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C�alculo I (2013/02) - Lista V
Taxas de Varia�c~ao e Taxas Relacionadas
Quest~ao 01 Mostre que a taxa de varia�c~ao da �area de um quadrado em rela�c~ao ao comprimento de seu lado �e a
metade de seu per��metro. Tente explicar geometricamente por que isso �e verdade.
Quest~ao 02 Um avi~ao voa horizontalmente a uma altitude de 2 km, a 800 km/h, e passa diretamente sobre uma
esta�c~ao de radar. Encontre a taxa segundo a qual a dista^ncia entre o avi~ao e a esta�c~ao aumenta quando ele
est�a a 3 km al�em da esta�c~ao.
Quest~ao 03 Est�a vazando �agua de um tanque co^nico invertido a uma taxa de 10.000 cm/min. Ao mesmo tempo,
�agua est�a sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e o
dia^metro no topo �e de 4 m. Se o n��vel da �agua estiver subindo a uma taxa de 20 cm/min, quando a altura da
�agua for 2 m, encontre a taxa segundo a qual a �agua est�a sendo bombeada dentro do tanque.
Quest~ao 04 Um holofote sobre o solo ilumina uma parede 12 m distante dele. Se um homem de 2 m de altura
anda do holofote em dire�c~ao �a parede a uma velocidade de 1,6 m/s, qu~ao r�apido o comprimento de sua sombra
diminui sobre a parede quando ele est�a a 4 m dela?
Quest~ao 05 Um homem come�ca a andar para o norte a 1,2 m/s a partir de um ponto P . Cinco minutos depois
uma mulher come�ca a andar para o sul a 1,6 m/s de um ponto 200 m a leste de P . A que taxa as pessoas
est~ao se distanciando 15 minutos ap�os a mulher come�car a andar.
Quest~ao 06 Uma caixa est�a sendo puxada por uma corda que passa por uma roldana localizada 1 m acima do
solo. Determine a taxa de varia�c~ao do a^ngulo �, indicado na �gura abaixo, no instante em que a caixa se
encontra a 1 m do ponto P , situado abaixo da roldana, sabendo-se que a caixa se desloca a 2 m/min.
Valores M�aximo e M��nimo
Quest~ao 01 Seja f uma fun�c~ao diferenci�avel tal que f(x) � f(2) para todo x 2 [0; 3]. Determine f
0
(2).
Quest~ao 02 Se a e b s~ao n�umeros positivos, ache o valor m�aximo de f(x) = x
a
(1� x)
b
, onde 0 � x � 1.
Quest~ao 03 Mostre que a fun�c~ao f(x) = x
101
+ x
51
+ x+ 1 n~ao possui valores extremos locais.
O Teorema do Valor M�edio
Quest~ao 01 Veri�que se o teorema de Rolle pode ser aplicado �a f nos seguintes intervalos:
(a) f(x) = 1� jx� 1j, x 2 [0 2]; (b) f(x) = (x� 3)(x+1)
2
, x 2 [�1; 3]; (c) f(x) = x� x
1=3
, x 2 [0; 1];
Quest~ao 02 Seja f(x) = 1�x
2=3
. Mostre que f(�1) = f(1), mas n~ao existe um n�umero c em (�1; 1) tal que f
0
(c) = 0.
Por que isso n~ao contradiz o Teorema de Rolle?
Quest~ao 03 Encontre todos os n�umeros c que satisfazem a conclus~ao do Teorema do Valor M�edio no caso em que
f(x) = 2x
2
� 3x+ 1, x 2 [0; 2].
Quest~ao 04 Mostre que a equa�c~ao x
3
� 15x+ c = 0 tem no m�aximo uma raiz no intervalo [�2; 2].
2
Quest~ao 05 Suponha que f e g sejam cont��nuas em [a; b] e deriv�aveis em (a; b). Suponha tamb�em que f(a) = g(a) e
f
0
(x) < g
0
(x) para a < x < b. Prove que f(b) < g(b). [Dica: Aplique o TVM para a fun�c~ao h = f � g]
Quest~ao 06 Mostre que
x� 1
x+ 1
= 2arctg
p
x�
�
2
:
Quest~ao 07 Usando o Teorema do Valor M�edio, mostre que jsen a� sen bj � ja� bj, para todos a; b 2 IR.
Quest~ao 08
�
As 14 h da tarde o veloc��metro do carro mostra 50 km/h.
�
As 14 h 10 min, ele mostra 65 km/h. Prove que
em algum momento entre 14 h e 14h 10 min a acelera�c~ao era exatamente de 90 km/h
2
.
Quest~ao 09 Um n�umero a �e chamado de ponto �xo de uma fun�c~ao f se f(a) = a. Mostre que se f
0
(x) 6= 1 para todos
os valores de x, ent~ao f tem no m�aximo um ponto �xo.
Crescimento/Decrescimento e Concavidade de Fun�c~oes
Quest~ao 01 Encontre uma fun�c~ao c�ubica f(x) = ax
3
+bx
2
+cx+d que tenha um valor m�aximo local 3 em x = �2
e um valor m��nimo local 0 em x = 1.
Quest~ao 02 Mostre que: (a) tg x > x para 0 < x < �=2; (b) e
x
� 1 + x para x � 0.
Quest~ao 03 Mostre que uma fun�c~ao c�ubica (um polino^mio de grau 3 ) sempre tem exatamente um ponto de
in
ex~ao. Se seu gr�a�co tem tre^s intersec�c~oes com o eixo x, digamos em x
1
, x
2
e x
3
, mostre que a coordenada
x do ponto de in
ex~ao �e igual a (x
1
+ x
2
+ x
3
)=3.
Quest~ao 04 Mostre que f(x) =
lnx
x
tem m�aximo absoluto em x = e. Conclua que �
e
< e
�
Formas Indeterminadas e Regra de L'Ho^spital
Quest~ao 01 Mostre o seguinte caso especial da Regra de l'Ho^spital: Se f e g s~ao tais que f(a) = g(a) = 0,
g
0
(a) 6= 0 e suas derivadas s~ao cont��nuas, ent~ao
lim
x!a
f(x)
g(x)
= lim
x!a
f
0
(x)
g
0
(x)
:
Quest~ao 02 Calcule os seguintes limites usando a regra de L'Hospital quando poss��vel. Se a regra n~ao se aplicar,
justi�que:
(a) lim
x!0
cos
2
x� 1
e
x
2
� 1
; (b) lim
x!1
+
(lnx)
x�1
; c) lim
x!1
(x
2
� 1)e
�x
2
; (d) lim
x!1
ln(lnx)
lnx
;
(e) lim
x!0
+
ln(acrsenx
cotg x
; (f) lim
x!1
x
x� 1
�
1
lnx
�
; (g) lim
x!0
+
�
1
x
�
1
e
x
� 1
�
; (h) lim
x!1
x
3
e
�x
2
;
(i) lim
x!0
+
x
p
x
; (j) lim
x!a
+
cos(ln(x� a))
ln(e
x
� e
a
)
(k) lim
x!0
+
(tg 2x)
x
; (l) lim
x!1
x
1
1�x
;
(m) lim
x!1
�
2x� 3
2x+ 5
�
2x+1
.
Quest~ao 03 Determine a e b tais que
lim
x!0
�
sen 2x
x
3
+ a+
b
x
2
�
= 0:
Quest~ao 04 Se f
0
for cont��nua, use a regra de L'Ho^spital para mostrar que
lim
h!0
f(x+ h)� f(x� h)
2h
= f
0
(x):