Unidade 2 - Integral Definida

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 Primitivas 
 Fórmulas de Integração 
 Propriedades da Integração 
 Integração por Substituição 
 Integração por Partes 
 Integração por Decomposição de Frações Parciais 
 Integração de Certas Funções Trigonométricas 
 Integração por Substituição trigonométrica 
 Integração de Trinômios Quadrados 
 
 
Cálculo Aplicado II 
 
 
Integral Definida 
2 INTEGRAL DEFINIDA 
2.1 O problema da Área 
 Na figura 15 a seguir temos uma parábola com retângulos circunscritos. O intervalo  0,1 foi dividido 
em n subintervalos iguais: 3 11 1 2 20, , , , , , , ,n n
n n n n n n n
               . Em cada intervalo foi construído um retângulo, 
assim todos os retângulos possuem a mesma base, porem alturas diferenciadas. 
 
 
 
 Observe que o k-ésimo subintervalo é 1 ,k k
n n
   . A altura do k-ésimo subintervalo é  
2
k
n
 e sua área 
é  
2
1 k
n n
 . Uma estimativa da área A pode ser obtida pela adição das áreas dos n retângulos circunscritos, 
isto é 
 
2
1
1
n
k
k
A
n n

 
  
 
 
 
     2 2 2
3 3 3 2
1 1 1
1 2 1 1 2 11 1 1 1
6 6
n n n
k k k
n n n n nk
k k
n n n n n n
  
      
     
   
   
 
Assim 
 
  
2 2
1 2 1 1 1 1
3 26 6
n n
A
nn n
 
    
 
Como os retângulos utilizados na aproximação são circunscritos temos que 
2
1 1 1
3 2 6
A
n n
   
 
 
Figura 3 - Retangulos circunscritos na parábola 
Cálculo Aplicado II 
 Na figura 16 temos a mesma parábola, porem com retângulos inscritos. O intervalo  0,1 foi 
novamente dividido em n subintervalos iguais. A altura do k-ésimo retângulo inscrito é  
2
1k
n
 e sua área é 
 
2
11 k
n n
 . 
 
 
Figura 4 - Retangulos inscritos na parábola 
 
 Uma estimativa da área A é obtida pela soma das áreas dos n retângulos inscritos. 
 
2
1
1 1
n
k
k
A
n n

 
  
 
 
Agora 
   
2 3
2 2
3
11 1 1
1 1 1 1
1 2 1
n n n
k k k
k
k k k
n n n n
  
   
       
   
   
    
3
1 2 1 2 11
6 2
n n n n n
n
n
    
   
 
 
2
2 2
2 3 1 1 1 1
3 26 6
n n
nn n
 
    
 
 Como os retângulos são inscritos, 
2
1 1 1
3 2 6
A
n n
   
 
 Das análises anteriores, para todo inteiro positivo n 
 
2 2
2 2
11 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 3 26 6
n n
k k
k k
A
n n n n n nn n
 
   
          
   
  
 
Integral Definida 
 À medida que n aumenta, ambos 
2
1 1 1
3 2 6n n
  e 
2
1 1 1
3 2 6n n
  se aproximam de 1 3 como limite. 
Como o número A é uma constante (área sob a parábola no intervalo  0,1 ) e 
2 2
1 1 1 1 1 1
;
3 2 3 26 6
 
n nn n
A  
 
 



 podemos afirmar que 1 3A  . 
 
Assim, podemos afirmar que 
 
2
1
1
lim
n
n
k
k
A
n n

 
  
 
 
 
 Tomemos uma função qualquer no intervalo  ,a b . Dividindo este intervalos em n intervalos e 
denotando 0x a e nx b , temos 
 
 
Figura 5 - Retangulos inscritos numa função qualquer 
 
 Chamemos de 1k k kx x x    o comprimento do k-ésimo retângulo e sua altura por  kf x (valor 
mínimo de f no intervalo  1,k kx x . 
Assim a área do k-ésimo retângulo será  k k kA x f x  e a área total no intervalo  ,a b será 
 
 
1
lim
n
k k
n
k
A x f x


  
 
 Não é necessário que todos os intervalos sejam do mesmo comprimento, sendo assim não é 
suficiente que n , devemos exigir que o comprimento do maior dos incrementos kx tenda a zero, 
portanto 
 
 
max 0
1
lim
k
n
k k
x
k
A x f x
 

  
Onde max kx é o comprimento do maior intervalo. 
 
 
Cálculo Aplicado II 
 O limite da equação anterior é simbolizado pela notação de Leibniz 
 
   
max 0
1
lim
k
b n
k k
x
ka
f x dx x f x
 

  
 
2.2 Teorema Fundamental do Calculo 
 Newton-Leibniz ao invés de tratar o problema de uma área fixa eles abordaram o problema de uma 
área variável. 
 
 
Figura 6 - A idéia de Newton-Leibniz 
 
 Através desta abordagem chegamos a Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
Se  f x é continua sobre um intervalo fechado  ,a b e se  F x é qualquer 
antiderivada de  f x , isto é    dF x dx f x , ou, de maneira equivalente, 
   f x d F x 
Então 
     
b
a
f x dx F b F a  
 A integral definida também pode ser representada na for    
b
b
a
a
f x dx F x 
2.3 Propriedades da Integral Definida 
P1.    
b b
a a
kf x dx k f x dx  
P2.        
b b b
a a a
Af x Bg x dx A f x dx B g x dx        
P3.    
b a
a b
f x dx f x dx   
P4.      
b c a
a a c
f x dx f x dx f x dx    para a c b  
P5. Se    f x g x são continuas em todo o intervalo  ,a b então    
b b
a a
f x dx g x dx  
Integral Definida 
P6. Se m e M são os valores mínimo e máximo, respectivamente, de  f x no intervalo  ,a b , então 
   ( )
b
a
m b a f x dx M b a    
P7. Se  f x é continua no intervalo  ,a b , então o valor médio de f em  ,a b é dado por 
 
1
b
a
f x dx
b a  
 
2.4 Aplicações da Integral Definida 
2.4.1 Área entre Curvas 
 Considere a região S (Figura 19) que se encontra entre duas curvas  y f x e  y g x e entre as 
retas x a e x b , onde f e g são funções continuas e    f x g x para todo x em  ,a b . 
 
 
 
Figura 7 - Região S entre duas curvas 
 
 Dividindo a região em n retângulos com bases iguais a x e alturas    f x g x podemos 
aproximar a área da região como 
 
   
1
n
i i i
i
f x g x x

    
 
 
Figura 8 - Retangulos circunscristo para aproximação da área da região S 
 
 Logo podemos obter a área da região entre duas curvas como 
 
   
b
a
A f x g x dx     
 
Cálculo Aplicado II 
Exemplo 29 - Determine a área entre as curvas 23y x  e 1y x  
 
Solução: 
 
A figura a seguir ilustra o esboço das curvas 
 
 
Figura 9 - Área entre as curvas 
23y x  e 1y x  
 
 Os pontos de intercessão entre as curvas é obtido igualando-se as duas equações 
 
 
2
2
2 2
1 2
1 3
2 0
4 1 4 1 2 3
1 3
2
2 1
x x
x x
b ac
x
x e x
  
  
        
 

  
 
A curva limitante superior é 2( ) 3f x x  e a curva limitante inferior é   1g x x  , logo a área será dada 
por 
 
       
11 3 2
2
22
3 1 2
3 2
b
a
x x
A f x g x dx x x dx x

 
         
 
  
   
   
3 23 2 2 21 1 9
2 1 2 2
3 2 3 2 2
A
    
         
    
 
4,5A 
 
 
 Algumas regiões são mais bem tratadas considerando x como uma função de y . Se uma curva é 
definida por curvas com equações  x f y ,  x g x , y c e y d , em que f e g são continuas e 
   f y g y para c y d  , então sua área é 
 
   
d
c
A f y g y dy     
 
Integral Definida 
 
Figura 10 - Área entre curvas com x como função de y 
 
2.4.2 Valor Médio de uma função 
 Seja  f x continua em um intervalo  ,a b . Dividindo o intervalo em n intervalos iguais, com 
comprimento  x b a n   e definindo pontos * * *1 2, , , nx x x pode-se calcular a média dos números 
     * * *1 2, , , nf x f x f x : 
 
           
     
 
* * * * * *
1 2 1 2
* * *
1 2
*
1
1
1
n n
n
n
i
i
f x f x f x f x f x f x
b an
x
f x x f x x f x x
b a
f x x
b a 
     



       
 
 


 
 
Fazendo n implica que 0x  , assim 
 
   *
1
1 1
lim
bn
med i
n
i a
f f x x f x dx
b a b a 
  
 
  
 
 A interpretação geométrica: A área sob a curva no intervalo  ,a b é igual a área do retângulo de 
lados  b a e  *f x 
 
 
 
 
Cálculo Aplicado II 
Exemplo 30 - Encontre o valor médio da função   21f x x  no intervalo  1,2 . Esboce o gráfico da 
função e o retângulo de mesma área da região do gráfico.Solução: 
 
 
 
 
2
3
2
2
1
1
1 1 1
1 2
2 1 3 3
b
med
a
x
f f x dx x dx x
b a 

 
      
    
  
 
 
 
 
 
2.4.3 Cálculo de Volumes: Método do Disco 
 No cálculo de volumes de sólidos consideremos um pano xP que intercepta o sólido formando uma 
secção transversal perpendicular ao eixo X passando x , onde a x b  . Seja  A x a área desta secção 
transversal. A área  A x irá variar enquanto x percorre o intervalo  ,a b . 
 
 
 
Figura 11 - Secção Transversal de um sólido 
 
 Dividindo o sólido em n fatias, de largura x , podemos obter o volume da fatia por  A x x . 
O volume do sólido será o somatório dos volumes de todas as n fatias. 
 
 
Integral Definida 
 
Figura 12 - Camada transversal de um sólido utilizada no cálculo do volume 
 
 
b
a
V A x dx  
 
Exemplo 31 - Use o método dos discos circulares para determinar o volume V do solido S gerado pela 
revolução da região R sob o gráfico da função 3( )f x x , no intervalo  1,2 , em torno do eixo 
x . Esboce o gráfico de f e o sólido. 
 
Solução: 
 
   
2 2 22 3
1 1
2
72
6
1
1
 
 
7
128 1 127
7 7 7
V f x dx x dx
x
x dx
 
 
 
     
 
   
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 32 - Calcule o volume do sólido S gerado pela revolução da região R , pelo eixo y , pela reta 4y  
e pela função 
2y x , para 0x  , em torno do eixo y . Use o método dos discos circulares e 
esboce a função e o sólido. 
Cálculo Aplicado II 
 
Solução: 
 
Resolvendo 2y x para x em termos de y , temos x y . Assim 
 
4
24 4
0 0
0
2 8
2
y
V y dy y dy   
 
      
 
  
 
 
 
 
2.4.4 Cálculo de Volume: Método da Casca 
 Considere a região da figura 25(a). Se esta região é girada em torno do eixo X, então a faixa vertical 
gera um disco e o volume do solido gerado pela rotação pode ser obtido pelo método anterior (Método do 
Disco). Contudo, se a região for girada em torno do eixo Y, como na figura 25b, obtemos um sólido de 
revolução totalmente diferente e a faixa vertical gera uma casca cilíndrica de espessura fina cujo volume 
 dV será dado pela área da superfície interna  2 xy vezes a espessura da parede  x . 
 
2dV xy dx 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 13 - Método da Casca 
 
 Como o raio da casca cresce desde a origem até a extremidade do sólido, podemos observar pela 
figura 25 que a série resultante de cascas concêntricas preenche o sólido de revolução. 
 O volume do sólido de revolução é obtido por 
Integral Definida 
 
 2
b
a
V xf x dx  
 
Exemplo 33 - Seja R a região plana limitada pelas funções 
3
2y x , 1y  , 1x  e 3x  . E seja S o sólido 
gerado pela rotação de R em torno do eixo y . Use o método das cascas cilíndricas para 
determinar o volume V de S . 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
3 33 5
2 2
1 1
3 2 227 7 7
2 2 2
1
2 2 1 2
3 12 2 2
2 2 3 1
7 2 7 2 7 2
54 3 30
2 57,0251
7
b
a
V xf x dx x x dx x x dx
x
V x
V
  
 

   
         
     
          
          
 
  
 
  
 
 
 
 
 
 
2.4.5 Comprimento de Arco 
 Seja uma função constante em um intervalo  ,a b . Dividindo o intervalo em n partes, através dos 
pontos 0 1 2 1 1, , , , , , ,i i n nP P P P P P e P  (com abscissas 0 1 2 1 1, , , , ,i i n nx a x x , x x , x e x b   ) e a 
seguir, unindo estes ponto por retas, obtemos uma poligonal cujo comprimento é próximo ao comprimento 
do arco no intervalo  ,a b (Figura 26). 
 
Cálculo Aplicado II 
 
Figura 14 - Comprimento de Arco 
 
 Seja iP o ponto  ,i ix y onde  i iy f x . O comprimento total da poligonal 0 1 1 2 1i i nP P P P P P P 
é a soma dos comprimentos das cordas que ligam cada ponto ao próximo. Assim, se 
 
1 1, 1,2, ,i i i i i ix x x e y y y i n        
Por Pitágoras temos 
 
   
2 2
i iComprimento da i ésima corda x y     
2
1 i i
i
y
x
x
 
   
 
 
 
 Supondo que  y f x não seja apenas continua, mas também derivável, podemos substituir a 
razão, que está dentro do radical e que é o coeficiente angular da corda que une 1iP e iP , pelo valor da 
derivada em algum ponto *ix entre 1ix  e ix : 
 
 * *1' ,i i i i i
i
y
f x x x x
x


  

 
 Reescrevendo, o  
2
*1 ' i icomprimento da i ésima corda f x x
    
 
, 
Assim, o comprimento total da poligonal é 
 
 
2
*
1
1 '
n
i i
i
f x x

  
  
 
 Aplicando limite, com n obtemos o comprimento da arco 
 
 
 
2
*
max 0
1
2
lim 1 '
1
n
i i
x
i
b
a
L f x x
L f x dx
 

   
 
    


 
 
 
Integral Definida 
Exemplo 34 - Calcule o comprimento do arco da função f definida por  
2
3f x x entre os pontos  8,3 e 
 27,8 . 
 
Solução: 
 
  1 3
2
'
3
f x x 
 
Assim 
 
 
2 3 2 327 27 27 272 2 3
2 3 1 38 8 8 8
4 9 4 9 4
1 ' 1 
9 9 3
x x
L f x dx x dx dx dx
x x
              
 
Fazendo 2 39 4u x  , 1 36du x dx , 40u  quando 8x  e 85u  quando 27x  , temos 
 
85
2 3 3 2 3 2 3 227 85
1 38 40
40
9 4 85 40
 19,6548
18 27 273
x u u
L dx dx
x
  
     
 
  
 
 
 
2.4.6 Área de uma Superfície de Revolução 
 Consideremos uma curva que está acima do eixo x , como na Figura 27. Quando esta curva é girada 
ao redor do eixo x , ela gera uma superfície de revolução. 
 
 
 
Figura 15 - Superfície de revolução 
 
 
 O objetivo é determinar a área da superfície gerada pela rotação desta curva. 
 Seja um cone de raio r e geratriz l (Figura 28). Se cortarmos o cone do vértice até a base, ao longo 
da geratriz, obtemos um setor circular de raio l , cujo arco possui um comprimento 2 r a área A lateral do 
cone é igual à área desse setor. 
 
Cálculo Aplicado II 
 
Figura 16 - Área lateral do cone 
 
 É geometricamente claro que a razão da área do setor pela área total do circulo é igual à razão do 
comprimento do arco pelo comprimento total da circunferência, isto é, 
 
2
2
, logo
2
A r
A rl
ll



  
 
 No caso de um tronco de cone com geratriz l e raios superior e inferior 1r e 2r , respectivamente, a 
área de sua superfície é obtida pela diferença entre as áreas dos dois cones (Figura 29). 
 
   2 1 2 1 2 1 1 2A r l l r l r r l r l           
 
 Por semelhança de triângulos temos 
 
 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1
1 2
l l l
r l r l r l r r l r l
r r

       
 
 Substituindo na expressão da área temos 
 
  1 21 2 2
2
r r
A r l r l l 
 
    
 
 
 
ou 
 
2A rl 
Onde 1 2
2
r r
r

 é o raio médio do tronco de cone. 
 
 
Figura 17 - Área da superfície de um tronco de cone 
 
 
Integral Definida 
 Considere agora o problema da determinação da área A da superfície gerada pela rotação de uma 
função  y f x qualquer entre as retas x a e x b (Figura 30). 
 Seja ds o comprimento de arco infinitesimal da porção do gráfico de f acima do intervalo de 
comprimento infinitesimal dx como mostrado na figura 30 a, e seja x a coordenada do centro deste 
intervalo. Quando o comprimento de arco infinitesimal ds é girado em torno do eixo x , gera um tronco de 
cone infinitesimal de geratriz ds cuja seção média tem raio  f x (Figura 30 b). A área da superfície deste 
tronco de cone infinitesimal é  2dA f x ds . Suponha que a função f tem uma derivada de primeira 
ordem continua, de modo que  
2
1 'ds f x dx     ; logo,    
2
2 1 'dA f x f x dx     . A área da 
superfície A pode agora ser obtida pela integração de dA : 
 
   
2
2 1 ' 
b
a
A f x f x dx     
 
 
Figura 18 - Superficie gerada pela rotação de ( )f x em torno do eixo x 
 
 Se a superfície for gerada pela rotação da função em torno do eixo y entre as retas y c e y d a 
área A é obtida por 
 
   2
2 1 ' 
d
c
A g y g y dy     
 
Exemplo 35 - Calcule a área da superfície obtida pela revolução da curva y x entre 1x  e 4x  em 
torno do eixo x . Esboce a curva e a superfície. 
 
Solução: 
 
A curva, parte de uma parábola, e o paraboloide de revolução são mostrados na figura. 
 
 
 
 
1
'
2
f x
x
 
Cálculo Aplicado II 
Assim 
 
   
2
42
1
4 4
1 1
1
2 1 ' 2 1 
2
1 1
2 1 2 
4 4
b
a
A f x f x dx x dx
x
x dx x dx
x
 
 
 
        
 
   
 
 
 
 
Fazendo 
1
4
u x  , du dx temos 
 
17
174 434 2
51 54
4
3 3
2 2
1 2
2 2 2
4 3
4 17 5
30,8465
3 4 4
A x dx u du u  

 
     
 
 
         
    
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 36 - Calcule a área da superfície obtida pela revolução da curva x y , entre 0y  e 4y  , em 
torno do eixo y . Esboce a curva e a superfície. 
 
 
Solução: 
 
A curva, parte de uma parábola, e o paraboloide de revolução são mostrados na figura. 
 
 
 
 
1
'
2
g x
y
 
 
Assim 
 
Integral Definida 
   
2
42
0
4 4
0 0
4
3 3 3
2 2 2
0
1
2 1 ' 2 1 
2
1 1
2 1 2 
4 4
2 1 4 17 1
2
3 4 3 4 4
36,1769
d
c
A g y g y dx y dx
y
y dx y dx
y
y
 
 


 
          
 
   
   
                 
        
   

 
  
 
 
2.5 Exercícios 
Calcule as integrais a seguir 
 
1. 
1
4
0
 x dx 
2. 
1
0
 xe dx 
3. 2
0
sen x dx

 
4. 
1
2
0 1
dx
x 
5. 
2
20 1
dx
x
 
6. 3
0
tg x dx

 
7. 
1
e dx
x 
8. 
0
sen 
x
x dx 
9. 
3
2 
x
a
x dx 
10. 
2
1 2 1
dx
x  
11. 22
0
cos x dx

 
12. 22
0
sen x dx

 
13.  
1
2
0
2 3x x dx 
14.  
1
2
0
5 x x dx 
15. 
1
1
1x dx

 
16. 
1000
1
dx
x 
17. 
1
0
1x
 dx
x

 
18. 
 
2 2
2
3
1 2
t dx
t 
 
19. 
5
2
2
9 5x x dx 
20.   
3
2
2
1 1x x x dx   
21. 
3
1
4
1
dx
x
 
22. 
2
4 2
1
lnx x dx 
23. 
1
2
0
y
y
 dy
e
 
24. 
9
4
ln y
 dy
y
 
25. 
2 2
3
1
ln x
 dx
x
 
26. 
1 3
2
0 4
x
 dx
x
 
27. 
3
3
1
lnx x dx 
28. 
1
2
0
2
2 3 1
dx
x x 
 
29. 
1
2
0
4
5 6
x
 dx
x x

 
 
30. 
4 3 2
3 2
3
2 4
2
x x
 dx
x x
 

 
31. 
1 3
4 2
0
2
4 3
x x
 dx
x x

 
 
32. 
1 3
2
0
4 10
6
x x
 dx
x x
 
 
 
 
 
Apêndice A 
Calcular as integrais a seguir utilizando a substituição indicada 
 
33. 22
0
sen cos , cosx x dx x t

 
34. 
0
 , tg
3 2cos
dx
x t
x


 
35. 
4
1
 , 2 4
2 4
x
dx x t
x
 

 
36. 
 
1
2
21
 , tg
1
dx
x t
x


 
37. 
5
2
1
1
 , 1
x
dx x t
x

  
38. 2
2
0
cos
 , sen
6 5sen sen
x
dx x t
x x


  
 
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região 
 
39. 3,y x y x  
40. , 2y x y x  
41. 1, 3 1 0y x x y     
42. 4 2 2, 1y x x y x    
43. 2 2, 2 5, 0, 6y x y x x x      
44. 2 2, 0x y x y    
45. 2 3, , 1, 1y x y x x x      
46. 4 , 1, 2, 0y x y x x x       
47. 2 , 5, 1, 2y x y x y y      
48. 2 20, 1, 0, 3x y x y y y      
49. 2 4 , 2y x x y x   
50. 2 2 0, 2 0x x y x y      
51. 24 , 2, 3, 0y x y x x x       
52. 2 2 2, 4, 3, 2y x x y x x x        
53. 3 2 24 3 ,y x x x y x x     
54. , sen , 4, 2y x y x x x      
55. sen , cos2 , 0, 4y x y x x x     
56.  
2
, 1 7, 4y x y x x      
57. 21 , 3, 0y x y x x     
58. 3 , 0, 7 3 24x y x y x y     
59. 2 31 ,y x x y x x    
60. 21 , 1 , 1, 2y x y x x x    
61.  2 2, 2 1y x y x   
62. 2 , 5 , 1, 1x xy y x x     
63. 3, , 1x xy e y e x   
64. , , 2, 1x xy e y e x x     
 
 
Encontre o valor médio da função no intervalo dado 
 
65.  ( ) 1 2 , 0,3f x x  
66.  2( ) 2 5, 2,2f x x x    
67.  3( ) , 1,3f x x x  
68.  2( ) 2 , 0,3f x x x  
 
69.  ( ) sen , 0,f x x  
70.  4( ) , 1,1f x x  
71.  2( ) sen cos , 2, 4f x x x    
72.  ( ) , 1,4f x x 
Encontre o valor médio de f no intervalo dado. Encontre c tal que ( )medf f c . Esboce o gráfico de f e 
um retângulo cuja área é a mesma que a área sob o gráfico de f 
 
73.  2( ) 4 , 0,2f x x  
74.  ( ) , 0,2xf x e 
75.    2 , 0,3f x x 
76.    3, 1,2f x x  
77.    24 , 0,3f x x x  
 
Integral Definida 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas 
especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos. 
 
78. 2 3, 4, 0; em torno do eixo xy x x y   
79. 1, 0, 0; em torno do eixo xx y x y    
80. 2 , 4, 0, 2; em torno do eixo yy x y x x    
81. 2 21, 3 ; em torno do eixo xy x y x    
82. 22 , 0, 0, 1; em torno do eixo yy x x y x x     
 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x 
 
83. 2 1, 0, 0, 2y x y x x     
84. 1 , 0, 1, 3y x y x x     
85. , 0, 0, 1xy e y x x    
86. 1 1, 0, 0, 1y x y x x     
87. sec , 1, 1, 1y x y x x     
88. cos , sen , 0, 4y x y x x x     
89. 2 , 0, 3, 0y x y x x      
 
 Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas 
curvas dadas em torno do eixo y 
 
90. 2 26 10, 6 6y x x y x x       
91. 2 , 2y x x y  
92. 2 , 4, 0y x y x   
93. 2 3, 0y x x y  
94. 24 , 0, 0, 4y x y x x     
95. 2 4 3, 0y x x y     
96. 2, 2y x y x    
 
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região 
delimitada pelas curvas em torno do eixo x 
 
97. 4 , 0, 16x y x y   
98. 2 , 0, 2, 5x y x y y    
99. , 0, 2y x x x y    
100. 2 , 9y x y  
101. 2 6 0, 0y y x x    
102. , 0, 2y x y x y    
 
 
 
A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido 
resultante por qualquer método 
 
103. 2 2, 0; em torno do eixo xy x x y    
104. 2 3 2, 0; em torno do eixo yy x x y    
 
Encontre o comprimento do arco da curva do ponto A até o ponto B . 
 
105.    2 31 ; 1,0 , 8, 3y x A B   
106.      
329 3 ; 0,0 , 2,1y x x A B  
107.      
32 1 ; 1,0 , 2,1y x A B  
108.    4 7 6712 2412 4 3; ,1 , ,2xy y A B  
Determine o comprimento da curva 
 
109.  
3 2
21 2 ; 0 1
3
y x x    
110. 
4
2
1
; 1 3
4 8
x
y x
x
    
111.  ln sen ; 6 3y x x    
112.  2ln 1 ; 0 1 2y x x    
113.  ln cos ; 0 4y x x    
 
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x 
 
114. 2 4; 0 2y x x    
115. 3
1
; 1 2
12
y x x
x
    
116. 
4
2
1
; 1 3
2 16
y
x y
y
    
117. 2 4 4; 0 8y x x    
118. 
2 ln
; 1 4
4 2
x x
y x    
119. sen ; 0y x x    
120. 2 32 3 ; 1 8y x x   
 
A curva dad é gerada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante. 
 
121. 21 ; 0 1y x x    
122. 2 1
2
; 0yx e y   
123. 22 ; 0 1x y y y    
124.  2
1
ln ; 1 2
2 2
x y y y   