CAPITULO VIII-PROBABILIDADES UECE

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CAPÍTULO VIII
PROBABILIDADES
8.1 INTRODUÇÃO Prof. Marcone Soares
Os primeiros estudos da probabilidade remontam ao século XVI. As aplicações iniciais referiam-se quase todos aos jogos de azar. Os jogadores aplicavam o conhecimento das probabilidades para planejar estratégias de apostas. Hoje em dia há muitas aplicações da probabilidade em jogos de azar, tais como os diversos tipos de loterias, as corridas de cavalos, e os esportes organizados. Hoje em dia o governo, as empresas, as organizações profissionais incorporaram a teoria das probabilidades em seus processos diários de deliberações.
8.2 EXPERIMENTO ALEATÓRIO: é qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações.
Ou experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob as mesmas condições apresentam resultados improváveis. Exemplos: a ocorrência de um raio, um lançamento de uma moeda, o arremesso de um dado, etc.
8.3 ESPAÇO AMOSTRAL DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO: é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indica-se pela letra S.
Espaço Amostral equiprovável é aquele em que todos seus elementos têm a mesma chance de ocorrer.Exemplos:
a) Lançamento de uma moeda: S = {C, K }
b) Lançamento de um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
c) Lançamento de dois dados: S = {(1,0),(1,2),..(2,1),(2,2),...,(6,1),(6,2),...,(6,6)}
d) Lançamento de três moedas: S = {ccc, cck, ckk, ckc, kkc, kck, kcc, kkk }
Cada um dos elementos de S que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral.
8.4 EVENTO: é um resultado ou, eventualmente, um conjunto de resultados ocorrido no experimento. É um subconjunto do espaço amostral. Indicação: E (E 
 S ).
Exemplo: No lançamento de um dado temos: S = {1,2,3,4,5,6}. Obter um número par na face superior. E = {2,4,6} é um evento de S, pois E 
 S.
8.5 CLASSIFICAÇÃO DOS EVENTOS
 Se E = S, E é chamado de evento certo.(é aquele que coincide com o espaço amostral).
 Se E 
S e E é um conjunto unitário, E é chamado de conjunto elementar.
 Se E = 
, E é chamado evento impossível.(é aquele impossível de ocorrer).
 
8.5 PROBABILIDADE DE UM EVENTO
Dado um experimento aleatório. Sendo S um espaço amostral finito e equiprovável ( aquele em que todos os seus elementos têm as mesmas oportunidades de ser escolhido) e E um evento desse mesmo espaço amostral.
Chama-se de probabilidade de um evento E o número P(E), tal que:
P(E) = 
 , onde N(E) é o número de caos favoráveis e N(S) é o número de casos possíveis
Exemplo: Considere o lançamento de um dado. O espaço amostral é S={1,2,3,4,5,6}
 N(S) = 6
a) Qual a probabilidade de se obter um número ímpar na face superior do dado?
Evento: E = {1,3,5 } 
N(E) = 3 , logo:
P(E) = 
 = 
= 0,5 
 P(E) = 50%.
b) Qual a probabilidade de se obter um número 2 na face superior do dado? 
Evento: E ={ 2 } 
N(E) = 1
P(E) = 
 = 
 = 0,167 
P(E) = 16,7%
c) Qual a probabilidade de se obter um número menor que 7 na face superior do dado?
Evento: E ={1,2,3,4,5,6 } 
N(E) = 6
P(E) = 
 = 
 
P(E) = 100%
d) Qual a probabilidade de se obter um número 8 na face superior do dado? 
Evento: E = 
 
N(E) = 0
P(E) = 
= 
 = 0 
P(E) = 0%
8.6 REGRAS BÁSICAS DA PROBABILIDADE
a) Campo de variação das probabilidades: 
 ou 
b) Probabilidade do espaço amostral: P(S) = 1 ou P(S) = 100%
c) A probabilidade do evento impossível é zero. 
d) Regra da adição de probabilidades: A probabilidade de ocorrência do evento A, ou do evento B (ou ambos) é igual a: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A 
B).
Caso,os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos, isto é, A 
B = 
, então:
P(A U B) = P(A) + P(B).
e) Probabilidade de um evento complementar
Se 
 é o evento complementar de A, então P(
) = 1 – P(A)
Exemplos
1) Considere o experimento que consiste em retirar uma carta de um baralho de 52 cartas.
a) Deseja-se calcular a probabilidade de se retirar uma carta vermelha ou um rei.
Seja: A = {carta vermelha} e B ={rei}. Evidentemente A e B não são mutuamente exclusivos, porque há duas cartas de rei vermelhas (rei de ouros e rei de copas). Assim:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A 
B)
P(A U B) = 
 ou 53,8%.
b) Deseja-se determinar a probabilidade de se retirar uma carta de espadas ou uma dama de ouros.
Sejam: A = {uma carta de espada}
 P(A) = 
 e B={dama de ouros}
 P(B) = 
. Nesse caso os eventos A e B são mutuamente exclusivos, pois A 
B = 
. Assim:
P(A U B) = P(A) + P(B) 
 P(A U B) = 
 + 
 = 
 ou 26,9%
c) Probabilidade de um evento complementar
Se A = {carta de paus}, então
 = {qualquer carta exceto apus}. Assim:
P(A) = 1 – P(
) ou P(
) = 1 - 
 = 0,75 ou 75%.
f) Multiplicação de Probabilidades e Independência Estatística
Dados dois eventos independentes A e B, a probabilidade da ocorrência conjunta é definida pela regra da multiplicação:
P(A
B) = P(A).P(B) 
 Dois eventos A e B são independentes, se P(A
B) = P(A).P(B).
Exemplo 1: Um experimento que consiste lançar, simultaneamente, um dado e duas moedas, qual a probabilidade de obter um “cinco” e duas coroas em uma única jogada?
P(5kk) =P(5
k
k) = P(5) P(K) P(K) = 
Exemplo 2: Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Se A for o evento “ sair coroa” e B o evento “ocorrer o nº 3”, contatar que os eventos A e B são independentes.
S={1c,2c,3c,4c,5c,6c,1k,2k,3k,4k,5k,6k} 
 N(S) = 12,
A ={1k, 2k, 3k, 4k, 5k, 6k}
 N(A) =6 
 P(A) =
B = {3c,3k} 
N(B) = 2 
 P(B) = 
A
B = {3k} 
 N(A
B) = 1 
P(A
B) = 
. Então:
P(A
B) = P(A).P(B) 
�� EMBED Equation.3 = 
. Logo, A e B são eventos independentes.
Generalizando, vem:
 = 
g) Probabilidade Condicional
É a avaliação da probabilidade de um evento A, condicionado à ocorrência de um outro evento B. Parte-se do princípio e conhecimento de que o evento B vai ocorrer posteriormente e, de forma atrelada à ocorrência de B, calcula-se a probabilidade de A ocorrer.
Notação: P(A/B). Lê-se “probabilidade de ocorrer A dado que B já ocorreu”.
Exemplo 1: Considere o conjunto de números inteiros {1, 2, 3, ...19, 20}, e, por meio de um sorteio aleatório, retire um número. Se o número sorteado é ímpar, qual a probabilidade do número sorteado ser o número 13?
S = {1, 2, 3, ...19, 20}, 
 N(S) = 20 A ={13}, 
 N(A) =1
 B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} 
 N(B) = 10
A 
 B = {13}
 N(A 
B) = 1. Logo:
= 
Exemplo 2: Uma carta é retirada de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um rei preto, dado que a carta retirada foi uma “figura”(valete rei ou dama)?
Sejam: A = {rei preto} e B = {figura}, então:
P(A/B) = 
 = 16,7% ou 17%.
h) Teorema da Probabilidade Total – Regra de Bayes
Considere n eventos mutuamente exclusivos, tais que a união desses eventos resulte igual ao espaço amostral. 
Supondo conhecidas as probabilidades de cada um dos n eventos, e considerando um evento B de S, tal que sejam conhecidas todas as probabilidades condicionais em relação a cada um dos n eventos
, temos:
 = 
 S = espaço amostral
 
B = {
}
Assim, a probabilidade de ocorrer B é:
P(B) = P(
Exemplo: Um baralho foi dividido em três montes, supondo a seguinte distribuição:
Distribuição das cartas de um baralho em três montes:
	NAIPES
	1º MONTE
(
)
	2º MONTE
(
)
	3º MONTE
(
)
	Ouros
	4
	4
	5
	Copas
	6
	3
	4
	Espadas
	2
	5
	6
	Paus
	5
	7
	1
	
	17
	19
	16
Escolhemos um monte ao acaso e retiramos aleatoriamente uma carta. Tendo sido retirado uma carta de copas, qual a probabilidade de ela ter sido extraída do terceiro monte?
 
 
P(C
�� EMBED Equation.3 ) = 
 ; P(C
�� EMBED Equation.3 ) = 
 ; P(C 
 
) = 
P(
/C) =
= 
= 
= 
=
 
 P(
/C) = 32,9% 
EXERCÍCIOS1 
2) São lançados dois dados. Qual a probabilidade de:
 a) obter um par de pontos iguais?
 b) obter um par de pontos diferentes?
 c) obter um par de pontos onde o primeiro é maior que o segundo?
 d) a soma dos pontos ser um número ímpar?
 e) obter soma dez, dado que o par de pontos é igual?
 f) a soma dos pontos é 13?
3) Um lote de 30 passagens é formado por 20 passageiros para Belém, oito para Manaus e duas para Natal.
Retira-se uma passagem ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
a passagem seja para Belém;
a passagem seja para Natal;
a passagem seja para Manaus
a passagem seja para Belém ou Natal.
4) Três moedas não viciadas são lançadas. Encontre a probabilidade p de que todas apresentam cara se: (i) a primeira moeda é cara; (ii) uma das moedas é cara.
5) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 20 anos é 2/5; a de sua mulher é de 2/3. Determine a probabilidade de que daqui a 30 anos:
a) ambos estejam vivos;
b) somente o homem esteja vivo;
c) somente a mulher esteja viva;
d) nenhum esteja vivo;
e) pelo menos um esteja vivo.
6) A caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5 cartas numeradas de 1 a 5. Uma caixa é escolhida ao acaso e uma carta é numerada. Se o número é par, qual a probabilidade de que a carta sorteada tenha vindo da caixa A?
7) Num certo colégio, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,75m de altura, 60% dos alunos são mulheres. Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,75m. Qual a probabilidade de que seja homem?
8) Uma caixa tem três moedas: uma não viciada, outra com duas caras e uma terceira viciada, de modo que a probabilidade de ocorrer cara é de 1/5. Uma moeda é selecionada ao acaso na caixa. Saiu cara. Qual a probabilidade de que a terceira moeda tenha sido selecionada?
9) Duas cartas são retiradas aleatoriamente de um baralho comum de 52 cartas. Encontre a probabilidade p em que: (i) ambas são de espadas (ii) Uma é de espadas e outra é de copas.
10) Um certo programa pode ser usado com uma entre duas sub-rotinas A e B, dependendo do problema. A experiência tem mostrado que a sub-rotina A é usada 40% das vezes e B 60% das vezes. Se A é usada, existem 75% de chance de que o programa chegue a um resultado dentro do limite de tempo. Se B é usada, a chance é de 50%. Se o programa foi realizado dentro do limite de tempo, qual a probabilidade de que a sub-rotina A tenha sido a escolhida?
11) A urna X contém 2 bolas azuis, 2 brancas e 1 cinza, e a urna Y,contém 2 bolas azuis, 1 branca e 1 cinza. Retira-se uma bola de cada urna. Calcule a probabilidade de saírem 2 bolas brancas sabendo que são bolas da mesma cor? 
12) Um casal tem dois filhos. Calcular a probabilidade de ambos serem rapazes, dado que o primeiro é rapaz.
13) Uma urna tem 3 bolas vermelhas e 4 pretas. Outra tem 6 bolas vermelhas e 2 pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é retirada uma bola também ao acaso. Qual a probabilidade de observarmos:
a) Urna I e bola vermelha? b) Urna II e bola preta?
c) Urna I e bola preta? d) Urna II e bola vermelha?
14) Uma moeda é lançada três vezes. Sejam os eventos:
A: ocorrerem pelo menos duas caras;
B: ocorrerem resultados iguais nos três lançamentos;
Mostre que os eventos A e B são independentes.
15) A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um carro é de 3/4, da B é de 1/5 e de C é de 1/20. As probabilidades dos indivíduos comprarem um carro da marca X são: 1/10; 3/5 e 3/10 dados que sejam de A, B e C respectivamente. Certa loja vendeu um carro da marca X. Qual a probabilidade de que o indivíduo que o comprou seja da classe C?
16) Uma clinica especializada, trata de três tipos de moléstias: X, Y, e Z. 50% dos que procuram a clínica são portadores de Y e 10% de Z. As probabilidades de cura nesta clínica são: moléstia X: 0,8; moléstia: 0,9; moléstia Z: 0.95. Um enfermo saiu curado da clínica. Qual a probabilidade de que ele sofra da moléstia X?
17) Um casal tem dois filhos. Qual a probabilidade de: 
a) o primeiro ser homem? b) os dois filhos serem homens? c) pelo menos um dos filhos ser homem?
18) Suponha que a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sanguíneo O é 40%, ser A é 30% e ser B é 20%. Suponha ainda que a probabilidade de 
 é de 90% e que o fator Rh independe do tipo sanguíneo. Nestas condições, qual é a probabilidade de uma pessoa tomada ao acaso da população ser: a) O, 
 b) AB,
 c) A,
.
19) A turma de formando da Escola X é composta por 70 alunas e 30 alunos. Sabe-se que 28 alunas e 12 alunos pretendem prestar concurso para o vestibular para uma faculdade de Medicina. Qual a probabilidade de que um formando, selecionado aleatoriamente:
a) Seja do sexo masculino?
b) Pretenda prestar vestibular para medicina?
c) pretenda prestar vestibular para medicina dado que é do sexo masculino?
20) Um teste diagnóstico tem uma probabilidade de 0,90 de ser positivo se o paciente é doente (sensibilidade) e uma probabilidade de 0.995 de ser negativo se o paciente não é doente (especificidade). A prevalência da doença é 0,001. Logo antes de realizar o teste, a probabilidade de uma pessoa ter a doença é de 0,001.
a) Construa a árvore de probabilidade onde o primeiro nível de ramos se refere a ter ou não a doença e o segundo nível de ramos refere-se ao teste ser positivo ou negativo.
b) Qual a probabilidade da pessoa ter a doença dado que ela tem um resultado positivo no teste (valor preditivo positivo)?
21) Em 25% das vezes John chega em casa tarde para jantar.Por outro lado, o jantar atrasa 10% das vezes. Se não há qualquer relacionamento entre os atrasos de John e do jantar , qual a probabilidade de ocorrerem ambos os atrasos?
Resolução: (eventos independentes)
P( John atrasar) = 
 P(Jantar atrasar) = 
P(John e o Jantar atrasar) =
 ou 0,25 x 0,1 = 0,025 = 2,5 %
22) Em uma conferência estão reunidos: 5 mulheres e 7 homens, matemáticos; 4 mulheres e 8 homens, físicos; 6 mulheres e 4 homens, químicos. Uma pessoa é escolhida, ao acaso, para presidir a conferência. Qual a probabilidade de que esta pessoa seja mulher ou matemático?
25) Suponha que existisse um teste para câncer com a propriedade de que 95% das pessoas com câncer e 5% das pessoas sem câncer reagem positivamente. Admita que 2% dos pacientes de um hospital têm câncer. Qual a probabilidade de que um paciente escolhido ao acaso, que reage positivamente a esse teste, realmente tenha câncer? 
26) Suponhamos que 5% das pessoas com sangue tipo O sejam canhotas, 10% das pessoas com outro tipo sanguíneo sejam canhotas, e 40% das pessoas tenham sangue tipo O. Selecionado um canhoto aleatoriamente, qual a probabilidade de ele ter sangue tipo O?
27) Suponha que 70 % das pessoas com olhos castanhos, 20% das pessoas com olhos azuis e 5% das pessoas com olhos verdes tenham todas cabelos castanhos. Suponha ainda que 75% das pessoas tenham olhos castanhos, 20% tenham olhos azuis e 5% tenham olhos verdes. Qual a probabilidade de uma pessoa de cabelo castanhos, escolhida ao acaso, ter olhos verdes?
28) Um grupo de 350 adultos participou de uma pesquisa onde foi feita, entre outras, uma pergunta sobre se a pessoa estava fazendo dieta alimentar. Os resultados segundo sexo são apresentados a seguir.
Sexo Dieta
 Masculino Feminino Total
Sim 14 25 39
Não 159 152 311
Total 173 177 350
a) Calcule a prevalência de pessoas que estão fazendo dieta;
b) Calcule a prevalência de dieta entre homens:
c) Calcule a prevalência de dieta entre mulheres;
d) Calcule a razão de prevalências;
29) Os dados a seguir são de um estudo caso-controle que investiga a relação entre consumo de café e câncer de esôfago.Consumo de café Casos Controles Total
Sim 140 280 420
Não 11 56 67
Total 151 336 487
Fonte: Fonte: Kirkwood BR. Essentials of Medical Statistics, 1988
a) Calcule o odds a favor de caso entre pessoas que consomem café.
b) Calcule o odds a favor de casos entre pessoas que não consomem café.
c) Calcule o odds ratio.
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