 502 - 4×1• -72α φ
2
x =
-50 ± 2.500 + 288
2
x =
-50 ± 2.788
2
Utilizando uma calculadora para obter valores aproximados das raízes, temos:
Observe que a raiz x = ----- 51,4 nªo faz sentido no nosso problema. A medida
do comprimento Ø sempre um nœmero positivo. Portanto, a largura da
calçada Ø de 1,4 m, ou seja, 1 metro e 40 centímetros.
‡rea = 30 x
20 
30
x
x
x
x
‡rea = 20 x
‡rea = x2
-50 - 52,8
2
= -
102,8
2
= - 51,4
-50 + 52,8
2
=
2,8
2
=1,4
fi
fix =
-50 ± 52,8
2
(- ).
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A U L APROBLEMA 2
Joªo comprou um certo nœmero de camisetas (todas iguais) para dar a
seus empregados e gastou R$ 96,00. Dias depois, passando em outra loja,
viu a mesma camiseta em promoçªo, R$ 2,00 mais barata. Desta vez,
comprou uma camiseta a mais que na compra anterior e gastou R$ 90,00.
Quantas camisetas Joªo comprou ao todo?
Soluçªo: precisamos dar nome às nossas incógnitas, isto Ø, àquilo que nªo
conhecemos no problema. Nós nªo sabemos quantas camisetas Joªo com-
prou da primeira vez. Vamos entªo chamar essa quantidade de x. TambØm
nªo sabemos o preço da camiseta na primeira compra. Vamos chamar esse
preço de y. Desta forma, na segunda compra, Joªo comprou x + 1 camisetas
e o preço de cada uma Ø y ----- 2, ou seja, R$ 2,00 a menos. Podemos entªo
resumir o que conhecemos no quadro abaixo:
COMPRA N” DE CAMISETAS PRE˙O TOTAL GASTO
1“ COMPRA x y 96
2“ COMPRA x + 1 y - 2 90
Multiplicando o nœmero de camisetas pelo preço de uma delas, teremos o
total gasto em cada compra. Logo, as equaçıes sªo as seguintes:
 xy = 96
(x + 1) (y - 2) = 90
Temos aqui um sistema de duas equaçıes com duas incógnitas. Vamos
inicialmente desenvolver a 2“ equaçªo:
(x + 1) (y - 2) = 90
xy - 2x + y - 2 = 90
Como a 1“ equaçªo nos informa que xy = 96, ficamos com:
96 - 2x + y - 2 = 90
- 2x + y = - 4
y = 2x - 4
Agora, vamos substituir esse valor de y na 1“ equaçªo:
xy = 96
x (2x - 4) = 96
2x² - 4x - 96 = 0
{
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A U L A Aí estÆ a equaçªo do 2” grau fornecida pelo problema. Vamos simplificar
todos os termos por 2 e resolvŒ-la.
x2 - 2x - 48 = 0
x =
2 ± 4 - 4×1× -48α φ
2
x =
2 ± 4 +192
2
x =
2 ± 196
2
x =
2 ±14
2
x =
2 +14
2
=
16
2
= 8
x =
2 -14
2
=
-12
2
= -6
Lembre-se de que x Ø o nœmero de camisetas que Joªo adquiriu na primeira
compra. Logo, esse nœmero nªo pode ser - 6. Concluímos que x = 8, ou seja,
Joªo comprou 8 camisetas. Como na segunda compra ele adquiriu uma
camiseta a mais, o nœmero total de camisetas compradas Ø 8 + 9 = 17.
PROBLEMA 3
Com uma corda de 10 m de comprimento, Pedro deseja cercar uma Ærea
retangular de 5 m†. Quais as medidas dos lados desse retângulo?
Soluçªo: Vamos chamar de x e y o comprimento e a largura do retângulo,
respectivamente, como mostra a figura:
JÆ que o perímetro do retângulo Ø 10 m, temos, como 1“ equaçªo:
x + y + x + y = 10 ou
2x + 2y = 10 ou ainda
x + y = 5
Como a Ærea do retângulo deve ser 10 m†, temos, como 2“ equaçªo:
xy = 5
fifi
x
x
y y5 m2
 .(-. )
²
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A U L AAs duas equaçıes formam o sistema:
x + y = 5
xy = 5
que Ø resolvido facilmente. Da 1“ equaçªo temos y = 5 ----- x; substituindo na
2“ equaçªo, encontramos:
x (5 - x) = 5
Vamos entªo desenvolver, arrumar e resolver essa equaçªo:
5x - x² = 5
- x² + 5x - 5 = 0
x² - 5x + 5 = 0
Usando a mÆquina de calcular para obter valores aproximados das raízes,
encontramos:
5 + 2,24
2
=
7,24
2
= 3,62
x =
5 ± 2,24
2
5 - 2, 24
2
=
2,76
2
= 1,38
Chegamos a dois valores diferentes para x e, aparentemente, ambos servem
ao nosso problema. No entanto, x Ø o comprimento do retângulo e
precisamos ainda calcular a largura y. Observando novamente o desenvol-
vimento, vemos que x + y = 5, ou seja, y = 5 ----- x. Entªo:
a) se x = 3,62 entªo y = 5 - 3,62 = 1,38
b) se x = 1,38 entªo y = 5 - 1,38 = 3,62
Nªo encontramos, portanto, dois retângulos diferentes. As duas raízes da
equaçªo fornecem como resposta o mesmo retângulo. Suas medidas apro-
ximadas sªo 3,62 m e 1,38 m, nªo importando qual delas Ø o comprimento
ou a largura.
{
fi
fi
x =
5 ± 52 - 4×1×5
2
x =
5 ± 25 - 20
2
x =
5 ± 5
2
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A U L A Conferindo resultados
Depois de resolver um problema, Ø aconselhÆvel conferir o resultado
encontrado para verificar se ele estÆ mesmo correto. Afinal, Ø sempre possível
ocorrer algum engano. Vamos entªo conferir os resultados dos trŒs problemas
que resolvemos nesta aula.
Conferindo o problema 1
Nesse problema, encontramos para a largura da calçada x = 1,4 m, aproxi-
madamente. Vamos entªo calcular a Ærea da calçada usando esse valor:
`rea da calçada = 1,4² + 30 . 1,4 + 20 . 1,4
= 1,96 + 42 + 2,8
= 71,96
que Ø aproximadamente 72. Se o operÆrio tem 72 m† de lajotas para fazer
a calçada, entªo a largura de 1,4 m estÆ certa.
Conferindo o problema 2
Concluímos nesse problema que Joªo adquiriu 8 camisetas na primeira
compra e 9 na segunda. Vamos entªo calcular o valor de y, que Ø o preço de
cada camiseta na primeira compra.
Temos x = 8 e a equaçªo xy = 96. Logo,
8y = 96
y = 96 = 12 8
Entªo, cada camiseta custou R$ 12,00.
Vamos agora conferir a segunda compra. Sabemos que ele comprou
9 camisetas e cada uma custou R$ 10,00, ou seja, R$ 2,00 a menos. Entªo, ele
gastou 9 • 10 = 90 reais, o que confere com o enunciado.
Conferindo o problema 3
Nesse problema, concluímos que as medidas do retângulo devem ser 3,62
m e 1,38 m. Vamos entªo conferir sua Ærea.
`rea do retângulo = 3,62 . 1,38 = 4,9956 m², que Ø aproximadamente 5 m²,
como pede o enunciado. Nossa resposta, portanto, estÆ certa.
Exercício 1
Os nœmeros 1, 2, 3, 4 ... sªo chamados de nœmeros naturais. Cada nœmero
natural possui um consecutivo, que Ø o nœmero que vem depois dele.
Por exemplo, o consecutivo de 1 Ø 2. O consecutivo de 8 Ø 9 etc.
Multiplicando-se um nœmero natural por seu consecutivo, encontramos
132. Que nœmero Ø esse?
Exercício 2
Um triângulo retângulo tem hipotenusa 15. Um dos catetos tem 3 unidades
a mais que o outro. Qual Ø o perímetro desse triângulo?
Sugestªo: Chame o menor cateto de x e recorra ao Teorema de PitÆgoras.
Exercícios
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A U L AExercício 3
Um terreno retangular tem50 m² de Ærea. Diminuindo seu comprimento
em 3 m e aumentando sua largura em 2 m, o terreno transforma-se em um
quadrado. Qual Ø a Ærea desse quadrado?
Sugestªo: Observe a figura abaixo:
Exercício 4
Um grupo de pessoas saiu para almoçar em um restaurante, sendo que trŒs
delas sªo mulheres. A conta, de R$ 72,00, foi inicialmente dividida entre todos,
mas depois os homens resolveram que, por gentileza, as mulheres nªo deve-
riam pagar. Entªo, cada homem contribuiu com mais R$ 4,00 e a conta foi
paga. Quantas pessoas havia no grupo?
Sugestªo: Escolha as seguintes incógnitas:
x = nœmero de pessoas do grupo
y = valor que cada um deveria pagar
a) Se a conta foi de R$ 72,00, qual Ø a primeira equaçªo?
b) Se existem 3 mulheres no grupo, quantos sªo os homens?
c) Se, no pagamento, cada homem contribuiu com mais R$ 4,00, qual Ø
a segunda equaçªo?
Exercício 5
Na figura abaixo existem 20 pontos arrumados em 5 linhas e 4 colunas:
Imagine que 480 soldados estªo formados, arrumados em linhas e colunas.
O nœmero de linhas Ø 4 unidades maior que o nœmero de colunas. Quantas
sªo as linhas e as colunas dessa formaçªo?
x 3
x
2
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1 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r 
 
Exercícios de Matemática 
Equações de Segundo Grau 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO 
(Ufba 96) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos 
parênteses a soma dos itens corretos. 
 
1. Considerando-se os conjuntos 
 
A = { x Æ IN, x < 4 }, 
B = { x Æ Z, 2x + 3 = 7 }, 
C = { x Æ IR, x£ + 5x + 6 = 0 }, 
 
é verdade que: 
 
 
 
Soma ( ) 
 
2. (Ita 2001) O conjunto de todos os valores de m 
para os quais a função 
 
 
 
está definida e é não-negativa para todo x real é: 
a) [1/4, 7/4[ 
b) ]1/4, ¶[ 
c) ]0, 7/4[ 
d) ]-¶, 1/4] 
e) ]1/4, 7/4[ 
 
3. (Unitau 95) Qual é o valor da soma dos inversos 
dos quadrados das duas raízes da equação 
x£+x+1=0? 
 
4. (Cesgranrio 95) A maior raiz da equação -
2x£+3x+5=0 vale: 
a) -1 
b) 1 
c) 2 
d) 2,5 
e) (3 + Ë19)/4 
 
5. (Fuvest 96) Sejam x e x‚ as raízes da equação 
10x£+33x-7=0. O número inteiro mais próximo do 
número 5xx‚+2(x+x‚) é: 
a) - 33 
b) - 10 
c) - 7 
d) 10 
e) 33 
 
 
 
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6. (Ita 96) Seja ‘ um número real tal que ‘>2(1+Ë2) 
e considere a equação x£-‘x+‘+1=0. Sabendo que 
as raízes reais dessa equação são as cotangentes de 
dois dos ângulos internos de um triângulo, então o 
terceiro ângulo interno desse triângulo vale: 
a) 30° 
b) 45° 
c) 60° 
d) 135° 
e) 120° 
 
7. (Ufpe 96) Se x é um número real positivo tal que ao 
adicionarmos 1 ao seu inverso obtemos como 
resultado o número x, qual é o valor de x? 
a) (1 - Ë5)/2 
b) (1 + Ë5)/2 
c) 1 
d) (1 + Ë3)/2 
e) (1 + Ë2)/2 
 
8. (Puccamp 95) Considere as seguintes equações: 
 
 I. x£ + 4 = 0 
 II. x£ - 2 = 0 
III. 0,3x = 0,1 
 
Sobre as soluções dessas equações é verdade que 
em 
a) II são números irracionais. 
b) III é número irracional. 
c) I e II são números reais. 
d) I e III são números não reais. 
e) II e III são números racionais. 
 
9. (Uel 94) Os valores de m, para os quais a equação 
3x£-mx+4=0 tem duas raízes reais iguais, são 
a) - Ë5 e 2Ë5 
b) - 4Ë3 e 4Ë3 
c) 3Ë2 e -3Ë2 
d) 2 e 5 
e) - 6 e 8 
 
10. (Uel 96) Sabe-se que os números reais ‘ e ’ são 
raízes da equação x£-kx+6=0, na qual k Æ IR. A 
equação do 2° grau que admite as raízes ‘+1 e ’+1 
é 
a) x£ + (k+2)x + (k+7) = 0 
b) x£ - (k+2)x + (k+7) = 0 
c) x£ + (k+2)x - (k+7) = 0 
d) x£ - (k+1)x + 7 = 0 
e) x£ + (k+1)x + 7 = 0 
 
11. (Unesp 96) Seja "a" uma raiz da equação 
x£+2x+c£=0, em que c é um número real positivo. Se 
o discriminante dessa equação é menor que zero, 
então |a| é igual a 
a) c. 
b) 2c. 
c) c£. 
d) 2c£. 
e) c/2. 
 
12. (Unesp 96) Para todo número real 'a', o número '-
a' chama-se oposto de 'a' e para todo número real 'a', 
a·0, o número 1/a chama-se inverso de a. Assim 
sendo, determine todos os números reais x, x·1, tais 
que o inverso do oposto de (1-x) seja x+3. 
 
13. (Unesp 96) Dada a equação x£ + x - Ë(2) = 0, 
calcule a soma dos inversos de suas raízes. 
 
14. (Uece 96) Se x e x‚ são as raízes da equação 
3x£-2x-8=0, sendo x<x‚, então 3x‚£-2x•-8 é igual a: 
a) 2/3 
b) 8/3 
c) 16/3 
d) 20/3 
 
 
15. (Mackenzie 96) Se A = {x Æ IR tal que (4 - x£) / (4 
- 2Ñ) µ 0} e 
B = A º R_ , então os pontos (x, y) pertencentes a B 
x B definem no plano uma região de área: 
a) 1. 
b) 4. 
c) 9. 
d) 16. 
e) 25. 
 
 
 
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16. (Faap 96) Um reservatório de água está sendo 
esvaziado para limpeza. A quantidade de água no 
reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter 
começado é dada por: 
 
 V = 50 (80 - t)£ 
 
A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 
primeiras horas de escoamento é: 
a) 281.250 litros 
b) 32.350 litros 
c) 42.500 litros 
d) 38.750 litros 
e) 320.000 litros 
 
17. (Ufpe 95) Se a equação y=Ë(2x£+px+32) define 
uma função real y=f(x) cujo domínio é o conjunto dos 
reais, encontre o maior valor que p pode assumir. 
 
18. (Fei 96) A equação x£ - x + c = 0 possui duas 
raízes reais "r" e "s" tais que r=2s. Os valores de "r" e 
"s": 
a) 2/3 e 1/3 
b) 2 e 1 
c) -1/3 e -1/6 
d) -2 e -1 
e) 6 e 3 
 
19. (Cesgranrio 90) Se a equação 10x£+ bx + 2 = 0 
não tem raízes reais, então o coeficiente b satisfaz a 
condição: 
a) -4Ë5 < b < 4Ë5. 
b) b < 4Ë5. 
c) b > 4Ë5. 
d) 0 < b < 8Ë5. 
e) -8Ë5 < b < 0. 
 
20. (Cesgranrio 90) Se x e x‚ são as raízes de 
x£+57x-228 =0, então (1/x)+(1/x‚) vale: 
a) - 1/4. 
b) 1/4. 
c) -1/2. 
d) 1/2. 
e) 1/6 ou -1/6. 
 
21. (Cesgranrio 90) Se as raízes da equação x£ + bx 
+ 27 = 0 são múltiplos positivos de 3, então o 
coeficiente b vale: 
a) 12. 
b) -12. 
c) 9. 
d) -9. 
e) 6. 
 
22. (Mackenzie 97) Se x e y são números naturais 
tais que y=(x£+3)/(x+2), então x + y vale: 
a) 15 
b) 10 
c) 12 
d) 9 
e) 8 
 
23. (Cesgranrio 90) Determine o parâmetro m na 
equação x£+mx+m£-m-12=0, de modo que ela tenha 
uma raíz nula e outra positiva. 
 
24. (Unicamp 98) O índice I de massa corporal de 
uma pessoa adulta é dado pela fórmula: I = M/h£ onde 
M é a massa do corpo, dada em quilogramas, e h é a 
altura da pessoa, em metros. O índice I permite 
classificar uma pessoa adulta, de acordo com a 
seguinte tabela: 
 
 
 
a) Calcule o índice I para uma mulher cuja massa é 
de 64,0kg e cuja altura 1,60m. Classifique-a segundo 
a tabela anterior. 
b) Qual é a altura mínima para que o homem cuja 
massa é de 97,2kg não seja considerado obeso? 
 
 
 
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25. (Fatec 98) Sejam VÛ o conjunto verdade da 
equação Ë(x+8).Ë(x+3)=6 e V½ o conjunto verdade 
da equação Ë[(x+8).(x+3)]=6 no conjunto universo 
U=IR. 
 
Sobre as sentenças 
 
I. VÛ = V½ 
II. VÛ Å V½ 
III. -12 È VÛ; 1 Æ VÛ º V½; -12 Æ V½ 
 
é verdade que 
a) somente a I é falsa. 
b) somente a II é falsa. 
c) somente a III é falsa. 
d) todas são verdadeiras. 
e) todas são falsas. 
 
26. (Fatec 98) Se a equação x£ - 10x + k = 0 tem uma 
raiz de multiplicidade 2, então o valor de k é 
a) 100 
b) 25 
c) 5 
d) 1e) 0 
 
27. (Ufmg 98) A soma de todas as raízes de 
f(x)=(2x£+4x-30)(3x-1) é 
a) -5/3 
b) 5/3 
c) -3/5 
d) 3/5 
 
 
28. (Mackenzie 98) A equação (3k - 1)x£ - (2k + 3)x + 
(k - 4) = 0, em x, com k·1/3, admite duas raízes reais 
a e b tais que a<1<b. O número de valores inteiros 
que k pode assumir é: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
29. (Unirio 98) Sejam x um número real tal que a 
soma do seu quadrado com o seu triplo é menor do 
que o próprio número mais três. Determine os valores 
de x que satisfazem a condição anterior. 
 
30. (Uel 98) A soma de um número racional não 
inteiro com o dobro do seu inverso multiplicativo é 
33/4. Esse número está compreendido entre 
a) 5 e 6 
b) 1 e 5 
c) 1/2 e 1 
d) 3/10 e 1/2 
e) 0 e 3/10 
 
31. (Unirio 99) A equação f(x)=0 possui S={-2,5}, 
U=IR. Logo, o conjunto-solução da desigualdade 
f(x)·0 é igual a: 
a) { x Æ IR | x · -2 ou x · 5 } 
b) { x Æ IR | x · -2 e x · 5 } 
c) { x Æ IR | x < -2 < ou x >5 } 
d) { x Æ IR | -2 < x < 5 } 
e) IR 
 
32. (Puccamp 99) Uma bola é largada do alto de um 
edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em 
relação ao solo, t segundos após o lançamento, é 
dada pela expressão h=-25t£+625. Após quantos 
segundos do lançamento a bola atingirá o solo? 
a) 2,5 
b) 5 
c) 7 
d) 10 
e) 25 
 
33. (Puc-rio 99) Quando o polinômio x£ + x - a tem 
raízes iguais? 
 
34. (Uff 99) Na divisão dos lucros com seus 20 
acionistas, uma empresa distribuiu R$600,00 entre os 
preferenciais e R$600,00 entre os ordinários. Sabe-se 
que cada acionista preferencial recebeu R$80,00 a 
menos do que cada acionista ordinário. 
Determine quantos acionistas preferenciais esta 
empresa possui. 
 
 
 
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35. (Uff 99) Classifique cada afirmativa abaixo, em 
verdadeira ou falsa, justificando. 
 
I) ¯ x Æ IR, x < 0, Ë-x sempre existe em R. 
 
II) ¯ x Æ IR, log (-x) não existe em R. 
 
III) ¯ x Æ IR, se (x - a)£ = (x - b)£ então a = b. 
 
IV) ¯ x Æ IR, 2-Ñ < 0. 
 
V) ¯ x Æ IR, |sen x| ´ 1. 
 
36. (Ufrrj 99) Encontre o conjunto das soluções reais 
do sistema a seguir. 
 
ýx£ = y£ 
þ 
ÿx£ + y£ + 1 = -2 (x + y) 
 
37. (Ufrrj 99) Encontre o conjunto das soluções reais 
da equação a seguir. 
 
x/(x£ - 5x + 6) + (x£ - 9)/[(x - 3)£] = 1 
 
38. (Ufv 99) Sendo 2Ñ + 2-Ñ = 7, o valor da expressão 
4Ñ + 4-Ñ é: 
a) 49 
b) 14 
c) 51 
d) 45 
e) 47 
 
39. (Ufv 99) As medidas da hipotenusa e de um dos 
catetos de um triângulo retângulo são dadas pelas 
raízes da equação x£-9x+20=0. A área desse 
triângulo é: 
a) 10 
b) 6 
c) 12 
d) 15 
e) 20 
 
40. (Unicamp 2000) A soma de dois números 
positivos é igual ao triplo da diferença entre esses 
mesmos dois números. Essa diferença, por sua vez, é 
igual ao dobro do quociente do maior pelo menor. 
 
a) Encontre esses dois números. 
 
b) Escreva uma equação do tipo x£ + bx + c = 0 cujas 
raízes são aqueles dois números. 
 
41. (Pucsp 2000) Se x e y são números reais tais que 
2x+y=8, o valor máximo do produto x.y é 
a) 24 
b) 20 
c) 16 
d) 12 
e) 8 
 
42. (Unb 2000) Para fazer o percurso de 195km de 
Brasília a Goiânia, dois ciclistas partem 
simultaneamente do mesmo local em Brasília. Um 
deles, mantendo uma velocidade média superior em 
4km/h à velocidade média do outro, chega ao destino 
exatamente 1 hora antes deste. Calcule, em km/h, o 
valor absoluto da soma das velocidades médias dos 
dois ciclistas durante esse percurso, desprezando a 
parte fracionária de seu resultado, caso exista. 
 
43. (Pucmg 2001) Os números m e n são as raízes da 
equação x£-2rx+r£-1=0. O valor de m£+n£ é: 
a) 2r + 1 
b) 2 + r 
c) r£ + 1 
d) 2 (r£ + 1) 
 
 
44. (Unesp 2002) Em uma loja, todos os CDs de uma 
determinada seção estavam com o mesmo preço, y. 
Um jovem escolheu, nesta seção, uma quantidade x 
de CDs, totalizando R$ 60,00. 
 
a) Determine y em função de x. 
 
b) Ao pagar sua compra no caixa, o jovem ganhou, de 
bonificação, 2 CDs a mais, da mesma seção e, com 
isso, cada CD ficou R$ 5,00 mais barato. Com 
quantos CDs o jovem saiu da loja e a que preço saiu 
realmente cada CD (incluindo os CDs que ganhou)? 
 
 
 
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45. (Pucsp 2002) Um funcionário de certa empresa 
recebeu 120 documentos para arquivar. Durante a 
execução da tarefa, fez uma pausa para um café e, 
nesse instante, percebeu que já havia arquivado 1/(n-
1) do total de documentos (n Æ IN - {0, 1}). 
Observou também que, se tivesse arquivado 9 
documentos a menos, a quantidade arquivada 
corresponderia a 1/(n+2) do total. A partir do instante 
da pausa para o café, o número de documentos que 
ele ainda deverá arquivar é 
a) 92 
b) 94 
c) 96 
d) 98 
e) 100 
 
46. (Unicamp 2002) Uma transportadora entrega, com 
caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido a 
problemas operacionais, em um certo dia cada 
caminhão foi carregado com 500kg a menos que o 
usual, tendo sido necessário, naquele dia, alugar 
mais 4 caminhões. 
 
a) Quantos caminhões foram necessários naquele 
dia? 
 
b) Quantos quilos transportou cada caminhão naquele 
dia? 
 
47. (Puccamp 2001) Em agosto de 2000, Zuza gastou 
R$192,00 na compra de algumas peças de certo 
artigo. No mês seguinte, o preço unitário desse artigo 
aumentou R$8,00 e, com a mesma quantia que 
gastou em agosto, ele pode comprar duas peças a 
menos. Em setembro, o preço de cada peça de tal 
artigo era 
a) R$ 24,00 
b) R$ 25,00 
c) R$ 28,00 
d) R$ 30,00 
e) R$ 32,00 
 
48. (Fei 99) Uma das raízes da equação x£-x-a=0 é 
também raiz da equação x£+x-(a+20)=0. Qual é o 
valor de a? 
a) a = 10 
b) a = 20 
c) a = -20 
d) a = 90 
e) a = -9 
 
49. (Ufpi 2000) Seja f: IR ë IR a função definida por: 
 
ýf(x) = x£ - 1, se x < 1 
þ 
ÿf(x) = - x£ + 2x, se x µ 1 
 
A equação f(x) = 0 possui: 
a) 1 solução 
b) 2 soluções 
c) 3 soluções 
d) 4 soluções 
e) nenhuma solução 
 
50. (Puc-rio 2000) A diferença entre as raízes do 
polinômio x£+ax+(a-1) é 1. Quanto vale a? 
 
51. (Ufal 2000) As afirmações seguintes referem-se a 
uma equação da forma ax£+bx+c=0, com a, b, c 
constantes reais e a·0 
 
( ) A equação dada sempre tem duas raízes reais. 
( ) A equação dada pode ter duas raízes reais 
iguais. 
( ) Se b£ - 4ac < 0, a equação tem duas raízes 
complexas. 
( ) Se b£ - 4ac < 0, a equação não tem raízes. 
( ) A equação dada pode ter duas raízes não reais 
e iguais. 
 
52. (Ufc 2000) O teorema de Ptolomeu afirma que 
"em todo quadrilátero convexo inscritível a soma dos 
produtos das medidas dos lados opostos é igual ao 
produto das medidas das diagonais". Use esse 
teorema para mostrar que: se d e Ø representam, 
respectivamente, as medidas da diagonal e do lado 
de um pentágono regular, então d/Ø=(1+Ë5)/2. 
 
53. (Uflavras 2000) Calcule o valor de x na expressão 
 
 Ëx + Ë[x - Ë(1 - x)] =1 
 
 
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54. (Uflavras 2000) Uma empreiteira destinou 
originalmente alguns operários para a construção de 
uma obra de 72m£. Como 4 deles foram demitidos 
antes do início da obra, os demais tiveram que 
trabalhar 9m£ a mais cada um para compensar. 
 
a) Qual o número de operários originalmente 
designadospara a obra? 
 
b) Qual a porcentagem de operários demitidos? 
 
55. (Ufpe 2000) Os alunos de uma turma resolveram 
comprar um presente custando R$ 48,00 para o 
professor de Matemática, dividindo igualmente o 
gasto entre eles. Depois que 6 alunos recusaram-se a 
participar da divisão, cada um dos alunos restantes 
teve que contribuir com mais R$ 0,40 para a compra 
do presente. Qual a percentagem de alunos da turma 
que contribuíram para a compra do presente? 
a) 85% 
b) 65% 
c) 60% 
d) 80% 
e) 75% 
 
56. (Ufpel 2000) Se y é uma constante e x e x‚ são 
raízes da equação x£+6x.cosy+9=0 em U=C 
(Conjunto dos Números Complexos), o módulo de 
(x+x‚) é 
a) 3 (sen y + cos y) 
b) 18 
c) 6 sen y 
d) 3 cos y 
e) 6 cos y 
 
57. (Mackenzie 2001) Para que a equação kx£ + x + 1 
= 0, com k inteiro e diferente de zero, admita uma raiz 
inteira, deveremos ter k igual a: 
a) -4 
b) 2 
c) 4 
d) -2 
e) 8 
 
58. (Ufmg 2002) O quadrado da diferença entre o 
número natural x e 3 é acrescido da soma de 11 e x. 
O resultado é, então, dividido pelo dobro de x, 
obtendo-se quociente 8 e resto 20. 
A soma dos algarismos de x é 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 2 
 
 
59. (Fgv 2002) A soma das raízes da equação (x£-
2xË2+Ë3).(x£-xË2-Ë3)=0 vale: 
a) 0 
b) 2Ë3 
c) 3Ë2 
d) 5Ë6 
e) 6Ë5 
 
60. (Fuvest 2003) No segmento åè, toma-se um 
ponto B de forma que AB/BC = 2 BC/AB. Então, o 
valor de BC/AB é: 
 
 
 
 
 
 
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61. (Fuvest 2003) As soluções da equação 
 
 
onde a · 0, são: 
a) -a/2 e a/4 
b) -a /4 e a/4 
c) -1/2a e 1/2a 
d) -1/a e 1/2a 
e) -1/a e 1/a 
 
62. (Ufrrj 2004) Se a e b são raízes não nulas da 
equação x£-6ax+8b=0, calculando 2a+b, temos 
a) 5. 
b) 42. 
c) 48. 
d) 56. 
e) 40. 
 
63. (Pucpr 2005) Sejam "x" e "x‚" números reais, 
zeros da equação 
(2 - k)x£ + 4kx + k + 1 = 0. 
Se x > 0 e x‚ < 0, deve-se ter: 
a) k > 0 
b) 0 < k < 3 
c) k < -1 ou k > 2 
d) -1 < k < 2 
e) k > 2 
 
64. (Ufc 2006) O produto das raízes reais da equação 
4x£ - 14x + 6 = 0 é igual a: 
a) - 3/2 
b) - 1/2 
c) 1/2 
d) 3/2 
e) 5/2 
 
65. (Ufrrj 2006) A soma de dois números é 6, e a 
soma de seus quadrados é 68. O módulo da 
diferença desses dois números é 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10. 
 
66. (Pucrj 2006) Ache um valor de m tal que as duas 
soluções da equação x(x + 1) = m (x + 2) sejam 
iguais. 
 
67. (Fatec 98) Seja a equação x£ + 4 = 0 no conjunto 
Universo U=C, onde C é o conjunto dos números 
complexos . 
Sobre as sentenças 
 
I. A soma das raízes dessa equação é zero. 
II. O produto das raízes dessa equação é 4. 
III. O conjunto solução dessa equação é {-2,2} 
 
é verdade que 
a) somente a I é falsa. 
b) somente a II é falsa. 
c) somente a III é falsa. 
d) todas são verdadeiras. 
e) todas são falsas. 
 
 
 
 
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GABARITO 
 
1. 01 + 04 + 16 = 21 
 
2. [D] 
 
3. -1 
 
4. [D] 
 
5. [B] 
 
6. [D] 
 
7. [B] 
 
8. [A] 
 
9. [B] 
 
10. [B] 
 
11. [A] 
 
12. x = -1 + Ë5 ou x = -1 -Ë5 
 
13. Ë2/2 
 
14. [D] 
 
15. [B] 
 
16. [D] 
 
17. 16 
 
18. [A] 
 
19. [A] 
 
20. [B] 
 
21. [B] 
 
22. [D] 
 
23. m = - 3 
 
24. a) I = 25 e a mulher é levemente obesa. 
b) A altura mínima é 1,8 m. 
 
25. [A] 
 
26. [B] 
 
27. [A] 
 
28. [B] 
 
29. -3 < x < 1 
 
30. [E] 
 
31. [B] 
 
32. [B] 
 
33. a = - 0,25 
 
34. O número de acionistas preferenciais é 15. 
 
35. I) Verdadeira pois Ë-x para ser um número real, -
xµ0 ë x´0 Portanto, para todo x Æ IR, Ë-x existe 
em IR. 
 
II) Falsa pois log(-x) para ser um número real, -x>0 
ë x<0 Portanto existe x Æ IR÷* para o qual log(-x) 
existe. 
 
III) Verdadeira, pois (x-a)£=(x-b)£ ë x£-2ax+a£=x£-
2bx+b£ 
ý2a = 2b 
þ 
ÿa£ = b£ 
 
ýa = b 
þ ë a = b 
ÿa = •b 
 
IV) Falsa pois 2-Ñ=1/2Ñ e 2Ñ>0, ¯ x Æ IR. Então 
2-Ñ>0, ¯ x Æ IR. 
 
V) Verdadeira, pois -1´sen x´1, ¯ x Æ IR. 
 
36. V = {[(-2-Ë2)/2, (-2-Ë2)/2], [(-2+Ë2)/2, (-2+Ë2)/2]} 
 
37. V = {12/7} 
 
 
 
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38. [E] 
 
39. [B] 
 
40. a) 8 e 4 
 
b) x£ - 12x + 32 = 0 
 
41. [E] 
 
42. 56 
 
43. [D] 
 
44. a) y = 60/x. 
 
b) 6 CDs e R$ 10,00. 
 
45. [C] 
 
46. a) 24 
 
b) 2.500 kg 
 
47. [E] 
 
48. [D] 
 
49. [B] 
 
50. a = 1 ou a = 3 
 
51. F V V F F 
 
52. Considere a figura: 
 
 
 
Sejam Ø e d respectivamente as medidas do lado e da 
diagonal do pentágono regular. 
Aplicando o Teorema de Ptolomeu ao quadrilátero 
BCDE temos d£=Ø£+Ød. Daí d£-Ød-Ø£=0 e portanto 
 
d = [Ø • Ë(Ø£ + 4Ø£)]/2 
d = (Ø • Ø Ë5)/2. 
 
Como d > 0, temos d = (Ø • Ø Ë5)/2 e assim 
d/Ø=(1+Ë5)/2. 
 
53. V = {16/25} 
 
54. a) 8 operários 
 
b) 50 % 
 
55. [D] 
 
56. [E] 
 
57. [D] 
 
58. [A] 
 
59. [C] 
 
60. [B] 
 
61. [E] 
 
62. [D] 
 
63. [C] 
 
64. [D] 
 
65. [E] 
 
66. m = - 3 + Ë8 ou m = - 3 - Ë8 
 
67. [C] 
 
 
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1. Limites
Considere a função 
1
1)(
2
−
−
==
x
xxfy . )(xf é definida no domínio }1/{ ≠ℜ∈ xx . 
Fatorando o numerador e cancelando os fatores comuns, obtemos 1+= xy , uma forma 
simplificada para 1≠x . 
Portanto, o gráfico de )(xfy = é a reta 1+= xy sem o ponto (1, 2). Embora )1(f não esteja 
definido, podemos obter valores de )(xf muito próximos de 2. Para isto, basta escolhermos para x 
valores bem próximos de 1.
Na proximidade esquerda de x = 1 temos:
x f(x)
0 1
0,5 1,5
0,9 1,9
0,99 1,99
0,999 1,999
0,9999 1,9999
 y
 2
 1
 -1 0 1 2 x
Na proximidade direita de x = 1 temos:
x f(x)
2 3
1,5 2,5
1,1 2,1
1,01 2,01
1,001 2,001
1,0001 2,0001
 y
 2
 1
 -1 0 1 2 x
1.1 Tendência de uma variável.
 x x x
1,8 2,5 2,5
1,89 2,1 1,89
1,956 2,04 2,04
1,9934 2,015 1,956
1,9995 2,007 2,007
1,99994 2,0003 1,9995
2,0 2,0 2,0
x 2,0- x 2,0+ x 2,0 + 
Aquele que sabe o que quer já percorreu um longo caminho para alcança-lo. (Harold Shermam)
1
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1.2 Limites laterais de uma função.
Considere a função 
2
)2)(43()(
−
−+
==
x
xxxfy . )(xf é definida no domínio}2/{ ≠ℜ∈ xx . 
Fatorando o numerador e cancelando os fatores comuns, obtemos 43 += xy , uma forma 
simplificada para 2≠x . 
Portanto, o gráfico de )(xfy = é a reta 43 += xy sem o ponto (2, 10). Embora )2(f não 
esteja definido, podemos obter valores de )(xf muito próximos de 10. Para isto, basta escolhermos 
para x valores bem próximos de 2.
Na proximidade esquerda de x = 2 temos:
x f(x)
1 7
1,5 8,5
1,9 9,7
1,99 9,97
1,999 9,997
1,9999 9,9997
 y
 10
 
 4
 0 1 2 x
Na proximidade direita de x = 2 temos:
x f(x)
3 13
2,5 11,5
2,1 10,3
2,01 10,03
2,001 10,003
2,0001 10,0003
 y
 10
 
 4
 0 1 2 x
Dizemos que a função 
2
)2)(43()(
−
−+
=
x
xxxf tem limite 10 quando x se aproxima de 2, por
números maiores ou menores que 2 e escrevemos:
10
2
)2)(43(lim
2
=
−
−+
→ x
xx
x
Dizemos que 
f(x) fica muito próximo de 10 quando x se aproxima de 2, ou ainda que
f(x) tem limite 10 ( f(x) tende para 10 ) quando x  2 ( x tende para 2 ).
Aquele que sabe o que quer já percorreu um longo caminho para alcança-lo. (Harold Shermam)
2
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Dizemos que 
f(x) tem limite lateral a esquerda igual a 10 quando x  2-.
f(x) tende para 10 quando x tende para 2 e x < 2.
f(x) tem limite lateral a direita igual a 10 quando x  2+.
f(x) tende para 10 quando x tende para 2 e x > 2.
E escrevemos
10
2
)2)(43(lim
2
=
−
−+
−→ x
xx
x
,
10
2
)2)(43(lim
2
=
−
−+
+→ x
xx
x
Alguns limites podem ser encontrados por substituição direta ou mediante uma simplificação.
Exemplo 01: Considere a função 25)( +== xxfy . Então 
12225)25(lim)(lim
22
=+×=+=
−− →→
xxf
xx
(limite lateral a esquerda)
12225)25(lim)(lim
22
=+×=+=
++ →→
xxf
xx
(limite lateral a direita)
12225)25(lim)(lim
22
=+×=+=
→→
xxf
xx
Exemplo 02: Considere a função 2,
2
8)(
3
≠
−
−
== x
x
xxfy . Observe que
42
2
)42)(2(
2
8 223 ++=
−
++−
=
−
− xx
x
xxx
x
x
A fatoração de 83 −x pode ser obtida mediante o algoritmo de Ruffini. Veja logo abaixo.
12)42(lim)
2
8(lim)(lim 2
2
3
22
=++=
−
−
=
−−− →→→
xx
x
xxf
xxx
(limite lateral a esquerda)
12)42(lim)
2
8(lim)(lim 2
2
3
22
=++=
−
−
=
+++ →→→
xx
x
xxf
xxx
(limite lateral a direita)
12)42(lim)
2
8(lim)(lim 2
2
3
22
=++=
−
−
=
→→→
xx
x
xxf
xxx
Aquele que sabe o que quer já percorreu um longo caminho para alcança-lo. (Harold Shermam)
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Algoritmo de Briot-Ruffini: Divisão de 83 −x por x – 2.
x3 x2 x C
x - 2 1 0 0 -8
2 1 (2x1+0) = 2 (2x2+0) = 4 (2x4-8) = 0
1 2 4 0
Resultado da divisão: 422 ++ xx
1.3 Limite de uma função.
Dizemos que a função f tem limite L quando x se aproxima de a, se o valor de f(x) se aproxima
do número L.
Denotamos esse fato por: Lxf
ax
=
→
)(lim
Também costumamos dizer que 
L é o limite de f(x) quando x tende para a.
Dizemos que existe o limite )(lim xf
ax →
 quando existem os limites laterais
 )(lim xf
ax −→
, )(lim xf
ax +→
 e )(lim)(lim xfxf
axax +− →→
= . 
Neste caso, )(lim)(lim)(lim xfxfxf
axaxax +− →→→
==
Exemplo 03: Calcule os limites laterais e o limite da função )(xf quando x  0, caso existam.
 



>+
=
<−
=
04
00
01
)(
2
2
xsex
xse
xsex
xf
1101lim )(lim 2
00
−=−=−=
−− →→
xxf
xx
4404lim )(lim 2
00
=+=+=
++ →→
xxf
xx
Como )(lim )(lim
00
xfxf
xx +− →→
≠ , então )(lim
0
xf
x →
 não existe.
Exemplo 04: Calcule o limite da função f(x) quando x -> 0, caso exista.
||
)(
x
xxf =
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Desde que 

<−
≥
=
0 se 
0 se 
| |
xx
xx
x , temos que
11limlim )(lim
000
−=−=
−
=
−−− →→→ xxx x
xxf , 
11limlim )(lim
000
===
+++ →→→ xxx x
xxf , logo
 )(lim
0
xf
x →
 não existe.
1.4 Utilização em Administração
• Determinação de valores máximos e mínimos
• Auxílio na confecção de gráficos
• Determinação do custo e receitas marginais
1.5 Teoremas sobre Limites
(1) Teorema da unicidade: 
Se existe )(lim xf
ax →
, então este limite é único.
Dada uma função f(x), se 1)(lim Lxf
ax
=
→
 e 2)(lim Lxf
ax
=
→
, então, L1=L2. 
Em palavras, só existe um único limite para uma função em um determinado ponto.
(2) Limite da função constante:
Se c é uma constante, então, para qualquer número a, o limite de c quando x tende 
para a é igual a c 
cc
ax
=
→
lim
O valor do limite para qualquer ponto de uma função constante f(x) = c é o próprio valor 
de c.
O limite de uma função constante é a própria constante.
Exemplo 05: 55lim
3
=
→x
; 55lim
0
=
→x
; 55lim
2
=
−
→x
(3) Limite da função identidade:
O limite da função identidade xxf =)( , quando ax → , é igual a a 
Aquele que sabe o que quer já percorreu um longo caminho para alcança-lo. (Harold Shermam)
5
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ax
ax
=
→
lim
Exemplo 06: 3lim
3
=
→
x
x
; 0lim
0
=
→
x
x
; 3lim
3
−=
−
→
x
x
(4) Limite da função afim: 
Se m e b são constantes quaisquer, então, bmabmx
ax
+=+
→
lim
O limite de uma função afim (1o grau) em um determinado ponto é o valor da função no 
ponto.
Exemplo 06: 23320345)35(lim
4
=+=+×=+
→
x
x
;
208128)3(4)84(lim
3
=+=+−×−=+−
−
→
x
x
(5) Limite da soma:
O limite da soma é a soma dos limites 
)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax →→→
+=+
Exemplo 07: 23)35(lim
4
=+
→
x
x
8)84(lim
4
−=+−
→
x
x
)84(lim)35(lim)]84()35[(lim
444
+−++=+−++
→→→
xxxx
xxx
 15823 =−=
(6) Limite da diferença:
O limite da diferença é a diferença dos limites 
)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax →→→
−=− 
Exemplo 08: 23)35(lim
4
=+
→
x
x
8)84(lim
4
−=+−
→
x
x
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)84(lim)35(lim)]84()35[(lim
444
+−−+=+−−+
→→→
xxxx
xxx
 31)8(23 =−−=
(7) Limite do produto:
O limite do produto é o produto dos limites 
)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf
axaxax →→→
×=×
Exemplo 09: 23)35(lim
4
=+
→
x
x
8)84(lim
4
−=+−
→
x
x
)84(lim)35(lim)]84()35[(lim
444
+−×+=+−×+
→→→
xxxx
xxx
 184)8(23 −=−×=
(8) Limite do produto de uma constante por uma função:
)(lim))((lim xgkxgk
axax →→
=
É um caso particular do limite do produto, basta fazer kxf =)(
(9) Limite do quociente: 
O limite do quociente é o quociente dos limites: 
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
→
→
→
=
Exemplo 10: 23)35(lim
4
=+
→
x
x
8)84(lim
4
−=+−
→
x
x
875,2
8
23
)84(lim
)35(lim
84
35lim
4
4
4
−=
−
=
+−
+
=
+−
+
→
→
→ x
x
x
x
x
x
x
(10) Limite da potência: 
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O limite da potência inteira nxf )]([ é a potência inteira do limite da função 
n
ax
n
ax
xfxf )](lim[)]([lim
→→
=
Exemplo 10: 3)175(lim
4
=−
→
x
x
2433)]175(lim[)175(lim 55
4
5
4
==−=−
→→
xx
xx
(11) Limite da raiz n-ésima: 
O limite da raiz n-ésima n xf )]([ é a raiz n-ésima do limite da função:
 n
ax
n
ax
xfxf )](lim[)]([lim
→→
=
Exemplo 11: 3)175(lim
4
=−
→
x
x
33 53 5
4
3 5
4
2433)]175(lim[)175(lim ==−=−
→→
xx
xx
Exemplos: 
Exemplo 12: Se xxf =)( , temos:
3lim)(lim
33
==
→→
xxf
xx
0lim)(lim
00
==
→→
xxf
xx
3lim)(lim
33
−==
−
→
−
→
xxf
xx
 
Exemplo 13: Se 10)( =xf , temos:
1010lim)(lim
33
==
→→ xx
xf
1010lim)(lim
00
==
→→ xx
xf
1010lim)(lim
33
==
−
→
−
→ xx
xf 
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Exemplo 14: Se xxf −= 3)( , temos:
033lim3lim)3(lim)(lim
3333
=−=−=−=
→→→→
xxxf
xxxx
 
Exemplo 15: Se 75)( 2 −+= xxxf , temos:
 
77007lim5limlim)75(lim)(lim
00
2
0
2
00
−=−+=−+=−+=
→→→→→ xxxxx
xxxxxf
Exemplo 16: Se )4)(14()( 32 +−+= xxxxf , temos:
=+−+=+−+=
→→→→
)4(lim)14(lim)]4)(14[(lim)(lim 3
2
2
2
32
22
xxxxxxxf
xxxx
 
1321211)48)(184()4limlim)(1lim4limlim(
2
3
222
2
2
=×=+−+=+−+=
→→→→→ xxxxx
xxx 
Exemplo 17: Se 
1
1)( 2
2
+
−
=
x
xxf , temos:
5
4
10
8
19
19
1limlim
1limlim
1lim
1lim
1
1lim
3
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
==
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
→→
→→
→
→
→
xx
xx
x
x
x x
x
x
x
x
x
Exemplo 18: Se 43 )2()( xxxf += temos:
813)21()2limlim()]2(lim[)2(lim 444
1
3
1
43
1
43
1
==+=+=+=+
→→→→
xxxxxx
xxxx
Exemplo 19: Se 
1
1)( 3
3
+
−
=
x
xxf temos: 
9
7
18
18
1lim
1lim
1
1lim
1
1lim 3
2
3
2
3
3
23
3
2
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
→
→
→→ x
x
x
x
x
x
x
x
xx
1.5 Exercícios: 
Calcule, se existir, os limites: 
)73(lim.1 5 −xx )25(lim.2 4 +− xx
)12(lim.3 22 −− xxx )542(lim.4
2
3 +− xxx
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)8(lim.5 32 +− xx )432(lim.6
23
1 −+−− xxxx
15
54lim.7 3
−
−
x
x
x 18
43lim.8 2
−
+
x
x
x
62
5lim.9
2
2 +
−
x
x
x 43
12lim.10 21 +−
+
− xx
x
x
3
18lim.11 1 +
+
x
x
x 1
43lim.12 3
2
1
−
++
− x
xx
x
7
49lim.13
2
7
−
−
x
x
x 5
25lim.14
2
5 +
−
− x
x
x
32
94lim.15
2
2
3
+
−
− x
x
x 19
13lim.16 2
3
1
−
−
x
x
x
492
1683lim.17 2
2
4 +−
−−
xx
xx
x 36254
20173lim.18 2
2
4 +−
+−
xx
xx
x
2
8lim.19
3
2 +
+
− x
x
x 1
1lim.20
3
1
−
−
x
x
x
372
9lim.21 2
2
3 ++
−
− xx
x
x 94
278lim.22 2
3
2
3
−
−
x
x
x
1
1lim.23 1
−
−
x
x
x 1
25lim.24 1 +
−+
− x
x
x
x
x
x
22lim.25 0
−+
1
1lim.26
3
1
−
−
x
x
x
23
10lim.27 2
23
0 ++
+−−
xx
xxx
x 562
32lim.28 23
2
0
−++
−−
xxx
xx
x



≥−
<≤−
−<+
=
39
334
39
)(
2
2
xsex
xse
xsex
xffunçãoaDada 
 )(lim)29(
3
xfCalcule
x −→
)(lim)30(
0
xfCalcule
x →
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)(lim)31(
3
xfCalcule
x →
Calcule, se existir, os limites 
 |)|(lim)1(
1
xx
x
−
−→
|)|(lim)2(
1
xx
x
−
+→
|)|(lim)3(
1
xx
x
−
→
 
||
lim)4(
0 x
x
x −→
||
lim)5(
0 x
x
x +→ ||
lim)6(
0 x
x
x →
1
1lim)7(
2
1
−
−
−→ x
x
x 1
1lim)8(
2
1
−
−
+→ x
x
x
1
1lim)9(
2
1
−
−
→ x
x
x


<+
≥−
=
→ 02
02
)()(lim)10(
0 xsex
xsex
xfparaxfCalcule
x
 


<−
≥+−
=
→ 012
012
)()(lim)11(
0 xsex
xsex
xfparaxfCalcule
x
 
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1.6 Limites infinitos.
Dizemos que a função f tem limite infinito (+∞) quando x se aproxima de a, se o valor de f(x) 
se torna muito grande.
Denotamos esse fato por: + ∞=
→
)(lim xf
ax
Também costumamos dizer que 
+∞ é o limite de f(x) quando x tende para a.
Dizemos que a função f tem limite menos infinito (-∞) quando x se aproxima de a, se o valorde 
f(x) se torna negativo e muito grande em valor absoluto.
Denotamos esse fato por: − ∞=
→
)(lim xf
ax
Também costumamos dizer que 
- ∞ é o limite de f(x) quando x tende para a.
Exemplo 20: Considere a função 0 ,1)( ≠= x
x
xf
x f(x)
-1 -1
-0,5 -2
-0,1 -10
-0,01 -100
-0,001 -1000
-0,0001 -10000
x f(x)
1 1
0,5 2
0,1 10
0,01 100
0,001 1000
0,0001 10000
Podemos dizer então que:
 − ∞===
−→→ −− 0
11lim)(lim
00 x
xf
xx
+ ∞===
+→→ ++ 0
11lim)(lim
00 x
xf
xx
Exemplo 21: Calcule os limites laterais e o limite da função )(xf quando x  0, caso existam, 
onde:
(a) 0 ,1)( 2 ≠= xx
xf b) 0 ,1)( 3 ≠= xx
xf
(a) + ∞=== +→→ −− 0
11lim)(lim 200 x
xf
xx
e + ∞===
+→→ ++ 0
11lim)(lim 200 x
xf
xx
;
Então, + ∞==
→→ 200
1lim)(lim
x
xf
xx
1
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(a) − ∞===
−→→ −− 0
11lim)(lim 300 x
xf
xx
e + ∞===
+→→ ++ 0
11lim)(lim 300 x
xf
xx
;
Então, existenão
x
xf
xx
 1lim)(lim 300 == →→
Gráfico de 0 ,1)( 2 ≠= xx
xf
Gráfico de 0 ,1)( 3 ≠= xx
xf
Se r é um número inteiro positivo, então 
− ∞===
−→→ −− 0
11lim)(lim
00 rxx x
xf se r for impar;
+ ∞===
+→→ −− 0
11lim)(lim
00 rxx x
xf se r for par e
+ ∞===
+→→ ++ 0
11lim)(lim
00 rxx x
xf qualquer que seja r par ou 
impar;
1.7 Exercícios: 
Calcule, se existir, os limites: 
2
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4
2lim)01( 22
−
+
x
x
x 22 )2(
2lim)02(
−
+−
x
x
x
x
x
x
2
0
3lim)03( + 2
2
0
3lim)04(
x
x
x
+
3
9lim)05(
2
3
−
−
x
x
x 4
16lim)06(
2
4
−
−
x
x
x
)11(lim)07( 20 xxx
− )
4
1
2
1(lim)08( 22
−
−
− xxx
1.8 Propriedades: 
(1) Se + ∞=)(lim xfax e cxgax =)(lim , onde c é uma constante, então 
 + ∞=++ ∞=+ cxgxfax )]()([lim
(2) Se + ∞=)(lim xfax e cxgax =)(lim , onde c é uma constante, então 
 + ∞=−+ ∞=− cxgxfax )]()([lim
(3) Se − ∞=)(lim xfax e cxgax =)(lim , onde c é uma constante, então 
 − ∞=+− ∞=+ cxgxfax )]()([lim
(4) Se − ∞=)(lim xfax e cxgax =)(lim , onde c é uma constante, então 
 − ∞=−− ∞=− cxgxfax )]()([lim
Exemplo 22: Se + ∞=20
1lim
xx
 e 33lim0 =+xx , então 
+ ∞=++ ∞=++ 331lim 20 xxx
(5) Se + ∞=)(lim xfax e cxgax =)(lim , onde c é uma constante qualquer diferente 
de zero, então 
(i) ⇒> 0c + ∞=×+ ∞=× cxgxfax )]()([lim
(ii) ⇒< 0c − ∞=×+ ∞=× cxgxfax )]()([lim
Exemplo 23: Se + ∞=20
1lim
xx
 e 33lim0 =+xx , então 
3
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+ ∞=×+ ∞=+× 3)3()1(lim 20 xxx
(6) Se − ∞=)(lim xfax e cxgax =)(lim , onde c é uma constante qualquer diferente 
de zero, então 
(i) ⇒> 0c − ∞=×− ∞=× cxgxfax )]()([lim
(ii) ⇒< 0c + ∞=×− ∞=× cxgxfax )]()([lim
Exemplo 23: Se − ∞=− 20
1lim
xx
 e 33lim0 =+xx , então 
− ∞=×− ∞=+×− 3)3()1(lim 20 xxx
Exemplo 24: Se a é um número qualquer não nulo, então 
axax
11lim = 
Exemplo 25: Como − ∞==
−
−
0
11lim0 xx
 e + ∞==
+− 0
11lim0 xx
, então 
 
xx
1lim0 não existe.
1.9 Exercícios: 
1
12lim)01(
2
1
−
+−
− x
xx
x x
x
x
24lim)02( 0
−+
322
lim)03( 231 +−− xxx
x
x 5
2lim)04( 5 +− xx
xx /10 21
1lim)05(
+
+
1.10 Limites no infinito.
Se os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de um número L, a medida que x cresce 
indefinidamente, então dizemos que
Lxfx =∞+ )(lim
Analogamente, se os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de um número L, a medida 
que x dcresce indefinidamente, então dizemos que
Lxfx =∞− )(lim
1.11 Exercícios 
4
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Determinar os limites das seguintes funções quando ∞→− ∞→ xex :
3
9.1
2
−
−
x
x
4
16.2
2
+
−
x
x
65
96.3 2
2
++
+−
xx
xx
2
2
)3(
9.4
−
−
x
x
16
)4(.5 2
2
−
+
x
x
54
556.6 2
2
−+
−−
xx
xx
7
49.7
2
−
−
x
x
5
25.8
2
+
−
x
x
32
94.9
2
+
−
x
x
19
13.10 2
−
−
x
x
492
1683.11 2
2
+−
−−
xx
xx
36254
20173.12 2
2
+−
+−
xx
xx
2
8.13
3
+
+
x
x
1
1.14
3
−
−
x
x
1
1.15
−
−
x
x
1
25.16
+
−+
x
x
x
x 22.17 −+
1
1.18
3
−
−
x
x
96.19 2 +− xx 985.20 2 +−− xx
9
12
85.20 2 +
+−
−−
x
xx
xx
xx 9
1
85.21 2
2 +
−
−−
984
985.22 2
2
++
+−−
xx
xx
1.12 Funções contínuas.
5
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Dizemos que y = f(x) é contínua no ponto x= a se
(1) existe o limite de f(x) quando x  a
(2) y = f(x) está definida no ponto x = a
(3) )()(lim afxf
ax
=
→
Exemplo 26: A função 2)( xxf = é contínua no ponto x = 0 pois
(1) 0lim)(lim 2
00
==
→→
xxf
xx
(2) 00)0( 2 ==f
(3) )0(0lim)(lim
2
00
fxxf
xx
===
→→
Exemplo 27: A função 0 ,1)( ≠= x
x
xf não é contínua no ponto x = 0 pois
(1) existenão
x
xf
xx
 1lim)(lim
00
==
→→
, pois
+ ∞=
+→ xx
1lim
0
 e − ∞=
−→ xx
1lim
0
1.13 Exercícios 
Verifique se as seguintes funções são contínuas nos pontos indicados:
2)()1 xxf = 3)()2 xxf =
xxf 2)()3 = xxf −= 2)()4
585)()5 2 +−= xxxf 1,1
1
1)()6 2 −≠
−
= x
x
xf
1
4)()7
2
−
−
=
x
xxf
1
1
1
1)()8
+
+
−
=
xx
xf
1,1,0 −=== xxxpontosnos
Verifique se as seguintes funções são contínuas nos pontos indicados:
13)()1 −= xxf 1=xpontono
||1)()2 xxf += 0=xpontono
6
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0,||)()3 ≠= x
x
xxf 0=xpontono
1)0(0,
1
1)()4
2
=≠
−
−
= fex
x
xxf 0=xpontono
0,13)()5 ≠+= x
x
xf 0=xpontono
x
xf 13)()6 −= 0=xpontono
x
xxf
85
47)()7
−
−
=8
5,0 −== xxpontosnos
585
47)()8 2 +−
−
=
xx
xxf
8
5,0 −== xxpontosnos
58
472)()9
2
+
−+
=
x
xxxf
8
5,0 −== xxpontosnos
14)7(,
7
49)().10
2
=
−
−
= f
x
xxf 7,7 −== xxpontosnos
14)7(,
49
7)().11 2 =
−
−
= f
x
xxf 7,7 −== xxpontosnos
9)5(,
5
25)()12
2
−=−
+
−
= f
x
xxf 5,5 −== xxpontosnos
10
1)5(,
25
5)()13 2 −=−
−
+
= f
x
xxf 5,5 −== xxpontosnos
32
94)()14
2
+
−
=
x
xxf 3
2,
3
2
−== xxpontosnos
94
32)()15 2
−
+
=
x
xxf
3
2,
3
2
−== xxpontosnos
2
1)
3
1(,
19
13)()16 2 =
−
−
= f
x
xxf
3
1,
3
1
−== xxpontosnos
7
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2
1)
3
1(,
19
13)()17 2 =
−
−
= f
x
xxf
3
1,
3
1
−== xxpontosnos
2
1)1(,
1
1)()18 =
−
−
= f
x
xxf 1=xpontono
2
1)1(,
1
1)()19 =
−
−
= f
x
xxf 1=xpontono
0)1(,
1
25)()20 =−
+
−+
= f
x
xxf 1−=xpontono
0)1(,
25
1)()21 =−
−+
+
= f
x
xxf 1−=xpontono
1)0(,22)()22 =−+= f
x
xxf 0=xpontono
1)0(,
22
)()23 =
−+
= f
x
xxf 0=xpontono
8
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1.6 Descontinuidades
Descontinuidade Infinita
Uma função tem descontinuidade infinita em x = a, se f(x) tende para infinito (positivo ou 
negativo) nesse ponto.
Exemplo 28: A função 0 ,1)( ≠= x
x
xf tem descontinuidade infinita no ponto x = 0 pois
+ ∞=
+→ xx
1lim
0
 e − ∞=
−→ xx
1lim
0
Neste caso, o salto é igual a + ∞=∞++ ∞=− ∞−+ ∞=−
−+ →→
)(1lim 1lim
00 xx xx
Descontinuidade de Salto
Uma função tem descontinuidade de salto em x = a, quando f(x) varia abruptamente neste 
ponto (x = a).
Exemplo 29: A função 0 ,||)( ≠= x
x
xxf tem descontinuidade de salto no ponto x = 0 pois
1||lim
0
=
+→ x
x
x
 e 1||lim
0
−=
−→ x
x
x
Neste caso, o salto é igual a 211)1(1||lim ||lim
00
=+=−−=−
−+ →→ x
x
x
x
xx
1
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Descontinuidade Removível
Quando existe )(lim xf
ax →
, mas )(xf não está definida em a.
Exemplo 30: A função 2 ,)( ≠= xxxf tem descontinuidade removível no ponto x = 2 pois
2lim
2
=
→
x
x
 e )(xf não está definida no ponto x = 2.
1.7 Exercícios
Determine os tipos de descontinuidades das seguintes funções:


>+
≤+
=
3 ,102
3 ,32
)( )1(
xx
xx
xf 3 ,
3
65)( )2(
2
−≠
+
++
= x
x
xxxf
2/3 ,
32
94)()3(
2
−≠
+
−
= x
x
xxf 3/1 ,
19
13)()4( 2 −≠
−
−
= x
x
xxf
1.8 Propriedades
Se f e g são funções contínuas em x = a, então:
f + g é contínua em x = a;
f - g é contínua em x = a;
f x g é contínua em x = a;
f / g é contínua em x = a, desde que g(a) ≠ 0.
1.9 Continuidade em um intervalo
Uma função é contínua em um intervalo aberto, se e somente se ela for contínua para todo 
número do intervalo aberto.
Em um intervalo fechado ou semi-aberto, devemos estender o conceito de continuidade para 
incluir os extremos, definindo:
2
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– Continuidade à direita
– Continuidade à esquerda
Continuidade à direita
Uma função f é contínua à direita de x = a, se e somente se:
(1) existe f(a)
(2) existe )(lim xf
ax +→
(3) )()(lim afxf
ax
=
+→
Continuidade à esquerda
Uma função f é contínua à esquerda de x = a, se e somente se:
(1) existe f(a)
(2) existe )(lim xf
ax −→
(3) )()(lim afxf
ax
=
−→
Uma função é contínua em [a,b] se e somente se:
– for contínua no intervalo aberto (a,b)
– for contínua à direita em a
– for contínua à esquerda em b
Exemplo 31: A função 2)( xxf = é contínua no intervalo ]2 ,0[ pois 
– é contínua no intervalo )2 ,0( ;
– é continua a direita em 0, pois
(1) 0)0( =f
(2) 0lim)(lim 2
00
==
++ →→
xxf
xx
(3) )0()(lim
0
fxf
x
=
+→
– é continua a esquerda em 2, pois
(1) 42)2( 2 ==f
(2) 42lim)(lim 22
22
===
−− →→
xxf
xx
(3) )2()(lim
2
fxf
x
=
−→
1.10 Assíntota Horizontal
Dizemos que a reta y = b (b constante) é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f, 
se pelo menos uma das afirmações for verdadeira:
(1) bxf
x
=
∞+→
)(lim
(2) bxf
x
=
∞−→
)(lim
3
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Exemplo 32: A função xexf −=)( tem assíntota horizontal dada pela função 0)( =xf , pois 
0lim =−
∞+→
x
x
e .
Dizemos que a reta x = a (a constante) é uma assíntota vertical do gráfico de uma função f, se 
pelo menos uma das afirmações for verdadeira:
(1) + ∞=+→
)(lim xf
ax
(2) − ∞=+→
)(lim xf
ax
(3) + ∞=
−→
)(lim xf
ax
(4) − ∞=
−→
)(lim xf
ax
Exemplo 34: A função 2)2(
1)(
−
=
x
xf tem assíntotas verticais em x = 2, pois a função não 
existe no ponto x = 2 e 
(1) + ∞==
−
−→ − 0
1
)2(
1lim 22 xx
(2) + ∞==
−
+→ + 0
1
)2(
1lim 22 xx
4
Exemplo 33: A função xexf =)( tem assíntota 
horizontal dada pela função 0)( =xf , pois 
0lim =
∞−→
x
x
e .
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Exemplo 35: A função 3
1)(
x
xf = tem assíntotas verticais em x = 0, pois a função não existe 
no ponto x = 0 e 
(1) − ∞==
−→ − 0
11lim 30 xx
(2) + ∞==
+→ + 0
11lim 30 xx
Exemplo 36: Determine para quais valores de x a A função 
1
1)(
−
=
x
xf é descontínua, 
classificando o tipo de descontinuidade, esboçando seu gráfico e possíveis assíntotas. 
Determinação dos pontos de descontinuidade: 
1 01 =⇒=− xx , logo a função tem descontinuidade em 1 =x .
Determinação das assíntotas verticais e dos tipos de descontinuidade:
+ ∞==
−
+→ + 0
1
1
1lim
1 xx
− ∞==
−
−→ − 0
1
1
1lim
1 xx
A reta 1 =x é uma assíntota vertical.
A função tem descontinuidadeinfinita em 1 =x ( ))(salto ∞=− ∞−+ ∞= .
Determinação das assíntotas horizontais e dos tipos de descontinuidade:
01
1
1lim =
∞+
=
−
∞+→ xx
01
1
1lim =
∞−
=
−
∞−→ xx
A reta 0 =y é uma assíntota horizontal.
Exemplo 37: Determine para quais valores de x a função 
3
65)(
2
+
++
=
x
xxxf é descontínua, 
classificando o tipo de descontinuidade, esboçando seu gráfico e possíveis assíntotas.
5
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Determinação dos pontos de descontinuidade: 
3 03 −=⇒=+ xx , logo a função tem descontinuidade em 3 −=x .
Determinação das assíntotas verticais e dos tipos de descontinuidade:
123)2(lim
3
65lim
3
2
3
−=+−=+=
+
++
++
−
→
−
→
x
x
xx
xx
123)2(lim
3
65lim
3
2
3
−=+−=+=
+
++
−−
−
→
−
→
x
x
xx
xx
Neste caso, a função tem descontinuidade removível em 3 −=x , pois )(lim 3 xfx −→ 
existe. Logo, não existe assíntota vertical em 3 −=x .
Acabaríamos com a descontinuidade redefinindo a função em 3 −=x como –1, isto é, 
1(-3) −=f .
Determinação das assíntotas horizontais e dos tipos de descontinuidade:
∞=++ ∞=+=
+
++
∞+→∞+→
2)2(lim
3
65lim
2
x
x
xx
xx
− ∞=+− ∞=+=
+
++
∞−→∞−→
2)2(lim
3
65lim
2
x
x
xx
xx
A função )( xfy = não tem assíntota horizontal. 
Veja o gráfico de )( xfy = a seguir:
6
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Exemplo 38: Determine para quais valores de x a função 



>
−−
≤≤−
−<−
=
3 se ,
12
1
32 se ,3
2 se ,2
)(
2 xxx
x
xx
xf é 
descontínua, classificando o tipo de descontinuidade, esboçando seu gráfico e possíveis assíntotas.
Determinação dos pontos de descontinuidade: 
Como 2)( −= xxf é contínua para todo 2<x , 3)( =xf é contínua no intervalo 
32 <<− x e 
12
1)( 2
−−
=
xx
xf é contínua para todo 3>x , então devemos verificar a 
descontinuidade nos pontos 2 =x e 3 =x . 
Comecemos por 2 =x :
422)2(lim )(lim
22
−=−−=−=
−−
−
→
−
→
xxf
xx
33lim )(lim
22
==
++
−
→
−
→ xx
xf 
Como )(lim )(lim
22
xfxf
xx +− −→−→
≠ , o limite não existe e a função tem 
descontinuidade de salto em 2 =x .
743)4(3Salto =+=−−= .
Vejamos agora em 3 =x :
33lim )(lim
33
==
−− →→ xx
xf
2
1
12
1lim )(lim 233 =
−−
=
++ →→ xx
xf
xx
 
Como )(lim )(lim
33
xfxf
xx +− →→
≠ , o limite não existe e a função tem descontinuidade 
de salto em 3 =x .
Essa função não possui assíntotas verticais pois
422)2(lim )(lim
22
−=−−=−=
−−
−
→
−
→
xxf
xx
33lim )(lim
22
==
++
−
→
−
→ xx
xf 
7
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33lim )(lim
33
==
−− →→ xx
xf
2
1
12
1lim )(lim 233 =
−−
=
++ →→ xx
xf
xx
 
Determinação das assíntotas horizontais e dos tipos de descontinuidade:
− ∞=−− ∞=−=
∞−→∞−→
2)2(lim )(lim xxf
xx
01
12
1lim )(lim 2 =
∞+
=
−−
=
∞+→∞+→ xx
xf
xx
A reta 0)f( =x é uma assíntota horizontal.
1.11 Teoremas
Teorema do confronto: Sejam )f( x , )g( x e )h( x funções tais que )()()f( xgxhx ≤≤ 
para todo x num mesmo intervalo contendo um ponto a . Se Lxgxf
axax
==
→→
)(lim )(lim , então 
Lxh
ax
=
→
 )(lim .
Teoremas fundamentais: 
1 )sen(lim =
→ x
x
ax
 e
x
x
x
=


+
∞→
11lim b
x
b x
x
ln1lim
0
=
−
→
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2 - Derivadas
Considere um carro se movendo de acordo com o gráfico abaixo, onde a posição, y, é 
medida em quilômetros e o tempo, x, é medido em horas:
y=15 y=55 y=95 y=135 y=175
x=0 x=1 x=2 x=3 x=4
- A posição inicial do carro é o km 15;
- A cada intervalo de 1 hora, o carro se desloca 40km.
- Podemos encontrar a posição y em função do tempo x:
y = y(x) = 15 + 40x
Qual a taxa de variação do espaço percorrido por unidade de tempo? Ou ainda: qual a 
velocidade do carro?
134231201 =−=−=−=−=∆ x
401351759513555951555 =−=−=−=−=∆ y
Para dois instantes quaisquer, digamos x=2 e x=5 teremos as posições correspondentes 
y=95 e y=215. Portanto,
325 =−=∆ x
12095215 =−=∆ y
40
3
120
==
∆
∆
x
y
 
mede a taxa de variação do espaço percorrido por unidade de tempo ou ainda, a 
velocidade do carro.
2.1 - Taxa média de variação
Seja y uma função definida num conjunto D e x1 e x2 dois pontos de D. Quando a 
variável x passa do valor x1 para o valor x2 sofrendo uma variação ∆x = x2 – x1, o 
correspondente valor da função passa de f(x1) para o valor f(x2) sofrendo, portanto, uma 
variação ∆y = f(x2) - f(x1).
1
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∆x = x2 – x1
∆y = f(x2) - f(x1)
O quociente
12
12 )()(
xx
xfxf
x
y
−
−
=
∆
∆
recebe o nome de taxa média de variação da função y = f(x) quando x passa do valor x1 
para o valor x2.
Exemplo: 1) Seja f(x) = 3x+1, com x real. Calcule a taxa de variação média de f(x) em relação 
a x no intervalo: (a) [3, 5] (b) [3, 3,1]
 (c) [3, 3,01] (d) [3, 3,001]
Exemplo: 2) Seja f(x) = x2+1, com x real. Calcule a taxa de variação média de f(x) em relação 
a x no intervalo: (a) [1, 2] (b) [1, 1,1]
(c) [1, 1,01] (d) [1, 1,001]
Exemplo: 3) Seja f(x) = x2+3x+1, com x real. Calcule a taxa de variação média de f(x) em 
relação a x no intervalo: (a) [2, 4] (b) [2, 2,1]
(c) [2, 2,01] (d) [2, 2,001]
Exemplo: 4) Seja f(x) = x3+1, com x real. Calcule a taxa de variação média de f(x) em relação 
a x no intervalo: (a) [-1, 5] (b) [-1, -1,1]
(c) [-1, -1,01] (d) [-1, -1,001]
2.2 - Derivada de uma função num ponto
A taxa de variação instantânea do espaço percorrido é a velocidade instantânea, dada 
por:
∆x = x – x1  x = x1 + ∆x
∆y = f(x) - f(x1) = f(x1 + ∆x) – f(x1) 
x
xfxxf
x
y
xx ∆
−∆+
=
∆
∆
→∆→∆
)()(
limlim 11
00
O limite, 
x
xfxxf
x
y
xx ∆
−∆+
=
∆
∆
→∆→∆
)()(
limlim 11
00
quando existe, recebe o nome de derivada da função f no ponto x1 .
Exemplo: 5) Seja f(x) = 3x+1, com x real. Calcule a taxa devariação instantânea de f(x) em 
relação a x no ponto: (a) x = -1 (b) x = 1 (c) x = - 3 (d) x = 3
Exemplo: 6) Seja f(x) = 3x+1, com x real. Calcule a taxa de variação instantânea de f(x) em 
relação a x no ponto: (a) x = -1 (b) x = 1 (c) x = - 3 (d) x = 3
Exemplo: 7) Seja f(x) = x2+3x+1, com x real. Calcule a taxa de variação instantânea de f(x) em 
relação a x no ponto: (a) x = -1 (b) x = 1 (c) x = - 3 (d) x = 3
2
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Exemplo: 8) Seja f(x) = x3+1, com x real. Calcule a taxa de variação instantânea de f(x) em 
relação a x no ponto: (a) x = -1 (b) x = 1 (c) x = - 3 (d) x = 3
Exemplo: 9) Seja f(x) = x2+1, com x real. Calcule a taxa de variação instantânea de f(x) em 
relação a x num ponto genérico.
Exemplo: 10) Seja f(x) = x3+1, com x real. Calcule a taxa de variação instantânea de f(x) em 
relação a x num ponto genérico.
2.3 - Função derivada
Seja f uma função derivável em todo ponto x de um intervalo aberto I. A função definida 
por
x
xfxxf
x
yxf
xx ∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
)()(limlim)´(
00
é chamada de derivada da função f no ponto x
2.3.1 – Interpretação geométrica
Notações para a função derivada
x
xfxxf
x
yxfyD
dx
dyy
xxx ∆
−∆+
=
∆
∆
====
→∆→∆
)()(limlim)´(´
00
Regras de derivação
Função simples Derivada
(1) f(x) = k f´(x) = 0
kxf =)(
kxxf =∆+ )(
0)()( =−∆+ xfxxf
3
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0)()( =
∆
−∆+
x
xfxxf
0)´(00lim)()(lim 00 =⇒==∆
−∆+
∆∆ xfx
xfxxf
xx
(2) f(x) = x f´(x) = 1
xxf =)(
xxxxf ∆+=∆+ )(
xxxxxfxxf ∆=−∆+=−∆+ )()(
1)()( =
∆
∆
=
∆
−∆+
x
x
x
xfxxf
1)´(11lim)()(lim 00 =⇒==∆
−∆+
∆∆ xfx
xfxxf
xx
(3) f(x) = x2 f´(x) = 2x
2)( xxf =
222 2)()( xxxxxxxxf ∆+∆+=∆+=∆+
)2(22)()( 2222 xxxxxxxxxxxxfxxf ∆+∆=∆+∆=−∆+∆+=−∆+
xx
x
xxx
x
xfxxf ∆+=
∆
∆+∆
=
∆
−∆+ 2)2()()(
xxfxxx
x
xfxxf
xx 2)´(2)2(lim
)()(lim 00 =⇒=∆+=∆
−∆+
∆∆
(4) f(x) = x3 f´(x) = 3x2
3)( xxf =
32233 33)()( xxxxxxxxxxf ∆+∆+∆+=∆+=∆+
32233223 3333)()( xxxxxxxxxxxxxfxxf ∆+∆+∆=−∆+∆+∆+=−∆+
)33()()( 22 xxxxxxfxxf ∆+∆+∆=−∆+
22
22
33)33()()( xxxx
x
xxxxx
x
xfxxf ∆+∆+=
∆
∆+∆+∆
=
∆
−∆+
xxfxxxxx
x
xfxxf
xx 2)´(3)33(lim
)()(lim 22200 =⇒=∆+∆+=∆
−∆+
∆∆ 
(5) f(x) = xn f´(x) = n xn-1
4
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(5) f(x) = xα f´(x) = α xα-1
(6) f(x) = ex f´(x) = ex
(7) f(x) = ln x f´(x) = x
1
(8) f(x) = ax f´(x) = ax lna
(9) f(x) = sen x f´(x) = cos x
(10) f(x) = cos x f´(x) = - sen x
(11) f(x) = tg x f´(x) = sec2 x
Exemplo: 11) Calcular a função derivada de 
(a) y = 3 (b) y = x 
(c) y = x2 + 1 (d) y = x3
(e) y = x4 – 5x3 + 1 (f) y = x5 + 3x4 – 4x3
(g) y = x6 (h) y = x7- x5 - 7x3 – 4x
(i) y = x8 (j) y = x200 
(k) y = x0,3 (l) y = x1000
Exemplo: 12) Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos sugeridos:
1. f(x) = |x| para x = 0 e x = 2
2. 

>+
≤+
=
3 para ,5
3 para ,2
)(
xx
xx
xf nos pontos x = 0, x = 3 e x = 6
Se uma função é contínua em um ponto, isso não implica dizer que ela tem derivada 
nesse ponto.
Se uma função tem derivada em um ponto, isso implica em dizer que a função é contínua 
nesse ponto.
Função composta Derivada
(12) f(x) = u(x) + v(x) f´(x) = u´(x) + v´(x)
(13) f(x) = u(x) − v(x) f´(x) = u´(x) − v´(x)
5
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(14) f(x) = u(x) . v(x) f´(x) = u´(x) v(x) + u(x) v´(x)
(15) f(x) = k . u(x) f´(x) = k . u´(x)
(16) f(x) = )(
)(
xv
xu
f´(x) = 2)(
)´().()().´(
xv
xvxuxvxu −
Exercícios: 1) Calcular a derivada de cada uma das funções seguintes, nos pontos 
indicados.
(1) f(x) = 5, x = 4 (2) f(x) = x
1 , x = -2
(3) f(x) = 2x + 5, x = -3 (4) f(x) = 1 - x2, x = 0
(5) f(x) = x2 + 4, x = 
2
1 (6) f(x) = 3x2 + 10x - 5, x = 4
(7) Seja 0,
1)( ≠= x
x
xf , com x real. Ache a taxa de variação instantânea de y 
em relação a x para: (a) x1 = 1 (b) x1 = -1
(8) Seja 0,
1)( 2 ≠= xx
xf , com x real. Ache a taxa de variação instantânea de y 
em relação a x num ponto genérico.
(9) Dada a função 23)( 2 ++= xxxf , com x real. 
(a) Ache a inclinação da reta tangente a curva (ao gráfico) num ponto genérico. 
(b) Use o resultado da parte (a) para achar a inclinação da reta tangente a 
curva no ponto (2, 12).
(10) Dada a função 0,
1)( 2 ≠= xx
xf , com x real. 
(a) Ache a inclinação da reta tangente a curva (ao gráfico) num ponto (1, 1). 
(b) Achar a inclinação da reta tangente a curva num ponto genérico.
(11) Dada a função 23)( 2 ++= xxxf , com x real, ache a equação da reta 
tangente a curva (ao gráfico) no ponto (1, 6). 
(12) Ache a derivada em relação a x da função 2)( 3 +−= xxxf . 
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(13) Ache a derivada em relação a x da função ))(()( 33 xxxxxf +−= . 
(14) Ache a derivada em relação a x da função 1,0)( 3
3
−≠
+
−
= x
xx
xxxf . 
(15) Ache a derivada em relação a x da função xxxf −= 3)( . 
(16) Ache a derivada em relação a x da função 
xx
xf
+
=
3
1)( . 
Exercícios: 2) Calcular a derivada de cada uma das funções seguintes.
(1) f(x) = 5 (2) f(x) = 2x + 5
(3) f(x) = x2 + 4 (4) f(x) = 1 - x2
(5) f(x) = 3x2 + 10x – 5 (6) f(x) = 5x7 – 8x5 + 3x2 + 10x – 5
(7) f(x) = (10x – 5)(2x – 5) (8) f(x) = (3x2 + 10x – 5)( x2 + 4) 
(9) f(x) = (x5 – 5)( x4 + 4)
(10) f(x) = (x7 – 3x5 + 3x2 – 10x – 5)( x6 – 5x5 + 3x4 – x2 + 4)
(11) f(x) = x
1 (12) f(x) = 
1
1
−
−
x
x
(13) f(x) = 
1
1
2
2
+
−
x
x (14) f(x) = 
1
1
2
2
−−
++
xx
xx
(15) f(x) = x5 - 3x4 + 6x3 - 8x2 + 10x – 3
(16) f(x) = 5 ex + 2 e-x (17) f(x) = 2 ln x + 5x – 3
(18) f(x) = 5 sen x - 4 cos x (19) f(x) = sen x cos x
(20) f(x) = x
x
cos
sen (21) f(x) = ex sen x ln x cos x
(22) f(x) = 
xx
xe x
cosln
sen
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