A Matemática na Arte - Algumas formas matemáticas encontradas nas Artes Plásticas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A MATEMÁTICA NA ARTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS / AM 
2016 
 
 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS – UFAM 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS – ICE 
AV. GAL. RODRIGO OCTÁVIO JORDÃO RAMOS, 3000 – COROADO, MANAUS / AM 
DAMSON LUCAS DE OLIVEIRA RIBEIRO ................................................. 21205249 
IGOR LUIZ RIBEIRO DA SILVA ................................................................... 21553854 
RUTE CORDEIRO DOS SANTOS .................................................................. 21201729 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A MATEMÁTICA NA ARTE 
 
 
 
 
Relatório solicitado 
pela professora Ana Acácia 
Pereira Valente na disciplina 
IEM182 – Laboratório de 
Ensino de Matemática II, 
referente ao período 2015/2. 
 
 
 
 
MANAUS / AM 
2016 
 
 
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INTRODUÇÃO 
Embora a Matemática seja concebida primeiramente como uma ciência 
investigativa, que constrói conteúdos a partir da resolução de problemas e que sempre 
age em concordância com o saber e com o desenvolvimento das civilizações, ela 
também age como um instrumento cultural, como difusora de técnicas e como sinônimo 
de perfeição e beleza. 
Arte e matemática nasceram praticamente juntas desde os primórdios do 
homem: nas mesmas cavernas onde haviam desenhos pré-históricos também haviam 
formas de registros de contagem e quantidade, mostrando a importância da linguagem 
artística em um tempo onde não havia ainda comunicação através de palavras. O 
pensamento matemático vinha expresso até mesmo na escolha da caverna: a amplitude 
do espaço e o número de habitantes do grupo com certeza eram levados em 
consideração. E mais, onde ainda não havia palavras pra expressar ações, a arte veio 
compensar, talvez para explicar por meio de pinturas que cinco ou seis caçadores eram 
necessários pra se abater um bisão ou que um utensílio maior abrigava mais comida. A 
vida do homem pré-histórico evidencia o quanto arte e matemática andam juntas, o 
quanto a matemática se alia à arte para tornar um objeto belo e útil e o quanto a arte 
torna a matemática mais visível e menos abstrata. 
Embora antagônicas, a matemática é a ciência dos padrões, da ordem e da 
regularidade. Mas também é a ciência da beleza, das formas, da intuição e da 
criatividade – que são os elementos mais básicos quando se fala em arte. Mas até onde é 
matemática e até onde é arte? Nossa cultura teve o mito, a ciência e a arte como formas 
de organização dos diferentes saberes humanos (contar, medir, se comunicar, se 
deslocar, se posicionar, etc.) e, à medida que as civilizações foram evoluindo e as 
ciências foram tomando vida própria, o conhecimento acabou por se fragmentar pra 
atender ao grande número de pessoas que desenvolviam apenas alguns desses saberes. 
Foram criadas disciplinas, métodos, objetos de estudo e conteúdos específicos que hoje 
em dia refletem na nossa educação escolar. A interdisciplinaridade foi substituída pelo 
"aprender de tudo um pouco", mas é preciso retomar as ligações que arte e matemática 
possuem e perceber que embora aparentemente distintas, elas se complementam. O 
objetivo do nosso trabalho é mostrar que a matemática está presente em tudo – até 
mesmo na arte, pois onde se exige organização e beleza ali está a matemática. 
 
 
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A PERSPECTIVA 
Os artistas renascentistas criaram a noção de perspectiva na arte: a técnica da 
representação de objetos tridimensionais no plano em consonância com a percepção 
óptica desses objetos. A perspectiva se contrapôs à representação puramente simbólica 
ou decorativa, presente na pintura medieval. Para os artistas renascentistas, o quadro era 
uma janela, que funcionava como uma seção transparente do cone visual, formado pelo 
conjunto de raios luminosos que, partindo do objeto retratado, convergem para o olho 
do expectador. As leis da perspectiva são baseadas na existência de um ponto de fuga, 
que pode ou não estar dentro da imagem retratada. Para o ponto de fuga convergem 
retas, de forma que os objetos parecem menores à medida que se aproximam do ponto 
de fuga. Essas retas convergentes são chamadas de linhas de fuga e a razão de 
semelhança entre os objetos retratados é dada inicialmente por uma reta que esteja a 
uma certa distância do ponto de fuga – a linha do horizonte. Ela define o foco do 
quadro, a profundidade e a harmonia da obra. 
 
O Papiro de Ani: o ritual de pesagem de corações está representado sem perspectiva 
O pintor florentino Giotto (1266–1337) já criava quadros com tentativas de 
profundidade, como o seu quadro chamado O Massacre dos Inocentes (1304–1306), 
onde não existe ponto de fuga e linha do horizonte. Assim os malfeitores que roubam as 
crianças parecem maiores que o amontoado de bebês mortos, apesar de estarem atrás do 
amontoado. Note que formas geométricas presentes nos edifícios e na sacada dão a 
ilusão de profundidade e solidez, mas o mesmo não acontece com as pessoas retratadas. 
 
 
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"O Massacre dos Inocentes" (1304–1306) de Giotto 
 
"A Flagelação" (1455–1460) de Piero Della Francesca 
O primeiro conjunto de regras matemáticas para a obtenção da perspectiva 
correta foi criada em torno de 1413 por Filippo Brunelleschi (1377-1446), arquiteto 
famoso por projetar e construir a gigantesca cúpula da catedral de Florença. 
Brunelleschi buscou regras para produzir a perspectiva artificial, que seria na 
concepção dele, o conjunto de procedimentos capazes de fazer o olho humano enxergar 
as proporções da forma imaginada pelo criador da obra. O olho humano, por sua vez, 
estaria sujeito às regras das perspectivas naturais, que são as leis matemáticas que 
regem a visão. O marco na história da perspectiva veio com os genoveses Leon Battista 
Alberti (1404–1472) e Piero Della Francesca (1415–1492) que além de artistas eram 
estudiosos da matemática árabe e da geometria grega. Influenciado pelos tratados árabes 
de al–Hazen sobre óptica, Alberti discorreu sobre princípios matemáticos para aplicação 
em pinturas bidimensionais. Enquanto Alberti se limitava à pintura em duas dimensões, 
 
 
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Della Francesca estudou figuras sólidas sendo o primeiro artista a produzir os sólidos 
platônicos em escala correta. 
Outro grande contribuidor foi o francês Girard Desargues (1591–1661) que 
nasceu e viveu na cidade de Lyon. Seus estudos geométricos sobre os princípios de 
Alberti deram origem à Geometria Projetiva e o teorema que leva seu nome é o tratado 
responsável por determinar o ponto de fuga do quadro, usando o Teorema de Tales para 
determinar a razão de semelhança e o Postulado das Paralelas de Euclides para 
determinar a linha do horizonte: 
Dois triângulos,no plano ou no espaço, possuem 
os vértices dois a dois sobre retas concorrentes se, e 
somente se, seus lados se encontram dois a dois em pontos 
que estão sobre a mesma reta. (MOL, 2013, pág 95) 
 
O Teorema de Desargues 
GEOMETRIA FRACTAL 
Fractais (do latim fractare: dividir) são tidos pela ciência como formas 
manuseáveis que, apesar de parecerem complicadas, são bastante evidente na natureza e 
mais precisamente no que os matemáticos chamam de espaços vetoriais euclidianos e 
não–euclidianos. Seu processo de construção obedece a complexos arranjos em padrões 
hierárquicos, tendo o mais simples fractal uma estrutura composta de subestruturas 
similares em pelo menos três estágios. 
O dinamarquês Benoit Mandelbrot nos anos 60, encontrou ordem na aparente 
desordem dos galhos de árvores, das estalactites e estalagmites formadas no inverno, 
 
 
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nos desenhos cartográficos dos rios, entre outros. Ele mostrou o senso estético e belo da 
natureza, que de acordo com sua teoria, reproduzia em escala natural o que acontecia 
em escalas subatômicas e previu que aconteceria em escalas astronômicas. Já o 
arquiteto e projetista Richard Fuller criou a cúpula geodésica (semelhante a um mosaico 
formado de pentágonos e hexágonos) que era uma estrutura que se apoiava no solo sem 
precisar de bases ou pilares e que poderia ser construída em proporções ilimitadas. 
Fuller notou que era uma estrutura estável e previu sua ocorrência na natureza, sendo 
que mais tarde foi descoberta por Harold Krotto, Robert Curi e Richard Smalley e 
denominada fulereno – em homenagem a Fuller. Os fulerenos são uma forma alotrópica 
do carbono e sua molécula C60 é constituída de sessenta átomos de carbono em 
disposição hexagonal e pentagonal, como numa bola de futebol. Em 1991, o koreano 
Sumio Ijama descobria outros tipos de estruturas atômicas, os nanotubos – semelhantes 
a cápsulas com extremidades fulerênicas. O que mais impressiona é a habilidade de um 
nanotubo conter outros nanotubos menores. Esses dois acontecimentos – a teoria de 
Mandelbrot e a descoberta do fulereno – foram os germes da teoria fractal. 
 
Nanotubos com extremidades fulerênicas 
O que caracteriza o conjunto dos fractais na geometria são os padrões de 
estruturas que se repetem em estágios menores ou maiores que o original, formando 
uma estrutura complexa com simetria magnifal (o que chamamos de zoom), ou seja, 
quando aproximamos numa escala tão menor quanto quisermos do fractal, ainda assim 
teremos subestruturas similares a original, mas em escala microscópica. Então estruturas 
ou formas grandes são simples agregações de estruturas menores, resultando numa 
tremenda complexidade resultante de padrões simples em agregações iteradas, como 
numa sequência numérica ou uma multiplicação de um vetor por um escalar não–nulo. 
 
 
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Fractais são independentes de escala, mas dependentes do número de iterações. Essas 
agregações ou iterações obedecem a função matemática D (número de subestruturas ou 
dimensão do fractal): 
D = log(n)/log(1/r) 
 
Onde n é o numero de cópias e r é o volume retirado da forma original. Se D é 
inteiro dizemos que o fractal possui dimensão inteira, do contrário sua dimensão é 
caótica, mas há exceções como o triângulo de Sierpinski com 3 cópias por iteração e 
volume igual a ½, resultando numa dimensão D = 1,58496… não–inteira. Mas o 
triângulo é inteiriço. Outro exemplo é a rosa, que cresce à razão áurea, que é irracional. 
No entanto, a rosa é um elemento em três dimensões. 
 
O Triângulo de Sierpinski 
Fractais são divididos em três categorias: 
– Fractal natural: quando as repetições iteradas são limitadas por número e por 
região, formando uma região fechada, bem definida e inteiriça, não podendo se repetir 
indefinidamente. Exemplos: flocos de neve, gelo, rosáceas, nervuras de folhas, 
montanhas, árvores, grãos de pólen, entre outros. 
– Multifractal: quando as repetições não são limitadas por número nem por 
região, mas ainda constituem uma estrutura fechada e bem definida, com subconjuntos 
que possuem a mesma propriedade. Exemplos: ondas do mar, rios, nuvens, órgãos 
humanos como o rim e o fígado, sistema circulatório, entre outros. 
– Fractal caótico: quando as repetições são indefinidas, formando estruturas 
disformes e não–fechadas. São as energias na natureza e os fractais gerados por 
 
 
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computação gráfica. Exemplos: fogo, relâmpago, fractal–objects, sóis, galáxias, entre 
outros. 
Nos fractais naturais é válida a multiplicação por escalar e a linearidade, ou 
seja, eles possuem estrutura algébrica de espaço vetorial fechado. Já os fractais caóticos 
são disformes, pertencentes a espaços vetoriais não–euclidianos onde algumas 
propriedades da nossa geometria não valem ou não são suficientes. Os multifractais 
representam a linha tênue entre a nossa natureza e o caos. 
Existem várias aplicações dos fractais na ciência e tecnologia, como a Esponja 
de Menger presente em antenas de celulares. Na arte e no design, os fractais 
desempenham um papel de otimização de imagem e som, nitidez, variância de forma no 
design (como os efeitos especiais nos filmes) entre outras aplicações. Sua aplicação 
didática é justamente o fato de se apresentarem constantemente divididos, onde podem 
ser estudadas semelhanças, frações algébricas como o Número de Ouro, geometria 
projetiva, séries numéricas, limites e integração em R
n
. 
MOSAICOS 
Conta a lenda que a sogra de um professor de matemática estava cansada de 
fazer tapetes usando triângulos, quadrados e hexágonos. Decidiu fazer um tapete com 
pentágonos, mas seu genro matemático a advertiu que isso era impossível. "Por que 
impossível? Você pode entender de matemática, mas quem entende de tapetes sou eu!" 
– disse ela. O mosaicismo artístico é a arte de se misturar elementos de forma a se 
constituir uma figura ou transmitir um sentimento. Nessa expressão artística se 
apresenta comumente o problema de cobrir uma superfície plana com ladrilhos 
poligonais, de modo que entre eles não haja lacunas nem superposições. 
O verbo ladrilhar é constantemente evocado no mosaicismo e quer dizer 
preencher, cobrir, se estender mas também possui o sentido de misturar, mesclar, 
interagir. Vários personagens da mitologia como a quimera (persa), o pégaso (grego), o 
grifo (babilônico), o anubite (egípcio) e dragão (asiático) são consideradas mosaicos na 
arte. São animais que se constituem numa mistura de partes de outros animais, como 
cabeça (poder), asas (velocidade) e cauda (infuência). O mosaicismo (em termos de 
ladrilhar) obedece então a duas condições matemáticas: 
 
 
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(I) Dois polígonos regulares possuem como intersecção um vértice ou um lado 
comum; 
(II) A distribuição poligonal ao redor de cada vértice é sempre a mesma. 
Os mosaicos que obedecem a essas duas condições são chamados de mosaicos 
regulares e são compostos de triângulosequiláteros, quadrados ou hexágonos, pois os 
ângulos desses polígonos são divisores de 360. 
 
A questão é justamente descobrir quais outros polígonos regulares podem 
ladrilhar uma superfície. Mas não existe um polígono regular cujos ângulos sejam 
maiores que 120° e dividam 360°. No caso um ângulo raso – de 180°, resolveria, mas 
não se pode formar um polígono com ângulos rasos, obviamente. No entanto há 
combinações de polígonos regulares que ladrilham superfícies, os chamados mosaicos 
semirregulares. Essa descoberta, legada aos artesãos árabes, divide hoje o mosaicismo 
artístico em pelo menos três vertentes: 
– O Mosaicismo Geométrico ou Arte das Musas, onde o plano era coberto sem 
deixar lacunas ínfimas, usando combinações de polígonos regulares e era frequente 
entre os árabes, mouros, artesãos medievais e gregos; 
 
 
 
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– O Mosaicismo Moderno que, além de planos são usados também sólidos, 
tendo como particularidade deixar um vão entre os ladrilhos e/ou usar figuras derivadas 
de cortes de polígonos regulares. Ex: M.C. Escher (Holanda), Marcelo de Melo (Brasil); 
 
– O Mosaicismo Não–Geométrico ou Mandala, onde os polígonos não 
necessariamente precisam ser regulares e onde há mais liberdade de expressão na 
escolha dos ladrilhos, que podem ser conchas, pedras, frutas, cerâmicas, seixo, linhas 
coloridas, entre outros. Ex: John Lennon, a indiana Ratnabali e artistas hippies atuais. 
 
No estudo de estruturas algébricas vemos os Ladrilhos de Penrose que são o 
exemplo máximo de mosaicos na matemática, em particular na álgebra abstrata da qual 
estudava Roger Penrose. Aqui então temos a geometria – evidente, manuseável, 
concreta e fácil, e a álgebra – abstrata, não–trivial, metódica e aparentemente difícil 
como dois objetos do mundo matemático que estão presentes nos mosaicos. 
MOVIMENTOS ARTÍSTICOS (ARTES PLÁSTICAS) 
A estética desempenha papel importante não só nas artes plásticas como na 
música, no teatro e no cinema, e pode ou não ser obtida com a matemática. Aqui 
apresentamos alguns movimentos artísticos que usam elementos matemáticos em suas 
obras, em favor da estética, da beleza, da harmonia, da rebelião aos padrões de beleza e 
 
 
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do culto ao abstrato e surreal. O Cubismo, o Surrealismo, o Abstracionismo e a Arte 
Moderna Brasileira estão entre os citados. 
CUBISMO 
 
No Cubismo, houve total rebelião contra os padrões estéticos vigente do século 
XX, tanto que este movimente foi o mais influente da época, uma época marcada pela 
Primeira Guerra Mundial, pela invenção do automóvel e da eletricidade, pela expansão 
do cinema e da fotografia. Com formas representadas por prismas, cubo e cilindros, o 
artista cubista procurava transmitir a ideia de um objeto visto em vários ângulos ao 
mesmo tempo. Sua característica principal é a projeção em três dimensões no plano, 
como se o objeto retratado estivesse aberto e exposto, planificado e induzindo a 
expressão de ideias – em oposição ao belo e meramente visível presente na arte 
renascentista que ainda vigorava naquela época. Seu início se deu em 1906 com Pablo 
Picasso em sua tela Les Demoiselles d'Avignon – onde a nudez feminina foi trabalhada 
com formas próximas às formas geométricas e fazendo uso de arte africana e aborígene. 
Picasso ainda perdurou com o Cubismo até a fase de estopim da Segunda Guerra 
Mundial, com o famoso quadro Guernica (1937) que retrata os horrores de um 
bombardeio nazista apoiado pelo então ditador espanhol Franscisco Franco à cidade de 
Guernica. O Cubismo possui desde os tempos iniciais três vertentes: 
– O Cubismo Primitivo: iniciado em 1907, formas geométricas foram sendo 
mescladas com traços abstratos e pinturas das cavernas, artes africanas, pinturas a dedo, 
 
 
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etc. Pintores desse período: o espanhol Pablo Picasso e os franceses Georges Braque 
(ex–fauve) e Paul Cézanne (pós–impressionista). 
– O Cubismo Analítico: iniciado em 1910, perdurou até 1913. Demonstrava a 
decomposição de objetos cotidianos, em sua maioria naturezas mortas. O artista 
combinava vários pedaços de peças, vistos de várias maneiras e em perspectivas 
diferentes. As telas em sua maioria resultavam mais abstratas do que próximas do real 
além de usarem cores opacas e escuras, como o marrom e o preto. Artistas desse 
período: os espanhóis Joaquín Torres Garcia e Pablo Picasso. 
– O Cubismo Sintético: oriundo da colagem, se iniciou em 1915. Mistura 
vários papeis, de diferentes texturas e padrões, fazendo uso de cores vivas e uma paleta 
mais diversificada e dinâmica. O espaço e volume eram dados por pequenos traços de 
sombra. Artistas desse período: os espanhóis Juán Gris e Joaquín Torres Garcia e o 
português Sócrates Quintana. 
No Brasil, esse movimento ganhou adeptos como Tarsila do Amaral, Di 
Cavalcanti e Anita Malfatti que usaram em várias de suas obras como: Abaporu e 
Central do Brasil – de Tarsila, Os Músicos – de Di Cavalcanti e A Menina das Flores e 
Café – de Anita Malfatti. O Cubismo tem, na matemática, tanto influência como foi 
influenciado, devido às forma geométricas e o tratamento que os artistas deram pra 
decompor linhas curvas suaves e contínuas em linhas poligonais. Onde muitos 
enxergam apenas formas, alguns enxergam os contornos de animais, plantas, 
montanhas, etc. Um exercício prático de abstração geométrica é feito com o Cubismo e 
fica mais fácil pra identificar figuras geométricas em situações do dia a dia, onde nem 
sempre as formas aparecem bem delineadas e semelhantes, bem retas ou definidas. 
Você observa mais facilmente o desenho tridimensional nas aulas de geometria onde o 
professor desenha no quadro: você observa um sólido desenhado num plano graças ao 
Cubismo. 
 
 
 
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ABSTRACIONISMO E SURREALISMO 
 
Nessas duas expressões artísticas, oriundas do Cubismo, do Expressionismo de 
Van Gogh e do Fauvismo, predomina a abstração e a rebeldia contra a ideia do que seria 
belo ou real. O Abstracionismo dominou a pintura moderna, tendo se dividido em duas 
tendências: 
– O Abstracionismo Informal, que não faz uso de formas geométricas, mas de 
manchas, traçados aleatórios, disformes e cores vivas. Em algum sentido o artista ainda 
fazia uso da matemática, pois em vários compêndios e obras sobre o Abstracionismo 
encontram–se distâncias, dimensões e perspectivas ao serem estudadas algumas obras 
dessa vertente. Artistas principais: o russo Wassily Kandinsky, o americano Jackson 
Pollock (o Pai do Grafitti e da pintura de rua) e o espanhol Joán Miró (também adepto 
do Surrealismo). 
– O Abstracionismo Geométrico, onde as formas e cores são representadas com 
menos liberdade e mais racionalidade. A base da tela são linhas e figuras geométricas, o 
artista buscava a essência das coisas retratadas e projetava o que de mais puro e simples 
ele via numa paisagem, reduzindo tudo a formas geométricas. Artistas principais: o 
russo Kazimir Maleviche o holandês Piet Mondrian, considerando o Criador da 
Estética. 
O Abstracionismo veio a se juntar com outra vertente muito polêmica no 
século XX, o Surrealismo. Fruto da valorização da pesquisa científica, sobretudo da 
psicanálise e dos ideais de um grupo de escritores, pintores e escultores liderados por 
André Breton, o Surrealismo nasceu em 1924 na cidade de Paris. Representava os 
sonhos, os pensamentos mais íntimos do homem, o inconsciente, as emoções e todo um 
mundo do século XX, que estava no período Entre–Guerras (1918–1939) cheio de 
 
 
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ansiedade, medo, expectativa, revolta e preparação para outros conflitos. A matemática 
teve importante papel no Surrealismo por apresentar uma arte mesclada entre o racional 
e o emocional, entre as linhas e formas cruas e a beleza próxima do natural sendo 
retratada de forma triste, preste a deixar de existir – o que traduzia o mundo como o era 
em 1924 e nos anos seguintes. O quadro surrealista mais famoso é A Persistência da 
Memória, do espanhol Salvador Dalí. Artistas dessa vertente: Salvador Dali, André 
Breton, o francês René Magritte, o russo Marc Chagall, o espanhol Juan Miró (também 
Abstracionista), o poeta romeno Tristan Tzara (o criador do Dadaísmo) e o italiano 
Filippo Marinetti (também Futurista). 
Na Semana de Arte Moderna de 1922, elementos europeus vieram a fazer parte 
da arte brasileira, sendo absorvidos e mesclados com elementos de nossas raízes, como 
a pintura indígena, a arte nordestina dos cordeis e o paisagismo literário das obras de 
Monteiro Lobato, José de Alencar, Aluízio de Azevedo e Santa–Rita Durão. Nas obras 
de Tarsila do Amaral, Di Cavalcanti, Cândido Portinari, Anita Malfatti, Vicente do 
Rego Monteiro e Vítor Brecheret, além de nossas expressões de raiz como a cerâmica 
indígena, escultura nordestina e ornatos e pinturas corporais amazônicas, figura a 
matemática através das formas e simetrias, das curvas e retas de uma arte interessada 
em não mais representar a realeza imperial ou as cenas urbanas. Já não satisfazia o 
artista brasileiro do século XX esse estilo de arte, tanto que o Movimento 
Antropofágico de 1922 visava devorar tudo o que fosse de brasileiro e de moderno pra 
se expressar naturalmente e com mais liberdade. Igual como foi nos primórdios do 
homem, a matemática teve importante papel para a expressão artística, para dar um 
choque de modernidade num país onde palavras não mais bastavam. A matemática se 
aliou à arte para levar o homem a outros patamares, desde arte das cavernas até à 
perspectiva, desde as obras do renascimento – tão bonitinhas, mas sem passar a ideia de 
mundo – até as obras revolucionárias, polêmicas, em meio ao mundo permeado pela 
guerra, pelas invenções, pelas pesquisas científicas. Todas essas expressões precisaram 
da matemática, ou foi a matemática que precisou delas? Observe que a matemática 
representa a disposição da obra como a ortografia é para a palavra, as palavras que não 
podem ser ditas são a arte e a filosofia vem a ser o pensamento que originou essas 
palavras. Arte, matemática e filosofia de novo juntas (ou nunca estiveram separadas) pra 
tentar comunicar – de forma mais evidente e rápida possível, como é nosso mundo. 
 
 
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REFERÊNCIAS 
AGARWAL, R. SEN, S. Creators of Mathematical and Computational Sciences. 20. 
ed. Berlin: Springer–Verlag, 2014. Disponível em: http://www.springer.com/978–3–
319–10869–8 (Acesso em: 18 de junho de 2015, 16:54) 
BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Atual, 
1993. 
BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. 
Belo Horizonte: Autêntica, 2005. 
BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Trad.: GOMIDE, Elza F. 2. ed. São 
Paulo: Edgard Blücher do Brasil, 2001. 
DEVLIN, Keith. O Gene da Matemática. Rio de Janeiro: Record, 2004. 
MOL, Rogério Santos. Introdução à História da Matemática: um projeto do 
Laboratório de Arte e Tecnologia para Educação . (Coleção EAD – Matemática) Belo 
Horizonte: Editora da UFMG / CEAD–UFMG, 2013. (Disponibilidade incerta – Acesso 
em: 18 de junho de 2015, 13:19) 
PROENÇA, Graça. História da Arte. São Paulo: Ática, 2001. 
STRICKLAND, Carol. Arte Comentada: da Pré–História ao Pós–Modernismo. Rio de 
Janeiro: Ediouro, 2004. 
___________. Híbridos na Liguagem Gráfica: cruzando técnica e tecnologia. Arte, 
Mídia e Sociedade, Comunicação. 2° Simpósio Nacional de Tecnologia e Sociedade, 
UTFPR, 2007.