Anotações sobre geometria analítica

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Anotac¸o˜es sobre Geometria anal´ıtica.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Geometria anal´ıtica 4
1.1 Espac¸o Euclidiano Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Retas , segmentos de retas e semi-retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Propriedades de incideˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Propriedades de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Divisa˜o de segmento em n partes iguais. . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Ponto me´dio de um segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5 Distaˆncia entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.6 Condic¸a˜o de alinhamento de treˆs pontos . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.7 Equac¸a˜o da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.8 Equac¸a˜o segmenta´ria da reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.9 Condic¸a˜o de paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.10 Condic¸a˜o de perpendicularismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.11 Aˆngulo entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.12 Distaˆncia entre ponto e reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.13 Equac¸a˜o da circunfereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.14 Vetores no plano-segmentos orientados . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.15 Segmentos equipolentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.16 Vetor no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.17 Coordenadas de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.18 Operac¸o˜es com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.19 Equac¸a˜o parame´trica da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.20 Produto interno de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.21 Operadores sobre pares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2
SUMA´RIO 3
1.3 Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Equac¸o˜es parame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Parametrizac¸a˜o do c´ırculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Parametrizac¸a˜o de uma elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Parametrizac¸a˜o de uma hipe´rbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Parametrizac¸a˜o de uma para´bola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9 Discussa˜o da equac¸a˜o Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ EY + F = 0 . . . . . . . . 21
1.10 Retas no espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.11 Planos e Hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.12 Parametrizac¸a˜o do c´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.13 Parametrizac¸a˜o da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.14 Parametrizac¸a˜o da Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.14.1 Por meio de func¸o˜es hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.14.2 Por meio de func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.15 Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.15.1 Elipso´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.15.2 Hiperbolo´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.16 Resumo com os tipos de qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.17 Superf´ıcies regradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.17.1 Superf´ıcie coˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.17.2 Superf´ıcies regrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.17.3 Superf´ıcies cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.18 Superf´ıcies de revoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.19 Coordenadas cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.20 Coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.21 Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.22 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Cap´ıtulo 1
Geometria anal´ıtica
Estudaremos a geometria anal´ıtica no espac¸o Rn, vendo definic¸o˜es especiais para geo-
metria do R2 e R3.
1.1 Espac¸o Euclidiano Rn.
m Definic¸a˜o 1 (Espac¸o Euclidiano). O conjunto Rn com a me´trica (maneira de medir
distaˆncias)
d(x, y) =
√√√√ n∑
k=1
(xk − yk)2
e´ chamado de espac¸o Euclidiano.
Os elementos (xk)
n
1 sa˜o chamados pontos de R
n.
m Definic¸a˜o 2 (Plano cartesiano R2). R2 e´ chamado de plano cartesiano .
m Definic¸a˜o 3 (Quadrantes do plano cartesiano). Consideramos pontos (x, y) de R2
ˆ O 1◦ quadrante e´ o conjunto dos pontos que satisfazem y ≥ 0 e x ≥ 0 .
ˆ O 2◦ quadrante e´ o conjunto dos pontos que satisfazem y ≥ 0 e x ≤ 0 .
ˆ O 3◦ quadrante e´ o conjunto dos pontos que satisfazem y ≤ 0 e x ≤ 0 .
ˆ O 4◦ quadrante e´ o conjunto dos pontos que satisfazem y ≤ 0 e x ≥ 0 .
4
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 5
m Definic¸a˜o 4 (Eixo das abscissas). O eixo das abscissas, denotado por Ox e´ o conjunto
Ox = {(x, 0) ∈ R2 | x ∈ R.}
m Definic¸a˜o 5 (Eixo das ordenadas). O eixo das ordenadas, denotado por Oy e´ o
conjunto
Oy = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R.}
1.2 Retas , segmentos de retas e semi-retas
m Definic¸a˜o 6 (Retas). Uma reta r em Rn e´ o conjunto dos pontos (xk)n1 ∈ Rn tais
que
(xk)
n
1 = x0 + tv0 t ∈ R
para algum par (x0, v0 6= 0) de pontos de Rn. A equac¸a˜o (xk)n1 = x0 + tv0 e´ chamada
equac¸a˜o da reta, v0 e´ chamado vetor diretor da reta.
b Propriedade 1. O lugar geome´trico dos pontos que equidistam dos pontos (a, b) e
(c, d) e´ uma reta de equac¸a˜o
x(c− a) + y(d− b) = c
2 + d2 − (a2 + b2)
2
.
ê Demonstrac¸a˜o.
1.2.1 Propriedades de incideˆncia
b Propriedade 2 (Axioma de incideˆncia I). Dados dois pontos distintos, existe uma
u´nica reta que os conte´m .
ê Demonstrac¸a˜o.
Existeˆncia. Dados dois pontos distintos x0, y0 A reta r de equac¸a˜o (xk)
n
1 = x0+ t(y0−
x0) conte´m x0 e y0 pois para t = 0 temos x0 ∈ R e para t = 1 temos y0 ∈ r.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 6
Unicidade. Suponha que duas retas distintas r e s que contenham x0 e y0, suponha
sem perda de generalidade que existe z0 tal que z0 ∈ r e z0 /∈ s, da´ı z0 = x0 + t(y0 − x0)
para algum t, mas os pontos dessa forma pertencem a` r e s por definic¸a˜o, o que e´ absurdo
.
b Propriedade 3 (Axioma de incideˆncia II). Existe em uma reta r do Rn infinitos
pontos distintos.
ê Demonstrac¸a˜o. Dados dois nu´meros reais t1 6= t2, temos x0 + t1v0 6= x0 + t2v0
pois (t1 − t2)v0 6= 0, a aplicac¸a˜o f : R → r ⊂ Rn com f(t) = x0 + t(v0) e´ uma bijec¸a˜o,
portanto r possui uma quantidade infinita na˜o enumera´vel de pontos.
b Propriedade 4 (Axioma de incideˆncia III). Existem infinitos pontos que na˜o per-
tencem a uma mesma reta .
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam v0 = (1, 0 . . . , 0) e v1 = (0, . . . , 1) o primeiro possuindo
a primeira coordenada 1 e as outras nula, o segundo possuindo a u´ltima coordenada 1 e
as outras nulas, as retas de equac¸a˜o x0 + tv0 e x0 + tv1 na˜o possuem todos os pontos em
comum pois, caso contra´rio existiriam t1, t2 ∈ R tais que
x0 + t1v0 = x0 + t2v1 ⇒ t1v0 = t2v1
so´ vale para t1 = t2 = 0, como ambas retas possuem uma quantidade infinita na˜o
enumera´vel de pontos, enta˜o existe uma quantidade infinita na˜o enumera´velde pontos
que na˜o pertencem a uma mesma reta.
m Definic¸a˜o 7 (Retas paralelas). Duas retas r e s com vetores diretores vs e vr sa˜o
ditas paralelas se existe p ∈ R tal que vs = pvr e as retas na˜o possuem pontos em comum
.
Z Exemplo 1. Existem retas paralelas, tome x0 = (1, · · · , 0) , x1 = (0, · · · , 1), enta˜o
as retas de equac¸o˜es x1 + tv0 e x0 + tv0, com v0 = (0, 1, 0 · · · , 0) na˜o possuem pontos em
comum, pois se existissem
x1 + t1v0 = x0 + t2v0 ⇒ x1 − x0 = (t1 − t2)v0
o que na˜o acontece, enta˜o tais retas sa˜o paralelas.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 7
1.2.2 Propriedades de ordem
m Definic¸a˜o 8. Dados dois pontos A e B distintos em uma mesma reta r, dizemos que
um ponto C esta´ entre A e B se existe t1 ∈ (0, 1) tal que
A+ t1(B − A) = C.
Denotamos tal fato por A ∗ C ∗B.
$ Corola´rio 1. Se C esta´ entre B e A enta˜o A,B e C sa˜o colineares, pela pro´pria
definic¸a˜o de reta.
m Definic¸a˜o 9 (Segmento de reta). Dados dois pontos A e B, definimos o segmento
de reta AB como o conjunto
AB = {A,B} ∪ {X | A ∗X ∗B}.
b Propriedade 5. Se A ∗ C ∗B enta˜o B ∗ C ∗ A.
ê Demonstrac¸a˜o. Existe t1 ∈ (0, 1) tal que A+t1(B−A) = C , tomamos t2 = 1−t1,
t2 ∈ (0, 1) e vale B+ t2(A−B) = B+A−B+ t1(B−A) = C,como quer´ıamos demonstrar
.
b Propriedade 6. Dados dois pontos distintos A e B, existem pontos C , D e E tais
que C ∗ A ∗D , A ∗D ∗B e D ∗B ∗ E .
ê Demonstrac¸a˜o. Existe ponto D entre A e B, pois basta tomar qualquer t ∈ (0, 1)
em A+ t(B − A).
Existe C tal que C ∗A∗B, pois tomando C = 2A−B e t = 1
2
temos C− t(B−C) = A
pois
2A−B + 1
2
(B − 2A+B) = 2A−B +B − A = A.
Existe E tal que A∗B∗E, tomamos E = 2B−A, existe t = 1
2
tal que A+t(E−A) = B,
pois
A+
1
2
(2B − A− A) = A+B − A = B.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 8
m Definic¸a˜o 10 (Plano). Dados treˆs pontos z0, y0, x0 ∈ Rn na˜o colineares um plano
em Rn e´ o conjunto dos pontos da forma
y0 + s(x0 − y0) + t(z0 − y0)
s e t sa˜o valores reais.
$ Corola´rio 2. Se uma reta r tem dois pontos contidos num plano enta˜o ela esta´ contida
no plano. Sejam os pontos x0 e y0 contidos na reta r e z0 um ponto na˜o colinear com os
primeiros e contidos, enta˜o os pontos da reta sa˜o dados pela equac¸a˜o x0 + s(x0 − y0) que
sa˜o pontos do plano de equac¸a˜o y0 + s(x0 − y0) + t(z0 − y0)
m Definic¸a˜o 11 (Hiperplano). Um Hiperplano e´ o conjunto dos pontos (xk)n1 que
satisfaz
n∑
k=1
akxk = b
onde pelo menos um dos ak e´ na˜o nulo .
b Propriedade 7. Qualquer Hiperplano separa Rn em dois subconjuntos disjuntos
convexos I e II, chamados semi-espac¸os, tais que se A ∈ I e B ∈ II o segmento AB
intercepta o hiperplano em um ponto.
ê Demonstrac¸a˜o.
Seja o hiperplano com equac¸a˜o
n∑
k=1
akxk = b, ele separa o espac¸o em dois semi-espac¸os
I, dos pontos tais que
n∑
k=1
akxk > b e II dos pontos tais que
n∑
k=1
akxk < b.
Sejam dois pontos A e B em I, o segmento que os une tem equac¸a˜o A+ t(B−A) com
t ∈ [0, 1], vamos mostrar que todos esses pontos pertencem a` I . A = (xk)n1 , B = (yk)n1 ,
logo os pontos desse segmento sa˜o da forma (xk+t(yk−xk))n1 = (xk(1−t)+tyk)n1 aplicando
a soma tem-se
(1− t)
n∑
k=1
akxk + t
n∑
k=1
akyk > (1− t)b+ tb = b
como quer´ıamos demonstrar, o caso de pontos em II e´ ana´logo .
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 9
Sejam agora A em I e B em II, o segmento que une os pontos tem equac¸a˜o A+t(B−A),
aplicando a soma
f(t) = (1− t)
n∑
k=1
akxk + t
n∑
k=1
akyk
f(0) =
n∑
k=1
akxk > b , f(1) =
n∑
k=1
akyk < b, logo por continuidade existe um u´nico t entre
0 e 1 tal que f(t) = b, tal valor e´ u´nico, por unicidade de soluc¸a˜o de equac¸a˜o linear .
1.2.3 Divisa˜o de segmento em n partes iguais.
um segmento de extremos a e b com b > a, b e a ∈ R pode ser dividido em n partes
iguais (n ∈ N n 6= 0), as partes tem amplitude b− a
n
, as coordenadas dessa divisa˜o sa˜o
x1 = a+
b− a
n
x1 = a+ 2.
b− a
n
seguindo esse padra˜o
xk = a+ k.
b− a
n
=
bk + a(n− k)
n
A demonstrac¸a˜o sai por induc¸a˜o, pois
x0 =
b0 + a(n− 0)
n
= a
tomando como hipo´tese va´lida para k
xk =
bk + a(n− k)
n
temos que a coordenada de k + 1 e´ alcanc¸a da, somando
b− a
n
, logo
xk+1 =
bk + a(n− k)
n
+
b− a
n
=
b(k + 1) + a(n− k − 1)
n
1.2.4 Ponto me´dio de um segmento
m Definic¸a˜o 12 (Ponto me´dio de um segmento). O ponto me´dio de um segmento AB,
se existe, e´ um ponto M , tal que AM ≡MB e A,M e B sa˜o colineares.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 10
b Propriedade 8. Um segmento AB de pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB) possui
um u´nico ponto me´dio M com
M =
(
xA + xB
2
,
yA + yB
2
)
ê Demonstrac¸a˜o.[1-Usando vetores] Seja A 6= B. Sendo ~AB um vetor, decompomos
tal vetor como soma de vetores colineares ~AB = ~AM+ ~MB, ~AM e ~MB possuem o mesmo
comprimento, por hipo´tese de M ser me´dio, ale´m disso, possuem a mesma direc¸a˜o por
serem colineares, eles tambe´m devem possuir mesmo sentido, pois se tivessem sentido
oposto e mesmo mo´dulo, sua soma seria nula, o que na˜o acontece pois A 6= B, enta˜o os
vetores sa˜o iguais e vale
~AB = 2 ~MB
disso segue que
B − A = 2B − 2M ⇒M = B + A
2
=
(
xA + xB
2
,
yA + yB
2
)
.
ê Demonstrac¸a˜o.[2] Vamos usar equac¸a˜o da reta na forma vetorial, o vetor direc¸a˜o
e´ ~AB, que possui coordenadas B − A = (xB − xA, yB − yA), a reta e´ o conjunto dos
pontos da forma {A+ t ~AB t ∈ R}, o ponto me´dio deve pertencer a reta←→AB. Supondo um
ponto me´dio, ele possui coordenadas (xm, ym) pela fo´rmula da distaˆncia entre dois pontos
devemos ter que d(A,M) = d(MB)
√
(xm − xA)2 + (ym − yA)2 =
√
(xm − xB)2 + (ym − yB)2
e o ponto M deve estar na reta, enta˜o possui coordenadas da forma A+ t ~AB
xm = xA + t(xB − xA) = txB + (1− t)xA
ym = yA + t(yB − yA) = tyB + (1− t)yA
usando as relac¸o˜es acima na expressa˜o da distaˆncia e simplificando, temos
√
t2(xB − xA)2 + t2(yB − yA)2 =
√
(t− 1)2(xB − xA)2 + (t− 1)2(yB − yA)2 ⇒
|t|
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 = |t− 1|
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
disso segue |t| = |t − 1|, se t > 1 enta˜o t = t − 1 ⇒ 0 = −1 absurdo, se 0 ≤ t ≤ 1 enta˜o
t = 1− t e t = 1
2
, se t < 0 enta˜o −t = −t+ 1⇒ 1 = 0 absurdo, o u´nico valor de t e´ para
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 11
t =
1
2
, portanto o ponto me´dio existe sendo tambe´m u´nico e suas coordenadas sa˜o dadas
por
xm =
xB
2
+ (
1
2
)xA =
xA + xB
2
ym =
yB
2
+ (
1
2
)yA =
yA + yB
2
.
1.2.5 Distaˆncia entre dois pontos
Dados dois pontos A(x1, y1) e b(x2, y2), a distaˆncia entre eles e´
d =
√
(∆x)2 + (∆y)2
Onde ∆x = x2 − x1 e ∆y = y2 − y1.
1.2.6 Condic¸a˜o de alinhamento de treˆs pontos
Teorema treˆs pontos A(x1, y1),B(x2, y2) e C(x3, y3) sa˜o colineares sse suas coordenadas
verificam a igualdade
(x2 − x1)(y3 − y2) = (x3 − x2)(y2 − y1)
tal condic¸a˜o pode ser expressa pelo determinante
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
 = 0
1.2.7 Equac¸a˜o da reta
Teorema
A toda reta r do plano cartesiando esta´ associada ao menos uma equac¸a˜o da forma
ax + by + c = 0 em que a, b, c sa˜o nu´meros reais, a 6= 0 ou b 6= 0, e (x, y) representa um
ponto gene´rico de r.
A toda equac¸a˜o da forma ax+by+c = 0,com a, b, c ∈ R, a 6= 0 ou b 6= 0 esta´ associada
uma u´nica reta r do plano cartesiano cujos pontos p(x, y) sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o dada.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 12
Z Exemplo 2. A reta que passa pelos pontos (a, 0) e (0, b) e´ a reta de equac¸a˜o
bx+ ay = ab,
pois e´ da forma ax+ by + c = 0 e verifica os pontos (a, 0) e (0, b).
1.2.8 Equac¸a˜o segmenta´ria da reta.
se temos uma reta passando pelos seguintes pontos A(0, y0) e B(x0, 0)
podemos interpolar
y = y0 +
(x)
x0
(−y0)
somando +
(x)
x0
(y0) em ambos ladosy +
(x)
x0
(y0) = y0
dividindo por y0 em ambos os lados
y
y0
+
x
x0
= 1
que e´ a equac¸a˜o segmenta´ria da reta,
obs: supomos que x0 e y0 sa˜o diferentes de zero.
1.2.9 Condic¸a˜o de paralelismo
Duas retas r e s na˜o verticais sa˜o paralelas entre si sse seus coeficientes angulares sa˜o
iguais.
1.2.10 Condic¸a˜o de perpendicularismo
Duas retas r e s na˜o verticais sa˜o paralelas entre si ⇔ o produto de seus coeficientes
e´ igual a −1.
b Propriedade 9. Dados dois pontos distintos A(x1, y1) e B(x2, y2) a equac¸a˜o da me-
diatriz do segmento AB e´
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 13
y − ym
x− xm +
∆x1
∆y1
= 0
onde xm =
x1 + x2
2
o mesmo para ym, ou de maneira equivalente
y =
y1 + y2
2
− x2 − x1
y2 − y1
(
x− x1 + x2
2
)
.
ê Demonstrac¸a˜o.[1] A mediatriz e´ o lugar geome´tricos dos pontos P (x, y) tais que
d(P,A) = d(P,B), isto e´,√
(x− x1)2 + (y − y1)2 =
√
(x− x2)2 + (y − y2)2
elevando ao quadrado , expandindo as poteˆncias e simplificando chegamos ao resultado
desejado.
ê Demonstrac¸a˜o.[2] Tomamos a reta que passa por A e B
y = y1 + (x− x1) y2 − y1
x2 − x1
a reta desejada e´ a reta perpendicular a essa que passa pelo ponto me´dio
y − ym
x− xm +
∆x1
∆y1
= 0.
1.2.11 Aˆngulo entre duas retas
O menor aˆngulo formado entre duas retas θ1 e os coeficientes angulares de duas retas
r e s respectivamente ms e ms.
tgθ1 =
∣∣∣∣ ms −mr1 +ms.mr
∣∣∣∣
1.2.12 Distaˆncia entre ponto e reta
Seja uma reta r de equac¸a˜o geral ax+ by+ c = 0 e um ponto P (x0, y0) a distaˆncia do
ponto a` reta d(p,r)e´ dada por
d(p,r) =
∣∣∣∣ax0 + by0 + c√a2 + b2
∣∣∣∣
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 14
1.2.13 Equac¸a˜o da circunfereˆncia
A equac¸a˜o da circunfereˆncia de raio r e centro (x0, y0 e´
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2
1.2.14 Vetores no plano-segmentos orientados
m Definic¸a˜o 13 (Segmentos orientados). Dado um segmento AB definimos o segmento
orientado AB como a terna (A,B,AB) que consiste do segmento AB munido de uma
estrutura que chamaremos de orientac¸a˜o que e´ composta de ponto A , chamado ponto
inicial e B, chamado ponto final , dizemos que o sentido de percurso de AB e´ de A para B
e que o segmento orientado BA teˆm orientac¸a˜o oposta ou contra´ria ao segmento orientado
AB
m Definic¸a˜o 14 (Segmentos com mesma orientac¸a˜o). 1. Dois segmentos paralelosAB
e CD sa˜o ditos possuir mesma orientac¸a˜o se ABCD forma um paralelogramo , sendo
AC e BD sa˜o lados desse paralelogramo, caso contra´rio AB e CD na˜o possuem
mesma orientac¸a˜o, possuindo orientac¸a˜o contra´ria . O mesmo dito sobre AB e CD
.
2. Dois segmentos colineares AB e CD sa˜o ditos possuir mesma orientac¸a˜o , se uma
das semi-retas
−→
AB ou
−−→
CD conte´m a outra.
Nestes casos dizemos que eles possuem mesmo sentido.
1.2.15 Segmentos equipolentes
m Definic¸a˜o 15 (Segmentos equipolentes).
Dizemos que dois segmentos orientados coplanares AB e CD sa˜o equipolentes quando
1. Os segmentos AB e CD possuem o mesmo comprimento, que iremos denotar por
|AB| = |CD|.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 15
2. Os segmentos AB e CD sa˜o paralelos ou colineares, o que denotamos por
AB ‖ CD
3. Os segmentos AB e CD possuem mesmo sentido .
b Propriedade 10. Dados dois segmentos orientados AB e CD eles sa˜o equipolentes
⇔ o ponto me´dio do segmento AD coincide com o ponto me´dio do segmento BC.
1.2.16 Vetor no plano
mDefinic¸a˜o 16 (Vetor no plano). Um vetor no plano e´ o conjunto de todos os segmentos
orientados equipolentes a um segmento orientado dado. Quando os segmentos de reta
orientados AB e CD sa˜o equipolentes, dizemos que eles representam o mesmo vetor −→v
e escrevemos −→v = −→AB, o vetor −→v e´ o conjunto que consiste de todos os segmentos
orientados equipolentes ao segmento AB. Tais segmentos sa˜o chamados representantes
do vetor −→v .
b Propriedade 11.
Dado um vetor −→a e um ponto A, existe apenas um ponto B tal que o segmento AB
representa o vetor −→a . Qualquer ponto do plano e´ origem de um u´nico segmento orientado
representante do vetor −→v .
1.2.17 Coordenadas de um vetor
Sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2) pontos do plano e
−→a = −→AB dizemos que (x2 −
x1, y2 − y1) = (∆x1,∆y1) sa˜o as coordenadas do vetor −→a e escrevemos
−→a = (∆x1,∆y1)
1.2.18 Operac¸o˜es com vetores
Adic¸a˜o de vetores
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 16
1.2.19 Equac¸a˜o parame´trica da reta
Sejam A ,P e B colineares distintos, em forma vetorial temos que existe um t tal que
−→
AP = t.
−−→
PB
P = A+ t.
−−→
PB
1.2.20 Produto interno de dois vetores
< −→u ,−→v >= ||−→u ||.||−→v ||.cosθ
em coordenadas
< −→u ,−→v >= x1x2 + y1y2
b Propriedade 12. Os pontos me´dios dos lados de um quadrila´tero qualquer sa˜o
ve´rtices de um paralelogramo .
ê Demonstrac¸a˜o.
Figura 1.1:
Sejam pontos A = (a, b), B = (a′, b′), C = (c, d) e D = (c′, d′).
Formando segmentos AB,BC,CD e DA no quadrila´tero ABCD. O ponto me´dio de
(x, y) e (x′, y′) e´ calculado como (
x+ x′
2
,
y + y′
2
).
Enta˜o os pontos me´dios deAB,BC,CD eDA, respectivamente sa˜oM = (
a+ a′
2
,
b+ b′
2
),
M ′ = (
c+ a′
2
,
d+ b′
2
), G = (
c+ c′
2
,
d+ d′
2
), G′ = (
a+ c′
2
,
b+ d′
2
) .
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 17
Lembrando que um vetor ~TP e´ dado por P − T , tem-se que os vetores ~MM ′ e ~G′G
sa˜o dados por
~MM ′ = (
c− a
2
,
d− b
2
)
~G′G = (
c− a
2
,
d− b
2
)
que sa˜o paralelos e possuem mesma medida.
Agora os outros vetores formados pelos pontos me´dios sa˜o ~MG′ e ~M ′G, que sa˜o dados
por
~MG′ = (
c′ − a′
2
,
d′ − b′
2
)
~M ′G = (
c′ − a′
2
,
d′ − b′
2
)
que tambe´m sa˜o paralelos e possuem mesma medida.
1.2.21 Operadores sobre pares ordenados
Permutac¸a˜o
P (x, y) = (y, x)
P [P (x, y)] = P (y, x) = (x, y) = P 2(x, y) = (x, y)
Ek2 (x, y) = (x, y + k)
Ek1 (x, y) = (x+ k, y)
Ek(1,2)(x, y) = E
k(x, y) = (x+ k, y + k) = Ek1E
k
2 (x, y)
a(1).(x, y) = (ax, y)
a(2).(x, y) = (x, ay)
a.(x, y) = (ax, ay) = a(1).a(2)(x, y)
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 18
1.3 Coˆnicas
m Definic¸a˜o 17. Uma sec¸a˜o coˆnica e´ o lugar geome´trico dos pontos de um plano cuja
raza˜o das distaˆncias a um ponto fixo e a uma reta fixa do mesmo plano e´ constante.
O ponto fixo denomina-se foco, a reta fixa diretriz e a constante excentricidade e
representa-se por e =
cos(α)
cos(β)
onde 0 < α, β < 90 logo cosα, cosβ > 0.
1.4 Equac¸o˜es parame´tricas
m Definic¸a˜o 18 (Parametrizac¸a˜o). Seja C uma curva plana. Dizemos que uma
aplicac¸a˜o σ : D → R2, σ(t) = (x(t), y(t)), e´ uma parametrizac¸a˜o de C se a sua ima-
gem σ(D) coincide com C, ou seja
C = σ(D) = {x(t), y(t)|t ∈ D}
onde D e´ um subconjunto de R . A imagem σ(D) ⊂ R2 e´ chamada, trac¸o de σ.
1.5 Parametrizac¸a˜o do c´ırculo.
Seja C : (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2 com r > 0, sua parametrizac¸a˜o e´
C :
{
x = x0 + rcost
y = y0 + rsent
; t ∈ [0, 2pi)
pois
r2cos2t+ r2sen2t = r2(cos2t+ sen2t) = r2
1.6 Parametrizac¸a˜o de uma elipse.
m Definic¸a˜o 19 (Definic¸a˜o de Elipse). Dados dois pontos distintos F1 e F2 chamados de
focos da elipse, pertencentes a um plano α, seja 2c = d(F1, F2). Definimos como uma elipse
o conjunto dos pontos A = (x, y) cuja soma das distaˆncias d(A,F1) + d(A,F2) = 2a > 2c
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 19
b Propriedade 13. O conjunto dos pontos do plano A = (x, y) tais que d(A,F1) +
d(A,F2) = 2a > 2c com F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), c > 0 satisfaz sempre equac¸a˜o da
forma
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
onde a2 = b2 + c2.
ê Demonstrac¸a˜o. Da identidade d(A,F1) + d(A,F2) = 2a com A = (x, y), F1 =
(−c, 0) e F2 = (c, 0), c > 0 tem-se pela fo´rmula de distaˆncia que√
(x+ c)2 + y2 +
√(x− c)2 + y2 = 2a⇒
√
(x+ c)2 + y2 = 2a−
√
(x− c)2 + y2
elevando ao quadrado de ambos lados segue que
(x+ c)2 + y2 = x2 + 2cx+ c2 + y2 = 4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2 =
= 4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2 + y2,
cancelando os termos iguais dos dois lados tem-se
2cx = 4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2 − 2cx⇒ 4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2 = 4cx,
cancelando o fator 4 em ambos termos e reescrevendo a igualdade segue que
a2 − cx = a
√
(x− c)2 + y2 ⇒ (a2 − cx)2 = a2(x− c)2 + a2y2,
expandindo os termos em poteˆncia
a4 − 2cxa2 + c2x2 = a2x2 − 2cxa2 + c2a2 + a2y2,
novamente cancelando termos iguais de ambos lados,
a4 + c2x2 = a2x2 + c2a2 + a2y2,
passando c2x2 para o lado direito e c2a2 pro esquerdo temos
a4 − c2a2 = a2x2 − c2x2 + a2y2,
colocando a2 em evideˆncia no primeiro membro e x2 no segundo tem-se
a2(a2 − c2) = x2(a2 − c2) + a2y2,
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 20
agora lembre de identidade a2 = b2 + c2 que implica a2 − c2 = b2 , substituindo na
identidade anterior segue
a2b2 = x2b2 + a2y2,
finalmente divivindo por a2.b2 de ambos lados obtemos
1 =
x2
a2
+
y2
b2
,
como quer´ıamos demonstrar.
Z Exemplo 3 (Parametrizac¸a˜o da Elipse). Seja ε : (x− x0)
2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1, sua
parametrizac¸a˜o e´
C :
 x = x0 + acosty = y0 + bsent ; t ∈ R
pois
(x0 + acost− x0)2
a2
+
(y0 + bsent− y0)2
b2
= 1
1.7 Parametrizac¸a˜o de uma hipe´rbole.
(
x− x0
a
)2 − (y − y0
b
)2 = 1, para parametriza´-la vamos usar as func¸o˜es hiperbo´licas
cosht =
et + e−t
2
senht =
et − e−t
2
que satisfazem a relac¸a˜o
(cosht)2 − (senht)2 = e
2t + 2 + e−2t
4
− e
2t − 2 + e−2t
4
= 1
C :
{
x = x0 ± acosht
y = y0 + bsenht
; t ∈ R
e´ uma parametrizac¸a˜o da hipe´rbole (
x− x0
a
)2−(y − y0
b
)2 = 1 e para a hipe´rbole (
y − y0
a
)2−
(
x− x0
b
)2 = 1 temos a parametrizac¸a˜o
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 21
C :
{
x = x0 + bsenht
y = y0 ± acosht
; t ∈ (−pi
2
,
pi
2
) ∪ (pi
2
,
3pi
2
)
Podemos parametrizar as hipe´rboles usando as func¸o˜es trigonome´tricas sect e tgt, pois
elas satisfazem
sec2t− tg2t = 1
cos2t
− sen
2t
cos2t
=
1− sen2t
cos2t
= 1
pois de cos2sen2t = 1 tiramos cos2t = 1 − sen2t. Logo podemos usar a parametrizac¸a˜o
para (
x− x0
a
)2 − (y − y0
b
)2 = 1
C :
{
x = x0 ± asec2t
y = y0 + tg
2t
; t ∈ R
1.8 Parametrizac¸a˜o de uma para´bola.
Seja a parb´ola P de equac¸a˜o cartesiana
(x− a)2 = k(y − b)
podemos tomar x− a = t, assim escrevemos
t2 = k(y − b)⇐⇒ y = t
2
k
+ b
e temos a parametrizac¸a˜o
P :
 x = t+ ay = t2
k
+ b
; t ∈ R
1.9 Discussa˜o da equac¸a˜o Ax2+Bxy+Cy2+Dx+EY +
F = 0
Uma equac¸a˜o de grau 2 da forma Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + EY + F = 0, pode
representar elipses , hipe´rboles e para´bolas.
ˆ Se A.C = 0 (A = 0 ou C = 0) a equac¸a˜o e´ do tipo parabo´lico e pode representar
1. Uma para´bola.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 22
2. Duas retas paralelas.
3. Uma u´nica reta.
4. Vazio.
ˆ Se A e C tem o mesmo sinal A.C > 0 a equac¸a˜o e´ dita do tipo el´ıptico e pode
representar
1. Uma elipse.
2. Um u´nico ponto.
3. Vazio.
ˆ Se A e C tem sinais contra´rios A.C < 0 a equac¸a˜o e´ do tipo hiperbo´lico podendo
representar
1. Uma Hipe´rbole.
2. Duas retas concorrentes.
Os casos que na˜o geram hipe´rboles, parabolas ou elipses, sa˜o chamados de coˆnicas dege-
neradas.
m Definic¸a˜o 20 (Parametrizac¸a˜o). Sejam C uma curva plana e D ⊂ R. Dizemos que
γ : D → R2 dada por γ(t) = (x(t), y(t)) e´ uma parametrizac¸a˜o de c sse
c = γ(D).
m Definic¸a˜o 21 (Trac¸o). γ(D) ⊂ R2 e´ chamado de trac¸o de γ.
1.10 Retas no espac¸o
1.11 Planos e Hiperplanos
Z Exemplo 4. Achar o plano perpendicular a reta
r =
 x = ay + bz = cy + d
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 23
e que conte´m o ponto (x0, y0, z0).
A reta e´ o conjunto dos pontos (x, y, z) = (ay + b, y, cy + d), tomando y = t temos
(x, y, z) = (b, 0, d) + t(a, 1, c)
portanto o vetor (a, 1, c) e´ o vetor diretor da reta normal ao plano desejado, disso segue
que a equac¸a˜o que define o plano e´
a(x− x0) + (y − y0) + c(z − z0) = 0.
1.12 Parametrizac¸a˜o do c´ırculo
Podemos parametrizar o c´ırculo dado por (x− x0)2 + (y− y0)2 = r2( circulo de raio r
e centro (x0, y0)) com
C :
{
x = x0 + rcos(t)
y = y0 + rsen(t)
t ∈ R.
1.13 Parametrizac¸a˜o da elipse
Podemos parametrizar a elipse dada por
(x− x0)
a2
2
+
(y − y0)2
b2
= 1 com
e :
{
x = x0 + acos(t)
y = y0 + bsen(t)
t ∈ R.
1.14 Parametrizac¸a˜o da Hipe´rbole
1.14.1 Por meio de func¸o˜es hiperbo´licas
O ramo positivo H+ da hipe´rbole
(x− x0)2
a2
− (y − y0)
2
b2
= 1 pode ser parametrizado
por
H+ :
{
x = x0 + acosh(t)
y = y0 + bsenh(t)
t ∈ R.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 24
O ramo negativo H− pode ser parametrizado por
H− :
{
x = x0 − acosh(t)
y = y0 + bsenh(t)
t ∈ R.
A identidade cosh2(t) − senh2(t) = 1 pode ser demonstrada usando as definic¸o˜es
cosh(t) =
et + e−t
2
e senh(t) =
et − e−t
2
, pois
cosh2(t)− senh2(t) = e
2t + 2 + e−2t − (e2t − 2 + e−2t)
4
=
4
4
= 1.
1.14.2 Por meio de func¸o˜es trigonome´tricas
Vamos usar a identidade sec2(t)− tg2(t) = 1, que vale pois
1
cos2(t)
− sen
2(t)
cos2(t)
= 1
usando que cos2(t) = 1− sen2(t) segue a identidade.
H+ :
{
x = x0 + asec(t)
y = y0 + btg(t)
t ∈ (−pi
2
,
pi
2
).
O ramo negativo H− pode ser parametrizado por
H− :
{
x = x0 + asec(t)
y = y0 + btg(t)
t ∈ (pi
2
,
3pi
2
).
1.15 Qua´dricas
m Definic¸a˜o 22 (Qua´dricas). Sa˜o superf´ıcies no R3 geradas por pontos (x, y, z) que
satisfazem equac¸o˜es do tipo
Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0
onde A,B,C,D,E, F,G,H, I e J sa˜o nu´meros reais. A presenc¸a de termos do tipo
Dxy,Exz e Fyz implicam que as qua´dricas esta˜o rotacionadas com relac¸a˜o aos eixos
coordenados. Os termos Dxy,Exz e Fyz sa˜o ditos retangulares e as equac¸o˜es da forma
Ax2 +By2 + cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + j = 0
sa˜o equac¸o˜es de segundo grau em treˆs varia´veis .
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 25
b Propriedade 14. A equac¸a˜o do tipo
Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0
tambe´m pode representar
ˆ O conjunto vazio.
ˆ Uma reta.
ˆ Um par de planos paralelos.
ˆ Um ponto.
ˆ Um plano.
ˆ Um par de planos concorrentes.
ê Demonstrac¸a˜o.
ˆ O conjunto vazio. Tome A = 1, B = 1
ˆ Uma reta.
ˆ Um par de planos paralelos.
ˆ Um ponto.
ˆ Um plano.
ˆ Um par de planos concorrentes.
Z Exemplo 5. y = x
2
3
+
y2
9
e´ um parabolo´ide el´ıptico .
b Propriedade 15. Dado o parabolo´ide hiperbo´lico z = y2 − x2 e um ponto qualquer
dele C = (x1, y1, z1) enta˜o existem apenas duas retas que passam por C e pertencem ao
parabolo´ide.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 26
ê Demonstrac¸a˜o. A reta deve ser da forma
r :

x = x1 + v1t
y = y1 + v2t
z = z1 + v3t
substituindo na equac¸a˜o e efetuando as contas tem-se as retas
r1 :

x = x1 + t
y = y1 + t
z = z1 + (2y1 − 2x1)t
r2 :

x = x1 + t
y = y1 − t
z = z1 − (2y1 + 2x1)t
m Definic¸a˜o 23 (Simetria em relac¸a˜o aos planos e a origem). Um conjunto A e´ sime´trico
em relac¸a˜o ao plano xy quando
(x, y, z) ∈ A ≡ (x, y,−z) ∈ A
, sime´trico ao plano xz quando
(x, y, z) ∈ A ≡ (x,−y, z) ∈ A
e sime´trico em relac¸a˜o ao plano zy quando
(x, y, z) ∈ A ≡ (−x, y, z) ∈ A.
Resumindo, para que o conjunto seja sime´trico em relac¸a˜o ao plano determinado por
dois eixos, basta fixar os pontos do plano e tomar o sime´trico do terceiro. O conjunto e´
sime´trico em relac¸a˜o a origem quando
(x, y, z)∈ A ≡ (−x,−y,−z) ∈ A.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 27
1.15.1 Elipso´ide
m Definic¸a˜o 24 (Elipso´ide). Um elipso´ide e´ uma uma superf´ıcie dada por uma equac¸a˜o
do segundo grau do tipo
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
onde a, b, c ∈ R+.
b Propriedade 16. Todo elipso´ide e´ sime´trico em relac¸a˜o a origem.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja um ponto P = (x, y, z) no elipso´ide, enta˜o ele satisfaz
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
pore´m (−x,−y,−z) tambe´m pertence ao elipso´ide pois
(−x)2
a2
+
(−y)2
b2
+
(−z)2
c2
=
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
m Definic¸a˜o 25 (Esfera). Uma esfera e´ um caso especial de elipso´ide, tomando a =
b = c = r, da´ı temos
x2
r2
+
y2
r2
+
z2
r2
= 1
x2 + y2 + z2 = r2.
1.15.2 Hiperbolo´ide
m Definic¸a˜o 26 (Hiperbolo´ide de uma e duas folhas). Um hiperbolo´ide e´ uma superf´ıcie
dada pela equac¸a˜o
x2
a2
(−1)t + y
2
b2
(−1)s + z
2
c2
(−1)u = 1
onde t, s e u sa˜o nu´meros naturais , sendo que pelo menos um deles e no ma´ximo dois
deles sa˜o nu´meros ı´mpares. Se apenas um deles e´ ı´mpar o hiperbolo´ide e´ dito de uma
folha, se dois deles forem ı´mpares o hiperbolo´ide e´ dito de duas folhas.
As possibilidades sa˜o
ˆ
x2
a2
(−1) + y
2
b2
+
z2
c2
= 1
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 28
ˆ
x2
a2
+
y2
b2
(−1) + z
2
c2
= 1
ˆ
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
(−1) = 1
para uma folha.
As possibilidades para duas folhas sa˜o
ˆ
x2
a2
(−1) + y
2
b2
(−1) + z
2
c2
= 1
ˆ
x2
a2
+
y2
b2
(−1) + z
2
c2
(−1) = 1
ˆ
x2
a2
+
y2
b2
(−1) + z
2
c2
(−1) = 1.
b Propriedade 17. Os hiperbolo´ides sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o origem, pois
x2
a2
(−1)t + y
2
b2
(−1)s + z
2
c2
(−1)u = 1 = (−x)
2
a2
(−1)t + (−y)
2
b2
(−1)s + (−z)
2
c2
(−1)u
ê Demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 29
1.16 Resumo com os tipos de qua´dricas
Equac¸a˜o Tipo de qua´drica
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 Elipso´ide
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1 e similares Hiperbolo´ide de uma folha.
x2
a2
− y
2
b2
− z
2
c2
= 1 e similares Hiperbolo´ide de duas folhas.
−x
2
a2
− y
2
b2
− z
2
c2
= 1 Qua´drica degenerada, conjunto vazio.
x2
a2
+
y2
b2
= 1 e similares Cilindro el´ıptico
x2
a2
− y
2
b2
= 1 e similares Cilindro hiperbo´lico
−x
2
a2
− y
2
b2
= 1 e similares Qua´drica degenerada, conjunto vazio.
z2
c2
= 1 e similares Qua´drica degenerada, dois planos paralelos. z = c ou z = −c .
−z
2
c2
= 1 e similares Qua´drica degenerada, conjunto vazio.
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 0 Qua´drica degenerada, um u´nico ponto (0, 0, 0).
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 0 Cone el´ıptico
x2
a2
+
y2
b2
= 0 e similares Qua´drica degenerada. Uma u´nica reta, eixo
−→
OZ .
x2
a2
− y
2
b2
= 0 e similares Qua´drica degenerada. Planos concorrentes.
z2
c2
= 0 e similares Qua´drica degenerada. Plano xy.
x2
a2
+
y2
b2
= z e similares Parabolo´ide el´ıptico.
−x
2
a2
+
y2
b2
= z e similares Parabolo´ide hiperbo´lico (sela).
x2
a2
= z e similares Cilindro parabo´lico.
b Propriedade 18. f(u, v) = (asenh(u)cos(v), bsenh(u)sen(v), c.cosh(u)), (u, v) ∈
R \{0}× [0, 2pi] e´ uma parametrizac¸a˜o do hiperbolo´ide de duas folhas centrado na origem
.
−x2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1.
ê Demonstrac¸a˜o.
Vamos ver alguns exemplos de qua´dricas.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 30
Z Exemplo 6 (a). A equac¸a˜o 36x2 − 4y2 + 9z2 − 36 = 0 pode ser simplificada em
x2 − y
2
9
+
z2
4
= 1
sendo da forma
x2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1, representa um hiperbolo´ide de uma folha com centro
no eixo
−−→
OY .
-20
-10
0
10
20
x
-20
-10
0
10
20
y
-20
-10
0
10
20
z
Figura 1.2: Hiperbolo´ide de uma folha (a)
Z Exemplo 7 (b). A equac¸a˜o do tipo 9x2 + 4z2 + 36y = 0 pode ser simplificada em
−x
2
4
− z
2
4
= y, representando portanto um parabolo´ide el´ıptico.
Z Exemplo 8 (c). A equac¸a˜o 4x2−9y2−36 = 0 pode ser simplificada em x
2
9
− y
2
4
= 1
sendo do tipo
x2
a2
− y
2
b2
= 1 ela representa um cilindro hiperbo´lico.
Z Exemplo 9 (d). A equac¸a˜o x2+6x+5z−1 = 0 pode ser simplificada em−(x+ 3)
2
5
=
z − 2 sendo da forma −(x)
2
a2
= z representa um cilindro parabo´lico.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 31
-20
-10
0
10
20
x
-20
-15
-10
-5
0
y
-20
-10
0
10
20
z
Figura 1.3: Parabolo´ide el´ıptico(b)
Z Exemplo 10 (e). A equac¸a˜o do tipo 2x2− 3y2+6z2− 8x+6y− 12z+17 = 0 pode
ser simplificada em
1 =
(y − 1)2
2
− (x− 2)
2
3
− (z − 1)2
que e´ do tipo
1 =
(y)2
a2
− (x)
2
b2
− (z)
2
c2
sendo portanto um hiperbolo´ide de duas folhas.
Z Exemplo 11 (f). A equac¸a˜o x2 − 2z2 + 2x + y − 2z = 0 pode ser simplificada em
y − 1
2
= 2(z +
1
2
)2 − (x + 1)2 sendo do tipo y = (z)
2
a2
− (x)
2
b2
representa um parabolo´ide
hiperbo´lico( sela).
Z Exemplo 12 (g). A equac¸a˜o 49− 4x+ x2 − 6y + y2 − 18z = pode ser simplificado
em
(x− 1)2
18
+
(y − 3)2
18
= z − 2
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 32
-20
-10
0
10
20
x
-20
-10
0
10
20
y
-20
-10
0
10
20
z
Figura 1.4: Cilindro hiperbo´lico(c)
que e´ do tipo
(x)2
a2
+
(y)2
b2
= z
sendo portanto um parabolo´ide el´ıptico .
Z Exemplo 13. (h) A equac¸a˜o
9x2 − 4y2 − 54x− 8y + 77 = 0
pode ser simplificada em
(x− 3)2
4
− (y + 1)
2
9
= 0 e´ do tipo
x2
a2
− y
2
b2
= 0 sendo enta˜o
qua´drica degenerada, dois planos concorrentes.
Z Exemplo 14 (i). A equac¸a˜o 3y2+ z2− 12y− 10z+37 = 0 pode ser simplificada em
(y − 2)2 + (z − 5)
2
3
= 0.
Sendo da forma
y2
a2
+
z2
b2
= 0 e´ uma qua´drica degenerada, sendo a reta dada por y = 2, z = 5
e x livre.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 33
-20
-10 0 10 20
x
-20
-10
0
1020
y
-20
-10
0
10
20
z
Figura 1.5: Cilindro parabo´lico(d)
.
Z Exemplo 15 (j). A equac¸a˜o 25x2 − 100y2 + 4z2 − 150x − 400y − 24z − 139 = 0
pode ser simplificada em
(x− 3)2
4
+
(z − 3)2
25
= (y + 2)2
sendo do tipo
x2
a2
+
z2
b2
− y
2
c2
= 0 e´ um cone el´ıptico .
Z Exemplo 16 (k). A equac¸a˜o x2 + z2 − 2x+ y − 4z + 2 = 0 simplificada e´
−(x− 1)2 − (z − 2)2 = y − 3
que e´ do tipo −x
2
a2
− z
2
2
= y sendo portanto um parabolo´ide el´ıptico.
Z Exemplo 17 (l). 9x2 − 4y2 − 18x+ 16y + 36z − 7 = 0 simplificado fica
z =
(y − 2)2
9
− (x− 1)
2
4
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 34
-20
-10
0
10
20
x
-20
-10
0
10
20
y
-20
-10
0
10
20
z
Figura 1.6: Hiperbolo´ide de duas folhas(e)
que e´ do tipo z =
(y)2
a2
− (x)
2
b2
sendo portanto um parabolo´ide hiperbo´lico (sela).
Z Exemplo 18 (m). A equac¸a˜o 180x2 − 9y + 180z2 − 120x− 54y − 61 = 0 pode ser
simplificada em
(x− 1
3
)2 + z2 =
(y + 3)2
20
que e´ da forma
x2
a2
+
z2
b2
− y
2
c2
= 0 representando um cone el´ıptico.
Z Exemplo 19 (n).
Z Exemplo 20 (o). A equac¸a˜o 36x2−4y2+9z2−14x+40y+8 = 0 pode ser simplificada
em
(x− 2)2 − (y − 5)
2
9
+
z2
4
= 1
que e´ do tipo
x2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1 sendo portanto um hiperbolo´ide de uma folha.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 35
-10
-5
0
5
10
x
-10
-5
0
5
10
y
-10-505
10
z
Figura 1.7: Parabolo´ide hiperbo´lico( sela)(f)
Z Exemplo 21 (p). y2 + z2 − 6y − 4z + 13 = 0 podeser simplificada em (y − 3)2 +
(z − 2)2 = 0, sendo portanto uma qua´drica degenerada, o eixo −−→OX.
Z Exemplo 22 (q). A equac¸a˜o x2 − z2 − 2x + 2z = 0 pode ser simplificada em
(x− 1)2− (z− 1)2 = 0 que e´ do tipo x
2
a2
− z
2
b2
= 0 representando dois planos concorrentes.
Z Exemplo 23 (r).
x2 − 28x+ 49 = 0
, e´ qua´drica degenerada representando dois planos paralelos.
Z Exemplo 24 (s). A equac¸a˜o 4x2 + y2 + 4z2 − 8x+ 8 = 0 pode ser simplificada em
4(x−1)2+y2+4z2 = −4 sendo da forma x
2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= −1 e´ uma qua´drica degenerada,
representando o conjunto vazio.
Z Exemplo 25 (t). A equac¸a˜o x2 + y2 + z2 − 6y + 9 = 0 pode ser simplificada em
x2 + (y − 3)2 + z2 = 0.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 36
-20
-10
0
10
20
x
-20
-10
0
10
20
y
-20
-10
0
10
20 z
Figura 1.8: Parabolo´ide el´ıptico(g)
Sendo uma qua´drica degenerada, representando o ponto (0, 3, 0).
Z Exemplo 26 (u). A equac¸a˜o y2−7y+10 = 0 representa uma qua´drica degenerada,
representando dois paralelos.
Z Exemplo 27 (v). A equac¸a˜o do tipo y2+4z2−6y−16z+21 = 0 pode ser simplificada
em
(y − 3)2
4
+ (z− 2)2 = 1 que e´ do tipo y
2
a2
+
z2
b2
= 1, representando um cilindro el´ıptico.
Z Exemplo 28 (w). A equac¸a˜o do tipo
9x2 + 9y2 + 4z2 − 54x− 90y − 56z + 460 = 0
pode ser simplificada e escrita como
(x− 3)2
4
+
(y − 5)2
4
+
(z + 7)2
9
= 1
sendo do tipo
(x)2
a2
+
(y)2
b2
+
(z)2
c2
= 1
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 37
-20
-10
0
10
20
x
-20
-10
0
10
20
y
-20
-1001020
z
Figura 1.9: Qua´drica degenerada, dois planos concorrentes(h)
e´ um elipso´ide.
Z Exemplo 29. Analisar os poss´ıveis lugares geome´tricos gerados pela equac¸a˜o
6x2 + 3y2 + kz2 − 36x+ 12ky + 102 = 0
podemos simplificar a equac¸a˜o em
6(x− 3)2 + 3(y + 2k)2 + kz2 = −48 + 12k2
ˆ Se k > 2 tem-se −48 + 12k2 > 0, da´ı podemos escrever
6(x− 3)2
−48 + 12k2 +
3(y + 2k)2
−48 + 12k2 +
kz2
−48 + 12k2 = 1
que representa um elipso´ide.
ˆ Se k = 2
6(x− 3)2 + 3(y + 4)2 + 2z2 = 0
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 38
-10
-5
0
5
10
x -10
-5
0
5
10
y
-10
-5
0
5
10 z
Figura 1.10: Cone el´ıptico(j)
A qua´drica e´ degenerada consistindo de um ponto (3,−4, 0).
ˆ Se k ∈ (0, 2) vale k > 0 e 12k2−48 < 0 logo temos novamente qua´dricas degeneradas,
representando o conjunto vazio.
ˆ Para k = 0 a equac¸a˜o na˜o depende de z e a qua´drica e´ degenerada
6(x− 3)2 + 3(y + 2k)2 + kz2 = −48
representando o conjunto vazio.
ˆ Se k ∈ (−2, 0), vale 12k2 − 48 < 0
6(x− 3)2
−48 + 12k2 +
3(y + 2k)2
−48 + 12k2 +
kz2
−48 + 12k2 = 1
sendo os coeficientes de x e y negativos e de z positivo, a equac¸a˜o representa um
hiperbolo´ide de duas folhas.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 39
-20
-10
0
10
20
x
-20
-10
0
10
20
y
-20
-10
0
10
20
z
Figura 1.11: Parabolo´ide hiperbo´lico (sela)(l)
ˆ Finalmente se k < −2, vale 12k2 − 48 > 0
6(x− 3)2
−48 + 12k2 +
3(y + 2k)2
−48 + 12k2 +
kz2
−48 + 12k2 = 1
os coeficientes de x e y sa˜o positivos enquanto os de z e´ negativo, enta˜o a equac¸a˜o
representa um hiperbolo´ide de uma folha.
Z Exemplo 30. Determine a equac¸a˜o do parabolo´ide el´ıptico com ve´rtice na origem
, eixo sobre o eixo
−−→
OX e que passa pelos pontos A(1, 1, 0) e B(1, 0, 2).
A equac¸a˜o deve ser da forma
z2
a2
+
y2
b2
= x, pois o parabolo´ide possui ve´rtice na origem
e eixo sobre
−−→
OX. Usando os pontos A e B na equac¸a˜o achamos a = 2 e b = 1. Logo a
equac¸a˜o e´
z2
4
+ y2 = x.
Z Exemplo 31. Determine a equac¸a˜o da esfera de centro no ponto C(1, 2, 3) e que e´
interceptada pelo plano z = 5 num c´ırculo de raio 4. A equac¸a˜o da circunfereˆncia e´ dada
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 40
-20 -10
0 10
20
x
-20
-10
0
10
20
y
-20
-10
0
10
20
z
Figura 1.12: Exemplo de cilindro el´ıptico.
por
(x− 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = r2
substituindo z = 5 tem-se
(x− 1)2 + (y − 2)2+ = r2 − 4 = s2 = 16
logo r2 = 20.
Z Exemplo 32. Todas as sec¸o˜es feitas na sela z = y2 − x2 por planos paralelos ao
plano
−−→
XZ sa˜o para´bolas, pois as equac¸o˜es dos planos paralelos a`
−−→
XZ sa˜o da forma y = k,
substituindo tem-se z = k2 − x2 que da´ equac¸a˜o da para´bola, com ve´rtice em xv dado
por z′ = 0, −2x = 0, x = 0 e zv dado por z(0) = k2, enta˜o cada para´bola possui ve´rtice
(0, k, k2) o sinal − em −x2 diz que as para´bolas esta˜o voltadas para baixo. As para´bolas
possuem abertura constante, na˜o variando com k.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 41
Z Exemplo 33. Fornecer um exemplo de coˆnica de eixo paralelo ao eixo −−→OX que seja
da forma Ax2+By2+Cz2+Dx+Ey+Fz+G = 0 onde apenas G = 0. Como ela possui
eixo paralelo ao eixo
−−→
OX, tomamos uma da forma
(x− a)2 = (y − b)2 + (z − c)2
para que G = 0, devemos ter a2 = b2+ c2, tomando por exemplo a = 5, b = 4, c = 3 temos
um exemplo.
Z Exemplo 34. Identificar a qua´drica 4x2+4z2+16x+28z+65. A equac¸a˜o pode ser
simplifica em (x+2)2+ (z+
7
2
)2 = 0. Representando portanto uma qua´drica degenerada,
sendo a reta (−2, y, −7
2
), y ∈ R.
Z Exemplo 35. Analisar as poss´ıveis qua´dricas representadas pela equac¸a˜o
x2 − y2 + (k2 − 4)z2 = k + 2.
ˆ Se k > 2, (k + 2)(k − 2) > 0 e (k + 2) > 0, (k − 2) > 0 a equac¸a˜o fica como
x2
k + 2︸ ︷︷ ︸
+
− y
2
k + 2︸ ︷︷ ︸
−
+(k − 2)z2︸ ︷︷ ︸
+
= 1
Apenas um termo negativo, enta˜o representa um hiperbolo´ide de uma folha.
ˆ Se k = 2, A equac¸a˜o fica como x2 − y2 = 4,
x2
4
− y
2
4
= 1
com z livre, representando enta˜o um cilindro hiperbo´lico .
ˆ Se k ∈ (−2, 2) enta˜o (k + 2) e´ positivo e k − 2 negativo
x2
k + 2︸ ︷︷ ︸
+
− y
2
k + 2︸ ︷︷ ︸
−
+(k − 2)z2︸ ︷︷ ︸
−
= 1
tendo portanto dois termos de sinais negativos a equac¸a˜o representa hiperbolo´ide
de duas folhas.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 42
ˆ Se k < −2, enta˜o k + 2 e k − 2 sa˜o negativos
x2
k + 2︸ ︷︷ ︸
−
− y
2
k + 2︸ ︷︷ ︸
+
+(k − 2)z2︸ ︷︷ ︸
−
= 1
representando hiperbolo´ide de duas folhas.
Z Exemplo 36. Mostre que existem exatamente duas retas contidas no parabolo´ide
z = y2 − x2 que passam pelo ponto (0, 2, 4). Testamos retas do tipo
r

x = u1t
y = 2 + u2t
z = 4 + u3t
substituindo os valores na equac¸a˜o achamos as seguintes retas
r1

x = t
y = 2 + t
z = 4 + 4t
r2

x = t
y = 2− t
z = 4− 4t
Z Exemplo 37. Mostre que existem exatamente duas retas contidas no parabolo´ide
z = y2 − x2 que passam pelo ponto (0, 2, 4). Testamos retas do tipo
r

x = u1t
y = 2 + u2t
z = 4 + u3t
substituindo os valores na equac¸a˜o achamos as seguintes retas
r1

x = t
y = 2 + t
z = 4 + 4t
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 43
r2

x = t
y = 2− t
z = 4− 4t
Z Exemplo 38. Determine a equac¸a˜o do plano tangente a` esfera (x− 1)2+(y− 2)2+
(z − 3)2 = 17 no ponto P (3,−1, 5). Temos o centro C(1, 2, 3) , logo um vetor paralelo
ao plano e´ dado pela diferenc¸aV = P − C = (2,−3, 2) e a equac¸a˜o do plano e´ dada pelo
produto interno
V.(x− 3, y + 1, z − 5) = 0
que da´ o plano 2x− 3y + 2z − 19 = 0.
1.17 Superf´ıcies regradas
1.17.1 Superf´ıcie coˆnica
m Definic¸a˜o 27 (Superf´ıcie coˆnica). Seja γ uma curva contida num plano pi e V um
ponto na˜o pertencente a` pi . A superf´ıcie coˆnica S de diretriz γ e ve´rtice V e´ a superf´ıcie
gerada por todos as retas que passam por V e por algum ponto de γ.
S = {V + t.−→V P | p ∈ γ, t ∈ R}.
Enta˜o para termos uma superf´ıcie coˆnica e´ necessa´rio uma curva γ contida em um
plano pi e um pontoV que na˜o pertence ao planos pi, a superf´ıcie coˆnica e´ formada por
todos os pontos das retas que passam por V e um ponto de γ, tais retas sa˜o chamadas de
geratrizes da superf´ıcie coˆnica S. (pi, γ, V ).
Z Exemplo 39. Uma certa curva de equac¸a˜o f(y, z) = 0, x = 0 e´ diretriz de uma
superf´ıcie coˆnica de ve´rtice v(1, 0, 0).
ˆ Representar a equac¸a˜o dessa superf´ıcie .
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 44
ˆ Se A(0, 5,−4) for um ponto da diretriz dada podemos afirmar que P (3,−10, 8) e´
um ponto dessa superf´ıcie?
ˆ Tomamos um ponto da curva diretriz (0, y0, z0) e o ve´rtice dado, enta˜o a curva tem
equac¸a˜o parame´trica (x, y, z) = (0, y0, z0)+t(−1, y0, z0) = (−t, (y0)(t+1), (z0)(t+1)).
ˆ Para que (3,−10, 8) pertenc¸a a curva e´ necessa´rio que t = −3, da´ı conclu´ımos que
o ponto pertence a curva pois vale (3, (−2)5, (−2)(−4)) = (3,−10, 8).
1.17.2 Superf´ıcies regrada
m Definic¸a˜o 28 (Superf´ıcies regrada). Uma superf´ıcie S e´ dita regrada quando para
todo ponto P ∈ S passa uma reta rP contida em S.
1.17.3 Superf´ıcies cil´ındricas
m Definic¸a˜o 29 (Superf´ıcies cil´ındricas). Sejam γ uma curva contida num plano pi do
espac¸o e
−→
V 6= 0v um vetor na˜o paralelo ao plano pi. A superf´ıcie cil´ındrica S de diretriz
γ e geratrizes paralelas ao vetor
−→
V e´ o conjunto
S = {P + t−→V | p ∈ γ et ∈ R}.
A superf´ıcie S e´ gerada por todas as retas paralelas ao vetor
−→
V que interceptam o
plano pi num ponto da curva γ.
Z Exemplo 40. Considere a superf´ıcie cil´ındrica de diretriz z − 2 = (x− 3)2, y = 0 e
geratrizes paralelas a` reta y = 3x, z = 0 determinar a equac¸a˜o dessa superf´ıcie.
Parametrizamos a curva (x, y, z) = (t, 0, 2+(t−3)2), tomamos dois pontos da reta para
calcular o vetor diretor
−→
V = (1, 3, 0). A equac¸a˜o fica enta˜o (t, 0, 2+(t−3)2)+s(1, 3, 0) que
com manipulac¸o˜es alge´bricas podemos escrever na forma cartesiana z = 2+(
3x− y
3
−3)2.
Z Exemplo 41. Identifique a superf´ıcie dada por z = 3 + (y − x)2.
Interceptamos essa superf´ıcie pelo plano x = k, da´ı temos z − 3 = (y − k)2, como
para´bola no plano x = k com ve´rtice v(k, k, 3) = (3, 0, 0) + k(1, 1, 0) todas com a mesma
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 45
direc¸a˜o do vetor v = (1, 1, 0). As concavidades das para´bolas sa˜o voltadas para cima e
uma geratriz e´ (z = 3 + y2, x = 0)
Z Exemplo 42. Considere a superf´ıcie cil´ındrica que tem como diretriz a elipse (x−
4)2+
(z − 3)2
4
= 1 e cujas geratrizes sa˜o paralelas a` reta 3x+2y−6 = 0, z = 0, determinar
a equac¸a˜o da superf´ıcie.
Parametrizamos a diretriz (x, y, z) = (4+ cos(θ), 0, 3+ 4sen(θ)) tomamos dois pontos
da reta que da´ direc¸a˜o do vetor (−2, 3, 0) logo a superf´ıcie tem equac¸a˜o parame´trica
(x, y, z) = (4, cos(θ)− 2t, 3t, 3 + 4sen(θ))
de onde podemos deduzir a equac¸a˜o cartesiana
(
3x+ 2y
3
− 4)2 + (z − 3
4
)2 = 1.
Z Exemplo 43. Mostre que a superf´ıcie S dada por xz + 2yz − 1 = 0 e´ cil´ındrica.
Tomamos intersecc¸a˜o com o plano z = k e temos as retas xk + 2yk − 1 = 0, z = k que
podemos parametrizar como (x, y, z) = (0,
1
2k
, k)+ t(2, 1, 0) logo todas as retas geratrizes
sa˜o paralelas , enta˜o a superf´ıcie e´ cil´ındrica.
Z Exemplo 44. Escrever a superf´ıcie x2 + y2 − 8x − 6y + 25 = 0 em coordenadas
cil´ındricas. Primeiro fatoramos a equac¸a˜o (x − 4)2 + (y − 3)2 = 0, logo x = 4, y = 3, z
x2 + y2 = r2 = 25 enta˜o r = 5, u = arctg(
3
4
).
Z Exemplo 45. Mostre que 6xz − 2yz + 1 = 0 representa uma superf´ıcie cil´ındrica.
Tomamos a intersecc¸a˜o da curva com o plano z = k 6= 0 e da´ı temos 6xk − 2yk + 1 = 0
logo 6xk + 1 = 2yk, dividindo por 2k segue 3x +
1
2k
= y, tomando x = t tem-se y =
3t+
1
2k
, z = k e da´ı os pontos sa˜o da forma
(t, 3t+
1
2k
, k) = (0,
1
2k
, k) + t(1, 3, 0)
todos em retas de mesma direc¸a˜o (1, 3, 0) logo a superf´ıcie e´ cil´ındrica.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 46
Z Exemplo 46. Identifique a curva dada por
γ :

x = a
y = b+ et
z = c+ e2t
Vale y − b = et e z − c = (et)2 = (y − b)2, logo z − c = t(y − b)2 e x = a.
A curva esta´ no planos x = a, paralelo ao plano Y Z sendo parte de uma para´bola com
ve´rtice v(b, c) em Y Z e concavidade voltada para cima.
Z Exemplo 47. Sabendo que S e´ uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o gerada por uma curva
dada por f(x, z) = 0 e y = 0 em torno do eixo
−−→
OX, que A(3, 0, 1) e´ ponto dessa diretriz,
podemos concluir se P (3,
1
2
,
2
3
) ∈ S?
O ponto A(3, 0, 1) nos da´ o raio da circunfereˆncia r = 1 o ponto P deve satisfazer
d(A, I) = d(P, I) onde I(3, 0, 0). Logo
1 = (x− 3)2 + (y)2 + (z)2
1 =
1
4
+
4
9
que e´ falso, logo o ponto na˜o pertence a superf´ıcie de revoluc¸a˜o .
Z Exemplo 48. Identificar a superf´ıcie dada por y = 3 + (y − x)2. Tomando a
intersecc¸a˜o com o plano x = k e temos z = 3 + (y − k)2 uma para´bola. Os ve´rtices esta˜o
na reta (k, k, 3) = k(1, 1, 0) + (0, 0, 3). Tem-se para´bolas no plano Y Z com concavidade
para cima, temos uma superf´ıcie cil´ındrica ( cilindro parabo´lico ) uma diretriz e´ a para´bola
z = 3 + y2, x = 0 e com geratriz de direc¸a˜o (1, 1, 0). E´ uma qua´drica rodada.
Z Exemplo 49. Considere a superf´ıcie cil´ındrica que tem como diretriz a elipse (x−
4)2 +
(z − 3)2
4
= 1 e cujas geratrizes sa˜o paralelas a` reta 3x + 2y = 6, z = 0. Determinar
a equac¸a˜o dessa superf´ıcie.
Da reta temos 2y = 6 − 3x, y = 3 − 3x
2
. Tomamos enta˜o x = −2t e temos com isso
y = 3 + 3t
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 47
r :

x = −2t
y = 3 + 3t
z = 0
A equac¸a˜o sime´trica da reta e´
x− x0
−2 =
y − y0
3
enta˜o x0 =
3x+ 2
2
, e z = z0 substituindo na equac¸a˜o da elipse tem-se
(
3x+ 2y
3
− 4)2 + (z − 3)
2
4
= 1
Z Exemplo 50. Considere a superf´ıcie S = xz+2yz− 1 = 0. Mostre que S e´ regrada
e analise se S e´ superf´ıcie cil´ındrica.
Dado um ponto da superf´ıcie P (x1, y1, k) ∈ S enta˜o a reta dada por r : (xk + yk =
1, z = k) conte´m o ponto P e R ⊂ S, logo a superf´ıcie e´ regrada.
Z Exemplo 51. Considere a superf´ıcie cil´ındrica de diretriz z − 2 = (x − 3)2, y =
0 e geratrizes paralelas a` reta y = 3x, z = 0. Determine a equac¸a˜o dessa superf´ıcie.
Escrevemos a reta como (x, y, z) = (t, 3t, 0) logo
y − y0
3
= x− x0 implica x0 = x− y
3
isso
implica que a equac¸a˜o e´ dada por
z − 2 = (x− y
3
− 3)2
apo´s substituic¸a˜o na equac¸a˜o da diretriz.
Z Exemplo 52. Considere S a superf´ıcie cil´ındrica com diretriz representada pelo
sistema (z = ex, y = 0) e o vetor-direc¸a˜o w = (3, 1, 0). Determinar equac¸o˜es parame´tricas
e cartesianas para S.
Primeiro parametrizamos o sistema (t, 0, et) depois aplicamos a definic¸a˜o de superf´ıcie
cil´ındrica para parametrizar tal superf´ıcie
(x, y, z) = (t, 0, et) + p(3, 1, 0)
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 48
da´ı x = t + 3p, y = p, z = et, manipulando algebricamente a expressa˜o temos x = t + 3y
e da´ı x− 3y = t logo z = ex−3y e´ a equac¸a˜o cartesiana da superf´ıcie.
Z Exemplo 53. Determine a equac¸a˜o cartesiana da superf´ıcie cil´ındrica com vetor
V = (0,−1, 1) e diretriz y = ex, z = 0.
Primeiro parametrizamos a superf´ıcie (t, et, 0), depois usamos o vetor (t, et, 0)+s(0,−1, 1) =
(t, et − s, s) logo x = t, y = et − s, z = s que por substituic¸a˜o nos da´ y = ex − z.
1.18 Superf´ıcies de revoluc¸a˜o
Z Exemplo 54. Sabendo que S e´ uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o gerada por uma curva
dada por f(x, z) = 0, y = 0 em torno do eixo X e que A(3, 0, 1) e´ ponto dessa diretriz,
podemos concluir se P (3,
1
2
,
2
3
) ∈ S? Os pontos A e P pertencem ao mesmo plano x = 3.
O centro da circunfereˆncia nesse plano e´ C(3, 0, 0) teria que valer d(A,C) = d(P,C), que
na˜o vale, enta˜o P /∈ S. Na˜o vale pois d(P,C) 6= 1.
Z Exemplo 55. Represente em equac¸o˜es parame´tricasa superf´ıcie de revoluc¸a˜o em
torno do eixo
−−→
OY da geratriz α{yz = 1, x = 0, z < 0}. Parametrizamos a curva x = 0, y =
tz =
1
t
, depois fazemos a rotac¸a˜o z =
sen(u)
t
e x =
cos(u)
t
.
Z Exemplo 56. Justifique que
z = 4 + (
√
x2 + y2 − 3)3
representa uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o.
Fazemos a intersecc¸a˜o da superf´ıcie com z = k, logo
(k − 4) 13 =
√
x2 + y2 − 3, (k − 4) 13 + 3 =
√
x2 + y2, ((k − 4) 13 + 3)2 = x2 + y2
logo temos uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o em torno do eixo OZ. Para encontramos uma
geratriz fazemos a intersecc¸a˜o com o plano x = 0
z = 4 + (y − 3)3
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 49
Z Exemplo 57. Seja S uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o de eixo em OY , Sabendo que
P (1, 3, 2) ∈ S, determine os pontos de intersecc¸a˜o do plano pi : 2x + y − z = 0 com o
paralelo de S que conte´m o ponto P . O paralelo esta´ contido no plano y = 3, tem centro
C(0, 3, 0) e equac¸a˜o x2 + z2 = 5, pois a distaˆncia entre C e P e´
√
5. Tomamos enta˜o a
intersecc¸a˜o com o plano pi, ficando 2x+ 3 = z que substitu´ımos em x2 + z2 = 5 chegando
na equac¸a˜o 5x2+1x+4 = 0, que possui soluc¸o˜es x = −2 e x = −2
5
. Com isso conseguimos
os pontos (−2, 3,−1), (−2
5
, 3,
11
5
).
Z Exemplo 58. Considere a superf´ıcie S dada pela equac¸a˜o z4 + 4z2 + 4 = x2 + y2,
mostrar que S e´ de revoluc¸a˜o .
Tomamos a intersec¸a˜o da superf´ıcie com o plano z = k , onde tem-se k4 + 4k2 + 4 =
x2 + y2 da´ı trata-se de uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o com eixo em
−→
OZ.
Uma geratriz pode ser deduzida fazendo x = 0, da´ı a equac¸a˜o fica (z2+2)2 = y2 que da
origem as geratrizes y = (z2+2) e y = −(z2+2). Podemos tomar enta˜o y = z2+2, x = 0
como uma geratriz .
Z Exemplo 59. Considere o toro gerado pela rotac¸a˜o da circunfereˆncia α no plano
XY com centro (C(4, 6, 0)) e raio 2 em torno do eixo OX. Determinar equac¸a˜o cartesiana
e parame´trica para esta superf´ıcie.
A equac¸a˜o da circunfereˆncia α pode ser parametrizada como x = 4 + 2cosu, y = 6 +
2senu, z = 0 da´ı fazemos uma rotac¸a˜o de v grau em torno do eixoOX, por issoX e´ deixado
constante, chegamos em (x, y, z) = (4+2cos(u), (6+2sen(u))cos(v), (6+2sen(u))sen(v)).
Com a equac¸a˜o parame´trica podemos deduzir a equac¸a˜o cartesiana
y2 + z2 = (6 + 2sen(u))2cos2(v) + (6 + 2sen(u))2sen2(v) = (6 + 2sen(u))2
o que implica √
y2 + z2 = 6 + 2sen(u)
logo √
y2 + z2 − 6 = 2sen(u)
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 50
(
√
y2 + z2 − 6)2 + (x− 4)2 = 4sen(u) + 4cos(u) = 4
logo a equac¸a˜o cartesiana e´ (
√
y2 + z2 − 6)2 + (x− 4)2 = 4.
Z Exemplo 60. Identifique a superf´ıcie dada por z = e
√
x2+y2 . Tomamos a intersecc¸a˜o
com o plano z = k > 1, da´ı temos k = e
√
x2+y2 , ln(k) =
√
x2 + y2, ln2(k) = x2 + y2,
enta˜o temos circunfereˆncias com centro em (0, 0, k) e raio ln(k), sendo portanto superf´ıcie
de revoluc¸a˜o em torno do eixo OZ. Para tomarmos uma geratriz, interceptamos com o
plano x = 0, z = ey.
1.19 Coordenadas cil´ındricas
Z Exemplo 61. O que representa r = k em coordenadas cil´ındricas? x = kcos(θ) e
y = ksen(θ) temos um cilindro circular reto.
Z Exemplo 62. Identifique a curva dada em coordenadas cil´ındricas por r = 4sen(u), z =
3.
Multiplicamos por r e da´ı r2 = 4rsen(u), em coordenadas cil´ındricas temos y =
rsen(u) e x2+y2 = r2, logo x2+y2 = 4y, x2+(y−2)2 = 4 logo temos uma circunfereˆncia
de raio r = 2 e centro (0, 2) no plano z = 3.
Z Exemplo 63. Identifique a superf´ıcie dada pela parametrizac¸a˜o
f(u, v) = (3 + tg(u), 2 + 2sec(u), v).
x = 3 + tg(u), y = 2 + 2sec(u), x − 3 = tg(u), y − 2
2
= sec(u) usando a identidade
tg2(u) + 1 = sec2(u) segue
(x− 3)2 + 1 = (y − 2)
2
22
logo
(y − 2)2
22
− (x− 3)2 = 1
e z livre, temos enta˜o um cilindro hiperbo´lico .
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 51
Z Exemplo 64. Representar em coordenadas cil´ındricas a curva dada por α(t) =
(etcos(t), etsen(t), et). Em coordenadas cil´ındricas temos x = rcos(u), y = rsen(u) e z
livre da´ı temos z = et, t = u, da´ı tem-se tambe´m r = z enta˜o r = z e z = eu.
1.20 Coordenadas esfe´ricas
Coordenadas esfe´ricas sa˜o dadas por
(x, y, z) = (rcos(θ)cos(ϕ), rsen(θ)cos(ϕ), rsen(ϕ)).
Vale
r2 = x2 + y2 + z2.
x2 + y2 = r2cos2(ϕ).
x2 + y2 = (x2 + y2 + z2)cos2(ϕ)
Z Exemplo 65. Passe para coordenadas cartesianas a equac¸a˜o
r2(1 + cos2(ϕ)) = 0.
Percebemos que se r = 0 enta˜o temos apenas o ponto (0, 0, 0) se na˜o 1 + cos2(ϕ) = 0 e
da´ı cos2(ϕ) = −1 que e´ absurdo. Enta˜o segue que r = 0 e a equac¸a˜o cartesiana pode ser
representada por
x2 + y2 + z2 = 0.
Z Exemplo 66. Represente em coordenadas esfe´ricas a reta
x = y = z.
x = y = z = t logo igualando x = y chegamos em cos(θ) = sen(θ), logo θ =
pi
4
.
Igualando y = z tem-se tg(ϕ) =
√
2
2
. r e´ livre.
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 52
Z Exemplo 67. Represente o plano 2x = y no espac¸o por coordenadas esfe´ricas.
Usando as coordenadas esfe´ricas tem-se
2rcos(θ)cos(ϕ) = rsen(θ)cos(ϕ)
da´ı
2 = tg(θ)
r e ϕ sa˜o livres.
Z Exemplo 68. O que representa r = k em coordenadas esfe´ricas? Representa uma
esfera de raio k .
Z Exemplo 69. O que representa θ = k em coordenadas esfe´ricas? Vale y =
rcos(k)cos(ϕ), x = rsen(k)cos(ϕ), da´ı y = xtg(k), representando portando um plano.
Z Exemplo 70. Identificar a curva dada por r = 5 e θ = arctg(4
3
). Foi dado um aˆngulo
na horizontal θ e um raio r = 5, ϕ pode variar livremente, temos enta˜o um meridiano da
esfera de centro (0, 0, 0) e raio 5.
Z Exemplo 71. Passar para coordenadas cartesianas a equac¸a˜o r2(1 + cos2(ϕ)) = 0
1.21 Curvas parametrizadas
Z Exemplo 72. Identifique e ache a equac¸a˜o cartesiana da curva dada por
x = 3, y = 5 + et, z = e2t
Vale (y − 5)2 = z.
Z Exemplo 73. Sejam g : E \ N → R com g(x, y) = bx
b− y e f : R → E \ N com
f(u) =
1
u2 + a2
(2ua2, b(u2−a2)), onde E e´ a elipse x
2
a2
+
y2
b2
= 1. Enta˜o f e g sa˜o inversas.
Temos que mostrar que
(f ◦ g)(x, y) = (x, y)
CAPI´TULO 1. GEOMETRIA ANALI´TICA 53
tem-se
(f ◦ g)(x, y) = f( bx
b− y ) =
1
b2x2
(b−y)2 + a
2
(2
bx
b− ya
2, b(
b2x2
(b− y)2 − a
2))
Vamos simplificar a primeira coordenada inicialmente
1
b2x2
(b−y)2 + a
2
2
bx
b− ya
2 =
usamos que
x2
a2
+
y2
b2
= 1 ⇒ multiplicando por a2b2 que b2x2 + a2y2 = a2b2 ⇒ b2x2 =
a2(b2 − y2) substituindo e simplificando temos
=
(b− y)2
b2x2 + (b− y)2a22
bx
b− ya
2 =
(b− y)2
a2(b2 − y2) + (b− y)2a22
bx
b− ya
2 =
=
(b− y)2bx
(b2 − y2) + (b− y)2 =
(b− y)2bx
(b2 − y2) + b2 − 2by + y2 =
(b− y)2bx
2b(b− y) = x
como quer´ıamos mostrar , analogamente para a segunda coordenada encontramos y como
resultado das simplificac¸o˜es.
1.22 Bibliografia
Textos relacionados de mesma autoria: ( Espac¸os me´tricos, ana´lise no Rn, produto
interno, espac¸os vetoriais).