Trabalho Planos e Cônicas CVGA

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Prof. Haroldo Giusti
Cálculo Vetorial Geométrica Analítica
Engenharia Mecânica
Fabiano Gonzaga
Mat.201509181466
Planos e Cônicos
Superfícies de Revolução
Sejam g e e duas retas concorrentes que se interseptam num ponto v. Se e e v se mantiverem fixos, a reta g, por rotação em torno de e, gera uma superfície cônica de revolução. O ponto v é o vértice da superfície, g a geratriz e e o eixo.e as retas e e g forem paralelas e e fixa, a reta g, por rotação em torno de e, gera uma superfície cilíndrica de revolução de que e é o eixo e g a geratriz.
	
Linhas Cônicas
O gráfico em duas dimensões de uma equação do 2º grau em x e y: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, é uma seção cônica.
Classificação de Cônicas
Elipse
Sejam F1 e F2 dois pontos determinados do plano XY à distância 2c. O conjunto dos pontos desse plano cuja soma das distâncias a F1 e F2 é igual a 2a, com a ( c chama-se elipse. F1 e F2 dizem-se os focos da elipse.
Equação reduzida:
�
�
Hipérbole
Sejam F1 e F2 dois pontos determinados do plano XY à distância 2c. O conjunto dos pontos desse plano cujo módulo da diferença das distâncias a F1 e F2 é igual a 2a, com a(c chama-se hipérbole. F1 e F2 dizem-se os focos da hipérbole.
Equação reduzida:
�
Parábola
Seja d uma reta do plano XY e F um ponto desse plano não pertencente a d. O conjunto dos pontos P do plano equidistantes de d e de F chama-se parábola. F diz-se o foco da parábola e d a diretriz.
Equação reduzida:
 
� p = distância do foco à diretriz 
Superfícies Quádricas
O gráfico a três dimensões de uma equação de 2º grau em x, y e z: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0, é chamado de superfície quádrica.
Quádricas Degeneradas
Nenhum ponto: 
�;
Um único ponto: 
;
Uma reta: 
Um plano: 
;
Dois planos: 
;
As equações mostradas abaixo aplicam-se apenas às superfícies quádricas nas posições mostradas. Quando as superfícies sofrem uma rotação ou translação daquelas posições as equações mudam. Supomos a, b e c constantes positivas.
Classificação das quádricas
Elipsóide
�
Centrado na origem;
Pontos de intersecção com os eixos coordenados:
, 
, 
;
Seções paralelas ao plano XY: elipses;
Seções paralelas ao plano XZ: elipses;
Seções paralelas ao plano YZ: elipses;
a, b, c ( semieixos do elipsóide.
Se dois dos semieixos são iguais obtemos um elipsóide de revolução.
Se todos os semieixos são iguais obtemos uma esfera.
Hiperbolóide de uma folha
�
centrado na origem;
pontos de intersecção com os eixos coordenados:
 
, 
;
seções paralelas ao plano XY: elipses;
seções paralelas ao plano XZ: hipérboles;
seções paralelas ao plano YZ: hipérboles;
Se a = b obtemos um hiperbolóide de revolução.
Hiperbolóide de duas folhas
�
Centrado na origem;
Pontos de intersecção com os eixos coordenados:
 
;
Seções paralelas ao plano XY: elipses;
Seções paralelas ao plano XZ: hipérboles;
Seções paralelas ao plano YZ: hipérboles;
Se a = b obtemos um hiperbolóide de revolução.
Cone elíptico
�
Pontos de intersecção com os eixos coordenados:
 
;
Seções paralelas ao plano XY: z =0 (0,0,0), caso contrário elipses;
Seções paralelas ao plano XZ: y =0, duas retas concorrentes
caso contrário hipérboles;
Seções paralelas ao plano YZ: x =0, duas retas concorrentes caso contrário hipérboles;
Se a = b obtemos um cone de revolução.
Parabolóide elíptico
�
Seções paralelas ao plano XY: elipses;
Seções paralelas ao plano XZ: parábolas;
Seções paralelas ao plano YZ: parábolas,
 (0,0,0)( vértice.
Se a = b temos um parabolóide de revolução.
Parabolóide hiperbólico
�
Seções paralelas ao plano XY: z = 0, duas linhas concorrentes na origem
caso contrário hipérboles;
Seções paralelas ao plano XZ: parábolas;
Seções paralelas ao plano YZ: parábolas;
 (0,0,0)( ponto de sela ou de minimax da superfície.
As hipérboles acima de XY abrem na direção de y e abaixo de XY abrem na direção de x.
Cilindros
Pegua-se numa curva plana C. Todas as linhas que passam por C e são perpendiculares ao plano de C formam uma superfície (cilindro). As linhas perpendiculares são chamadas geratrizes do cilindro.
Se a linha curva se encontra no plano XY (ou num plano paralelo ao plano XY) então as geratrizes do cilindro são paralelas ao eixo de Z e a equação do cilindro só envolve x e y.
Cilindro parabólico
�
Cilindro elíptico
�
Se a=b obtemos um cilindro de revolução.
Cilindro hiperbólico
�
A Equação Geral do Plano 
A equação geral do plano 
Suponha que tenhamos um plano no espaço, de vetor normal e passando pelo ponto . A figura abaixo mostra este plano em amarelo e o vetor N . 
É claro que se um ponto do espaço está neste plano, então o vetor deve ser perpendicular a N . Sendo assim, podemos descrever como sendo o conjunto de pontos P do espaço que resolvem a equação vetorial 
A figura abaixo mostra o plano em amarelo, o vetor N em azul e um vetor em preto, com P em . 
Escrevendo os vetores em coordenadas, temos 
Portanto, a equação vetorial N . corresponde à equação cartesiana 
Daí, tomando , obtemos a assim chamada equação geral do plano : 
A equação do plano determinado por 3 pontos não-colineares 
Com as idéias desenvolvidas na primeira seção, podemos determinar a equação de um plano que passa por 3 pontos não-colineares no espaço. A única informação que precisamos obter são as coordenadas de um vetor normal ao plano determinado por estes 3 pontos. 
Suponha que tenhamos 3 pontos e no espaço. Podemos, então, formar os vetores e , que são mostrados na figura abaixo ( em preto e em vermelho). 
Note que estes vetores devem ser paralelos ao plano determinado por A , B e C , tal como mostramos na figura abaixo. 
Sendo assim, o vetor normal N do plano deve ser perpendicular a ambos AB e AC . Podemos, então, tomar N=AB x AC . Como A , B e C não são colineares, este produto vetorial é não nulo. A figura abaixo mostra N em azul. 
Observe que este vetor é normal ao plano procurado, tal como mostramos na figura abaixo. 
Como já temos o normal N , podemos escolher um ponto pelo qual o plano passe dentre qualquer um dos 3 pontos dados. Tomando o ponto A , por exemplo, a equação do plano que passa pelos pontos A , B e C será 
A equação do plano determinado por um ponto e uma reta 
Suponha que temos uma reta r e um ponto fora dela tal como na figura abaixo. 
Como podemos obter a equação do plano que é determinado por este ponto e por esta reta? Se formos nos basear na equação geral que deduzimos para um plano, novamente o problema consiste em obter um vetor normal para este plano. 
Para isso, primeiramente formamos um vetor partindo de um ponto qualquer da reta até o ponto tal como na figura abaixo. 
Formando o produto vetorial entre este vetor e o vetor diretor da reta (exibido em vermelho na figura abaixo), obtemos um vetor perpendicular a ambos. Este vetor será o vetor normal N (em verde) do plano procurado. 
Como o nosso plano deve passar pelo ponto , concluímos que sua equação será 
Abaixo, exibimos o plano passando pela reta r e pelo ponto . 
e�
g
g
e
v