AULA 03 - Leis de Kirchhoff

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Circuitos CC 
Aula 03 
ELETRICIDADE C 
Prof. Renan Caron Viero – rcviero@gmail.com 
Adaptado do Material do prof. Sérgio Haffner 
https://sites.google.com/site/rcviero/ 
 
Leis de Kirchhoff 
Aula 03 - Leis de Kirchhoff 
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 
• Um circuito série é aquele que permite apenas um caminho para o percurso 
da corrente, sendo esta comum a todos os elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
• A resistência equivalente da associação série é dada por 
1 2e nR R R R= + + +
1 2 1 2
1 2
LKT
n n
e n
v v v vv vvR R R R
i i i i i
+ + +
= = = + + + = + + +

 
Associação em Série 
2 
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ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 
• Um circuito paralelo é aquele que todos os elementos são conectados de modo a 
serem submetidos a uma única tensão, sendo esta comum a todos os elementos. 
 
 
 
 
 
 
• A resistência equivalente da associação série é dada por 
1 2
1
1 1 1e
n
R
R R R
=
+ + +
1 2
1 2 1 2
LKC 1
1 1 1e n
n n
v v vR
v v vi i i i
R R R R R R
= = = =
+ + + + + + + + +  
Associação em Paralelo 
3 
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ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 
dois 
dois 
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ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 
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ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES 
6 
Para resolver em casa: 
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TOPOLOGIAS DE CIRCUITOS 
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• Nó – Ponto de junção de dois ou mais elementos (bipolos) 
– Quando um fio ideal conecta dois nós, os dois nós constituem um único nó. 
– Nó essencial – Ponto de junção de três ou mais elementos (bipolos) 
 
• Ramo – Representação de um único elemento (bipolo) conectado entre dois nós, 
tal como um resistor ou uma fonte de tensão - vide componente 2 na Figura. 
– Ramo essencial – quando ligar dois nós essenciais sem passar por outro nó 
essencial 
 
• Laço – Caminho fechado formado por um nó de partida, passando por um 
conjunto de nós e retornando ao nó de partida, sem passar por qualquer nó mais 
de uma vez. 
– Um percurso fechado é dito independente quando ele contém um ramo que 
não pertence a nenhum outro caminho fechado 
• Malha – Caminho fechado que não contém outro caminho fechado dentro dele. 
– Caso especial de laço 
 
• Circuito planar – Pode ser desenhado em um plano sem que dois ramos se 
cruzem 
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TOPOLOGIAS DE CIRCUITOS 
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TOPOLOGIAS DE CIRCUITOS 
9 
Nós 
1 
2 3 
• Nó – Ponto de junção de dois ou mais elementos (bipolos) 
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TOPOLOGIAS DE CIRCUITOS 
10 
Ramos 
1 2 3 
4 
5 
Ramo – Representação de um único elemento (bipolo) conectado entre dois nós 
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TOPOLOGIAS DE CIRCUITOS 
11 
Malhas 
1 2 
3 
• Malha – Caminho fechado que não contém outro caminho fechado dentro dele. 
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TOPOLOGIAS DE CIRCUITOS 
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Para um circuito planar, tem-se que: 
1m b n= − +
m – número de malhas 
b – número de ramos 
n – número de nós 
m – 3 
b – 5 
n – 3 
Determinar: 
nós, ramos, malhas e laços 
verificar a relação 
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TOPOLOGIAS DE CIRCUITOS 
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LEIS DE KIRCHHOFF 
14 
 Gustav Kirchhoff 
Lei das Correntes ou 
Lei dos Nós 
Lei das Tensões ou 
Lei das Malhas 
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LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES 
LKC 
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• LKC – A soma das correntes que chegam a um nó é 
igual à soma das correntes que saem do mesmo nó 
 considerando-se positivas as correntes que chegam 
a um nó e negativas as que saem, a LKC estabelece 
que a soma algébrica das correntes que chegam a 
um nó é nula. 
 
• O número de equações independentes obtidas com a 
aplicação da LKC é sempre igual ao número de nós 
menos 1 (n-1). 
 
Aula 03 - Leis de Kirchhoff 
LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES 
LKC - EXEMPLO 
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LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES 
LKC - EXEMPLO 
17 
Para o nó 1 → iA(t) chega no nó e iB(t) sai do nó: 
( ) ( ) ( ) ( ) 0A C E Fi t i t i t i t− − − − =
( ) ( ) 0A Bi t i t− =
Para o nó 2 → iB(t) e iC(t) chegam ao nó e 
iD(t) sai do nó: 
( ) ( ) ( ) 0B C Di t i t i t+ − =
Para o nó 3 → iD(t), iE(t) e iF(t) chegam ao nó: 
( ) ( ) ( ) 0D E Fi t i t i t+ + =
Para o nó 4 → iA(t), iC(t), iE(t) e iF(t) saem do nó: 
n = 4 → (n-1) = 3 equações de nó. 
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
A B
B C D
D E F
A C E F
i t i t
i t i t i t
i t i t i t
i t i t i t i t
− =
 + − =
 + + =
− − − − =
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LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES 
LKC - EXEMPLO 
18 
n = 4 → (n-1) = 3 equações de nó. 
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
A B
B C D
D E F
A C E F
i t i t
i t i t i t
i t i t i t
i t i t i t i t
− =
 + − =
 + + =
− − − − =
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
A B
B C D
D E F
i t i t
i t i t i t
i t i t i t
− =
 + − =
 + + =
Note que a última equação é uma 
combinação linear das outras 
equações... Portanto, posso desprezá-la. 
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LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES 
LKT 
19 
• LKT – A soma das elevações de potencial ao longo de um percurso 
fechado qualquer é igual à soma das quedas de potencial no 
mesmo percurso fechado. 
 assumindo-se que as quedas de tensão (sentido de percurso 
do terminal + para –) são positivas ao longo do percurso e que 
as elevações de tensão (sentido de percurso do terminal 
– para +) são negativas, a LKT estabelece que a soma algébrica 
das tensões em um percurso fechado é nula 
 a malha é um tipo de percurso fechado → a LTK também vale 
para as malhas 
• O número de equações independentes obtidas com a aplicação 
da LKT é sempre igual ao número de malhas (m). 
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LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES 
LKT - EXEMPLO 
20 
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LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES 
LKT - EXEMPLO 
21 
1 
2 
3 
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LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES 
LKT - EXEMPLO 
22 
1 
2 
3 
Para a malha 1 → vA(t) é elevação de tensão 
( - para + ), vB(t) e vC(t) são quedas de tensão 
( + para - ): 
Para a malha 2 → Aqui, vC(t) é elevação de 
tensão ( - para + ), vD(t) e vE(t) são quedas de 
tensão ( + para - ): 
Para o nó 3 → iD(t), iE(t) e iF(t) chegam ao nó 
Aqui vE(t) é elevação e vF(t): 
( ) ( ) 0E Fv t v t− + =
( ) ( ) ( ) 0A B Cv t v t v t− + + =
( ) ( ) ( ) 0C D Ev t v t v t− + + =
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
A B C
C D E
E F
v t v t v t
v t v t v t
v t v t
− + + =
− + + =
− + =
m = 3 → 3 equações de malha. 
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LKC + LKT 
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• Número de Equações de Circuito Independentes 
 Em todo circuito elétrico composto de b elementos existem 2b incógnitas 
• em cada elemento a corrente e a tensão são variáveis a serem determinadas 
 Assim, são inicialmente necessárias 2b equações independentes para a 
determinação completa do circuito. 
• Este número pode ser reduzido para b, usando-se as b relações 
tensão/corrente dos elementos 
 Usando-se 
• LKC obtém-se (n-1) equações de corrente 
• LKT obtém-se m=b-n+1 equações de malha 
• LKC+LKT obtém-se (n-1)+(b-n+1)=b equações independentes 
 Geralmente a análise é realizada empregando-se 
• LKC – análise nodal 
– equaciona-se correntes, para determinar tensões nodais 
• LKT – análise de malhas 
– equaciona-se tensões, para determinar correntes de malha 
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EXERCÍCIOS – EXEMPLO 
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Obtenhao valor das variáveis ia e ib e Vo aplicando LKC e/ou LKT 
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EXERCÍCIOS – EXEMPLO 
25 
n = 3 → (n-1) = 2 equações de nó independentes. 
va 
vRin 
iin 
a b 
c 
if 
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EXERCÍCIOS – EXEMPLO 
26 
Para o nó b: 
0in a bi i i− − =
Para o nó c: 
0f a bi i i− + + =
Veja que a equação do nó c é a soma 
das equações do nó a e do no b 
multiplicada por -1. Opto por 
desprezá-la. 
Equações de Nó 
0f ini i− =
Para o nó a: 
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EXERCÍCIOS – EXEMPLO 
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m = 2 → 2 equações de malha. 
p = 4 → m = p – n + 1 = 4 – 2 + 1 = 2 
va 
vRin 
iin a b 
c 
if 
1 2 
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EXERCÍCIOS – EXEMPLO 
28 
Para a Malha 1: 
50 0Rin av v− + + =
Para a Malha 2: 
0a ov v− + =
Equações de Malha 
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EXERCÍCIOS – EXEMPLO 
29 
Para a Malha 1: 
Para a Malha 2: 
Aplicando as Relações Tensão/Corrente 
Para o nó b: 
0in a bi i i− − =
0f ini i− =
Para o nó a: 0 0 50
0 0 0
0 0
0 0 0
in in a a
a a b b
in a b
f in
R i R i
R i R i
i i i
i i
+ + + =
 + − + =
 + − − =
 − + + =
5 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 5 0Rin a in in a av t v t R i t R i t− + + = → + =
0 0a o a a b bv v R i R i− + = → − + =
Quatro equações, quatro incógnitas 
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EXERCÍCIOS – EXEMPLO 
30 
Solucionando o sistema 
0 0 50
0 0 0
0 0
0 0 0
in in a a
a a b b
in a b
f in
R i R i
R i R i
i i i
i i
+ + + =
 + − + =
 + − − =
 − + + =
2.5A 2.5A 2A 0.5Af in a bi i i i= = = =
Solucionando o sistema 
4 2.5 10V
20 2 40V
80 0.5 40V
in in in
a a a
o b b
v R i
v R i
v R i
= = ⋅ =
= = ⋅ =
= = ⋅ =
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EXERCÍCIOS – EXEMPLO 
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Atente como é possível facilitar a 
solução do sistema: apenas as 
equações de nós essenciais (aqueles 
em que três ou mais ramos estão 
conectados) necessitam ser levadas 
em consideração na solução, uma vez 
que um nó não essencial caracteriza 
uma ligação em série dos ramos, 
onde a corrente é a mesma em 
ambos os ramos. (Veja que a fonte de 
tensão e o resistor de 4Ω estão em 
série) 
0 50
0 0
0
in in a a
a a b b
in a b
R i R i
R i R i
i i i
+ + =
 − + =
 − − =
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EXERCÍCIOS 
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EXERCÍCIOS 
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