VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA - UNIDADE 4

Prévia do material em texto

EA
D
Retas e Planos
4
1. ObjetivOs
•	 Identificar	as	equações	vetorial,	paramétrica	e	simétrica	
da	reta,	e	aplicá-las	na	resolução	de	exercícios.
•	 Identificar	 as	 equações	 geral,	 vetorial	 e	 paramétrica	 do	
plano,	e	aplicá-las	na	resolução	de	exercícios.
•	 Identificar	as	posições	relativas	de	retas	e	de	planos.
•	 Calcular	as	distâncias	entre:	ponto	e	reta,	ponto	e	plano,	
reta	e	reta.
2. COnteúdOs
•	 Equações	da	reta	e	do	plano.
•	 Interseção	de	retas	e	planos.
•	 Posições	relativas	de	retas	e	planos.
•	 Distâncias	entre	ponto	e	reta,	ponto	e	plano,	reta	e	reta.
© Vetores e Geometria Analítica102
•	 Aplicações	práticas	no	cálculo	de	distâncias,	ângulos,	áre-
as,	volumes	etc.
3. OrientaçãO para O estudO da unidade 
Antes	de	 iniciar	o	estudo	desta	unidade,	é	 importante	que	
você	leia	as	orientações	a	seguir:
1)	 Acompanhe	o	Esquema	de	Conceitos-chave	para	o	estu-
do	de	todas	as	unidades	deste	CRC.	Isso	poderá	facilitar	
sua	aprendizagem	e	seu	desempenho.
2)	 Lembre-se	de	que	a	construção	da	Matemática	que	co-
nhecemos	 e	 utilizamos	 hoje	 se	 iniciou	 há	milhares	 de	
anos	 e	 evoluiu	 graças	 ao	 empenho	 e	 brilhantismo	 de	
muitos	filósofos,	matemáticos,	astrônomos	e	outros	tan-
tos	pesquisadores.	Pesquise	em	livros	didáticos	de	Ma-
temática	para	o	Ensino	Médio,	ou	na	internet,	a	forma	
como	esse	 conteúdo	é	abordado	e	 como	 são	 feitas	 as	
atividades	 propostas.	 Essa	 análise	 pode	 ajudá-lo	 a	 en-
tender	com	maior	clareza	os	conceitos	aqui	apresenta-
dos,	a	sua	relação	direta	com	o	ensino	da	Matemática,	
bem	como	a	 importância	dos	vetores,	 já	estudados	na	
Unidade	2,	na	representação	de	situações	geométricas	
e	nos	cálculos	algébricos	necessários.	Se	encontrar	algo	
interessante,	disponibilize	tal	 informação	para	seus	co-
legas	na	Lista.	Lembre-se	de	que	você	é	protagonista	do	
processo	educativo.
4. intrOduçãO À unidade
Nas	unidades	anteriores,	aprendemos	que	é	possível	asso-
ciar	a	Geometria	à	Álgebra,	com	a	finalidade	de	representar,	iden-
tificar	e	medir	objetos	no	espaço.	Aprendemos	a	descrever	alge-
bricamente	o	elemento	unitário	do	espaço:	o	ponto.
Além	disso,	vimos	que	o	conceito	de	vetor	possibilita	repre-
sentar	grandezas	que	necessitem	de	mais	de	um	valor	para	serem	
completamente	caracterizadas.	Inúmeros	problemas	práticos	po-
Claretiano - Centro Universitário
103© U4 – Retas e Planos
dem	ser	representados	e	resolvidos	por	meio	do	uso	dos	vetores	
e	suas	operações.
Nesta	unidade,	observaremos	várias	formas	de	representa-
ção	algébrica	de	outros	entes	geométricos,	como	a	reta	e	o	plano.	
Relacionaremos	as	posições	das	retas	e	dos	planos,	medindo	ân-
gulos	e	distâncias.	Para	tanto,	será	necessário	utilizar	os	produtos	
escalar,	vetorial	e	misto	vistos	na	Unidade	2.
Assim	como	foi	feito	nas	demais	unidades	deste	Caderno de 
Referência de Conteúdo,	o	estudo	de	retas	e	planos	desta	unida-
de	desenvolve	habilidades	como	o	raciocínio	geométrico	e	a	visão	
espacial.	É	 imprescindível,	no	entanto,	que	você	dedique	 tempo	
para	a	resolução	de	exercícios	e	problemas.	Os	exemplos	apresen-
tados	são	baseados	nos	exercícios	do	livro	de	WINTERLE,	P.	Vetores 
e geometria analítica.	São	Paulo:	Makron	Books,	2000.	A	 leitura	
de	 livros	didáticos	de	Matemática	voltados	para	o	Ensino	Médio	
pode	facilitar	o	entendimento	de	certos	conceitos	elementares	da	
Geometria	Plana.
5. a reta
Estudaremos	agora	a	representação	de	retas	no	espaço	utili-
zando	ponto	e	vetor.	Essa	nova	forma	de	conceber	as	retas	é	mais	
geral	e,	por	isso,	permite	um	estudo	mais	detalhado	de	suas	pro-
priedades.
As	três	equações	de	reta	apresentadas	a	seguir	partem	de	
um	mesmo	conceito	inicial,	logo,	cada	uma	delas	pode	ser	dedu-
zida	a	partir	de	outra.
equação vetorial da reta
Considere	 um	 ponto	 ( )1 1 1, ,A x y z 	 e	 um	 vetor	 não	 nulo	
( ), ,v a b c= .	 Sabemos	 que	 só	 existe	 uma	 reta	 que	 passa	 pelo	
ponto	A	e	que	tem	a	mesma	direção	de	
v .	Então,	se	tomarmos	
um	ponto	 ( ), ,P x y z 	dessa	reta,	o	vetor	

AP 	será	paralelo	a	
v .	
© Vetores e Geometria Analítica104
Isso	significa	que:	 =

AP tv .
Conhecendo	as	coordenadas	de	A	e	P,	escrevemos	 − =
P A tv 	
ou	 = + P A tv ,	que	chamamos	de	equação vetorial da reta.
O	vetor	
v 	é	chamado	vetor diretor,	e	t	é	chamado	parâmetro.
Se	 substituirmos	 os	 pontos	 A	 e	 P	 por	 suas	 coordenadas,	
obtemos	 ( ) ( ) ( )1 1 1, , , , , ,x y z x y z t a b c= + ⋅ .
Confira	a	Figura	1	para	visualizar	melhor	os	elementos	que	
formam	a	equação.
Figura	1	Reta determinada pelo ponto A e pelo vetor 
v .
Exemplo 1
Escreva	a	equação	vetorial	da	 reta	 r	que	passa	pelo	ponto	
( )2, 1, 3A = − 	e	tem	a	mesma	direção	do	vetor	 ( )2, 4, 1v =

.
A	equação	vetorial	da	reta	r	é	( ) ( ) ( ), , 2, 1, 3 2, 4, 1x y z t= − + ⋅ ,		
em	que	x,	y	e	z	são	as	coordenadas	de	um	ponto	qualquer	da	reta	r.
Para	obtermos	pontos	da	 reta	 r,	 basta	 substituirmos	 t	 por	
números	reais	quaisquer.	Por	exemplo:
•	 0t = :	 ( ) ( ) ( ) ( ), , 2, 1, 3 0 2, 4, 1 2, 1, 3x y z A= − + ⋅ = − = .
•	 1t = :	 ( ) ( ) ( ) ( )1 , , 2, 1, 3 1 2, 4, 1 4, 3, 4P x y z= = − + ⋅ = .
Dispondo	esses	pontos	no	sistema	de	coordenadas	cartesia-
nas,	é	possível	esboçar	a	reta	r,	como	na	Figura	2.
Claretiano - Centro Universitário
105© U4 – Retas e Planos
Figura	2	Reta r obtida pelo ponto ( )2, 1, 3A = − e o vetor ( )2, 4, 1v = .
equações paramétricas da reta
Considere	 a	 equação	 vetorial	 da	 reta	
( ) ( ) ( )1 1 1, , , , , ,x y z x y z t a b c= + ⋅ .	Se	somarmos	as	coordenadas	
do	ponto	A	com	as	coordenadas	de	 v

,	encontramos	a	igualdade	
( ) ( )1 1 1, , , ,x y z x at y bt z ct= + + + .
A	 partir	 dessa	 igualdade	 podemos	 escrever	 as	 equações 
paramétricas da reta:
1
1
1
= +
 = +
 = +
x x at
y y bt
z z ct
Exemplo
Se	considerarmos	a	reta r	que	passa	pelo	ponto	 ( )2, 1, 3A = − 	
e	tem	a	mesma	direção	do	vetor	 ( )2, 4, 1v = 	do	exemplo	anterior,	
as	equações	paramétricas	de	r	serão:
2 2
1 4
3
= +
 = − +
 = +
x t
y t
z t
© Vetores e Geometria Analítica106
equações simétricas da reta
Para	determinar	a	equação	 simétrica	da	 reta,	 tomamos	as	
equações	paramétricas	e	isolamos	o	valor	do	parâmetro	t	em	cada	
uma	delas.	Observe:
1= +x x at 	 1= +y y bt 	 1= +z z ct
Supondo	 , , 0a b c ≠ ,	escrevemos:
1−=
x xt
a
	 1
−
=
y yt
b
	 1
−
=
z zt
c
Logo,	temos:	 1 1 1
− − −
= =
x x y y z z
a b c
Conhecendo	as	principais	formas	de	representação	das	retas	
em	 3 ,	é	possível	identificar	as	posições	dessas	retas	no	sistema	
cartesiano.	Isso	é	o	que	veremos	a	seguir.	
retas paralelas aos planos coordenados
Se	o	vetor	diretor	
v 	de	uma	reta	for	paralelo	a	um	dos	pla-
nos	coordenados,	então	a	reta	também	será	paralela	a	esse	plano.	
Algebricamente,	isso	significa	que	uma	das	componentes	do	vetor	
é	nula.
Exemplo
Observe	os	vetores	
u ,	
v 	e	
w 	na	Figura	3.	Cada	um	deles	é	
paralelo	a	um	dos	planos	coordenados;	por	isso,	possuem	repre-
sentantes	contidos	nos	respectivos	planos.
•	 u xOy

 	indica	que	a	coordenada	z	é	nula:	 ( )2, 3, 0u = .
•	 v xOz  	indica	que	a	coordenada	y	é	nula:	 ( )2, 0, 4v = .
•	 w yOz

 	indica	que	a	coordenada	x	é	nula:	 ( )0, 4, 2w =

.	
Claretiano - Centro Universitário
107© U4 – Retas e Planos
Figura	3	Vetores paralelos aos planos coordenados.
Considere	 o	 ponto	 ( )1, 3, 4A = .	 Agora,	 vamos	 determinar	
três	retas,	r,	s	e	m,	cada	uma	definida	pelo	ponto	A	e	por	um	dos	
vetores	diretores	 u ,	
v 	e	
w .
As	equações	paramétricas	da	reta	r,	cujo	vetor	diretor	é	
u ,	
são:
1 2
: 3 3
4
= +
 = +
 =
x t
r y t
z
Note	que	o	valor	de	z	é	constante:	 4z = .	Isso	porque	o	ve-
tor	diretor	de	r	é	paralelo	ao	plano	coordenado	xOy.	Consequent-
emente,	r	é	paralela	ao	plano	xOy	e	tem	"altura"	4	(Figura	4).
Figura	4	Reta r paralela ao plano xOy.
© Vetores e Geometria Analítica108
As	 equações	 paramétricas	 da	 reta	 s,	 cujo	 vetor	 diretor	 é	
( )2, 0, 4v = ,	são:
1 2
: 3
4 4
= +
 =
 = +
x t
s y
z t
No	sistema	de	eixoscoordenados,	a	reta	s	é	paralela	ao	plano	
coordenado	xOz	(Figura	5).
Figura	5	Reta s paralela ao plano xOz.
Finalmente,	as	equações	paramétricas	da	reta	m,	cujo	vetor	
diretor	é	 ( )0, 4, 2w = ,	são:
1
: 3 4
4 2
=
 = +
 = +
x
m y t
z t
No	 sistema	 de	 eixos	 coordenados,	 a	 reta	m	 é	 paralela	 ao	
plano	coordenado	yOz	(Figura	6).
Claretiano - Centro Universitário
109© U4 – Retas e Planos
Figura	6	Reta m paralela ao plano yOz.
retas paralelas aos eixos coordenados
Para	que	uma	reta	r	seja	paralela	a	um	dos	eixos	coordena-
dos	x,	y	ou	z,	o	vetor	diretor	
v 	deve	ser	paralelo	a	um	dos	vetores	
canônicos	 ( )1, 0, 0i =

,	 ( )0, 1, 0j =

	e	 ( )0, 0, 1k =

,	 já	estudados	
na	Unidade	2.	Consequentemente,	duas	das	componentes	de	
v 	
devem	ser	nulas.
Exemplo
Escreva	as	equações	paramétricas	da	reta	r,	que	contém	o	
ponto	 ( )1, 3, 4A = 	e	tem	a	direção	do	vetor	 ( )0, 2, 0v = .
1
: 3 2
4
=
 = +
 =
x
r y t
z
Geometricamente,	a	reta	r	é	paralela	ao	vetor	 ( )0, 2, 0v = ,	
contido	no	eixo	y	(Figura	7).
© Vetores e Geometria Analítica110
Figura	7	Reta r paralela ao eixo y.
Depois	de	analisarmos	as	posições	das	retas	em	relação	aos	
planos	coordenados	e	aos	eixos	coordenados,	faremos	a	compa-
ração	entre	duas	retas.	Para	isso,	utilizaremos	os	produtos	escalar,	
vetorial	e	misto,	estudados	na	Unidade	2.
Ângulo de duas retas
Para	determinarmos	o	menor	ângulo	formado	por	duas	re-
tas,	 basta	 calcularmos	 o	 ângulo	 formado	 por	 seus	 vetores	 dire-
tores,	utilizando	o	produto	escalar	já	visto	anteriormente.
cos cosθ θ= ⇒ =
 
   

 
u vu v u v
u v
Exemplo
Calcule	o	ângulo	entre	as	retas	
1
: 3 2
4
=
 = +
 =
x
r y t
z
	e	
1
: 3 4
4 2
=
 = +
 = +
x
m y t
z t
.
Os	vetores	diretores	das	retas	r	e	m	 são,	 respectivamente,	
( )0, 2, 0v = 	e	 ( )0, 4, 2w = .	Aplicando-os	na	fórmula,	temos:
( ) ( )0,2,0 0,4,2 8 2 2 5cos 0,89
52 2 5 4 5 5
θ = = = = ≅
⋅

Claretiano - Centro Universitário
111© U4 – Retas e Planos
De	posse	de	uma	calculadora	científica	ou	tabela	trigonomé-
trica,	verificamos	que	o	ângulo	cujo	cosseno	vale	0,89	é	de	30°.	
Portanto,	o	ângulo	entre	as	retas	r	e	m	é	de	30°.
retas ortogonais
Você	aprendeu	na	unidade	anterior	que	dois	vetores	são	or-
togonais	se	o	produto	escalar	entre	eles	for	zero.	Para	verificarmos	
se	duas	retas	são	ortogonais,	basta	verificar	se	o	produto	escalar	
de	seus	vetores	diretores	é	zero.
1 2 1 2 0⊥ ⇔ =
 
r r v v
Verificamos	no	exemplo	5	que	as	retas	r	e	m	formam	ângulo	
de	30°.	Note	que	o	produto	escalar	calculado	na	fórmula	é	dife-
rente	de	zero.
Exemplo
Mostre	 que	 as	 retas	 1r 	 e	 2r 	 a	 seguir	 são	 ortogonais	
(WINTERLE,	2000,	p.	115).
1 : 2 1
4
x t
r y t
z t
=
 = − +
 =
	e	 2
3 2
4
x t
r y t
z t
= −
 = +
 =
Os	vetores	de	 1r 	e	 2r 	são,	respectivamente,	 ( )1 1, 2, 4v = −

	e	
( )2 2, 1, 1v = −

.	O	produto	escalar	é:
( ) ( )1 2 1 2 2 1 4 1 2 2 4 0= ⋅ − + − ⋅ + ⋅ = − − + =
 
v v
Como	o	produto	escalar	dos	vetores	diretores	é	nulo,	conclu-
ímos	que	as	retas	 1r 	e	 2r 	são	ortogonais.
Neste	tópico,	estudamos	a	representação	algébrica	das	retas	
no	espaço,	na	forma	de	equações	vetoriais,	equações	paramétri-
cas	e	equações	simétricas.	Faremos,	no	tópico	seguinte,	o	mesmo	
© Vetores e Geometria Analítica112
estudo	para	os	planos:	vamos	representá-los	na	 forma	de	equa-
ções	e	analisar	suas	posições	relativas.
6. O pLanO
A	equação	geral	do	plano	é	assunto	abordado	no	Ensino	Mé-
dio.	Vamos	tratar	desse	tema	pela	visão	vetorial.
Considere	 um	 ponto	 ( )1 1 1, ,A x y z= ,	 pertencente	 a	 um	
plano	α .	Seja	 ( ), ,n a b c= 	um	vetor	ortogonal	ao	plano	α .	Então	
n 	é	ortogonal	a	todo	vetor	contido	em	α .	Podemos	concluir	que	
um	 ponto	 qualquer	 ( ), ,P x y z= 	 pertencerá	 ao	 plano	 α se,	 e	
somente	se,	o	vetor	

AP 	for	ortogonal	a	
n ,	isto	é:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0
0
, , , , 0
0
0
=
− =
− − − =
− + − + − =
+ + − − − =






n AP
n P A
a b c x x y y z z
a x x b y y c z z
ax by cz ax by cz
Trocando	 1 1 1− − −ax by cz 	por	d,	obtemos:
0+ + + =ax by cz d
A	equação	obtida	é	chamada	equação geral do plano	α .
Durante	seu	estudo	no	Ensino	Médio,	você	provavelmente	
aprendeu	 outras	 formas	 de	 escrever	 a	 equação	 de	 um	 plano.	
Neste	Caderno de Referência de Conteúdo,	porém,	focaremos	as	
equações	que	envolvem	os	vetores,	por	serem	eles	o	tema	central	
de	nosso	estudo.
equação vetorial do plano
Para	 definir	 a	 equação	 vetorial	 de	 um	 plano	 α ,	 devemos	
considerar	um	ponto	 fixo	do	plano	 ( ), ,a a aA x y z 	 e	dois	vetores	
Claretiano - Centro Universitário
113© U4 – Retas e Planos
( )1 1 1, ,u a b c=

	e	 ( )2 2 2, ,v a b c=

,	paralelos	ao	plano	α ,	mas	não	
paralelos	entre	si.
Desse	modo,	 se	 tomarmos	qualquer	ponto	P	 do	plano	α ,	
os	vetores	

AP ,	
u 	e	
v 	 serão	coplanares,	 isto	é,	pertencerão	ao	
mesmo	plano.
Portanto,	podemos	afirmar	que	um	ponto	 ( ), ,P x y z 	per-
tence	ao	plano	α 	se,	e	somente	se,	existem	números	reais	h	e	t,	
tais	que:	
AP hu tv= +
  
ou
− = +
 P A hu tv
ou
= + +
 P A hu tv
ou
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , , , , , , ,a a ax y z x y z h a b c t a b c= + +
Essa	equação	é	chamada	de	equação	vetorial	do	plano	α ,	e	
os	vetores	
u 	e	
v 	são	chamados	vetores	diretores	de	α .
equações paramétricas do plano
Assim	como	fizemos	para	determinar	as	equações	paramé-
tricas	da	reta,	somamos	as	coordenadas	de	A,	
u 	e	
v para	encon-
trar	as	equações	paramétricas	do	plano:
( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , ,a a ax y z x a h a t y b h b t z c h c t= + + + + + +
Da	igualdade	dos	termos	obtém-se:
1 2
1 2
1 2
= + +
 = + +
 = + +
a
a
a
x x a h a t
y y b h b t
z z c h c t
© Vetores e Geometria Analítica114
Os	números	h	e	t	são	parâmetros	da	equação	do	plano	α .
Exemplo
O	 plano	 π 	 é	 determinado	 pelos	 pontos	 ( )1, 1, 2A − ,	
( )2, 1, 3B − 	e	 ( )1, 2, 6C − − .	Obtenha	uma	equação	vetorial,	um	
sistema	de	equações	paramétricas	e	uma	equação	geral	do	plano	
π .
Equação	vetorial
Devemos	obter	dois	vetores	não	paralelos	pertencentes	ao	
plano	π .	Calculemos	

AB 	e	

AC .
( ) ( ) ( )2, 1, 3 1, 1, 2 1, 2, 5AB B A= − = − − − = −

( ) ( ) ( )1, 2, 6 1, 1, 2 2, 1, 4AC C A= − = − − − − = − −

Esses	são	os	vetores	diretores	do	plano	π .	A	equação	vetorial	
é	dada	por:
( ) ( ) ( ) ( ), , 1, 1, 2 1, 2, 5 2, 1, 4
P A hu tv
x y z h t
= + +
= − + − + − −
 
Sistema	de	equações	paramétricas
Utilizamos	 o	 ponto	 A	 e	 os	 vetores	 diretores	

AB 	 e	

AC 	
obtidos	na	equação	vetorial.
1 2
1 2
2 5 4
= + −
 = − + −
 = − +
x h t
y h t
z h t
Equação	geral
Para	encontrar	uma	equação	geral	do	plano	π ,	precisamos	
de	 um	 vetor	 ortogonal	 a	 π .	 Para	 isso,	 calculamos	 o	 produto	
vetorial	 ×
 
AB AC .
Claretiano - Centro Universitário
115© U4 – Retas e Planos
( ) ( )1 2 5 8 10 4 5 4 3, 6, 3
2 1 4
i j k
AB AC i j k k i j× = − = + − − − + + =
− −

 
   
   
Uma	 equação	 geral	 do	 plano	 π 	 é	 3 6 3 0+ + + =x y z d .	
Precisamos	calcular	um	valor	para	d,	utilizando	um	dos	pontos	A,	B	
ou	C.	Tomemos	o	ponto	A:
( )3 1 6 1 3 2 0
3 0
3
⋅ + ⋅ − + ⋅ + =
+ =
= −
d
d
d
Substituindo	na	equação	obtida	anteriormente,	temos:
3 6 3 3 0x y z+ + − =
ou
2 1 0+ + − =x y z
Ângulo de dois planos
O	 ângulo	 θ 	 de	 dois	 planos	 1α 	 e	 2α 	 é	 o	 menor	 ângulo	
formado	pelos	vetores	normais	(ortogonais)	a	cada	plano.	Se	 1

n 	e	
2

n 	são	os	vetores	normais	aos	planos	 1α 	e	 2α ,	respectivamente,	
então:
1 2
1 2
cosθ =
 

 
n n
n n
Exemplo
Determine	 o	 ângulo	 entre	 os	 planos	 1 : 3 0π − − =x y 	 e	
2 : 2 4 0π + − + =x y z .
© Vetores e Geometria Analítica116
Os	 vetores	 normais	 a	 1π 	 e	 2π 	 são	 ( )1 1, 1, 0n = −

	 e	
( )2 1, 2, 1n = −

.	Assim,
( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
1, 1,0 1,2, 1 3
cos
2 61 1 0 1 2 1
θ
− − − −
= = =
− + − + + + −
3 3 3
212 2 3
= =
planos perpendiculares
Para	verificar	se	dois	planos	são	perpendiculares	(Figura	8),	
basta	conferir	se	dois	vetores	normais	a	cada	plano	são	ortogonais.
1 2 1 2 1 2 0π π⊥ ⇔ ⊥ ⇔ =
   
n n n n
Figura	8	Planos perpendiculares.
reta paralela ao plano
Uma	reta	r,	com	a	direção	do	vetor	

v ,	é	paralela	a	um	plano	
π ,	cujo	vetor	ortogonal	é	

n ,	se,	e	somente	se,	 0v n⋅ =
 
.	Observe	
a	Figura	9.
Figura	9	Reta r paralela ao plano	π .
Claretiano - Centro Universitário
117© U4 – Retas e Planos
reta perpendicular ao plano
Uma	reta	r,	com	a	direção	do	vetor	

v ,	é	perpendicular	a	um	
plano	π ,	cujo	vetor	ortogonal	é	

n ,	se,	e	somente	se,	 v n
 
 ,	isto	é,	
se	 , = ∈
 
v an a .
Figura	10	Reta r perpendicular ao plano π .
reta contida no plano
Uma	reta	r,	com	a	direção	do	vetor	

v ,	está	contida	em	um	
plano	π 	(Figura	11),	cujo	vetor	ortogonal	é	

n ,	se:
•	 Dois	pontos	A	e	B	de	r	também	pertencerem	ao	plano	π .
•	 Se	um	ponto	A	de	r	pertencer	ao	plano	π ,	e	se	 0v n⋅ =
 
.
Figura	11	Reta r contida no plano π .
Exemplo
Verifique	se	a	reta	r está	contida	no	plano	π .
4 1
:
2 1
y x
r
z x
= +
 = −
	e	 : 2 3 4 0x y zπ + − − = .
Podemos	 verificar,	 primeiramente,	 se	 um	 ponto	 A	 de	 r	
pertence	ao	plano.	Escolhemos,	por	exemplo,	 0x = .
© Vetores e Geometria Analítica118
( )
4 0 1 1
0 : 0, 1, 1
2 0 1 1
y
x r A
z
= ⋅ + =
= ⇒ ⇒ − = ⋅ − = −
Notamos	 que	 A	 pertence	 ao	 plano	 π ,	 pois,	 substi-
tuindo-o	 na	 equação	 do	 plano,	 o	 resultado	 é	 igual	 a	 zero:	
( )2 0 1 3 1 4 0⋅ + − ⋅ − − = .
Falta	agora	verificar	se	o	vetor	diretor	da	reta	r	é	ortogonal	
ao	vetor	normal	 ao	plano	 π .	 Escolhemos	um	vetor	diretor	de	 r	
tomando	outro	ponto	B	da	reta.
( )
4 1 1 5
1 : 1, 5, 1
2 1 1 1
y
x r B
z
= ⋅ + =
= ⇒ ⇒ = ⋅ − =
Em	seguida,	determinamos	os	vetores	
v 	e	
n .
( ) ( ) ( )1, 5, 1 0, 1, 1 1, 4, 2v B A= − = − − =

( )2, 1, 3n = −

( ) ( )1,4,2 2,1, 3 2 4 6 0= − = + − =
 
 v n
O	produto	escalar	de	
v 	e	
n 	é	zero.	Portanto,	os	vetores	são	
ortogonais	e	a	reta	r	está	contida	no	plano	π .
interseção de dois planos
A	interseção	de	dois	planos	é	uma	reta	cuja	equação	é	obtida	
pela	igualdade	entre	suas	equações.
Exemplo
Encontre	a	equação	da	reta	r,	que	é	a	interseção	dos	planos	
1 : 2 7 0π + − − =x y z 	e	 2 : 3 2 1 0π − − − =x y z .
Claretiano - Centro Universitário
119© U4 – Retas e Planos
Precisamos	resolver	o	sistema	de	equações:
2 7 0
3 2 1 0
+ − − =
 − − − =
x y z
x y z
Somando	as	equações,	temos:
2 7 0
3 2 1 0
4 2 8 0
+ − − =
+ − − − =
− − =
x y z
x y z
x z
Depois,	isolamos	a	incógnita z:
4 2 8 0
2 4 8
2 4
− − =
= −
= −
x z
z x
z x
E,	finalmente,	substituímos	o	valor	de	z	em	uma	das	equações	
para	determinar	y:
( )2 2 4 7 0
2 3 0
2 3
3
2 2
+ − − − =
− + − =
= +
= +
x y x
x y
y x
xy
Logo,	a	equação	da	reta	r,	interseção	dos	planos	 1π 	e	 2π ,	é:
3
: 2 2
2 4
 = +

 = −
xy
r
z x
interseção de reta com plano
A	interseção	de	uma	reta	com	um	plano	é	um	ponto	cujas	
coordenadas	são	obtidas	pela	igualdade	entre	as	equações.
© Vetores e Geometria Analítica120
Exemplo
Encontre	o	ponto	de	interseção	da	reta	r	com	o	plano	π .
10
:
1
= −
 = − +
y x
r
z x
	e	 : 2 3 9 0π − + − =x y z .
Um	ponto	da	reta r	é	da	forma	 ( ) ( ), , , 10, 1x y z t t t= − − + .	
Substituindo-o	na	equação	do	plano	π ,	encontramos	o	valor	de	t:
( ) ( )2 10 3 1 9 0
2 10 3 3 9 0
2 4 0
2
− − + − + − =
− + − + − =
− + =
=
t t t
t t t
t
t
Voltando	à	equação	da	reta	r,	verificamos	que:
2
10
: 10 2 10 8
1
1 2 1 1
= = 
= −  ⇒ = − ⇒ = − = −  = − +  = − + = − + = − 
x t x
y x
r y t y
z x
z t z
Portanto,	 o	 ponto	 de	 interseção	 de r	 com	 o	 plano	 π 	 é	
( )2, 8, 1− − .
Este	tópico	destinou-se	a	abordar	as	equações	da	reta	e	do	
plano,	utilizando	como	instrumentos	os	conceitos	e	as	propriedades	
dos	vetores.	Vimos,	também,	um	estudo	simplificado	das	posições	
relativas	das	retas	e	dos	planos.
O	 estudo	 das	 retas	 e	 dos	 planos	 em 3 é	 essencial	 no	
desenvolvimento	 de softwares computacionais,	 artes	 gráficas	
e	muito	mais.	 Por	 isso,	 continuaremos	 estudando	 as	 retas	 e	 os	
planos,	mas	focando	na	determinação	de	suas	distâncias.
7. distÂnCias
Neste	tópico,	apresentamos	as	fórmulas	para	calcular	as	dis-
tâncias	entre	os	elementos	estudados	nesta	unidade:	o	ponto,	a	
reta	e	o	plano.	Como	sempre,	os	vetores	são	nossas	ferramentas	
para	a	construção	de	tais	fórmulas.
Claretiano - Centro Universitário
121© U4 – Retas e Planos
distância entre dois pontos
Veremos,	 agora,	 como	 determinar	 a	 distância	 entre	 dois	
pontos	no	espaço	 3 .
Dados	os	pontos	 ( )1 1 1, ,A x y z 	e	 ( )2 2 2, ,B x y z ,	o	vetor	

AB 	
é	escrito	como	 ( )2 1 2 1 2 1, ,AB B A x x y y z z= − = − − −

	(Figura	12).	
O	comprimento	(ou	módulo)	do	vetor	

AB 	corresponde	à	distância	
entre	os	pontos	A	e	B,	e	é	dado	por:
( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1= − + − + −

AB x x y y z z
Figura	12	Distância entre os pontos A e B na forma de vetor.
distância entre ponto e reta
Queremos	 determinar	 a	 distância	 d	 entre	 um	 ponto	 P	 do	
espaço	e	uma	reta	r.	Para	 isso,	considere	um	ponto	 ∈A r 	e	um	
vetor	diretor	
v .	Observe,	na	Figura	13,	que	os	vetores	
v 	e	

AP 	
determinam	um	paralelogramo	cuja	altura	corresponde	à	distância	
d	procurada.
Figura	13	Distância d entre o ponto P e a reta r.
© Vetores e Geometria Analítica122
A	área	do	paralelogramo	é	dada	por:
( ) ( )= ⋅ = ⋅A base altura v d
Mas	 também	 pode	 ser	 obtida	 pelo	 produto	 vetorial	 dos	
vetores	
v 	e	

AP :
= ×

A v AP
Igualando	as	duas	equações,	obtém-se:
⋅ = ×

 v d v AP
×
=



v AP
d
v
Exemplo
Calcular	 a	 distância	 entre	 o	 ponto	 ( )3,2,1P 	 e	 a	 reta	
2
:
3
=
 = +
y x
r
z x
.
Essa	equação	pode	ser	escrita	utilizando-se	a	variável	t:
: 2
3
=
 =
 = +
x t
r y t
z t
Um	 ponto	A	 pertencente	 à	 reta	 r	 é	 ( )0, 0, 3A .	 Um	 vetor	
diretor	de	r	é	 ( )1, 2, 1v = .	O	vetor	

AP 	é	 ( )3, 2, 2AP P A= − = −

.	
Efetuamos,	então,	o	produto	vetorial:
( ) ( )1 2 1 4 3 2 6 2 2 6, 5, 4
3 2 2
i j k
v AP i j k k i j× = = − + + − + − = − −
−

 
  
   

E,	finalmente,	calculamos	a	distância	d	desejada:
Claretiano - Centro Universitário
123© U4 – Retas e Planos
( ) ( ) ( )
2 22
2 2 2
6 5 4 36 25 16 77,
661 2 1
× − + + − + +
= = = =
+ +



v AP
d P r
v
distância entre ponto e plano
A	fórmula	para	calcular	a	distância	entre	um	ponto	e	um	pla-
no	no	espaço	é	obtida	a	partir	do	conceito	de	projeção	de	vetor	
sobre	o	plano.	Esse	tema	não	será	abordado	no	presente	material	
didático,	mas	tanto	o	conceito	de	projeção	quanto	a	demonstra-
ção	da	fórmula	podem	ser	facilmente	encontrados	em	livros	e	sites	
de	Geometria	Analítica.
A	 distância	 entre	 um	 ponto	 0 0 0 0( , , )P x y z 	 e	 um	 plano	
: 0ax by cz dπ + + + = 	(Figura	14)	é	dada	por:
( ) 0 0 00 2 2 2,π
+ + +
=
+ +
ax by cz d
d P
a b c
Figura	14	Distância d entre o ponto 0P e o plano π .
Exemplo
Calcular	 a	 distância	 entre	 o	 ponto	 (2, 1, 2)P − 	 e	 o	 plano	
: 2 2 3 0π − − + =x y z .
Essa	distância	é	facilmente	calculada;	basta	apenas	substituir	
os	valores	na	fórmula:
( ) ( )
( ) ( )
0 2 22
2 2 2 1 2 3 4 2 1 7 7,
34 4 1 92 2 1
π
⋅ − ⋅ − − + + +
= = = =
+ ++ − + −
d P
© Vetores e Geometria Analítica124
distância entre duas retas
Para	definir	a	distância	entre	duas	retas,	devemos	primeira-
mente	analisar	suas	posições	relativas.	Para	cada	posição	relativa	
entre	duas	retas	 1r 	e	 2r ,	tem-se	que:
1)	 Se	 1r 	 e	 2r 	 são	 concorrentes	 (Figura	 15),	 então	
( )1 2, 0d r r = .
Figura	15	Retas 1r e 2r concorrentes.
2)	 Se	 1r 	e	 2r 	são	paralelas	(Figura	16),	então	 ( ) ( )1 2 2, ,=d r r d P r ,		
com	 1∈P r ,	 ou	 então	 ( ) ( )1 2 1, ,=d r r d P r ,	 com	 2P r∈ .	
Isto	é,	basta	calcular	a	distância	de	ponto	a	reta.
Figura	16	Retas 1r e 2r paralelas.3)	 Se	 1r 	e	 2r 	são	reversas,	quer	dizer,	se	são	retas	não	pa-
ralelas,	mas	que	não	 se	 interceptam	no	espaço,	 como	
mostra	a	Figura	17,	precisamos	definir	seus	vetores	di-
retores.
Figura	17	Retas 1r e 2r reversas.
Claretiano - Centro Universitário
125© U4 – Retas e Planos
Considere,	então,	que	a	reta	 1r 	é	definida	pelo	ponto	 1A 	e	
pelo	vetor	diretor	 1
v ,	e	que	a	reta	 2r 	é	definida	pelo	ponto	 2A 	e	
pelo	vetor	diretor	 2
v .
Os	 vetores	 1
v ,	 2
v 	 e	 1 2

A A 	 determinam	 um	 paralelepípedo	
(Figura	17),	cuja	altura	corresponde	à	distância	entre	as	retas	 1r 	e	
2r .	Utilizamos,	portanto,	o	mesmo	raciocínio	aplicado	para	deter-
minar	a	distância	entre	ponto	e	reta.
O	volume	do	paralelepípedo	é	dado	por:
( ) ( ) 1 2 = ⋅ = × ⋅
 V área da base altura v v d
Mas	também	pode	ser	obtida	pelo	produto	misto	dos	vetores	
1
v ,	 2
v 	e	 1 2

A A :
( )1 2 1 2, ,V v v A A=

 
Igualando	as	duas	equações,	obtém-se:
( )1 2 1 2 1 2, ,v v d v v A A× ⋅ =

   
( )1 2 1 2
1 2
, ,v v A A
d
v v
=
×

 
 
Exemplo
Determine	a	distância	entre	as	retas:
1
2
: 3
1 2
= −
 = +
 = −
x t
r y t
z t 	e	
2 : 1 3
2
=
 = − −
 =
x t
r y t
z t
Iniciamos	 a	 resolução	 pela	 definição	
dos	 vetores	 ( )1 1, 1, 2v = − −

,	 ( )2 1, 3, 2v = −

	 e	
( ) ( ) ( )1 2 2 1 0, 1, 0 2, 3, 1 2, 4, 1A A A A= − = − − = − − −

.
© Vetores e Geometria Analítica126
Calculamos	o	produto	misto	de	 1
v ,	 2
v 	e	 1 2

A A :
( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 1 2
, , 1 3 2 3 4 8 12 8 1 1 5 6
2 4 1
v v A A
− −
= − = − − + − − + − = − − =
− − −

 
E	agora	calculamos	o	produto	misto	entre	 1
v 	e	 2
v :
( ) ( )1 2 1 1 2 2 2 3 6 2 4, 0, 2
1 3 2
i j k
v v i j k k i j× = − − = − + − + − = −
−

 
 
   
 
A	distância	entre	as	retas	 1r 	e	 2r 	é:
( ) ( )2 2 2
6 6 6 6 3 5
54, 0, 2 20 2 54 0 2
d = = = = =
− − + +
O	estudo	das	distâncias	através	dos	 vetores	permite	a	de-
terminação	de	fórmulas	específicas	para	cada	objeto	em	questão,	
como	o	ponto,	a	reta	e	o	plano.
Existe	uma	enorme	quantidade	de	exemplos	resolvidos	nos	
livros	de	Geometria	Analítica	e	em	sites	educacionais	para	ajudá-
lo	a	complementar	seus	estudos.	Acrescentando	a	isso,	você	pode	
contar	com	os	colegas	para	compartilhar	ideias,	dicas	e	outros	ma-
teriais,	bem	como	com	seu	tutor	para	tirar	suas	dúvidas	e	ajudá-lo	
no	que	precisar.
8. QuestÕes autOavaLiativas
Confira,	a	seguir,	as	questões	propostas	para	verificar	o	seu	
desempenho	no	estudo	desta	unidade:
1)	 Explique	a	diferença	entre	as	equações	vetorial,	paramétrica	e	simétrica	da	
reta.
2)	 Transforme	cada	uma	das	equações	das	retas	r,	s	e	m,	citadas	no	exemplo	do	
subtópico	Retas paralelas aos planos coordenados,	em	equações	vetoriais	e	
simétricas.
Claretiano - Centro Universitário
127© U4 – Retas e Planos
3)	 Pesquisando	em	materiais	do	Ensino	Médio,	explique	a	diferença	entre	retas	
perpendiculares	e	retas	ortogonais.
4)	 A	equação	geral	do	plano	é	a	forma	mais	utilizada	no	ensino	de	Geometria	
Analítica	do	Ensino	Médio.	Explique	como	ela	é	obtida	a	partir	do	conceito	
de	vetor.
5)	 Nos	subtópicos	Reta paralela ao plano;	Reta perpendicular ao plano;	e	Reta 
contida no plano,	você	estudou	as	posições	relativas	entre	retas	e	planos.	
Explique	como	verificar	se	uma	reta	é	perpendicular,	paralela	ou	contida	em	
um	plano.
6)	 Indique	qual	objeto	é	resultado	da	interseção	de:
a)	 duas	retas;
b)	 uma	reta	e	um	plano;
c)	 dois	planos.
7)	 Quando	descrevemos	uma	reta,	precisamos	de	um	ponto	contido	nessa	reta	
e	um	vetor	diretor.	Qual	a	função	do	vetor	diretor?
8)	 No	subtópico	Distância entre duas retas,	descrevemos	a	forma	de	se	calcular	
a	 distância	 entre	 duas	 retas.	 Explique	 por	 que	 foi	 preciso	 considerar	 três	
casos	diferentes	de	retas.
Gabarito
Confira,	 a	 seguir,	 as	 respostas	 corretas	 para	 as	 questões	
autoavaliativas	propostas:
1)	 A	equação	vetorial	é	obtida	a	partir	de	um	ponto	P	da	reta	e	seu	vetor	di-
retor.	As	três	equações	paramétricas	correspondem	às	coordenadas	x,	y	e	z	
do	sistema	cartesiano	em	 3

,	e	são	obtidas	a	partir	da	equação	vetorial.	
A	equação	simétrica	da	 reta	equipara	as	 coordenadas	x,	y	 e	z	 a	partir	do	
parâmetro	t.
2)	
1 2
: 3 3
4
= +
 = +
 =
x t
r y t
z
a)	 Equação	vetorial:	 ( ) ( ) ( ), , 1, 3, 4 2, 3, 0x y z t= + .
b)	 Equação	simétrica:	 1 3
2 3
− −
=
x y .
© Vetores e Geometria Analítica128
1 2
: 3
4 4
= +
 =
 = +
x t
s y
z t
a)	 Equação	vetorial:	 ( ) ( ) ( ), , 1, 3, 4 2, 0, 4x y z t= + .
b)	 Equação	simétrica:	 1 4
2 4
− −
=
x z .
1
: 3 4
4 2
=
 = +
 = +
x
m y t
z t
a)	 Equação	vetorial:	 ( ) ( ) ( ), , 1, 3, 4 0, 4, 2x y z t= + .
b)	 Equação	simétrica:	 3 4
4 2
− −
=
y z .
3)	 Duas	 retas	 são	 perpendiculares	 se	 elas	 se	 interceptam,	 formando	 ângulo	
reto.	Duas	retas	são	ortogonais	se	elas	não	se	interceptam,	mas	seus	vetores	
diretores	possuem	representantes	que	são	perpendiculares	entre	si.
4)	 Veja	demonstração	no	Tópico	6.
5)	 Nos	três	casos,	é	preciso	obter	um	vetor	ortogonal	ao	plano.	Uma	reta	é	pa-
ralela	a	um	plano	se	o	produto	escalar	do	vetor	diretor	da	reta,	com	o	vetor	
normal	 (ou	ortogonal)	ao	plano,	 for	zero.	Uma	reta	é	perpendicular	a	um	
plano	se	o	vetor	diretor	da	reta	for	paralelo	ao	vetor	normal	ao	plano.	Uma	
reta	está	contida	em	um	plano	se	dois	pontos	da	reta	pertencem	também	ao	
plano,	ou	então	se	um	ponto	da	reta	pertence	ao	plano	e	o	produto	escalar	
do	vetor	diretor	da	reta	com	o	vetor	normal	ao	plano	for	zero.
6)	
a)	 A	interseção	de	duas	retas	é	um	ponto.
b)	 A	interseção	de	uma	reta	e	um	plano	pode	ser:
•	 A	própria	reta,	se	ela	estiver	contida	no	plano;
•	 Um	ponto,	se	a	reta	"furar"	o	plano;
•	 Vazia,	se	a	reta	for	paralela	ao	plano.
c)	 A	interseção	de	dois	planos	pode	ser:
•	 Um	plano,	se	eles	forem	coincidentes;
•	 Uma	reta,	se	o	ângulo	entre	eles	for	maior	que	0°	e	menor	que	90°;
•	 Vazia,	se	eles	forem	paralelos.
7)	 O	vetor	diretor	determina	a	direção	e	o	sentido	da	reta.
Claretiano - Centro Universitário
129© U4 – Retas e Planos
8)	 É	preciso	considerar	as	posições	relativas	entre	as	retas:	se	são	concorrentes,	
paralelas	ou	reversas.	Em	cada	caso,	a	forma	de	se	calcular	a	distância	muda.
9. COnsideraçÕes
O	objetivo	desta	unidade	foi	descrever,	analisar	e	comparar	
os	principais	elementos	da	Geometria	Euclidiana:	o	ponto,	a	reta	
e	o	plano.	Com	o	auxílio	dos	vetores,	aprendemos	as	diferentes	
formas	de	representar	retas	e	planos.	Analisamos	as	posições	das	
retas	em	relação	aos	planos	coordenados,	aos	eixos	coordenados	
e	 em	 relação	 umas	 às	 outras,	 determinando	 o	 ângulo	 formado	
entre	elas.	Estudamos,	em	seguida,	os	planos	e	suas	posições	em	
relação	às	 retas	e	aos	próprios	planos,	utilizando	novamente	os	
ângulos.	Para	concluir,	aprendemos	a	calcular	as	distâncias	entre	
estes	entes	geométricos.
Perceba	que	o	uso	dos	vetores	foi	essencial	durante	todo	o	
desenvolvimento	do	conteúdo.	O	conceito	de	vetor,	como	já	afir-
mamos,	é	fundamental	no	desenvolvimento	de	inúmeras	teorias	
da	Matemática,	da	Física,	das	Engenharias,	da	Astronomia	etc.
10. e-referências
BRASIL	 ESCOLA.	 Geometria Analítica.	 Disponível	 em:	 <http://www.brasilescola.com/
matematica/geometria-analitica.htm>.	Acesso	em:	11	abr.	2013.
NOÉ,	M.	Plano cartesiano.	Disponível	em:	<http://www.brasilescola.com/matematica/
plano-cartesiano.htm>.	Acesso	em:	11	abr.	2013.
SÃO	 PAULO.	 Secretaria	 Municipal	 de	 Educação.	 Cadernos de apoio e aprendizagem:	
Matemática	 –	 Programa	 de	 orientações	 curriculares	 –	 9º	 Ano.	 São	 Paulo:	 Fundação	
Padre	Anchieta,	Prefeitura	de	São	Paulo,	2010.	Disponível	em:	<http://www.portalsme.
prefeitura.sp.gov.br/Projetos/BibliPed/Documentos/Publicacoes/Cad_Apoio/Mt/Mt9/
Mat_Cont_Aluno_9.pdf>.	Acesso	em:	11	abr.	2013.	
11. referências BiBLiOGrÁficas
CAMARGO,	 I.;	 BOULOS,	 P.	Geometria Analítica:	 um	 tratamento	 vetorial.	 3.	 ed.	 Rev.	 e	
ampl.	São	Paulo:	Prentice	Hall,	2005.
WINTERLE,P.	Vetores e Geometria Analítica.	São	Paulo:	Makron	Books,	2000.
Claretiano - Centro Universitário