Exercícios de Geometria Analítica - Vetores e Retas

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VETORES 
(Ref: Geometria Analítica, A. Steinbruch e P. Winterle) 
 
1) Sejam os vetores u, v, w 2, com u = (2, -4), v = (-5, 1), w = (-12, 6). Determinar k1 e k2 tal que 
w = k1 u + k2 v. 
2) Sejam os pontos A(-1, 3), B(1, 0), C(2, -1). Determinar um ponto D tal que 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
3) Para os vetores u, v 3, com u = (4, 1, -3), v = (6, a, b), obter a e b para que u seja paralelo a v. 
4) Verificar se A(-1, -5, 0), B(2, 1, 3) e C(-2, -7, -1) são colineares. 
5) Determinar a e b para que A(3, 1, -2), B(1, 5, 1) e C(a, b, 7) sejam colineares. 
6) Obter um ponto P no eixo das abscissas equidistante de A(2.-3,1) e B(-2,1,-1). 
7) Se A, B e C são os vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 10 cm, Calcular 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
8) Sejam os vetores a, b, c 3, com a = (2, 1, α), b = (α+2, -5, 2), c = (2α, 8, α). Calcule α para que 
a + b seja ortogonal a c – a. 
9) Calcular o vetor v paralelo a u = (1, -1, 2), tal que v∙u = -18. 
10) Sejam os vetores u, w 3, com u = (-4, 2, 6), w = (-1, 4, 2). Calcular um vetor v colinear a u tal 
que v∙w = -12. 
11) Provar que A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(-3, -2, 1) são os vértices de um triângulo retângulo. 
12) Um vetor tem ângulos diretores 45º, 60º e γ. Calcular γ. 
13) Obter o vetor v que tem módulo 2, cos(α) = 1/2 e cos(β) = -1/4. 
14) Para que o vetor w = (1, 2, m) seja simultaneamente ortogonal a u = (2, -1, 0) e v = (1, -3, -1), qual 
é o valor de m? 
15) Calcular x e y para que o produto vetorial de v = (a, 5b, -c/2) e w = (-3a, x, y) seja nulo (v×w = 0). 
16) Calcular a área do paralelogramo com um vértice no ponto A(3, 2, 1) e uma diagonal de 
extremidades nos pontos B(1, 1, -1) e C(0, 1, 2). 
17) Sejam os vetores u, v, w 3, com u = (1, 1, -1) e w = (2, -1, 1). Obter um vetor v ortogonal ao eixo 
Oy, sendo que u = v×w. 
18) Sejam os vetores a, b, c 3. Provar que se a + b + c = 0 (vetor nulo), a×b = b×c = c×a. 
19) Verificar se são coplanares 
a) os vetores: u = (2, -1, 0), v = (3, 1, 2), w = (7, -1, 2). 
b) os pontos: A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(-1, -1, -1) e D(0, 1, -1). 
20) Calcular m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v1 = 2 i - j, v2 = 6 i + mj 
e v3 = =4 i + k seja igual a 10. 
 
Respostas: 
1) k1 = -5 e k2 = 2 
2) D(4, -4) 
3) a = 3/2, b = -9/2 
4) sim 
5) a = -3, b = 13 
6) P(1, 0, 0) 
7) 50 
8) 3 ou -6 
9) v = (-3, 3, -6) 
10) v = (2, -1, -3) 
 
11) 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 
12) 60º ou 120º 
13) v = (1, -1/2, ±√11/2) 
14) -5 
15) x = -15b, y = 3c/2 
16) √74 
17) (1, 0, 1) 
19a) sim 
19b) sim 
20) 6 ou -4 
 
 
RETAS 
 
 
1) Determinar o ponto da reta 𝑟: {
𝑥 = 2 − 𝑡
𝑦 = 3 + 𝑡
𝑧 = 1 − 2𝑡
 que tem abscissa 4. 
2) O ponto P(2, y, x) pertence à reta determinada por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1). Calcular P. 
3) Obter a equação reduzida da reta determinada por A(-1, 2, 3) e B(2, -1, 3). 
4) Qual o valor de m para que A(3, m, 1), B(1, 1, -1) e C(-2, 10, -4) pertençam à mesma reta? 
5) Obter um ponto e um vetor diretor para a reta 
a) {
𝑥+1
3
=
𝑧−3
4
𝑦 = 1
; b) {
𝑥 = 2𝑦
𝑧 = 3
; c) {
𝑥 = 2𝑡
𝑦 = −1
𝑧 = 2 − 𝑡
 
6) Determinar as equações das retas: 
a) Reta que passa por A(1, -2, 4) e é paralela ao eixo Ox; 
b) Reta que passa por B(3, 2, 1) e é perpendicular ao plano xOz; 
c) Reta que passa por A(4, -1, 2) e tem a direção do vetor v = i – j. 
7) Determinar o ângulo entre as retas 𝑟: {
𝑦 = −2𝑥 − 1
𝑧 = 𝑥 + 2
 e 𝑠: {
𝑦
3
=
𝑧+1
−3
𝑥 = 2
. 
8) Calcular o valor de n para que o ângulo entre a reta {
𝑦 = 𝑛𝑥 + 5
𝑧 = 2𝑥 − 3
 e o eixo Oy seja 30º. 
9) Calcular m para que 𝑟: {
𝑥 = 2 − 3𝑡
𝑦 = 3
𝑧 = 𝑚𝑡
 e 𝑠: {
𝑥−4
6
=
𝑧−1
5
𝑦 = 7
 sejam paralelas. 
10) A reta que passa por A(-2, 5, 1) e B(1, 3, 0) é paralela à reta determinada por C(3, -1, -1) e 
D(0, y, z). Determinar o ponto D. 
11) Calcular o valor de m para que a reta 𝑟: {
𝑦 = 𝑚𝑥 + 3
𝑧 = 𝑥 − 1
 seja ortogonal à reta determinada pelos 
pontos A(1, 0, m) e B(-2, 2m, 2m). 
12) Calcular m para que 𝑟: {
𝑥−𝑚
𝑚
=
𝑦−4
−3
𝑧 = 6
 e 𝑠: {
𝑦 = −3𝑥 + 4
𝑧 = −2𝑥
 sejam coplanares. 
13) Calcular o ponto de interseção das retas: 
a) 𝑟:
𝑥−2
2
=
𝑦
3
=
𝑧−5
4
 e 𝑠: {
𝑥 = 5 + 𝑡
𝑦 = 2 − 𝑡
𝑧 = 7 − 2𝑡
; 
b) 𝑟: {
𝑦 = −5
𝑧 = 4𝑥 + 1
 e 𝑠: {
𝑥−1
2
=
𝑧−5
−3
𝑦 = −5
 
14) Obter as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção de 
𝑟: 𝑥 − 2 =
𝑦+1
2
=
𝑧
3
 e 𝑠: {
𝑥 = 1 − 𝑦
𝑧 = 2 + 2𝑦
 e é simultaneamente ortogonal a r e s. 
15) A reta 𝑟:
𝑥−1
𝑎
=
𝑦
𝑏
=
𝑧
−2
 é paralela à reta que passa por A(-1, 0, 0) e é simultaneamente ortogonal às 
retas 𝑟: {
𝑥 = −𝑡
𝑦 = −2𝑡 + 3
𝑧 = 3𝑡 − 1
 e 𝑠: {
𝑦 = 𝑥
𝑧 = 2𝑥
. Calcular a e b. 
 
Respostas: 
1) (4, 1, 5) 
2) P(2, 1, 9) 
3) {
𝑦 =
𝑥
2
−
5
2
𝑧 = −2𝑥 + 5
 
4) m = -5 
6a){
𝑦 = −2
𝑧 = 4
 
6b){
𝑥 = 3
𝑧 = 1
 
6c){
𝑥 = −𝑦 + 3
𝑧 = 2
 
7) 30º 
8) ± √15 
9) -5/2 
10) D(0, 1, 0) 
11) 1 ou -3/2 
12) 3/2 
13a) (4, 3, 9) 
13b) (1, -5, 5) 
14) {
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = −1 − 5𝑡
𝑧 = 3𝑡
 
15) {
𝑎 = 14
𝑏 = −10
 
 
PLANOS 
 
 
1) Determinar a equação geral do plano paralelo ao plano 𝜋: 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 + 5 = 0 e que contém o 
ponto A(4, -1, 2). 
2) Determinar a equação geral do plano perpendicular à reta 𝑟: {
𝑥 = 2𝑦 − 3
𝑧 = −𝑦 + 1
 e que contém o ponto 
A(1, 2, 3). 
3) Determinar a equação geral do plano paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A(0, 3, 1) e 
B(2, 0, -1). 
4) Determinar a equação geral do plano paralelo ao plano xOy e que contém o ponto A(5, -2, 3). 
5) Determinar a equação geral do plano perpendicular ao eixo dos y e que contém o ponto A (3, 4, -1). 
6) Escrever a equação do plano determinado pelos pontos A(0, 0, 0), B(0, 3, 0) e C(0, 2, 5). 
7) Determinar a equação geral do plano que passa por A(6, 0, -2) e é paralelo aos vetores 𝑖 e −2𝑗 + �⃗� . 
8) Determinar a equação geral do plano que contém os pontos A(1, -2, 2) e B(-3, 1, -2) e é 
perpendicular ao plano 𝜋: 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 8 = 0. 
9) Determinar a equação geral do plano que contém o ponto A(4, 1, 0) e é perpendicular aos planos 
𝜋1: 2𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 − 6 = 0 e 𝜋2: 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 3 = 0 
10) Determinar a equação geral do plano que contém as retas 𝑟: {
𝑥 = −3 + 𝑡
𝑦 = −𝑡
𝑧 = 4
 e 𝑠: {
𝑥+2
2
=
𝑦−1
−2
𝑧 = 0
. 
11) Determinar a equação geral do plano que contém o ponto A(3, -2, -1) e a reta 
𝑟: {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 7 = 0
. 
12) Determinar o ângulo entre o plano 𝜋: 3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0 e o plano xOz. 
13) Determinar o valor de m para que seja de 30º o ângulo entre os planos 𝜋1: 𝑥 + 𝑚𝑦 + 2𝑧 − 7 = 0 e 
𝜋2: 4𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 − 2 = 0. 
14) Determinar a e b para que sejam paralelos os planos 𝜋1: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 4𝑧 − 1 = 0 e 
𝜋2: 3𝑥 − 5𝑦 − 2𝑧 + 5 = 0. 
15) Determinar m para que sejam perpendiculares os planos 𝜋1: 2𝑚𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0 e 
𝜋2: 3𝑥 − 𝑚𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0. 
16) Determinar as equações reduzidas da reta de interseção dos planos 
𝜋1: 3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 − 1 = 0 e 𝜋2: 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 7 = 0. 
17) Determinar as equações paramétricas da reta de interseção dos planos 
𝜋1: 2𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 e 𝜋2: 𝑧 = 3. 
18) Determinar o ponto de interseção da reta 𝑟: {
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 1 − 2𝑡
𝑧 = −𝑡
 e o plano 
𝜋: 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 4 = 0. 
19) Determinar o plano interseção do plano 𝜋: 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 − 4 = 0 com os eixos coordenados, e a reta 
interseção deste plano com o plano xOy. 
20) O plano 𝜋: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 2 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calcular a área 
do triângulo ABC. 
 
Respostas 
1) 2x-3y-z-9+0 
2) 2x+y-z-1=03) 3x+2y-6=0 
4) z=3 
5) y=4 
6) x=0 
7) y+2z+4=0 
8) x-12y-10z-5=0 
9) 2x-8y+3z=0 
10) 2x+2y+z+2=0 
11) 2x+3y+z+1=0 
12) arc cos (2/√13) 
13) 1 ou 7 
14) a=-6; b=10 
15) ½ 
16) {
𝑦 =
1
2
𝑥 +
3
2
𝑧 = 2𝑥 − 4
 
17) {
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 2 − 2𝑡
𝑧 = 3
 
18) (3, -5, -3) 
19) (2, 0, 0), 
(0, 1, 0), 
(0, 0, -4) 
{𝑦 = −
1
2
𝑥 + 1
𝑧 = 0
 
20) 2√3 u.a. 
 
DISTÂNCIAS 
 
 
1) Determinar no eixo das ordenadas um ponto equidistante dos pontos A(1, 1, 4) e B(-6, 6, 4). 
2) Seja o triângulo ABC de vértices A(-3, 1, 4), B(-4, -1, 0) e C(-4, 3, 5). Calcular a medida da 
altura relativa ao lado BC. 
3) Calcular a distância entre as retas 𝑟: {
𝑥 = 0
𝑦 = 𝑧
 e 𝑠: {
𝑦 = 3
𝑧 = 2𝑥
. 
4) Calcular a distância entre a reta 𝑟: {
𝑥 = 1 − 𝑡
𝑦 = 2 + 3𝑡
𝑧 = −𝑡
 e o eixo dos x. 
5) Calcular a distância entre as retas 𝑟: 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 − 2 e 𝑠: {
𝑦 = 𝑥 + 1
𝑧 = 𝑥 − 3
. 
6) Dado o tetraedro de vértices A(1, 2, 1), B(2, -1, 1), C(0, -1, -1) e D(3, 1, 0), calcular a medida da 
altura baixada do vértice D ao plano da face ABC. 
7) Calcular a distância entre os planos paralelos: 𝜋1: 𝑥 − 2𝑧 + 1 = 0 e 𝜋2: 3𝑥 − 6𝑧 − 8 = 0. 
8) Determinar a distância da reta 𝑟: {
𝑥 = 3
𝑦 = 4
 
a) ao plano xOz 
b) ao plano yOz 
c) ao eixo dos z 
d) ao plano 𝜋: 𝑥 + 𝑦 − 12 = 0 
 
 
Respostas 
1) (0, 7, 0) 
2) 
√3157
41
 
3) 
3
√6
 
4) 
2
√10
 
5) 
√186
3
 
6) 
8
√19
 
7) 
11
3√5
 
8) 
a) 4 
b) 3 
c) 5 
d) 
5
√2