ELEMENTOS DA TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES ELEMENTARES

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1UNIDADe 1Revisão de conjuntos 
numéricos
Objetivos de aprendizagem
Identificar conjuntos numéricos em diferentes „
situações-problema.
Desenvolver procedimentos operatórios que envolvem „
os números reais.
Aplicar propriedades dos números reais na resolução „
de problemas.
Seções de estudo
Seção 1 Introdução
Seção 2 Conjuntos numéricos
Seção 3 Adição de subtração com números reais
Seção 4 Multiplicação e divisão com números reais
Seção 5 Resolução de equações
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Ted e Mad programam uma viagem nas férias:
– Acho que uma viagem para o Nordeste seria ótimo!
– Nordeste?! Mas tudo por lá é muito caro, 
principalmente na alta temporada. Tudo bem que as 
praias são maravilhosas, mas eu estava com vontade 
de fazer alguma coisa diferente.
– Alguma coisa diferente?
– É, que tal uma pescaria?
– Será, cara? Não vamos cair numa roubada?
– Acho que não, sugiro o Pantanal!
– Legal, então já vou consultar os valores para 
programar a nossa economia.
– Combinado então. Depois acertamos os detalhes!
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Seção 1 - Introdução
A noção de conjunto é conhecida desde o início dos tempos. Em 
vez de usar símbolos para representar os números, utilizava-se a 
comparação de conjuntos. 
A noção matemática de conjunto é praticamente a 
mesma que se usa na linguagem informal: é o mesmo 
que agrupamento, classe ou coleção.
Você pode formar muitos conjuntos. Se você for colecionador de 
alguma coisa, a sua coleção fará parte de um conjunto. Veja como 
é possível escrever o conjunto formado pelos estados brasileiros 
localizados na região Sul:
A = {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}.
Ou ainda, o conjunto dos números pares positivos:
B = {2, 4, 6, 8, 10, ...}.
Pare! Revise!
O conjunto A é dito finito pois possui três elementos, 
já o conjunto B é dito infinito pois possui um número 
infinito de elementos.
Pare! Observe!
Perceba que no conjunto B usamos reticências (...) para 
representar os números pares positivos maiores do que 
10 que não foram explicitados. esta representação nos 
auxilia quando se trata de conjuntos muito grandes ou 
mesmo infinitos, como neste caso.
Se for necessário, um conjunto pode ser representado 
especificando-se as propriedades comum dos elementos. Para os 
conjuntos A e B teremos:
A = {x | x é um estado da região Sul do Brasil}.
B = {y | y é um número par positivo}.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Cada membro que compõe o conjunto é chamado elemento. Um 
elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um 
nome etc. É possível estabelecermos relações entre elementos 
e conjuntos usando-se símbolos que indicam se um elemento 
“pertence” ou “não pertence” ao conjunto. Acompanhe o exemplo.
Se C = { 1, 3, 5, 7, 9 }, podemos dizer que:
1 ∈ C, ou seja, o número 1 pertence ao conjunto C;
2 ∉ C, ou seja, o número 2 não pertence ao conjunto C;
3 ∈ C, ou seja, o número 3 pertence ao conjunto C;
4 ∉ C, ou seja, o número 4 não pertence ao conjunto C.
Pare! Revise!
Um conjunto que possui apenas um elemento é dito 
unitário e um conjunto que não possui elementos é 
um conjunto vazio, representado por ∅ ou { }.
As relações de pertinência auxiliam a entender a noção de subconjunto, 
que também é interessante quando trabalhamos com conjuntos.
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e 
somente se, todo elemento de A pertencer também 
a B.
Linguagem simbólica
A ⊂ B, ou seja, A está contido em B
ou ainda
B ⊃ A, ou seja, B contém A.
Pare! Observe!
O símbolo ⊂ é denominado sinal de inclusão. Sempre 
que comparamos dois conjuntos podemos usar a 
relação de inclusão.
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Sejam os conjuntos A = {a,b,c} e B = {a,b,c,d,e}, 
podemos dizer que:
A ⊂ B, ou seja, A está contido em B;
B ⊃ A, ou seja, B contém A;
B ⊄ A, ou seja, B não está contido em A.
Dois ou mais conjuntos podem ser reunidos usando-se uma 
operação conhecida por união ou reunião de conjuntos.
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de reunião de 
A e B ou união de A com B o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A ou a B.
Linguagem simbólica
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Uma outra operação que pode ser definida é a intersecção entre 
conjuntos. Veja:
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de intersecção 
de A com B o conjunto formado pelos elementos que 
pertencem a A e a B.
Linguagem simbólica
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
{a,b} ∪ {c,d} = {a,b,c,d}
{a,b} ∪ {a,b,c,d} = {a,b,c,d}
{a,b,c} ∪∅ = {a,b,c}
∅∪∅ = ∅
{a,b} ∩ {a,b,c,d} = {a,b}
{a,b} ∩ {c,d} = ∅
{b,c} ∩∅ = ∅
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Nesta disciplina o que irá lhe interessar são os conjuntos 
formados por números ou os conjuntos numéricos. Em especial, 
o conjunto dos números reais irá embasar o estudo dos diferentes 
tipos de funções. Então, veja como se chegou até estes números 
reais estudando a próxima seção!
Seção 2 - Conjuntos numéricos
O conceito de número é uma das idéias mais primitivas da 
humanidade e, por incrível que pareça, já nascemos com ela. 
Um bebê entre seis e doze meses já assimila agrupamentos 
de seres e objetos. Já consegue reunir num único grupo 
objetos análogos e percebe se falta algo a um desses conjuntos 
familiares. 
Por exemplo, se você entrega ao bebê nesta idade 
quatro brinquedos e, sem que ele perceba, retira dois 
deles, certamente ele sentirá falta. Não que já saiba 
contar, mas porque já possui uma noção de número 
em sua formação individual.
Para fins de padronização, criou-se uma notação comum para 
representar os números. Utilizam-se os algarismos hindu-
arábicos:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Apesar de ouvirmos sons diferentes, dependendo do idioma, 
se não houvesse uma padronização, imagine a confusão que 
seria!
Olhando o passado! 
Já há algum tempo, sabe-se que determinadas 
espécies animais também são dotadas de um tipo 
de percepção direta sobre os números. Inúmeras 
experiências demonstraram que os rouxinóis, as pegas 
e os corvos eram capazes de distinguir quantidades 
concretas de um a quatro. Veja o caso do corvo:
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
“Um castelão decidiu matar um corvo que fez seu 
ninho na torre do castelo. Já tentara várias vezes 
surpreender o pássaro, mas ao se aproximar, o corvo 
deixava o ninho, instalava-se numa árvore próxima 
e só voltava quando o homem saía da torre. Um dia, 
o castelão recorreu a uma artimanha: fez entrar dois 
companheiros na torre. Instantes depois, um deles 
desaparecia, enquanto o outro ficava. Mas, em vez 
de cair nesse golpe, o corvo esperava a partida do 
segundo para voltar a seu lugar. Da próxima vez ele 
fez entrar três homens, dos quais dois se afastaram 
em seguida: o terceiro pôde então esperar a ocasião 
para pegar o corvo, mas a esperta ave se mostrou 
ainda mais paciente que ele. Nas tentativas seguintes, 
recomeçou-se a experiência com quatro homens, 
sempre sem resultado. Finalmente, o estratagema 
teve sucesso com cinco pessoas, pois o corvo não 
conseguia reconhecer mais que quatro homens ou 
quatro objetos...”
(extraído de: IFRAH, Georges. Os números: história de uma 
grande invenção. 8. ed. São Paulo: Globo, 1996. p. 20.)
Conjunto dos números naturais
Neste conjunto numérico encontram-se os primeiros números 
conhecidos pela humanidade.Sua representação é dada por 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}.
Perceba que este é um conjunto infinito, pois é possível sempre 
acrescentar uma unidade a cada número para que se obtenha um 
sucessor.
Pare! Revise!
Quando utilizamos a notação N* representamos a 
exclusão do zero:
N* = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
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Olhando o passado! 
O número zero tem uma história interessante. em 662 
d.C. o bispo sírio Severus Sebort referiu-se aos nove sinais, 
num trabalho público, mas não fazia referência ao zero. 
O zero surgiu posteriormente e não se sabe muito 
bem sobre a sua origem. Dizem que a sua origem está 
no mundo grego.
Sua forma se deve aos maias (olho meio aberto), hindus 
(ovo de ganso) ou gregos (letra grega ômicron, que é a 
primeira da palavra Ouden, que significa vazio).
Conjunto dos números inteiros
Olhando o presente! 
Veja o seguinte problema.
P1 – Um trabalhador assalariado possui uma conta no banco. No mês de 
julho ele se perdeu nas contas e acabou gastando mais do que deveria. 
Quando imprimiu o seu extrato, percebeu que o saldo era de R$ 130,00 
D. O que isto significa?
Este problema pode mostrar a importância dos números inteiros. 
Veja por que!
Nos extratos bancários a letra C indica crédito e a letra D indica 
débito. Isto significa que na conta havia 130 reais negativos, ou 
seja, –R$ 130,00, estavam faltando R$ 130,00.
Veja como é importante o estudo dos números não positivos 
ou negativos. Desde a época em que o comércio passou a fazer 
parte da sociedade, inicialmente com o sistema de trocas até que 
se instituísse uma moeda, a noção de números negativos já é 
amplamente utilizada.
Para representar estes números, usa-se o conjunto numérico 
chamado de conjunto dos números inteiros:
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Conjunto dos números racionais
Além dos números naturais e inteiros, perceba que em seu dia-
a-dia você utiliza também números fracionários. Ao comer uma 
fatia de um bolo dividido em oito partes iguais, por exemplo, 
além de ter água na boca, você pode dizer que estará comendo 
uma parte do todo. Estará comendo 1
8
 do bolo.
No nosso sistema monetário usamos frações decimais do real. 
Por exemplo:
R$ 0,50 – cinqüenta centavos é a metade de um real; „
R$ 0,25 – vinte e cinco centavos representa „ 1
4
 de um 
real.
Olhe para uma régua e perceba a existência de números entre os 
inteiros que você já estudou. Entre 0 e 1 temos, por exemplo, 1
2
 
ou entre 3 e 4 o número 3,25.
As frações são representadas na forma m
n
, n ≠ 0, m, n ∈ Z e 
formam o conjunto dos números racionais, denotado por:
Q x x m
n
m n Z n= = ∈ ≠

| , ,. . e 0
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Veja alguns exemplos:
3
4 
10
7 
−1
2 
9
5
Veja como se faz a leitura de frações:
1
2
 Um meio
1
8
 Um oitavo
1
3
 Um terço
1
9
 Um nono
1
4
 Um quarto
1
10
 Um décimo
1
5
 Um quinto
1
11
 Um onze avos*
1
6
 Um sexto
1
12
 Um doze avos
1
7
 Um sétimo
1
20
 Um vigésimo
*Avos é um substantivo masculino empregado na leitura de frações que 
possuem denominador maior que dez.
Toda a fração pode ser escrita em uma forma decimal. Veja como 
se faz:
1
2
0 5= ,
3
4
0 75= ,
1
3
0 3333= , …
2
7
0 285714285714= , …
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Pare! Observe!
Algumas frações possuem representação decimal 
exata e outras uma representação decimal periódica.
51
99
= 0, 5151515151...
31
90
= 0, 3444444444...
 ⇒ são dízimas periódicas.
1
2
0 5
20
4
5
=
=
,
 ⇒ são decimais exatos.
Para encontrar a forma decimal você pode realizar as 
divisões no papel ou mesmo em uma calculadora.
Olhando o presente! 
Veja o seguinte problema.
P2 – em um restaurante um garçom só sabia dividir uma pizza em dez 
fatias iguais. Se Mario comeu a metade da pizza e sua namorada comeu 
1/5, quantas fatias sobraram?
Para saber quantas fatias sobraram, veja como é possível 
raciocinar:
Se Mario comeu a metade da pizza, então ele comeu a „
metade de 10 fatias, ou seja, 10
2
5= fatias.
Sua namorada comeu „ 1
5
 da pizza, então comeu 1
5
 de 10 
fatias, ou seja, 1
5
 de 10 10
5
2= = fatias.
Assim, Mario e sua namorada comeram juntos 5 + 2 = 7 fatias. 
Portanto, sobraram 10 – 7 = 3 fatias.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 25 13/3/2008 17:39:12
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Pare! Observe!
Todos os números inteiros são também números 
racionais, pois podem ser escritos na forma de uma 
fração. Veja:
4 =
4
1
7 =
7
1
.
Olhando o passado! 
Diofanto foi um matemático que viveu em Alexandria 
no século III. Pouco se sabe sobre a sua vida, mas 
existe uma charada que, dizem, teria sido gravada 
em seu túmulo: “Aqui jaz o matemático que passou 
um sexto da sua vida como menino. Um doze avos 
da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um 
sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após 
nasceu seu filho, com quem conviveu metade da 
sua vida. Depois da morte de seu filho, sofreu mais 4 
anos antes de morrer.” Você sabe quantos anos viveu 
Diofanto? 
Fonte: <http://www.exatas.hpg.ig.com.br/curiosidades.htm>
Conjunto dos números reais
Para definir o conjunto dos números reais, é necessário considerar 
os números que não podem ser escritos na forma de m
n
 com n 
≠ 0 e m, n ∈ Z. Estes números formam o conjunto dos números 
irracionais, que pode ser denotado por Q .
São exemplos de números irracionais: π = 3,141592653..., 
e =2,718281828..., 2 1 41= , ...
É comum dizer que o conjunto dos números reais é o 
resultado da união do conjunto dos números racionais 
com o conjunto dos números irracionais.
R = ∪Q Q .
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Os números reais são representados geometricamente por uma 
reta numerada, denotada por reta real.
Olhando o passado! 
Você não imagina a consternação no seio dos 
pitagóricos quando descobriram a existência de 
grandezas que não guardam entre si uma relação de 
inteiro para inteiro. Isto aconteceu quando verificaram 
a impossibilidade de mensurar (ou medir) a diagonal 
de um quadrado de lado igual a uma unidade de 
comprimento. 
Acredita-se que os pitagóricos guardaram este 
segredo por muitos anos, pois esta constatação 
significava a existência de seres disformes no seu 
mundo regido pelos números. Hoje já se sabe que 
este ser disforme é a raiz quadrada de dois. 
O número Pi 
A história do número π está ligada à história da vida de muitos 
matemáticos da Antigüidade. É importante relembrar, para ser 
justo, do nome de Arquimedes, famoso matemático e astrônomo 
que nasceu em Siracusa, mais ou menos 287 a.C. 
No tempo de Arquimedes muitos estudiosos já sabiam 
que o comprimento de uma circunferência é igual 
a um número um pouco maior que três vezes o seu 
diâmetro.
Existe o registro histórico de várias tentativas para encontrar 
o valor exato desse número um pouco maior que 3 que hoje é 
conhecido como número Pi, simbolizado por π.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 27 13/3/2008 17:39:14
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Vários métodos geométricos demonstram que o valor 
do Pi é π = 3,141592653...
Vocêpode encher a tela do seu computador com as casas 
decimais do número Pi.
O número e
A origem do número e está associada à origem dos logaritmos. 
As tábuas de logaritmos foram inventadas para facilitar os 
cálculos, pois ao se usar logaritmos consegue-se reduzir 
multiplicações e divisões em simples adições e subtrações. É 
usual se falar “número neperiano” em homenagem ao matemático 
John Napier, que em 1614 apresentou uma maneira prática para 
definir o logaritmo de e.
Além de servir de base para um sistema de logaritmos, o 
número e é um número útil em toda a Matemática e ciências 
afins. Por exemplo, é muito usado em Economia, Estatística, 
Probabilidades etc.
Nos dias de hoje, não se usam as tábuas de logaritmos porque as 
calculadoras fazem todos os cálculos. No entanto, não se pode 
dispensar esse número de nossas vidas. Vários fenômenos são 
modelados por uma fração que envolve o número e, por exemplo, 
o crescimento populacional, o aumento de capital e juros.
Nas próximas unidades você vai ouvir falar muito sobre o número e!
e = 2,718281828...
Conjunto dos números complexos
Você acha seu nome bonito? Todas as pessoas que você conhece 
acham o seu nome bonito? O nome de batismo de uma pessoa 
pode não ser bonito, mas não causa “mal-entendido” porque ele 
tem um único significado.
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Muita gente não aceita o termo “número imaginário” ou “número 
complexo” tal como é usado em Matemática. E isto causa um 
mal-entendido! Entretanto, é importante lembrar:
Quando uma palavra é definida precisamente e tem 
apenas um significado, não há mais razões para 
criticar seu uso.
Logo, um número imaginário ou complexo é uma idéia 
matemática precisa.
Olhando o passado! 
Cardano, um grande matemático do século XVI, foi 
o primeiro a reconhecer a verdadeira importância 
desses números. Na sua obra “Ars Magna” discute a 
álgebra e dá especial atenção às raízes negativas de 
uma equação e ao cálculo com números complexos.
O conjunto dos números complexos é formado por todos os 
números reais e pelas raízes de ordem par de números negativos, 
e pode ser representado por:
C z z a b a b R= = ( ) ∈{ }| , , ,
Em geral os números complexos são discutidos inicialmente na 
forma algébrica:
z i i= − = = + = ( )4 2 0 2 0 2,
z i= + − = + = ( )2 9 2 3 2 3,
Ao olhar para o par ordenado (a,b) fica simples visualizar a parte 
real e a parte complexa ou imaginária do número complexo:
a „ é a parte real;
b „ é a parte imaginária.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 29 13/3/2008 17:39:15
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Pare! Revise! 
Lembre-se de que i = −1 . Assim, tem-se que:
i i
i
× = −
= −
− = −( )
1
1
1 1
2
2
.
Pare! Observe!
− = − = =( ) ( )1 1 1 12 2 está INCORRETO.
Nas próximas seções você irá revisar as operações com os números 
reais, sendo enfatizados diferentes representações, algoritmos e 
métodos de tratamento adequados a cada situação identificada.
Seção 3 - Adição e subtração com números reais
Para discutir as operações de adição e subtração com números 
reais, veja inicialmente algumas propriedades da adição:
Comutativa a + b = b + a
Associativa (a + b) + c = a + (b + c)
Elemento neutro
a + 0 = 0 + a = a
0 é o elemento neutro da adição.
Nos próximos exemplos você poderá aplicar estas propriedades 
em situações que envolvem a adição com números reais.
 1) Efetue as seguintes operações:
a) 2
3
+
4
5
=
10 +12
15
=
22
15
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31
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Pare! Observe!
É possível estabelecer uma regra prática para calcular 
a adição ou subtração com números fracionários. 
Considere as expressões 
a
b
 e 
c
d
 escritas de forma que 
b e d são diferentes de zero:
a
b
c
d
ad bc
bd
± = ±
b) 1
2
10
7
7 20
14
27
14
+ = + =
c) 1
9
2
3
1 6
9
7
9
+ = + =
Perceba que esta mesma operação pode ser feita usando-se uma 
calculadora. O resultado que aparece no visor vai depender da 
configuração e potencialidades de sua calculadora. Por exemplo, 
você pode visualizar:
0 7777
0 777777
0 77777777
0 77777777778
,
,
,
, .
d) 20 45+
Com uma calculadora, é possível determinar os valores 
aproximados para 20 e 45 :
20 4 472135955
45 6 708203932
20 45 11 180339887
≅
≅
+ ≅
,
,
, .
O cálculo é aproximado e o número de casas decimais depende 
de cada tipo de calculadora. É possível resolver esta adição 
usando propriedades da radiciação. Na Unidade 6 você verá um 
breve resumo de algumas destas propriedades.
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e) 3
4
0 3 0 75 0 3 0 45− = − =, , , ,
Perceba que o número fracionário foi escrito em sua forma 
decimal para que a operação fosse realizada. Uma outra opção é 
escrever o número decimal como um número fracionário:
3
4
0 3
3
4
3
10
30 12
40
18
40
9
20
0 45− = − = − = = =, ,
f) 1
5
2
3
3 10
15
7
15
− = − = −
g) − + = − =0 2 0 37 0 37 0 2 0 17, , , , ,
 2) Um mergulhador passou da profundidade de –6m para 
–4m. Neste caso, ele subiu ou desceu? Quantos metros?
Perceba que o número – 6 é menor que o número –4. Assim, 
quando o mergulhador passa de – 6m para –4m ele aumenta duas 
unidades.
Isto significa que ele subiu 2m, pois -6m é mais fundo que -4m.
 3) Imagine três pizzas de mesmo tamanho, cortadas de 
forma diferente: a primeira em duas partes, a segunda 
em quatro partes e a terceira em seis partes. Se Joana 
come um pedaço de cada uma, quanto terá comido?
Para saber quanto Joana comeu, é possível representar cada 
pedaço usando números fracionários:
1 pedaço da primeira pizza (cortada em duas partes) = „ 1
2
;
1 pedaço da segunda pizza (cortada em quatro partes) = „ 1
4
;
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
1 pedaço da terceira pizza (cortada em seis partes) = „ 1
6
.
Podemos escrever,
1
2
1
4
1
12
6 1 3 1 1 1
12
10
12
+ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
Assim, Joana comeu 10
12
, ou quase uma pizza inteira!
 4) Um bondoso homem doou 1
5
 da sua fortuna para 
menores carentes, e 2
3
 para um asilo de idosos.
a) Que fração de suas posses ele doou?
 Ele doou 1
5
2
3
3 10
15
13
15
+ = + = .
b) Que fração sobrou?
 Se ele doou 13
15
, então sobrou um inteiro menos esta 
fração:
1
13
15
1
1
13
15
15 13
15
2
15
− = − = − =
As operações de adição e subtração são utilizadas em inúmeras 
aplicações que envolvem a modelagem matemática. Na próxima 
seção você poderá revisar as operações de multiplicação e divisão 
dos números reais.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 33 13/3/2008 17:39:21
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Seção 4 - Multiplicação e divisão com números reais
Assim como nas operações de adição e subtração, veja algumas 
propriedades da multiplicação:
Comutativa a x b = b x a
Associativa (a x b) x c = a x (b x c)
Elemento neutro
a x 1 = 1 x a = a
1 é o elemento neutro da multiplicação.
Perceba que as propriedades listadas não são válidas para a divisão. 
Imagine que Ted e Mad foram pescar no Pantanal. Em 
determinado momento, cansados de esperar, eles conversam:
– Esses peixes são muito espertos. Foi a terceira vez 
que nós dois não pegamos peixes.
– Nosso saldo está devedor. Já gastamos seis iscas.
Como representar esta situação matematicamente?
(+ 3) x (– 2) = – 6
Tópicos de Matemática Elementar I.indb34 13/3/2008 17:39:22
35
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Outras situações poderiam ser modeladas por outras 
multiplicações. Por exemplo: 
(+ 3) x (+ 2) = + 6
(– 3) x (– 2) = + 6
(– 3) x (+ 2) = - 6
Observando essas operações é possível escrever:
A multiplicação de números de sinais diferentes 
apresenta resultado negativo e números de sinais 
iguais apresentam resultado positivo.
Resumindo simbolicamente as regras de sinais:
Divisão Multiplicação
(+) ÷ (+) = (+) (+) x (+) = (+)
(–) ÷ (+) = (–) (–) x (+) = (–)
(+) ÷ (–) = (–) (+) x (–) = (–)
(–) ÷ (–) = (+) (–) x (–) = (+)
Olhando o presente! 
Veja o seguinte problema.
P3 – Durante seis dias a temperatura de uma certa região esteve abaixo 
de zero, variando por volta de –18oC. Sabendo-se que a temperatura 
baixou o mesmo número de graus a cada dia, quantos graus teria 
abaixado por dia?
Para modelar esta situação, é possível escrever:
(– 18) ÷ (+ 6 ) = (– 3)
Isto significa que a temperatura baixou 3oC por dia, até que 
chegasse a –18oC.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 35 13/3/2008 17:39:22
36
Universidade do Sul de Santa Catarina
Pare! Revise!
Quando uma divisão tem resto zero, trata-se de uma 
divisão exata. Por exemplo, 12 : 6 = 2. Isto é verdade, pois 
2 x 6 = 12. Da mesma forma, 35 : 5 = 7, pois 7 x 5 = 35.
Veja a regra prática para a multiplicação que envolve frações, 
sendo b e d números diferentes de zero:
a
b
c
d
a c
b d
⋅ = ⋅
⋅
 1) Resolva as operações indicadas:
a) 1
4
1
3
1 1
4 3
1
12
⋅ = =.
.
b) 5
8
1
4
5 1
8 4
5
32
⋅ − = − = −.
.
c) 1
2
10
5
1 10
2 5
10
10
1⋅ = = =.
.
d) 0,25 x 1,3 = 0,325
c) 0,721 x 3,69 = 2,66049
 2) Se 350 corresponde ao valor total, calcule 1
2
 e 3
5
 deste valor.
 Para resolver este problema multiplique o valor total por 
suas frações:
1
2
 de 350 → ⋅ = =1
2
350 350
2
175
3
5
 de 350 → ⋅ = =3
5
350 1050
5
210 .
 3) Um bolo foi dividido em partes iguais entre sete pessoas. 
Uma pessoa comeu metade da sua fatia. Quanto do bolo 
ela comeu? 
Uma (1) fatia representa a sétima parte do bolo ou 1
7
.
A metade de 1 fatia representa 1
14
 do bolo, ou 1
7
1
2
1
14
× = .
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 36 13/3/2008 17:39:25
37
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Assim, a pessoa comeu 1
14
 do bolo.
 4) Se no bolo do problema anterior, dividido entre sete 
pessoas, cada pedaço custasse R$ 0,80, quanto custariam 
três pedaços do bolo?
1 pedaço do bolo → →1
7
R$ 0,80
3 pedaços do bolo → →3
7
3 X R$ 0,80 = R$ 2,40
Assim três pedaços do bolo custariam R$ 2,40. 
Olhando o passado! 
Matemático tem cada idéia!
Veja o problema histórico criado para justificar a regra 
de sinais .
(–) x (–) = (+)
“eu tinha 3 dívidas, todas de 4 moedas de ouro. Mas 
as pessoas para quem eu devia morreram. Perdi 3 
vezes a dívida de 4 moedas. Assim, fiquei 12 moedas 
mais rico”.
“perdi 3 vezes a dívida de 4 moedas”  (– 3) x (– 4) = 12.
Quando você realiza a divisão de duas frações está multiplicando 
a primeira fração pelo inverso da segunda.
a
b
c
d
a
b
d
c
ad
bc
÷ = ⋅ = com b, d e c diferentes de zero.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 37 13/3/2008 17:39:25
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
Resolva as operações indicadas:
 a) 2
3
5
4
2
3
4
5
2 4
3 5
8
15
÷ = ⋅ = =.
.
 b) 
1
2
3
5
1
2
5
3
1 5
2 3
5
6
= ⋅ = =.
.
 c) 5
9
5
6
5
9
6
5
5 6
9 5
30
45
6
9
2
35
5
3
3
÷ − = ⋅ − = − = − − −
÷ =
÷ =
÷ =
÷ =
= =. .
Pare! Revise!
Você não pode fazer uma divisão por zero. Por 
exemplo, não é possível dividir dois por zero: 2 ÷ 0 
pois se 2 ÷ 0 = x, então x . 0 = 2. Não existe número 
que multiplicado por zero seja igual a 2.
Após tratar das operações de multiplicação e divisão com 
números reais, é possível introduzir um importante conceito, 
utilizado em diversas situações de nosso dia-a-dia: a 
porcentagem.
É comum você se deparar com expressões do tipo:
a inflação no último mês foi de 4% (quatro por cento); „
promoção: descontos de 30% à vista; „
o índice da bolsa em São Paulo está em queda de 0,2%. „
Mas o que isso significa?
A porcentagem é uma forma de comparar números usando a 
proporção direta. É o valor obtido quando se aplica uma razão 
centesimal a um valor. Como o nome já diz é por 100 ou sobre 
100.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 38 13/3/2008 17:39:26
39
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Em linguagem algébrica a porcentagem de um número a, à razão 
x
100
, é x
100
 x a. 
Indica-se a expressão x
100
 por x%.
Para entender melhor, veja a aplicação deste conceito nos 
exemplos apresentados.
Exemplos
 1) Calcule 10% de 500.
A razão centesimal é dada por
10% = 10
100
. Portanto, 
10% de 500 → ⋅ = =10
100
500
5000
100
50 .
 2) Calcule 25% de 210.
Neste caso, a razão centesimal é dada por
25% = 25
100
. Portanto,
25% de 210 → ⋅ = =25
100
210
5250
100
52 5, .
 3) Qual a taxa porcentual de 3 sobre 4?
Equacione a taxa indicada como
x
x
x
x
x
100
3
4
4 3 100
4 300
300
4
75
=
= ⋅
=
=
= .
Então a taxa é de 75%.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 39 13/3/2008 17:39:28
40
Universidade do Sul de Santa Catarina
 4) Uma loja divulga uma promoção de 10% sobre o preço 
de suas mercadorias vendidas a vista. Se uma camisa 
custa R$ 90,00, qual será o seu valor com o desconto?
O desconto de 10% será sobre o valor de R$ 90,00. 
Assim teremos:
10% de 90 → ⋅ = =10
100
90
900
100
9 .
Isto significa que a camisa custará R$ 9,00 a menos. 
Portanto, o preço a ser pago é de 
 R$ 90,00 – R$ 9,00 = R$ 81,00.
Parada recreativa
Você lembra do matemático Diofanto? Que tal calcular quantos anos 
ele tinha quando morreu? Veja de novo o que estava em seu túmulo:
“Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como 
menino. Um doze avos da sua vida passou como rapaz. Depois viveu 
um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após nasceu seu 
filho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu 
filho, sofreu mais 4 anos antes de morrer.”
Vamos identificar por V o tempo de vida de Diofanto, medido 
em anos. O tempo de vida de Diofanto é a soma de cada uma das 
frações indicadas. Assim, temos:
V V V V V= + + + + +
6 12 7
5
2
4
Resolvendo a soma de frações, teremos:
V V V V V
V V V V V
V V V V V
6 12 7 2
9
6 12 7 2 1
9
14 7 12 42 84
84
9
+ + + − = −
+ + + − = −
+ + + − = −
−− = −
=
9
84
9
84
V
V .
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 40 13/3/2008 17:39:29
41
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Determinando o valor de V, já é possível saber que Diofanto 
viveu 84 anos. Veja na tabela abaixo a divisão destes 84 anos:
Menino
84
6
14= anos Até 14 anos
Rapaz
84
12
7= anos 14 aos 21 anos
Antes de casar
84
7
12= anos 21 aos 33 anos
Filho nasceu 5 anos depois de casar 33 + 5 = 38 anos
Conviveu com o filho
84
2
42= anos 38 aos 80 anos
Morreu 4 anos depois da morte do filho 80 + 4 = 84 anos
Seção 5 - Resolução de equações
Quando você está diante de um problema, pode resolvê-lo 
usando mais de um caminho ou estratégia. Se o problema requer 
o uso de objetos matemáticos, a solução pode ser obtida a partir 
do envolvimento de algoritmos numéricos, resolução de equações 
ou sistemas de equações. Para cada situação, usa-se a ferramenta 
matemática adequada, que poderá ser simples ou de nível mais 
complexo, como é o caso de derivadase integrais (objetos 
matemáticos não estudados nesta disciplina).
Os problemas considerados da área econômica, em geral, são 
modelados através de expressões algébricas resultando fórmulas 
práticas. Ao aplicar os dados, você fica diante de uma equação 
ou de um sistema de equações. É importante que neste momento 
você faça uma breve revisão sobre a resolução de equações do 1o 
e 2o graus, pois estes conceitos serão amplamente aplicados no 
estudo das funções nas próximas unidades.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 41 13/3/2008 17:39:30
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Equação do 1o grau
A resolução de uma equação do 1o grau consiste na determinação 
da incógnita x, “isolando-a” em um dos lados da igualdade. Para 
tal, você precisa relembrar dois princípios:
princípio aditivo da igualdade „ : adicionando (ou 
subtraindo) aos dois membros de uma igualdade o mesmo 
número, a igualdade não se altera. Em outras palavras, ao 
passar um número que está somando (ou subtraindo) para 
o outro lado da igualdade, deve-se inverter seu sinal;
princípio multiplicativo da igualdade „ : multiplicando 
(ou dividindo) os dois membros de uma igualdade pelo 
mesmo número, a igualdade não se altera. Em outras 
palavras, um número que está multiplicando passa para 
o outro lado da igualdade dividindo; já um número que 
está dividindo passa para o outro lado da igualdade 
multiplicando.
Pare! Revise!
É usual utilizar letras para representar os valores que 
uma variável pode assumir. É comum, de forma mais 
tradicional, usar o termo “incógnita” para expressar o 
valor que é desconhecido e se procura saber.
Exemplos
 1) Determine o valor da incógnita x das seguintes equações 
do 1o grau:
a) 8 4 12x + =
8 4 12
8 12 4
8 8
8
8
1
x
x
x
x
x
+ =
= −
=
=
=
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 42 13/3/2008 17:39:30
43
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
b) − + = −3 4 3x
− + = −
− = − −
− = −
= −
−
=
3 4 3
3 3 4
3 7
7
3
7
3
x
x
x
x
x
c) 2
7
3 5x − =
2
7
3 5
2
7
5 3
2
7
8
8
7
2
56
2
28
x
x
x
x
x
x
− =
= +
=
= ⋅
=
=
 2) O testamento de um moribundo impõe que, quando sua 
esposa, que está grávida, tiver um filho, este herdará 3
4
 e a 
viúva 1
4
 dos bens; mas se nascer uma filha, esta herdará 7
12
 
e a viúva 5
12
 dos bens. Como devem ser divididos os bens 
no caso de nascer um casal de gêmeos?
Este é um problema discutido na Idade Média e tem origem 
romana. A solução considerada viável faz uma suposição 
satisfatória, pois, rigorosamente, não se poderia solucioná-lo já 
que não se conhece o critério adotado pelo moribundo no caso de 
filhos gêmeos (poderia, por exemplo, ser uma escolha aleatória).
A sugestão de solução considera que o moribundo queria deixar:
para um filho o valor equivalente ao triplo do valor da „
viúva pois 3
4
3
1
4
= ×
Problema extraído de 
EVES, Howard. Introdução 
à História da Matemática. 
Campinas: UNICAMP, 1995, 
p. 314.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 43 13/3/2008 17:39:32
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
para uma filha o valor equivalente a „ 7
5
 do valor da viúva 
pois 7
12
7
5
5
12
= ×
Assim, é possível escrever a equação:
x x x+ + =3 7
5
1
Considerando-se que a herança foi repartida para três pessoas 
(viúva, filho e filha), e mantendo-se a proporcionalidade 
inicialmente proposta, na equação o valor de x representa a parte 
da viúva.
Para resolver a equação, é possível aplicar os princípios 
enunciados para a resolução de uma equação do 1o grau. Veja:
x x x
x x x
x
x
x
+ + =
+ + =
=
=
=
3
7
5
1
5 15 7
5
1
27
5
1
27 5
5
27
.
Assim, a solução pode ser resumida da seguinte forma:
A viúva receberá 5
27
 dos bens, o que corresponde a 18,51% do 
total.
O filho recebe: o triplo de 5
27
3
5
27
15
27
= × = dos bens, o que 
corresponde a 55,56% do total.
A filha recebe: 7
5
 de 5
27
7
5
5
27
7
27
= × = dos bens, o que corresponde 
a 25,93% do total.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 44 13/3/2008 17:39:34
45
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Equação do 2o grau
Para resolver uma equação do segundo grau é preciso utilizar 
algumas regras gerais que foram criadas para auxiliar nestes 
cálculos. A fórmula mais conhecida é a fórmula de Bhaskara:
x b
a
b b a c
a
x b b a c
a
x b b a c
a
= − ±
⋅
= − ± − ⋅ ⋅
⋅
= − + − ⋅ ⋅
⋅
= − − − ⋅ ⋅
⋅
∆
2
4
2
4
2
4
2
2
1
2
2
2
Exemplos
 1) Resolva as equações do 2o grau.
a) 2 5 3 02x x+ − =
x = − ± − ⋅ ⋅−
⋅
= − ± + = − ± = − ±5 5 4 2 3
2 2
5 25 24
4
5 49
4
5 7
4
2
x1
5 7
4
2
4
1
2
= − + = =
x2
5 7
4
12
4
3= − − = − = −
b) 16 02− =x
x = − ± − ⋅− ⋅
⋅−
= ±
−
= ±
−
0 0 4 1 16
2 1
0 64
2
8
2
2
x1
8
2
4=
−
= −
x2
8
2
4= −
−
=
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 45 13/3/2008 17:39:37
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
 2) Encontre o preço de equilíbrio e a respectiva quantidade 
para as funções de demanda e oferta, sendo x a 
quantidade e y o preço:
x x y
x y
2
2
5 1 0
2 9 0
+ − + =
+ − =
Para determinar o preço de equilíbrio e a quantidade vamos 
resolver o sistema de equações dado. Isolamos y x= −9 2 2 e 
substituímos na primeira equação:
x x x
x x x
x x
2 2
2 2
2
5 9 2 1 0
5 9 2 1 0
3 5 8 0
+ − −( ) + =
+ − + + =
+ − =
Aplicando os valores referentes à equação a ser solucionada, 
temos:
x = − ± − ⋅ ⋅−
⋅
= − ± + = − ±5 5 4 3 8
2 3
5 25 96
6
5 121
6
2
x1
5 11
6
6
6
1= − + = =
x2
5 11
6
16
6
= − − = −
Como x representa a quantidade do produto, não faz sentido 
ser representado por um número negativo. Assim, apenas nos 
interessa o valor de x1 = 1.
Substituindo x = 1 em uma das equações, temos:
y x
y
y
y
= −
= − ⋅
= −
=
9 2
9 2 1
9 2
7
2
2
Portanto os valores y = 7 e x = 1 representam o preço de 
equilíbrio e a quantidade para as funçõe de demanda e oferta 
apresentadas.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 46 13/3/2008 17:39:38
47
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Parada recreativa
Você já ouviu falar em Quadrados Mágicos?
Um quadrado dividido em 4, 9 ou 16 quadrados iguais é dito um 
quadrado mágico se a soma dos números numa coluna, numa linha ou 
em qualquer das diagonais for sempre a mesma. 
A origem dos quadrados mágicos é obscura. Na Índia muitos reis 
usavam o quadrado mágico como amuleto; um sábio do Iemen 
afirmava que os quadrados mágicos eram preservativos de certas 
moléstias. Um quadrado mágico de prata, preso ao pescoço, evitava, 
segundo a crença de certas tribos, o contágio da peste.
Fonte: Faculdades de Guarulhos. 
Disponível em: <http://www.faculdadesdeguarulhos.edu.br/artigos.html>.
Se a tradição for verdadeira, vale a pena completar o quadrado 
mágico proposto. Lembre-se de que ao multiplicar os valores das 
linhas, colunas e diagonais você deve obter o mesmo valor.
– 12 – 1
6
– 3
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 47 13/3/2008 17:39:39
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Ao finalizar esta unidade você já pode dizer que conhece todos os 
números que são amplamente discutidos na Matemática e, muitas 
vezes, erroneamente utilizados em nosso dia-a-dia. Perceba que 
os conceitos relacionados aos números, às frações e às operações 
são importantes para que você avance e amplie seus estudos na 
Matemática. 
Lembre-se de que a Matemática também é a base do curso que 
você está realizando,principalmente no que diz respeito ao 
desenvolvimento do raciocínio lógico. Um bom profissional nos 
dias de hoje deve desenvolver várias habilidades e competências 
e, dentre elas, destaca-se a facilidade em resolver problemas. A 
Matemática pode ajudá-lo neste contexto. Pense nisto!
Nas próximas unidades você irá estudar as funções.
Até lá!
Atividades de auto-avaliação
1) efetue as operações indicadas:
a) 
2
3
5
6
+
b) 
1
9
2
7
−
c) 10 3
4
÷
d) 9 4
5
−
e) 
1
4
0 3− ,
f) 
3
4
1
3
×
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 48 13/3/2008 17:39:40
49
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
g) 
1
2
3 7
3
× +



h) 
3
4
5
3
÷
i) 
7
6
7
j) 
10
5
3
2) O salário do funcionário de uma empresa é igual a R$ 1200,00. No 
mês de suas férias ele recebe o seu salário mais 
1
3
 referente às férias. 
Quanto ele recebe?
3) Mario trabalhou sete meses numa empresa, com salário de R$ 600,00. 
Por isso, recebeu a quantia igual a 
7
12
 de um salário, correspondente à 
parte do 13º salário. De quanto foi a quantia recebida?
4) Se 
2
5
 correspondem a 180, a quanto corresponde um inteiro?
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 49 13/3/2008 17:39:41
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) O tanque do carro está seco. Se pusermos 14,5 litros, num carro 
que roda em média 7,14 km/l, conseguiremos chegar a um hotel 98 
quilômetros distante?
6) Numa receita de bolo usa-se 0,5 litros de leite, sendo que 0,25 dessa 
quantidade vai no recheio. Que fração do litro é usada no recheio?
7) Uma mãe deu dinheiro aos três filhos, dizendo que era um terço para 
cada um. O primeiro filho gastou só um terço da sua parte. Que fração 
do total ele gastou? 
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 50 13/3/2008 17:39:41
51
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
8) Um clube tem 60 associados, 18 dos quais com menos de 15 anos 
de idade. esses jovens correspondem a que fração do quadro de 
associados?
9) em uma aplicação financeira tem-se rendimento igual a 1,0% ao mês, 
sendo descontada uma taxa anual fixa, relativa à administração, igual a 
5% do depósito inicial. Se um indivíduo possui R$ 6000,00 e aplica este 
dinheiro durante um ano e meio, qual será o seu saldo final?
10) Numa pesquisa de intenção de voto, realizada com 500 pessoas de 
uma cidade, obteve-se o seguinte resultado:
Número de pessoas
Candidato A 132
Candidato B x
Indecisos 74
Calcule os valores percentuais da pesquisa realizada.
Tópicos de Matemática Elementar I.indb 51 13/3/2008 17:39:42
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
11) Um incêndio destruiu 30% da área verde em uma floresta. Se 20% 
desta floresta é formada por rios e riachos e o restante somente por 
área verde, qual o percentual da floresta atingida pelo fogo?
12) Resolva as seguintes equações:
a) 
3 1
5
x x+ = −
b) 3 3 12x + = −
c) 
2 5
4
1
2
x
x
+
−
=
d) x x2 2 3 0+ − =
e) x x−( ) +


=3 1
2
0
f) 2 5 4 0x x−( ) −( ) =
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1
Saiba mais
Uma sugestão para descontrair e para que você perceba que a 
Matemática não está presente apenas nos livros, é a leitura do 
livro Mar Sem Fim, de Amyr Klink (veja a seguir a referência 
completa).
Além de navegar junto com o autor, você poderá expandir seus 
conhecimentos e observará a Matemática presente em cada 
página, nos maravilhosos relatos do autor sobre sua aventura ao 
redor da Antártica!
KLINK, Amyr. Mar sem fim: 360º ao redor da Antártica. São 
Paulo: Companhia das Letras, 2000.
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