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MAT2454 - Ca´lculo Diferencial e Integral para Engenharia II
1a lista de exercı´cios - 2011
CURVAS E SUPERFI´CIES
1. Desenhe as imagens das seguintes curvas:
(a) γ(t) = (1, t) (b) γ(t) = (cos2 t, sen t) , 0 ≤ t ≤ 2pi
(c) γ(t) = (sen t, sen 2t) (d) γ(t) = (2+ cos t, 3+ 4sen t)
(e) γ(t) = (12 , 1− t) (f) γ(t) = (et cos t, et sen t) , t ≥ 0
(g) γ(t) = (sec t, tg t) , −pi2 < t < pi2 (h) γ(t) = (
√
2 cos t, 2 sen t)
2. Associe as equac¸o˜es parame´tricas aos gra´ficos I a VI. Justifique sua escolha.
(a) x = t3 − 2t, y = t2 − t (b) x = t3 − 1, y = 2− t2
(c) x = sen (3t), y = sen (4t) (d) x = t+ sen (2t), y = t+ sen (3t)
(e) x = sen (t+ sen t), y = cos(t+ cos t) (f) x = cos t, y = sen (t+ sen (5t))
3. Considere f (x) =
(
3
√
x
)2
. A func¸a˜o f e´ deriva´vel em x = 0? Determine uma
curva γ : R → R2, deriva´vel e cuja imagem seja igual ao gra´fico de f .
4. Mostre que a curva γ(t) = (cos t , sen t cos t) tem duas tangentes em (0,0) e ache
suas equac¸o˜es.
5. Sejam I um intervalo aberto deR e γ : I → R2 uma curva diferencia´vel. Mostre
que, se existe C ∈ R tal que ||γ(t)|| = C, para todo t ∈ I, enta˜o γ(t) e´ ortogonal a
γ ′(t), para todo t ∈ I. Vale a recı´proca? Interprete geometricamente.
6. Um barbante e´ enrolado ao redor de um cı´rculo e enta˜o desenrolado, sendo man-
tido esticado. A curva trac¸ada pelo ponto P no final do barbante e´ chamada de
involuta do cı´rculo. Se o cı´rculo tiver raio r e centro O, a posic¸a˜o inicial de P for
(r, 0), e se o paraˆmetro θ for escolhido como na figura, mostre que as equac¸o˜es
parame´tricas da involuta sa˜o:
x = r(cos θ + θsen θ) y = r(sen θ − θ cos θ)
7. Uma circunfereˆncia de raio r rola sem escorregar ao longo do eixo Ox. Encon-
tre equac¸o˜es parame´tricas para a curva descrita por um ponto da circunfereˆncia
que se encontra inicialmente no origem. (Esta curva e´ chamada de ciclo´ide; veja
figura.)
8. Ache e esboce o domı´nio das func¸o˜es:
(a) f (x, y) =
√
x− y (b) f (x, y) = arctg y
x
(c) f (x, y) =
1√
x2 + y2 − 1 (d) f (x, y) =
x
yx
(e) f (x, y) = tg(x− y) (f) f (x, y) = ln(xy2 − x3)
(g) f (x, y) = ln(16− 4x2 − y2)
9. Esboce uma famı´lia de curvas de nı´vel de:
(a) f (x, y) =
x+ y
x− y (b) f (x, y) = x−
√
1− y2
(c) f (x, y) =
x2
x2 − y2 (d) f (x, y) =
2xy2
x2 + y4
10. Esboce os gra´ficos de:
(a) f (x, y) = 1− x− y (b) f (x, y) = x
x2 + 1
(c) f (x, y) =
√
x2 + 9y2
(d) f (x, y) = 4x2 + y2 (e) f (x, y) = y2 − x2 (f) f (x, y) = y2 + 1
(g) f (x, y) = y2 + x (h) f (x, y) = xy (i) f (x, y) = e
√
x2+y2
(j) f (x, y) =
1
4x2 + 9y2
(k) f (x, y) = (x− y)2 (l) f (x, y) = x2 + y2 + 2y+ 3
(m) f (x, y) =
1
(x2 + 2y2)2
(n) f (x, y) = ln(9x2 + y2) (o) f (x, y) = 2− 4√x2 + 4y2
(p) f (x, y) =
√
x2 + y2 − 9 (q) f (x, y) = √x2 + y2 + 1
11. Sa˜o dadas a seguir as curvas de nı´vel e os gra´ficos de seis func¸o˜es de duas varia´veis
reais. Decida quais curvas de nı´vel correspondem a quais gra´ficos.
(I)
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
(II) –4
–2
2
4
y
–4 –2 2 4x
(III) –4
–2
2
4
y
–12 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12x
(IV) –4
–2
2
4
y
–6 –4 –2 2 4 6x
(V) –2
–1
1
2
y
–1 –0.5 0.5 1x
(VI) –4
–2
2
4
y
–4 –2 2 4x
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
12. Seja γ(t) = (et + 1, e−t), para t ∈ R.
(a) Desenhe a imagem de γ indicando o sentido de percurso.
(b) A imagem de γ esta´ contida em alguma curva de nı´vel de f : R → R dada
por f (x, y) = x2y2 − 2y− y2 + 4? Em caso afirmativo, em qual nı´vel?
13. Em cada caso, esboce a superfı´cie formada pelo conjunto dos pontos (x, y, z) ∈ R3
tais que:
(a) x+ 2y+ 3z = 1 (b) x2 + 2y2 + 3z2 = 1 (c) x2 + y2 − z2 = 0
(d) x2 + y2 − z2 = −1 (e) x2 + y2 − z2 = 1 (f) x2 − y2 = 1
(g) x2 − y2 + z2 = 1
Alguma dessas superfı´cies e´ o gra´fico de uma func¸a˜o f : D ⊂ R2 → R?
14. Verifique que a imagem da curva γ(t) = (cos t, cos t,
√
2sen t), t ∈ [0,pi[, esta´
contida numa esfera com centro em (0, 0, 0) e esboce a imagem de γ.
15. Seja γ(t) = (
√
t2 + 1 cos t,
√
t2 + 1sen t, t), t ∈ R. Verifique que a imagem de γ
esta´ contida na superfı´cie x2 + y2 − z2 = 1. Esboce a imagem de γ.
16. Desenhe as imagens das seguintes curvas:
(a) γ(t) = (1, t, 1) (b) γ(t) = (cos t, sen t, 2)
(c) γ(t) = (e−t cos t, e−tsen t, e−t), t ≥ 0 (d) γ(t) = (t, cos t, sen t), t ≥ 0
(e)γ(t) = (sen t, sen t,
√
2 cos t), 0 ≤ t ≤ 2pi (f) γ(t) = (1+ sen t, 1+ sen t, cos t)
17. Seja f (x, y) =
√
x2 + y2 + 4 e seja γ(t) = (t cos t, t sen t,
√
t2 + 4), t ≥ 0.
(a) Mostre que a imagem de γ esta´ contida no gra´fico de f .
(b) Fac¸a um esboc¸o da imagem de γ.
18. Combine as equac¸o˜es com os esboc¸os das imagens. Justifique a sua escolha:
(a) γ(t) = (cos 4t, t, sen 4t) (b) γ(t) = (t2 − 2, t3, t4 + 1)
(c) γ(t) = (t, 1
1+t2
, t2) (d) γ(t) = (sen 3t cos t, sen 3t sen t, t)
(e)γ(t) = (cos t, sen t, ln t) (f) γ(t) = (cos t, sen t, sen 5t)
19. Encontre uma parametrizac¸a˜o para a curva de nı´vel k de f nos casos:
(a) f (x, y) = x+ 2y− 3, k = −2;
(b) f (x, y) = x−√1− 2y2, k = 5;
(c) f (x, y) =
1
x2 − y2 , k = 1.
Encontre a reta tangente a`s curvas dos itens (a), (b) e (c) acima nos pontos (12 ,
1
4),
(6, 0) e (
√
2, 1), respectivamente.
20. (a) Encontre uma parametrizac¸a˜o para a curva obtida pela intersecc¸a˜o do para-
bolo´ide hiperbo´lico z = y2 − x2 com o cilindro x2 + y2 = 1.
(b) Encontre uma parametrizac¸a˜o para a curva obtida pela intersecc¸a˜o da su-
perfı´cie x2 + y2 − 2z2 = 1 com o plano y = 2z+ 1.
(c) Encontre uma parametrizac¸a˜o para a curva dada pela intersecc¸a˜o do plano
x = z com o parabolo´ide x2 + y2 = z.
(d) Encontre uma parametrizac¸a˜o para a curva dada pela intersecc¸a˜o do cone
z =
√
4x2 + y2 com o plano z = 2x+ 1.
21. Encontre uma parametrizac¸a˜o para C e a reta tangente a C no ponto P, onde:
(a) C = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1 e z = x+ 1} e P = (− 12 ,
√
2
2 ,
1
2).
(b) C = {(x, y, z) ∈ R3 | z =
√
x2 + y2 e z = x+ 1} e P = (0, 1, 1).
(c) C = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1 e (x − 1)2 + y2 + (z − 1)2 = 1} e
P = (12 ,
√
2
2 ,
1
2).
22. Seja f (x, y) =
2x2 + 4y2
x2 + y2 + 1
.
(a) Esboce as curvas de nı´vel c de f , para c = 1, c = 2 e c = 3.
(b) Encontre uma curva γ deriva´vel, definida num intervalo, cuja imagem seja
a curva de nı´vel 1 de f .
(c) Determine o vetor tangente a` curva γ, que voceˆ encontrou no item anterior,
no ponto (−1, 0).
(d) Seja Γ : [0, 2pi] → R3 dada por Γ(t) = (sen t, cos t, z(t)). Sabendo que a
imagem da curva esta´ contida no gra´fico de f , encontre o vetor tangente a Γ
em Γ(pi3 ).
LIMITES E CONTINUIDADE
23. Calcule os seguintes limites, caso existam. Se na˜o existirem, explique o por queˆ:
(a) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x2y cos(x2 + y2)
x2 + y2
(c) lim
(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2
(d) lim
(x,y)→(0,0)
x2y
2x4 + x2y+ y2
(e) lim
(x,y)→(0,0)
2x2 + 3xy+ 4y2
3x2 + 5y2
(f) lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
(g) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x3 − y (h) lim(x,y)→(0,0)
x4 sen(x2 + y2)
x4 + y2
(i) lim
(x,y)→(0,0)
(x+ y)3
x2 + y2
(j) lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
sen
(
xy√
x2 + y2
)
(k) lim
(x,y)→(0,0)
x3y+ y4 + x4
x3y− xy3 (l) lim(x,y)→(0,0)
x3 + sen (x2 + y2)
y4 + sen (x2 + y2)
24. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
x2 + y2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
(x2 + y2)ln(x2 + y2)
25. Determine os pontos de continuidade da seguinte func¸a˜o:
f (x, y) =


(x2 − y2)(x− 1)2
(x2 + y2)[(x− 1)2 + (y− 1)2] se (x, y) )= (0, 0) e (x, y) )= (1, 1),
1 se (x, y) = (0, 0),
0 se (x, y) = (1, 1).
26. O domı´nio de uma func¸a˜o f e´ o conjunto {(x, y) ∈ R2|(x, y) )= (1, 0)}. A figura
abaixo mostra as curvas de nı´vel k = 0, k = 0, 3, k = 0, 5, k = 0, 7 e k = 1de f .
Existe lim
(x,y)→(1,0)
f (x, y)? Justifique.
RESPOSTAS
3. Na˜o. γ(t) = (t3, t2)
4. y = x e y = −x.
8. (a) Df = {(x, y) ∈ R2 | y ≤ x}
(b) Df = {(x, y) ∈ R2 | x )= 0}
(c) Df = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 > 1}
(d) Df = {(x, y) ∈ R2 | y > 0}
(e) Df = {(x, y) ∈ R2 | y )= x+ 1+2k2 pi, k ∈ Z}
(f) Df = {(x, y) ∈ R2 | x(y− x)(y+ x) > 0}
(g) Df = {(x, y) ∈ R2 | 4x2 + y2 < 16}
12. (b) Sim, no nı´vel 5.
13. Apenas a superfı´cie do item (a).
19. (a) γ:R → R2,γ(t) = (t, 12(1− t)); reta tangente: X = (12 , 14) + λ(2,−1),λ ∈ R
(b) γ: [−pi2 , pi2 ] → R2,γ(t) = (5+ sen(t), 1√2 cos(t)); reta tangente: X = (6, 0) +
λ(1, 0),λ ∈ R
(c) γ1: ]− pi2 , pi2 [→ R2,γ1(t) = (sec(t), tg(t)) parametriza um ramo da hipe´rbole
e γ2: ]
pi
2 ,
3pi
2 [→ R2,γ2(t) = (sec(t), tg(t)) parametriza o outro ramo. Reta
tangente: X = (
√
2, 1) + λ(
√
2, 1),λ ∈ R
20. (a) γ: [0, 2pi[→ R3, γ(t) = (cos(t), sen(t),− cos(2t))
(b) γ: [0, 2pi[→ R3, γ(t) = (√2 cos(t), 2 sen(t)− 1, sen(t)− 1)
(c) γ: [0, 2pi[→ R3, γ(t) = (12 + 12 cos(t), 12 sen(t), 12 + 12 cos(t))
(d) γ:R → R3, γ(t) = (14(t2 − 1), t, 12(t2 + 1))
21. (a) γ: [0, 2pi[→ R3,γ(t) = (12(cos(t) − 1), 1√2 sen(t), 12(cos(t) + 1)). Nessa pa-
rametrizac¸a˜o, γ(pi2 ) = (− 12 ,
√
2
2 ,
1
2), assim o vetor tangente a` trajeto´ria de γ
nesse ponto e´ paralelo a −→γ ′(pi2 ).
Reta tangente: X = (− 12 ,
√
2
2 ,
1
2) + λ(−1, 0,−1),λ ∈ R
(b) γ:R → R3,γ(t) = (12(t2 − 1), t, 12(t2 + 1)). Reta tangente: X = (0, 1, 1) +
λ(1, 1, 1),λ ∈ R
(c) γ: [0, 2pi[→ R3,γ(t) = (12(1 − cos(t)), 1√2 sen(t), 12(cos(t) + 1)). Reta tan-
gente: X = (12 ,
√
2
2 ,
1
2) + λ(1, 0,−1),λ ∈ R.
22. Veja a soluc¸a˜o na P1 de 2009.
23. (a) na˜o existe (b) 0 (c) 0
(d) na˜o existe (e) na˜o existe (f) na˜o existe
(g) na˜o existe (h) 0 (i) 0
(j) 0 (k) na˜o existe (l) 1
24. (a) 1 (b) 0
25. {(x, y) ∈ R2 | (x, y) )= (0, 0)}