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Estado Plano de Tensões

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Capítulo 7
Transformações de Tensão e Deformação
O Círculo de Mohr
Grupo 9:
André P. Santos RA:070166
Edward O. Schaden RA:060316
Pedro G. Rubira RA:073592
Túlio J. Silva RA:072544
Transformação do Estado 
Plano de Tensão
Para fins de análise das forças e tensões de cisalhamento 
adota-se o eixo z como o eixo perpendicular a estes 
(σz=τxz=τzy=0), assim o plano de tensão Q fica definido a partir 
de σx, σy, τxy. 
Pode-se rotacionar o sistema no eixo Z um ângulo θ, definindo o 
plano de tensão Q a partir de σx', σy', τx'y'. 
Transformação do Estado 
Plano de Tensão
Através da analise do sistema rotacionado pod-se obster as 
tenões msotradas na figura abaixo. 
Transformação do Estado 
Dedução das equações de σx', σy', τx'y'
A partir dos valoros das forças em cada eixo podem-se deduzir as 
equações para os coeficientes que caracterizam o plano de tensão.
Resolvendo a primeira equação para σx' e a segunda para τx'y.
Transformação do Estado 
Dedução das equações de σx', σy', τx'y'
Através de utilização de relaçoes trigonométricas podemos reescrever as 
equações como:
Substituíndo-se θ por θ + 90º na primeira equação obtêm-se a equação 
para σy':
Somando as equações para σx' e σy' termo a termo obtêm-se a equação:
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE 
CISALHAMENTO MÁXIMA
Com intuito de representar os valores de tensão normal e tensão de 
cisalhamento normal em um sistema de eixos cartesiano obtemos a seguinte 
expressão: 
Definindo as variáveis :
Podemos representar essa equação por meio de circunferência
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE 
CISALHAMENTO MÁXIMA
Ponto A: Tensão Normal Máxima
Ponto B: Tensão Normal Mínima
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE 
CISALHAMENTO MÁXIMA
Para os pontos de Tensão Máxima Temos:
Assim obtemos o seguinte parâmetro
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE 
CISALHAMENTO MÁXIMA
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE 
CISALHAMENTO MÁXIMA
A equação define 2 valores 2θp defasados 180 graus portanto θp graus 
defasados
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE 
CISALHAMENTO MÁXIMA
Círculo de Mohr para estado plano tensão
σx, σy e Txy X(σx, -Txy) Y(σy, +Txy) 
Ponto C é a intersecção da reta XY com o eixo σ.
A e B: pontos onde o círculo intercepta o eixo σ.
Método gráfico simples para resolver exercícios de estado plano tensão
Mesmo círculo pode ser obtido para componentes σx', σy' e Txy'
Mesmo esquema para pontos X' e Y'.
Novamente, mesmo sentido de rotação para o círculo e para os planos de tensão
Tensão de cisalhamento máxima para θ = 45°
Se T (tensão de cisalhamento) de uma face tenta girar objeto no sentido horário
O ponto X ou Y correspondente a essa fase está acima do eixo σ.
e vice versa.
Convenção para σ tensões normais:
Tração → positiva
Compressão → negativa
Exemplo: Construção do 
Círculo de Mohr
A tensão normal que atua no eixo x é positiva e a 
tensão de cisalhamento tende a girar o elemento 
no sentido anti-horário.
Figura 1: Corpo 
em estudo
(a) Construção do círculo de Mohr
O ponto X será representado à direita do eixo
vertical e abaixo do eixo horizontal. De forma
análoga, o ponto Y que representa a face oposta
deverá ser representado a 180° de X.
Traçando a linha XY, obtemos o centro C do círculo
de Mohr; sua abscissa é
σmédio = (σx + σy) / 2 = ( 50 + (-10) ) / 2 = 20 MPa
Como os lados do triângulo CFX são:
CF = 50 – 20 = 30 MPa e FX = 40 MPa
O raio do círculo é R = CX = sqrt(30^2+40^2) = 50 
MPa Figura 2: Diagrama
do círculo
(b) Planos principais e tensões principais
As tensões principais são:
σmáx = OA = OC + OA = 20 + 50 = 70 MPa
σmín = OB = OC – BC = 20 – 50 = -30 MPa
Como o ângulo ACX representa 2θp, escrevemos:
tg(2θp) = FX / CF = 40 / 30
2θp = 53,1° (ângulo no circulo) 
Θp = 26,6° (ângulo do objeto)
Figura 
2:Diagrama
do círculo
(c) Tensão de cisalhamento máxima
Com mais uma rotação de 90° no sentido anti-horário faz CA coincidir
com CD na Figura 4, uma rotação adicional de 45° no sentido anti-horário fará
o eixo Oa coincidir com o eixo Od correspondendo à tensão de cisalhamento
máxima na Figura 3.
Nota-se na Figura 4 que Tmáx = R = 50 MPa e que a tensão normal
correspondente é σ' = σméd = 20 MPa. Como o ponto D está localizado acima
do eixo σ na Figura 4, as tensões de cisalhamento que atuam nas faces
perpendiculares a Od na Figura 3 devem ser direcionadas de modo que tenham
a tendência de rodar o elemento no sentido horário.
Figura 3 Figura 4
FIM