Apostila de Cálculo 2 (parte 3)

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15 Aplicac¸a˜o da Integral Definida
15.1 A´rea entre curvas
Figura 15.1.
Suponha que f e g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em um intervalo [a, b] e f(x) ≥ g(x) para a ≤ x ≤ b.
A a´rea a regia˜o R delimitada acima por y = f(x), abaixo por y = g(x) e dos lados pelas retas
x = a e x = b e´:
Figura 15.2.
AR =
∫ b
a
[
f(x)− g(x)
]
dx
Exemplo 15.1.
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Exemplo 15.2.
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Exemplo 15.3.
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15.1.1 Invertendo os pape´is de x e y
E´ poss´ıvel evitar a divisa˜o da regia˜o em partes integrando em relac¸a˜o a y em vez de integrar
em relac¸a˜o a x.
Para isso, os contornos devem ser dados explicitamente como func¸a˜o de y.
Exemplo 15.4.
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OBS: Ja´ sabemos que a a´rea entre as curvas y = f(x) e y = g(x) e entre as retas x = a e
y = b e´:
A =
∫ b
a
∣∣∣f(x)− g(x)∣∣∣dx
dessa forma podemos separar (explicitar) em alguns casos:
CASO I: CASO II:
CASO III: CASO IV:
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15.2 Volumes
Nesta sec¸a˜o, ampliaremos as aplicac¸o˜es das integrais definidas e passaremos a determinar
volumes de alguns so´lidos.
Primeiramente vamos definir volumes de so´lidos cujas sec¸o˜es transversais sa˜o regio˜es planas
e sua a´rea e´ obtida fatiando o so´lido com um plano perpendicular ao eixo x (volumes por
fatiamento e rotac¸a˜o em torno de um eixo). Depois usaremos a mesma definic¸a˜o, mas obteremos
a a´rea fatiando o so´lido de outra maneira, vamos usar cilindros circulares de raios crescentes
(volume por cascas cil´ındricas).
So´lido qualquer
ր
* Fatiamento e rotac¸a˜o Me´todo dos Discosց ր
So´lido de Revoluc¸a˜o ց
Me´todo Do Anel (arruelas)
* Cascas Cil´ındricas −→ Me´todo da Casca
15.2.1 Volume por fatiamento
Seja S um so´lido que se estende ao longo do eixo x e e´ limitado a` esquerda e a` direita ,
respectivamente, pelos planos perpendiculares ao eixo x em x = a e x = b.
Queremos calcular o volume V do so´lido supondo que sua sec¸a˜o transversal tenha a´rea A(x)
conhecida em cada ponto x de [a, b].
Figura 7: Uma sec¸a˜o transversal de um so´lido S e´ a regia˜o plana formada pela intersec¸a˜o
entre S e um plano Px perpendicular ao eixo x passando pelo ponto x no intervalo [a, b].
Se admitirmos que a extensa˜o da k-e´sima fatia e´ ∆xk enta˜o o volume da fatia pode ser
calculado por A(x∗k) · ∆xk, onde A(x∗k) e´ a a´rea da sec¸a˜o transversal enquanto ∆xk e´ a sua
altura.
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O volume do so´lido S pode ser aproximado somando o volume de cada uma dessas fatias,
assim:
V ≈
N∑
k=1
A(x∗k)∆xk
Obtemos assim uma soma de Riemann, tomando o limite quando n cresce e as extenso˜es
dos subintervalos tende a 0 (zero), obtemos a integral definida:
V = lim
max ∆xk−→0
N∑
k=1
A(x∗k)∆xk =
∫ b
a
A(x)dx
15.2.2 Fo´rmula para o Volume
Seja S um so´lido limitado por dois planos perpendiculares ao eixo x em x = a e x = b. Se,
para cada x em [a, b] a a´rea transversal de S perpendicular ao eixo x for A(x) enta˜o o volume
do so´lido e´ V =
∫ b
a
A(x)dx desde que A(x) seja integra´vel.
Quando a sec¸a˜o transversal e´ perpendicular ao eixo y o volume e´ dado por: V =
∫ d
c
A(y)dy.
Figura 15.3.
Exemplo 15.5.
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Exemplo 15.6.
Uma cunha curva foi obtida por meio do corte de um cilindro de raio 3 por dois planos. Um
deles e´ perpendicular ao eixo do cilindro. O segundo cruza o primeiro, formando um aˆngulo de
45◦ no centro do cilindro. Determine o volume da cunha.
Resoluc¸~ao:
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15.2.3 So´lidos de Revoluc¸a˜o
Um so´lidos de revoluc¸a˜o e´ um so´lido gerado pela rotac¸a˜o de uma regia˜o plana em torno de
uma reta que esta´ no mesmo plano da regia˜o, a reta e´ o eixo de revoluc¸a˜o.
Exemplo 15.7.
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Observamos que a sec¸a˜o transversal do so´lido de revoluc¸a˜o, perpendicular ao eixo x, no
ponto x e´ um disco de raio f(x). Assim a a´rea desta sessa˜o e´ A(x) = pi[f(x)]2.
Deste modo o volume do so´lido e´:
V =
∫ b
a
pi[f(x)]2 dx
Como a sec¸a˜o transversal tem a forma de disco, esta fo´rmula e´ chamada de Me´todo dos
Discos.
Exemplo 15.8.
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15.2.4 Volume por Arruelas
Se a regia˜o que giramos para gerar um so´lido na˜o atingir ou cruzar o eixo de revoluc¸a˜o, o
so´lido resultante tera´ um orif´ıcio no meio.
As sec¸o˜es transversais perpendiculares ao eixo de revoluc¸a˜o sera˜o aneis (arruelas) e na˜o
discos.
Se o eixo de revoluc¸a˜o e´ perpendicular ao eixo x, as sec¸o˜es transversais, que sa˜o arruelas
teˆm raio externo R(x) e o raio interno r(x), logo sua a´rea e´:
A(x) = pi[R(x)]2 − pi[r(x)]2
= pi{[R(x)]2 − [r(x)]2}
Consequentemente, de acordo com a definic¸a˜o de volume, temos:
V =
∫ b
a
A(x)dx
=
∫ b
a
pi{[R(x)]2 − [r(x)]2}dx
Figura 15.4.
Exemplo 15.9.
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Se a regia˜o girar em torno do eixo y para gerar o so´lido, usamos o mesmo procedimento,
pore´m integramos em relac¸a˜o a y.
Neste caso o eixo de rotac¸a˜o e´ paralelo ao eixo y e as sec¸o˜es transversais sa˜o perpendiculares
a y, e os raios externos e internos sa˜o func¸o˜es de y.
Assim:
V =
∫ d
c
pi{[R(y)]2 − [r(y)]2}dy
Exemplo 15.10. A regia˜o compreendida entre a para´bola y = x2 e a reta y = 2x no 1o
quadrante, gira em torno do eixo y para gerar o so´lido. Determine o volume do so´lido.
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Exemplo 15.11. Calcular o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o no eixo x da regia˜o do
exemplo anterior.
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15.2.5 Eixo de rotac¸a˜o paralelo a um dos eixos coordenados
• Quando a reta de revoluc¸a˜o e´ paralela ao eixo x, o raio do disco sera´: R(x) = f(x)− L,
onde y = L e´ a reta de revoluc¸a˜o
• Quando a reta de revoluc¸a˜o e´ paralela ao eixo y, o raio do disco sera´: R(y) = g(y) − L,
onde x = L e´ a reta de revoluc¸a˜o
Exemplo 15.12. Calcule o volume do so´lido formado gerando a regia˜o limitada por f(x) =
2− x2 e g(x)= 1 em torno da reta y = 1.
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Exemplo 15.13. Calcule o volume do so´lido formado pela revoluc¸a˜o da regia˜o limitada pelos
gra´ficos das func¸o˜es y =
√
x e y = x2 em torno do eixo x.
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15.2.6 Volume por Camadas Cil´ındricas
Seja f cont´ınua na˜o negativa em [a, b], e R a regia˜o limitada acima por y = f(x), abaixo
pelo eixo x e dos lados pelas retas x = a e x = b. Para calcular o volume V do so´lido de
revoluc¸a˜o R, o qual e´ gerado fazendo girar a regia˜o R em tornodo eixo y.
O me´todo das camadas cil´ındricas e´ indicado, principalmente quando o me´todo dos discos
ou das arruelas geram integrais dif´ıceis de calcular.
Figura 15.5.
V = a´rea da sec¸a˜o transversal × altura.
O volume V de uma camada cil´ındrica com
raio interno r1 e raio externo r2 e altura h
pode ser escrito como:
V =
(
pir2
2
− pir2
1
) · h
= pi
(
r2
2
− r2
1
) · h
= pi (r2 + r1) (r2 − r1) · h
= 2pi
[
(r1 + r2)
2
]
︸ ︷︷ ︸ (r2 − r2)︸ ︷︷ ︸espessura
· h
raio me´dio
Figura 15.6.
Assim,
V = 2pi × (raio me´dio)× (espessura)× (altura) (15.1)
A ide´ia e´ dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos e assim, subdividir a regia˜o R em n
faixas, R1, R2, ...,Rn. Quando a regia˜o R girar em torno do eixo y, essas faixas geram so´lidos
S1, S2, ...,Sn com a “forma de tubo”.
Portanto, o volume V do so´lido pode ser obtido somando-se so volumes dos tubos:
V = V (S1) + V (S2) + · · ·+ V (Sn)
Figura 15.7.
Vamos supor que a K-e´sima faixa se estende de xk−1 a` xk e a extensa˜o desta faixa seja
∆xk = xk − xk−1.Seja x∗k o ponto me´dio do intervalo [xk−1, xk], e seja f(x∗k) a altura do
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retaˆngulo sobre esse intervalo, se esse retaˆngulo girar em torno do eixo y teremos uma camada
cil´ındrica de altura f(x∗k), raio me´dio x
∗
k e a espessura ∆xk, e seu volume de acordo com a
equac¸a˜o (15.1) sera´ dado por:
V = 2pi × (raio me´dio)× (altura)× (expessura)
= 2pi × x∗k × f(x∗k)×∆xk
Somando o volume das n camadas, temos a soma de Riemann:
V ≈
n∑
k=1
2pix∗kf(x
∗
k)∆xk
Tomando o limite quando n cresce e ∆xk→0 temos:
V = lim
max ∆xk−→0
n∑
k=1
2pix∗kf(x
∗
k)∆xk
ou seja:
V =
∫
b
a
2pi x f(x) dx
Quando o eixo de revoluc¸a˜o e´ o eixo y
Exemplo 15.14.
Use as camadas cil´ındricas para encontrar o volume do so´lido gerado quando fazemos girar
em torno do eixo y a regia˜o limitada por y =
√
x, x = 1, x = 4 do eixo x.
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Exemplo 15.15.
Calcule o volume do so´lido formado pela revoluc¸a˜o da regia˜o limitada por y = x2+1, y = 0,
x = 0, x = 1 em torno do eixo y.
a) Usando o me´todo das arruelas. .
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b) Usando camadas cil´ındricas. .
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Quando o eixo de revoluc¸a˜o e´ o eixo x
Para determinar o volume de numa so´lido de revoluc¸a˜o pelo me´todo das camadas cil´ındricas
quando o eixo de revoluc¸a˜o e´ o eixo x, temos:
V =
∫
d
c
2pi y g(y) dy
Quando o eixo de revoluc¸a˜o e´ o eixo x
Exemplo 15.16.
Use as camadas cil´ındricas para calcular o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o em torno
do eixo x da regia˜o R delimitada por y = x e y = x2 do 1o quadrante.
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RESUMINDO
VOLUMES
So´lido qualquer
ր
* Fatiamento e rotac¸a˜o Me´todo dos Discosց ր
So´lido de Revoluc¸a˜o ց
Me´todo Do Anel (arruelas)
* Camadas Cil´ındricas −→ Me´todo da Casca
FO´RMULAS:
(1) V =
∫
b
a
pi[R(x)]2 dx (Disco)
(2) V =
∫
b
a
pi([R(x)]2 − [r(x)]2)dx (Arruelas)
(3) V =
∫
b
a
2pixf(x)dx (Camadas)
ou: V =
∫
b
a
2pi × (raio me´dio)× (altura)dx
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