Material de Apoio NP2 Cinemática dos Sólidos UNIP

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Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
1 
 Movimento Plano Geral 
 
Um movimento plano geral pode ser considerado 
como a soma de uma translação e de uma rotação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Movimento geral = Translação + Rotação 
 
 Movimento de um corpo decomposto em uma 
translação e uma rotação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Velocidade absoluta e relativa: 
/B A B Av v v 
 
 
:Bv
 velocidade absoluta do ponto B. 
:Av
translação da placa com A. 
/ :B Av
velocidade relativa associada à rotação da 
placa ao redor do ponto A, medida em relação a eixos com 
origem em A e de orientações fixas. Denotando por : 
/ :B Ar
vetor de posição de B em relação a A: 
/B Ar B A 
 
kˆ
: velocidade angular em relação aos eixos de 
orientações fixas. 
/ /
ˆ
B A B Av k r  
 
/
ˆ
B A B Av v k r    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe que: 
/
/
B A
B A B A
v
v v tg v l
l
        
 
/
/
cos
cos
A A
B A
B A
v v
v
v
   
 
cos
Av
l




 
 
 Chega-se ao mesmo resultado escolhendo B como 
pono de referência. Decompondo-se o movimento dado em 
uma translação com B e uma rotação ao redor de B (vide 
figura), teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Movimento plano = Translação com B + Rotação em torno de B. 
 
 
 
 
 
 
 
/A B A Bv v v 
 
 Observe que: 
/ / / /A B B A A B B Av v v v l      
 
 O sentido da velocidade relativa deponde do ponto de 
referência escolhido e deverá ser cuidadosamente determinada 
a partir dos diagramas ilustrados. Finalmente, observemos que 
a velocidade angular  da barra em sua rotação ao redor de B 
é a mesma que em sua rotação ao redor de A. Em ambos os 
casos é medida pela derivada temporal do ângulo : 
d
dt
    
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
2 
 Este resultado é geral; assim, sempre a velocidade 
angular  de um corpo rígido animado de movimento 
plano é independente do ponto de referência. 
 A maior parte dos mecanismos mecânicos constam 
não de um, mas de vários elementos em movimento. Quando 
tais elementos se encontram articulados, pode-se estudá-los 
considerando cada um como um corpo rígido, sem, contudo, 
esquecer que os pontos de articulação de dois deles devem ter 
a mesma velocidade absoluta. Um estudo semelhante pode ser 
feito quando se trata de engrenagens, já que os dentes em 
constato devem ter a mesma velocidade absoluta. Entretanto, 
se os elementos de um mecanismo possuem um deslizamento 
relativo entre si, deve-se levar em consideraçãoa velocidade 
relativa das partes em contato. 
 
 Análise do movimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qr OQ Q O  
 
Pr OP P O  
 
Q P
r QP P Q  
 
OQ QP OP 
 
Q P P QQ P Q P
r r r r r r    
 
 Aplicando a derivada em relação ao tempo: 
Q PQP
drdrdr
dt dt dt
 
 
P Q Q P
v v v 
 
 Suponha que o corpo rígido gira em torno de um eixo 
que passa perpendicularmente ao ponto Q. Então: 
QPQ P
v r 
 
Logo: 
P Q QPv v r  
 
 Vetor aceleração: 
O vetor aceleração pode ser obtido como a derivada 
temporal do vetor aceleração: 
dv
a v a
dt
  
 
 P Q QP
dv d
a a v r
dt dt
    
 
Q
QP
dv d
a r
dt dt
  
 
Q QP
QP
dv drd
a r
dt dt dt
     
 
 
Identificando os termos: 
QP
P Q
dvdv
a a
dt dt
  
 
 ˆ ˆ
ˆ
d ed d d de
e
dt dt dt dt dt
      
 
Se 
eˆ
 for um vetor constante: 
ˆ
0
de
dt

. Assim: 
d
dt


 
QP
P Q QP
dr
a a r
dt
     
 
Ou 
   P Q
d
a a P Q P Q
dt
       
 
Aplicando o Teorema de Poisson: 
   
d
P Q P Q
dt
   
 
   P Qa a P Q P Q           
 
 Resumo: Movimento no plano: 
1. Todos os pontos do sólido pertencem ao plano do 
movimento. 
2. O eixo de rotação, quando existir, será sempre ortogonal 
ao plano de movimento. 
3. todos os pontos apresentam a mesma velocidade 
angular, e esta, tem a direção do eixo de rotação: 
ˆ ˆ
d
e e
dt
      
 
4. Todos os pontos apresentam a mesma aceleração 
angular; e esta tem a direção do eixo de rotação: 
ˆ ˆ
d
e e
dt
      
 
5. O vetor velocidade instantânea do ponto P do sólido, em 
função da velocidade do ponto Q, também do sólido, é dada 
por: 
 P Q QP P Qv v r v v P Q        
 
6. O vetor aceleração instantânea do ponto P do sólido, em 
função da aceleração do ponto Q, também do sólido, é dada 
por: 
P Q P QQP QP QP
a a r r r P Q r            
 
   P Qa a P Q P Q           
 
 
 
 
 
 
 
x 
z 
y 
 
P Q 
O 
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
3 
 Centro Instantâneo de Rotação (CIR ou IC) 
 
Para calcular a velocidade dos pontos de um sólido, pode-
se utilizar de um método gráfico que se baseia no conceito de 
Centro instantâneo de rotação (CIR ou IC). 
Considera-se a existência de um eixo de rotação num 
dado instante, e a interseção deste, com o plano de movimento 
é o ponto denominado CIR – Centro instantâneo de rotação. 
Todos os pontos do sólido, no instante considerado, 
descrevem trajetórias circulares com centro no CIR. 
 A propriedade fundamental do CIR é de possuir 
velocidade nula: 
0ICv 
 
O CIR é um ponto geométrico imaginário que pode ser 
associado ao sólido sem alterar ou interferir no movimento do 
mesmo. 
Utilizando a relação de velocidades: 
P Q QP QPv v r r P Q     
 
Se utilizarmos o ponto Q pelo CIR, teremos: 
 
0
P CIRv v P CIR   
 
 Pv P CIR  
 
 Norma: 
A norma da velocidade em P será dada por: 
Pv P CIR sen    
 
P CIR d 
: é a distância entre o ponto P o CIR. 
:
 é ângulo entre o plano do movimento e o eixo de 
rotação. Se  = 90° → sen90°=1. Logo: 
Pv d 
 
 Direção: 
Ortogonal ao plano que contem os vetores do produto 
vetorial: 
Pv  (reta que une e )Pv P CIR 
 
 
Para localizar o IC de um corpo, utilizamos o fato que a 
velocidade de um ponto no corpo é sempre perpendicular ao 
vetor posição relativa, dirigido de IC ao ponto. Possibilidades: 
 A velocidade angular 

e a velocidade do ponto 
Av
são conhecidas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, o IC do corpo está localizado através de uma 
linha perpendicular a 
Av
em A, onde a distância de A para o IC 
é dada por: 
A
A IC
v
r


 
Note que o IC está a direita de A e vA causa uma 
rotação com velocidade angular  horária em torno de IC. 
 As direções de 
e A Bv v
são conhecidas. 
 Constroem-se duas linhas a partir de A e B, 
perpendiculares às direções de 
e A Bv v
, respectivamente. O 
cruzamento dessas linhas fornece o IC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A magnitude e a direção das velocidades de dois 
pontos
e A Bv v
são conhecidas: 
 Nesse caso, determina-se por semelhan;Ca de 
triângulos. Se d é a distância entre os pontos A e B, então: 
A
A IC
v
r


: distância de Aao IC. 
B
B IC
v
r


: distância de B ao IC. 
Podem ocorrer dois casos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A IC B IC
r r d 
 
B IC A IC
d r r 
 
 Exemplo: Viga apoiada na parede escorregando. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
4 
0.8 m 
z 
x 
y 
B 
A 
Bv
 
300 
0.8 m 
z 
x 
y 
A 
300 
B 
Av
 
1200 
600 
300 
600 
 Exemplos resolvidos: 
 Livro Unip 
 
1. (3.01– pag. 64) A barra AB, ilustrada abaixo, tem 
comprimento 0.8 m, e desloca-se com as extremidades 
apoiadas em duas superfícies, conforme ilustrado. O extremo 
A da barra, desloca-se para a direita, com velocidade 
constante vA = 3.5 m/s. No instante ilustrado, quando o ângulo 
entre a barra e o plano é de 300, pedem-se: 
(a) a velocidade do ponto B. 
(b) a aceleração do ponto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Método 1 – Uso do conceito do Centro Instantâneo 
de rotação: CIR ou IC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.5
4.375
0.8
A
A A CIR
A CIR
v rad
v r
r s
          
 
3.5B BB CIR
m
v r v
s
   
 
 
 Método 2 – Relacionando 2 pontos do corpo rígido: 
 P Q P QQPv v r v v P Q        
 
 B A B AABv v r v v B A        
 
 Achando as coordenadas dos pontos: 
 
   , e ,A A B BA x y B x y 
 
00.8 cos30 0.692A Ax x m   
;
0Ay m
 
0Bx m
;
00.8 30 0.4B By sen y m   
 
 
   0.692;0 e 0;0.4A B  
 
ˆ ˆ0.7 0.4
AB
r B A i j     
 
kˆ  
 
B A AB
v v r  
 
 ˆˆ ˆ ˆ3.5 0.7 0.4Bv i k i j       
 
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ3.5 0.7 0.4B
j i
v i k i k j 

         
 
  ˆ ˆ3.5 0.4 0.7Bv i j       
 
Decompondo a velocidade
Bv
 : 
0 0ˆ ˆcos60 60B B Bv v i v sen j     
 
 Comparando as relações: 
 0
00
cos60 3.5 0.4 0.7
6060 0.7
B
B
B
v
v
senv sen
 

     
 
  
 
0
0
0.7
cos60 3.5 0.4
60sen
     
 
 0.404 3.5 0.4 0.404 0.4 3.5         
3.5
4.375
0.8
rad
s
   
 
0 0
0.7 0.7 4.375
3.54
60 60
B B B
m
v v v
sen sen s
 
    
 
 Cálculo da aceleração em B: 
   P Qa a P Q P Q           
 
   B Aa a B A B A           
 
 Como a velocidade é constante: 
0AA A
dv
a a
dt
  
 
ˆ
d d
e
dt dt
     
 
ˆ ˆd k k
dt
      
 
   ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0.7 0.4 4.38 4.38 0.7 0.4Ba k i j k k i j                
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ0.7 0.4
ˆ ˆ ˆˆ ˆ4.38 4.38 0.7 4.38 0.4
B
j i
j i
a k i k j
k k i k j
 


        
 
         
  
 
ˆ ˆ0.7 0.4
ˆ ˆ ˆ4.38 3.066 1.752
Ba j i
k j i
       
      
 
ˆˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0.4 0.7 4.38 3.066 4.38 1.752B
ji
a i j k j k i 

              
ˆ ˆ ˆ ˆ0.4 0.7 13.43 7.67Ba i j i j            
   ˆ ˆ13.43 0.4 7.67 0.7Ba i j          
 
 Porém, sabemos que: 
600 
600 
CIR 
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5 
A B 
Bv
 
0.56m 
B 
Bv
 
Pv
 
0.24m 
d 
e2 
0 0ˆ ˆcos60 60B B Ba a i a sen j     
ˆ ˆ0.5 0.866B B Ba a i a j     
 
 Comparando, teremos: 
0.5 13.43 0.4
0.866 7.67 0.7
B
B
a
a


    

    
 
 Resolvendo o sistema: 
0.5 0.7 0.866 0.4 13.43 0.7 7.67 0.4B Ba a         
 
0.35 0.3464 9.401 3.068B Ba a     
 
2
12.469
0.6964 12.469 17.9
0.6964
B B B
m
a a a
s

       
 
13.43 0.5
0.5 13.43 0.4
0.4
B
B
a
a           
 
 
8.95
2
13.43 0.5 17.69 4.48
11.2
0.4 0.4
rad
s
            
 
2. (3.02 –pag. 70) As engrenagens ilustradas, e1 e e2, 
tem respectivamente raios R1 = 0.32 m e R2 = 0.24 m. A 
engrenagem e1 tem eixo fixo e gira no sentido horário, com 
velocidade angular constante 1= 16 rad/s. A haste AB gira no 
sentido horário com velocidade angular constante AB = 13 
rad/s. Pedem-se: 
(a) a velocidade angular da engrenagem e2; 
(b) a aceleração do ponto de contato entre as 
engrenagens do ponto que pertence à engrenagem e2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aqui CIR=A, pois este ponto permanece fixo. 
A velocidade do ponto B: 
1. Possui direção ortogonal à reta que liga os pontos A e B. 
2. Possui sentido para baixo, pois a rotação da barra AB é 
horária. 
3. Possui intensidade dada por: 
B ABv AB 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 0.32 0.24AB R R AB    
 
0.56AB m
 
13 0.56 7.28B B
m
v v
s
   
 
 Engrenagem e1: 
CIRe1=A, pois este ponto pertencem ao eixo fixo de 
rotação. 
 Velocidade do ponto P: 
1. tem direção ortogonal à reta que liga os pontos A e P. 
2. tem sentido para baixo, pois a rotação de e1 é horária. 
3. tem intensidade dada por: 
 
1 1
16 0.32 5.12P e P P
m
v R v v
s
      
 
 Engrenagem e2: 
Com o engrenamento dos dentes: não há 
escorregamento. As velocidades dos pontos de contato das 
duas engrenagens são iguais. 
Velocidades dos pontos da engrenagem e2: 
 Seu centro: 
7.28B
m
v
s

 . 
 Do ponto de engrenamento: 
5.12P
m
v
s

 
 CIR de e2: 
A determinação do CIRe2 de e2 pode ser feita com oas 
velocidades dos ponto B e P , entretanto, é mais trabalhoso 
que o usual, pois as linhas ortogonais à essas velocidades são 
coincidentes e não definem o CIRe2. 
A velocidade do ponto P pode ser expressa por: 
2 2P e e
v PCIR 
 
A velocidade do ponto B pode ser dada por: 
2 2B e e
v BCIR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
5.12
5.12P e ev d
d
     
 
 
2
7.28 0.24B ev d   
 
 
1.2288
5.12
7.28 0.24 7.28 5.12 0.24 5.12d d d
d
        
2.16
1.2288
0.569
7.28 5.12
d d m  

 
2
9e
rad
s
 
 
2
ˆ9e k   
 
 
 Aceleração do ponto P: 
A 
B 
x 
y 
z 
CIR 
x 
y 
z 
CIRe2 
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6 
A aceleração do ponto P será expressa em função da 
aceleração de outro ponto da engrenagem e2: o ponto B 
(pertence à barra AB). Utilizando: 
 
   P Qa a P Q P Q           
 
   B A AB AB ABa a B A B A           
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como o ponto A é fixo:
 0Aa 
 
 Vetor velocidade angular da barra AB: 
 Horário e constante: 
ˆ13AB k   
 
 Vetor aceleração angular da barra AB: 
0ABAB AB
d
dt
   
 
 Vetor B-A: 
 Módulo: 0.56mDireção: eixo x: 
iˆ
 
 Sentido: de A para B:
ˆ0.56B A i  
 
  ˆ ˆ ˆ0 0 13 13 0.56Ba B A k k i             
 
ˆ
ˆ ˆ ˆ13 13 0.56B
j
a k k i
 
        
  
 
  2
ˆ
ˆ ˆ ˆ13 7.28 94.64B B
i
m
a k j a i
s

 
           
 
 
 Fazendo o cálculo da aceleração do ponto P da 
engrenagem e2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
2 2 2P B e e e
a a P B P B           
 
2
ˆ94.64B
m
a i
s 
    
 
 
2
2 2 2
ˆ9 0
e
e e e
d
k
dt
        
 
 O vetor P-B: 
possui módulo igual à distância de P e B: 0.24m; 
direção do eixo x: 
iˆ
 
sentido é de B para P: 
ˆ0.24P B i   
 
 
2
0
ˆ ˆˆ ˆ94.64 9 9 0.24P ea i P B k k i               
 
 
ˆ
2.16
ˆ ˆˆ ˆ94.64 9 9 0.24P
j
a i k k i
 
           
 
 
 
ˆ
ˆˆ ˆ94.64 9 2.16P
i
a i k j

      
 
2
ˆ ˆ ˆ94.64 19.44 75.2P P
m
a i i a i
s
 
          
 
 
 3. (pag.76) – A barra AB, gira com freqüência 
constante f = 954.96 rpm no sentido horário. O cursos C está 
vinculado a uma haste horizontal fixa. Para o instante 
considerado, pedem-se: 
 (a) a velocidade angular da barra CB; 
 (b) a velocidade do cursos C; 
 (c) a aceleração do cursor C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Barra AB: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O vetor velocidade angular da barra AB: 
 Tem intensidade: 
954 60
2 100AB AB
rad
f
s
      
 
 Direção: Ortogonal ao plano de movimento: com 
sentido dado pela regra da mão direita (horário: negativo). 
ˆ100AB
rad
k
s
      
 
 
 O ponto A é o CIR: 
 A velocidade do ponto B é: 
ˆ100 0.09 9B AB B B
m
v r v v j
s
           
 
 
 A aceleração do ponto B é: 
   B A AB AB ABa a B A B A           
 
 0 CIRAa 
 
y 
z 
x 
B 
A 
0.56m Bv
 
B 
P 
e2 
x 
y 
z 
150 mm 
A 
300 mm 
90 mm 
A 
90 mm 
B 
B 
y 
x 
z 
Bv
 
CIR 
C 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
7 
 0 CIR ABAB AB
d
dt
   
 
ˆ0.09B A i   
 
 
0 0
ˆ ˆˆ ˆ0.09 100 100 0.09B A ABa a i k k i             
 
ˆ
ˆ ˆ ˆ100 100 0.09B
j
a k k i
 
         
  
 
2
ˆ ˆ ˆ900 900B B
m
a k j a i
s
 
        
 
 
 Barra BC: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 20.15 0.3 0.09 0.0225 0.26BCIR BCIR BCIR m      
 
9
34.64
0.26
B BC BC BC
rad
v BCIR
s
        
34.64 0.15 5.2C BC C C
m
v CCIR v v
s
       
ˆ5.2C
m
v i
s
 
   
 
 
 Aceleração no ponto C: 
   C B BC BC BCa a C B C B           
 
 Vetor aceleração angular: 
ˆ
BC BC k  
 
 Vetor: 
   0.26;0.15 0;0C B  
 
ˆ ˆ0.26 0.15C B i j    
 
 Vetor 
ˆ34.64BC k   
 
 
 
ˆˆ ˆ ˆ900 0.26 0.15
ˆ ˆ ˆ ˆ34.64 34.64 0.26 0.15
C BCa i k i j
k k i j
       
         
 
 
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ900 0.26 0.15
ˆ ˆ ˆˆ ˆ34.64 34.64 0.26 34.64 0.15
C BC BC
j i
j i
a i k i k j
k k i k j
 


         
 
           
  
 
ˆ ˆ ˆ900 0.26 0.15
ˆ ˆ ˆ34.64 9 5.196
C BC BCa i j i
k j i
        
        
 
 
ˆˆ
ˆ ˆ ˆ900 0.26 0.15
ˆ ˆˆ ˆ34.64 9 34.64 5.196
C BC BC
ji
a i j i
k j k i
 

       
        
 
ˆ ˆ ˆ900 0.26 0.15
ˆ ˆ311.76 180
C BC BCa i j i
i j
        
   
 
   ˆ ˆ900 311.76 0.15 180 0.26C BC BCa i j          
   ˆ ˆ588.24 0.15 180 0.26C BC BCa i j          
ˆ
C Ca a i  
2
588.24 0.15 180
692.31
180 0.26 0 0.26
C BC
BC BC
BC
a rad
s
  
  
   
   
 
588.24 0.15C BCa    
2
103.84
588.24 0.15 692.31 484.15C C
m
a a
s
     
 4. (pag.76) – Um carro apresenta rodas traseiras 
com diâmetro 0.75 m, e tem movimento acelerado com 
aceleração a = 6.5 m/s2. No instante ilustrado, a velocidade do 
auto é v = 140 km/h. Sabendo que não ocorre escorregamento 
entre as rodas e o piso, pedem-se: 
 (a) a velocidade do ponto A; 
 (b) a velocidade do ponto B; 
 (c) a aceleração do ponto A; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
150 mm 
A 
300 mm 
90 mm 
B 
C 
y 
x 
z 
Cv
 
Bv
 
CIR 
Ponto A 
Ponto B 
x 
y 
z 
y
 
A
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
8 
 CIR: a origem do sistema de coordenadas como o 
ponto C de contato da roda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 OCIR C
v
v v OCIR
R
      
 
140 3.6 ˆ103.7 103.7
0.75 2
rad
k
s
        
 
A Cv v OA  
 
ˆˆ ˆ38.89 0.375Av i k j     
 
ˆ
ˆˆ ˆ38.89 0.375A
i
v i k j

     
 
  ˆ38.89 0.375Av i   
 
ˆ77.78A
m
v i
s
 
   
 
 
B Cv v CB  
 
 ˆˆ ˆ38.89 103.7 0.375Bv i k i     
 
ˆ
ˆˆ ˆ38.89 103.7 0.375B
j
v i k i     
ˆ ˆ38.89 38.89Bv i j   
 
ˆ ˆ38.89 38.89B
m
v i j
s
 
     
 
 
 
2238.89 38.89 55 198B B B
m km
v v v
s h
      
 
ˆˆ6.5C AC ACa i k      
 
ˆ0.375A C j  
 
   C C AC AC ACa a A C A C           
 
ˆˆ ˆ6.5 0.375
ˆ ˆ ˆ103.7 103.7 0.375
A ACa i k j
k k j
     
       
 
 
ˆ
ˆ
ˆˆ ˆ6.5 0.375
ˆ ˆ ˆ103.7 103.7 0.375
A AC
i
i
a i k j
k k j



     
 
       
  
 
ˆ ˆ6.5 0.375
ˆ ˆ103.7 38.8875
A ACa i i
k i
    
     
 
 
ˆ
ˆ6.5 0.375
ˆ ˆ103.7 38.8875
A AC
j
a i
k i
   
   
 
 
  ˆ ˆ6.5 0.375 4032.63
N
T
A AC
a
a
a i j      
 
 Buscando outro ponto para completar a aceleração 
do ponto A: (CIR). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe que no instante que o ponto da borda toca 
o solo, pára instantaneamente e torna-se o CIR. Nessa posição 
a trajetória é onde ocorre a inversão da velocidade do ponto da 
borda, ou seja, é onde o ponto da borda inverta o seu 
movimento e desta forma pode-se garantir que possua apenas 
aceleração vertical; no instante que o ponto toca o solo, 
transforma-se no CIR, e apresenta aceleração vertical: 
ˆ
CIR CIRa a j 
 
 Assim: 
   CIR Ca a CIR C CIR C           
 
ˆ103.7 k    
ˆˆ6.5Ca i k      
 
ˆ0.375CCIR CIR C j   
 
ˆˆ ˆ6.5 0.375
ˆ ˆ ˆ103.7 103.7 0.375
CIRa i k j
k k j
     
       
 
 
ˆ
ˆ
ˆˆ ˆ6.5 0.375
ˆ ˆ ˆ103.7 103.7 0.375
CIR
i
i
a i k j
k k j



     
 
      
  
 
ˆ
ˆˆ ˆ ˆ6.5 0.375 103.7 38.8875CIR
j
a i i k i        
 
  ˆ ˆ6.5 0.375 4032.6CIRa i j     
 
CIR 
Cv
 
Av
 
x
 
 0,0
 
B
 
Bv
 
CIRa
 
y
 
x
 
z
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
9 
2
6.5
6.5 0.375 0 17.33
0.375
rad
s
         
  ˆ ˆ6.5 0.325 17.33 4032.63Aa i j     
 
2
ˆ ˆ13 4033A
m
a i j
s
 
     
 
 
 5. O eixo manivela AB, do motor ilustrado, gira 
com velocidade angular constante  = 75 rad/s, no sentido 
horário. Pela articulação A passa eixo fixo. Para o instante 
ilustrado, pedem-se: 
 (a) a velocidade do pistão; 
 (b) a aceleração do pistão.B Av v AB  
 
ˆ ˆ0 75 0.025Bv k j    
 
ˆ
ˆ ˆ ˆ0 75 0.025 1.875B B
i
v k j v i

       
 
   B A AB AB ABa a B A B A           
 
0 é cteAB AB  
 
ˆ ˆˆ ˆ0 0 0.025 75 75 0.025Ba j k k j            
 
1.875 ˆ
ˆ ˆ ˆ75 75 0.025B
i
a k k j
 
 
        
  
 
ˆ ˆ75 1.875Ba k i    
 
ˆ140.625Ba j  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C B BCv v BC  
 
   0.08;0 0;0.025BC C B   
 
ˆ ˆ0.08 0.025BC i j   
 
 ˆˆ ˆ ˆ1.875 0.08 0.025C BCv i k i j       
 
ˆ ˆˆ ˆ ˆ1.875 0.08 0.025C BC BCv i k i k j           
ˆ ˆ ˆ1.875 0.08 0.025C BC BCv i j i         
  ˆ ˆ1.875 0.025 0.08C BC BCv i j        
ˆ ˆ0C Cv v i j   
 
ˆ1.875 0.025 1.875
0.08 0 0
C BC C
BC BC
v v i
 
     
 
   
 
   C B BC BC BCa a C B C B           
 
   ˆˆ ˆ ˆ140.625 0.08 0.025 0 0C BCa j k i j C B               
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ140.625 0.08 0.025C BC BC
j i
a j k i k j 

          
 
ˆ ˆ ˆ140.625 0.08 0.025C BC BCa j j i          
 ˆ ˆ0.025 0.08 140.625C BC BCa i j       
 
ˆ ˆ0C Ca a i j   
 
0.025
0.08 140.625 0
C BC
BC
a 

 

  
 
2
2
ˆ0.025 1757.81 43.945
140.625
1757.81 
0.08
C C
BC BC
m
a a i
s
rad
s
 

     

   

 
 6. As barras AB, BC e CD são articuladas entre si 
conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos 
fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade 
angular AB = 5 rad/s, no sentido horário. Pedem-se: 
 (a) a velocidade angular da barra BC; 
 (b) a velocidade angular da barra CD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Barra AB: Colocando o eixo 0 em A: 
 
B 
A 
C 
25 mm 
80 mm 
ˆ75AB k   
 
B 
A 
25 mm 
z x 
y 
z x 
y 
Bv
 
B 
C 
80 mm 
ˆ
BC BC k  
 
Bv
 
Cv
 
A 
B C 
D 
z x 
y 
0.18 m 
0.20 m 
0.12 m 0.12 m 
z x 
y 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B A ABv v AB  
 
   0; 0.18 0,0AB B A    
 
ˆ0.18AB j 
 
ˆ ˆ ˆ0 5 0.18 0.9B Bv k j v i        
 
^ 
 
 
 
 Barra BC: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C B BCv v BC  
 
   0.24; 0.18 0; 0.18BC C B     
 
ˆ0.24BC i 
 
ˆ
BC BC k  
 
ˆˆ ˆ0.9 0.24C BCv i k i      
 
ˆ
ˆˆ ˆ0.9 0.24C BC
j
v i k i      
 
ˆ ˆ0.9 0.24C BCv i j     
 
 Barra DC: 
C D CDv v CD  
 
   0.12; 0.38 0.24; 0.18CD D C     
 
ˆ ˆ0.12 0.20CD i j   
 
 ˆ ˆ ˆ0 0.12 0.20C CDv k i j       
 
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ0.12 0.2C CD CD
j i
v k i k j 

        
 
ˆ ˆ0.2 0.12C CD CDv i j      
 
 Logo: 
0.2 0.9
0.12 0.24
CD
CD BC

 
  

   
 
 
0.9
0.2
0.12 0.12
4.5
0.24 0.24
CD
BC CD BC

  



      

 
 
ˆ4.5
ˆ2.25
CD
BC
rad
k
s
rad
k
s


  
    
  

       
 
 
 7. As barras AB, BC e CD são articuladas entre si 
conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos 
fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade 
angular AB = 8 rad/s, no sentido horário. Pedem-se: 
 (a) a velocidade angular da barra BC; 
 (b) a velocidade angular da barra CD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Barra AB: 
B A ABv v AB  
 
ˆ0.35AB B A AB j    
 
ˆ ˆ ˆ ˆ0 0.35 0.35 8 2.8B AB B Bv k j v i v i           
 
 Barra BC: 
C B BCv v BC  
 
   0.12;0.25 0;0.35BC C B   
ˆ ˆ0.12 0.1BC i j   
 
 ˆˆ ˆ ˆ2.8 0.12 0.1C BCv i k i j       
 
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ2.8 0.12 0.1C BC BC
j i
v i k i k j 

         
 
  ˆ ˆ2.8 0.1 0.12C BC BCv i j       
 
 Barra CD: 
C D CDv v CD  
 
A 
B 
0.18 m 
ˆ
AB AB k   
 
Bv
 
A 
B C 
D 
z x 
y 
0.18 m 
0.20 m 
0.12 m 0.12 m 
A 
B 
C D 
z x 
y 
0.10 m 
0.25 m 
0.12 m 
0.25 m 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
11 
   0.37;0.25 0.12;0.25CD D C   
 
ˆ0.25CD i 
 
ˆ ˆ ˆ ˆ0 0.25 0 0.25C CD C CDv k i v i j            
2.8 0.1 0
0.12 0.25
BC
BC CD

 
  

  
 
 
2.8 ˆ28
0.1
0.12 ˆ28 13.44
0.25
BC BC
CD CD
rad
k
s
rad
k
s
 
 
  
       
  

            
 
 
 8. As barras AB, BC e CD são articuladas entre si 
conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos 
fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade 
angular AB = 8 rad/s, no sentido horário. Pedem-se: 
 (a) a velocidade angular da barra BC; 
 (b) a velocidade angular da barra CD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Barra AB: 
B A ABv v AB  
 
   0.25; 0.12 0;0
ˆ ˆ0.25 0.12AB B A AB i j

      
 
 ˆ ˆ ˆ0 8 0.25 0.12Bv k i j      
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ8 0.25 8 0.12B
j i
v k i k j

        
 
ˆ ˆ0.96 2Bv i j    
 
 Barra BC: 
C B BCv v BC  
 
   0.25; 0.2 0.25; 0.12BC C B     
ˆ ˆ0 0.08BC i j   
 
 ˆˆ ˆ ˆ0.96 2 0.08C BCv i j k j         
 
ˆ
ˆˆ ˆ ˆ0.96 2 0.08C BC
i
v i j k j

        
 
  ˆ ˆ0.96 0.08 2C BCv i j      
 
 Barra CD: 
C D CDv v CD  
 
   0.45; 0.12 0.25; 0.12CD D C     
 
ˆ0.2CD i 
 
ˆ ˆ ˆ ˆ0 0.2 0 0.2C CD C CDv k i v i j            
0.96 0.08 0
0.2 2
BC
CD


   

  
 
0.96 ˆ12
0.08
2 ˆ10
0.2
BC BC
CD CD
rad
k
s
rad
k
s
 
 
  
     
  

           
 
 
 
 9. As barras AB, BC e CD são articuladas entre si 
conforme ilustrado. Pelas articulações A e D passam eixos 
fixos. No instante ilustrado, a barra AB gira com velocidade 
angular AB = 10 rad/s, no sentido anti-horário. Pedem-se: 
 (a) a velocidade angular da barra BC; 
 (b) a velocidade angular da barra CD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Barra AB: 
B A ABv v AB  
 
   0; 0.35 0;0
ˆ0.35AB B A AB j

     
 
 ˆ ˆ0 10 0.35Bv k j     
 
ˆ3.5Bv i 
 
 Barra BC: 
C B BCv v BC  
 
   0.12; 0.45 0; 0.35BC C B     
ˆ ˆ0.12 0.1BC i j   
 
 ˆˆ ˆ ˆ3.5 0.12 0.1C BCv i k i j       
 
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ3.5 0.12 0.1C BC BC
j i
v i k i k j 

         
 
A 
B 
C 
D 
z x 
y 
0.08 m 
0.25 m 
0.12 m 
0.20 m 
A 
B 
C D 
z x 
y 
0.35 m 
0.25 m 
0.10 m 
0.12 m 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
12 
  ˆ ˆ3.5 0.1 0.12C BC BCv i j       
 
 Barra CD: 
C D CDv v CD  
 
   0.37; 0.45 0.12; 0.45CD D C     
 
ˆ0.25CD i 
 
ˆ ˆ ˆ ˆ0 0.25 0 0.25C CD C CDv k i v i j            
3.5 0.1 0
0.25 0.12
BC
CD BC

 
  
  
 
 
3.5 ˆ35
0.1
0.12 ˆ35 16.8
0.25
BC BC
CD CD
rad
k
s
rad
k
s
 
 
  
       
  

           
 
 
 
 10. A barra AB, gira com frequência constante f 
=954.96 r.p.m. No sentido horário. Pela articulação, a barra 
BC encontra-se articulada à barra AB e ao curso C, que está 
vinculado à uma haste horizontal fixa, e desta forma, desloca-
se apenas na horizontal. Para o instante ilustrado, pedem-se: 
 
 (a) a velocidade angular da barra CB; 
 (b) a velocidade do cursor C. 
 (c) a aceleração do cursor C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Barra AB: 
15.916
954.96
954.96
60
f rpm Hz 
 
ˆ2 100
rad
f k
s
           
 
 
B A ABv v AB  
 
   0.07; 0.07 0;0
ˆ ˆ0.07 0.07AB B A AB i j
 
       
 
 ˆ ˆ ˆ0 100 0.07 0.07Bv k i j       
 
ˆ ˆ7 7Bv i j   
 
 Barra BC: 
C B BCv v BC  
 
   0.25;0.12 0.07; 0.07BC C B     
ˆ ˆ0.32 0.19BC i j   
 
 ˆˆ ˆ ˆ ˆ7 7 0.32 0.19C BCv i j k i j         
 
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ7 7 0.32 0.19C BC BC
j i
v i j k i k j 

           
 
   ˆ ˆ7 0.19 0.32 7C BC BCv i j         
7 0.19
0.32 7 0
C BC
BC
v 

  

  
 
7 ˆ21.875
0.32
ˆ7 0.19 21.875 2.84
BC BC
C C
rad
k
s
m
v v i
s
          
  

            
 
 
   B A AB AB ABa a B A B A           
 
0AB f  
é constante. 
 ˆ ˆ ˆ ˆ100 100 0.07 0.07Ba k k i j            
 
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆˆ ˆ100 7B
j i
a k k i k j

  
         
    
 
ˆˆ
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ700 700B B
ji
a k j i a k j k i

 
              
  
 
ˆ ˆ700 700Ba i j   
 
   C B BC BC BCa a C B C B           
 
 ˆˆ ˆ ˆ ˆ700 700 0.32 0.19C BCa i j k i j         
 
 ˆ ˆ ˆ ˆ21.875 21.875 0.32 0.19k k i j          
 
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ700 700 0.32 0.19C BC BC
j i
a i j k i k j 

           
ˆ7 4.15625 ˆ
ˆ ˆ ˆˆ ˆ21.875 21.875 0.32 21.875 0.19
j i
k k i k j

 
           
  
ˆ ˆ ˆ ˆ700 700 0.32 0.19C BC BCa i j j i          
ˆ7 4.15625 ˆ
ˆ ˆ ˆˆ ˆ21.875 21.875 0.32 21.875 0.19
j i
k k i k j

 
           
  
   ˆ ˆ700 0.19 700 0.32C BC BCa i j        
ˆˆ
ˆ ˆˆ ˆ153.125 21.875 4.15625
ji
k j k i

     
 
A 
B 
C 
450 
z x 
y 
0.25 m 
0.07 m 
0.32 m 
0.12 m 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
13 
   ˆ ˆ700 0.19 700 0.32C BC BCa i j        
ˆ ˆ153.125 90.9179i j   
 
   ˆ ˆ700 153.125 0.19 700 90.9179 0.32C BC BCa i j          
   ˆ ˆ546.875 0.19 609.082 0.32C BC BCa i j         
ˆ ˆ0C Ca a i j   
 
609.082 0.32 0
546.875 0.19
BC
C BCa


  

  
 
2
2
361.642
609.082 ˆ1903.38
0.32
546.875 0.19 1903.38 908.5
BC BC
C C
rad
k
s
m
a a
s
          
 

     

 
 
 11. Uma polia com raio R = 350 mm, é arrastada 
através de seu centro A, por uma haste que desloca-se 
horizontalmente a partir do repouso, com aceleração constante 
ah = 45 mm/s2. A polia apoia-se em uma esteira e não 
escorrega em relação à mesma. A esteira desloca-se com 
velocidade constante ve = 100 mm/s. Para o instante em que a 
haste alcança a velocidade vh = 250 mm/s, pedem-se: 
 (a) a velocidade angular da polia. 
 (b) a aceleração angular da polia, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ev v
 
 ˆˆ ˆ0.25 0.35h O Ov v Oh i v k j          
 
ˆ ˆ ˆ0.25 0.1 0.35i i i      
0.15ˆ ˆ ˆ0.25 0.1 0.35
0.35
i i i          
 
ˆ0.43 k    
   e Oa a e O e O           
 
   ˆ ˆ ˆˆ ˆ0.35 0.43 0.43 0.35e Oa a k j k k j                
  ˆˆ ˆ0 0.35 0.43 0.1505Oa i k i       
 
ˆ ˆ0 0.35 0.064715Oa i j     
 
ˆ ˆ0.35 0.064715Oa i j     
 
   h Oa a h O h O           
 
   ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ0.045 0 0.35 0.35i k j k k j               
 
2ˆ ˆ ˆ0.045 0.35 0.35 0.35 0.045i i j            
2
0.045
0.1285
0.35
rad
s
   
 
 
 12. As engrenagens ilustradas e1 e e2 tem 
respectivamente raios RA = 0,32 m e RB = 0,24 m. A 
engrenagem e1é fixa e permanece parada. A haste AB, gira no 
sentido horário com velocidade angular AB = 13 rad/s. 
Pedem-se: 
 (a) a velocidade angular da engrenagem e2; 
 (b) a aceleração do ponto P, de contato entre as 
engrenagens que pertence à engrenagem e2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B A ABv v AB  
 
ˆ ˆ0 13 0.56Bv k i    
 
ˆ7.28Bv j  
 
1 2e e
P Pv v
 Ponto de engrenamento. 
22
2eP B e
v v BPe  
 
   
2 22 2
ˆ ˆ ˆ7.28 0.24 7.28 0.24
e eP e P e
v j k i v j              
2 2 2
7.28
7.28 0.24 0 30.33
0.24
e e e
rad
s
         
 
B A AB ABa a AB AB         
 
ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0.56 13 13 0.56Ba k i k k i              
 
ˆ ˆ94.64 0.56Ba i j     
 
1 11e
P A e ea a AP AP         
 
 
2 2 2 2 22e
P B e e e e ea a BP BP         
 
   
22
ˆ ˆ ˆˆ ˆ0.24 30.33 30.33 0.24
eP B e
a a k i k k i              
 
22
ˆ ˆ0.24 220.778
eP B e
a a j i     
 
22
ˆ ˆ ˆ ˆ94.64 0.56 0.24 220.778
eP e
a i j j i           
   
22
ˆ ˆ94.64 220.778 0.56 0.24
eP e
a i j          
 
22
0
ˆ ˆ126.13 0.56 0.24
eP e
a i j       
 
 13. As engrenagens ilustradas e1 e e2 tem 
respectivamente raios RA = 0,32 m e RB = 0,24 m. A 
engrenagem e1 tem eixo fixo e gira no sentido horário com 
velocidade angular e1 constante. A haste AB, gira no sentido 
horário com velocidade angular AB = 13 rad/s. A engrenagem 
ev
 
R 
ha
 
O 
z x 
y 
z x 
y 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
14 
B não gira em torno de si mesma, ou seja, apresenta-se em 
translação. Pedem-se: 
 (a) a velocidade angular da engrenagem e1; 
 (b) a aceleração do ponto P, de contato entre as 
engrenagens que pertence à engrenagem e2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B A ABv v AB  
 
ˆ ˆ0 13 0.56Bv k i    
 
ˆ7.28Bv j  
 
11
1eP A e
v v APe  
 
 
11
ˆ ˆ0 0.32
eP e
v k i    
 
11
ˆ0.32
eP e
v j  
 
22 2
2
ˆ7.28 0
e eP B e P
v v BPe v j       
2
ˆ7.28
eP
v j 
 
11 2
ˆ ˆ0.32 7.28
e eP P e
v v j j      
 
1 1
7.28
22.75
0.32
e e
rad
s
   
 
B A AB ABa a AB AB         
 
ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0.56 13 13 0.56Ba k i k k i              
 
ˆ ˆ94.64 0.56Ba i j     
 
1 1 1 1 11e
P A e e e e ea a AP AP         
 
1 1
0 é constantee e  
 
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ22.75 22.75 0.32 165.62
e eP P
a k k i a i          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14. A barra AB de comprimento L = 20 m, é 
articulada em A por onde passa eixo fixo e apresenta inclinada 
de 300 em relação ao horizonte. A barra AB é empurradapelo 
disco de raio R = 4 m, que se move em translação com 
velocidade constante v = 5 m/s, para a esquerda. No instante 
ilustrado, pedem-se: 
 (a) a velocidade angular da haste; 
 (b) a velocidade do ponto B da haste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Colocando a origem em A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5
cos 90 30 5 0.5v v sen      
 
30
2 15
R R
tg AC
tgAC
 
   
 
 
0.2679
4
14.92
15
AC AC
tg
  

 
C
C AC AC
v
v AC
AC
    
 
2.5
0.167
14.92
AC AC
rad
s
   
 
20 0.167B AB Bv L v    
 
3.349B
m
v
s

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15. Na figura ilustrada, o disco gira em torno do 
eixo fixo, definido pela articulação A, no sentido horário, com 
aceleração angular constante  =  rad/s2. No instante 
ilustrado, a velocidade angular do disco é  = 2  rad/s, e o 
ângulo é  = 300. Fixado ao disco, um pino P, desliza na 
ranhura vertical de um dispositivo, que desloca-se apenas na 
horizontal, limitado por uma guia fixa. O movimento deste 
R 
B 
A 
L 
v
 
 
z x 
y 
z x 
y 
R 
B 
A 
L 
v
 /2 
z x 
y 
 cos 90v  
 
C 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
15 
dispositivo é transmitido a um pistão. A distância do ponto A 
ao pino P é, R = 0.2 m. Para o instante ilustrado, pedem-se: 
 (a) a velocidade do pistão; 
 (b) a aceleração do pistão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 0.2 1.256P P P
m
v R v v
s
       
 
2
0.2 0.6283
P P PT T T
m
a R a a
s
       
 
 
22
2
2 0.2 7.895
P P PN N N
m
a R a a
s
        
cos30 1.256 0.866
istão istãoP P P
v v v    
1.0877
istãoP
m
v
s

 
 O ângulo entre as acelerações tangencial e normal é 
90°. 
 
 P 
 
 
 
 
 
180 90 90         
30 60     
 Como a aceleração do pistão está na direção x: 
co coss
istão P PP T N
a a a   
 
cos30 7.895 cos0.62 03 68
istãoP
a    
 
0.544123 3.9475
istãoP
a  
 
2
ˆ3.403
istãoP
ia
m
s
 
 
 3.16 O rolamento ilustrado, tem sua capa externa 
fixa, enquanto que sua capa interna gira solitária a um eixo 
também fixo, com freqüência f = 3600 rpm. As esferas do 
rolamento são idênticas entre si, apresentam raio R = 0.0025 
me, rolam sem escorregar, apoiadas em ambas as pistas. A 
pista interna possui raio Ri = 0.0125 m. Pedem-se: 
 (a) a velocidade linear do centro das esferas; 
 (b) a velocidade angular das esferas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2A i A iv R v f R       
 
376.99
3600
2 0.0125 4.712
60
A A
m
v v
s
     
 
ˆ4.712Av j  
 
 A velocidade do ponto Pi da esfera de rolamento 
com a esfera interna é a mesma pois ela rola sem escorregar. 
Logo: 
0iP i
v v OP  
 
0
ˆ
iP
v v k R i    
 
0 0
ˆ
ˆ ˆ
i iP P
j
v v R k i v v R j          
 
0
ˆ ˆ ˆ4.712 4.712
iP A
v v j j v R j           
 Já no ponto externo da esfera de rolamento, que 
está em contanto com a esfera fixa, sua velocidade é nula: 
0eP e
v v OP  
 
0 0
ˆ
ˆ ˆˆ ˆ0
eP
j
v v k R i v R k i            
 
0
ˆv R j   
 
 Substituindo {2} em {1}, teremos: 
0
ˆ ˆ4.712 j v R j     
 
ˆ ˆ ˆ4.712 j R j R j         
ˆ ˆ4.712 2 2 4.712j R j R           
R 
 
A 
P 
z x 
y 
R 
 
A 
P 
z x 
y 
 
Pv
 
PT
a
 
PN
a
 

 

 90
 
cos
PT
a 
 
cos
PN
a 
 
x
 
Ri 
R 
Ri 
R 
B 
A 
z 
x 
y 
Pe 
Pi 
O 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
16 
4.712 4.712
942.4
2 2 0.0025
rad
R s
      
 
 
ˆ942.4
rad
k
s
     
 
 
0
ˆv R j   
 
0
ˆ942.4 0.0025v j   
 
0
ˆ2.356
m
v j
s
 
    
 
 
 17. O disco ilustrado rola sem escorregar, apoiado 
em superfície horizontal, e seu centro C, apresenta velocidade 
constante 
0.04Cv m s
. A barra AB, de comprimento L = 
0.3 m, é acionada pelo disco, através da articulação B, e 
mantém seu extremo A, em contato permanente com a 
superfície horizontal. A articulação B, dista 0.1 m, do centro C 
do disco. Para o instante ilustrado, quando  = 300, pedem-se: 
 (a) a velocidade angular da barra AB; 
 (b) a velocidade do ponto A da barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B Cv v CB  
 
 ; cosB CB sen CB   
 
 0.1 30 ;0.1 cos30B sen    
 
ˆ ˆ0.05 0.0866CB i j   
 
B Cv v CB   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Da figura: 
90 90 30        
60  
 
60 0.259
0.3
BH BH
sen sen BH
AB
       
0.1495
0.259 0.259
60
60
BH
tg tg OH
tgOH OH
      

 
OP OH PH OP OH CB sen      
0.1495 0.1 30OP sen   
 
0.0995OP 
 
   90 90 30
CP R
tg tg
OP OP
     
 
60 60 0.0995 1.732
R
tg R OP tg R
OP
       
 
0.172R
 
P Cv v CP  
 
ˆˆ ˆ0 0.04 0.172i k j      
ˆ
ˆˆ ˆ0 0.04 0.172
i
i k j

     
 
0.04
0.2325
0.172
rad
s
    
 
B Cv v CB  
 
 ˆˆ ˆ ˆ0.04 0.2325 0.05 0.0866Bv i k i j       
 
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ0.04 0.2325 0.05 0.2325 0.0866B
j i
v i k i k j

         
 
ˆ ˆ ˆ0.04 0.01162 0.020135Bv i j i     
 
ˆ ˆ0.060135 0.01162Bv i j   
 
 ; cosx y x y
CB sen
A A A A AB PH A R



 
         
 
 
   ; 0.3 cos60 0.1 cos30 ; 0.1645x yA A A       
 
   ; 0.063; 0.1645x yA A A   
 
B 
 
A 
0.3 m 
0.1 m 
C 
B 
 
A 
0.3 m 
0.1 m 
C 
90°- α 
α 
H O P 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
17 
   0.063; 0.1645 0.05;0.0866BA A B     
 
 0.113; 0.2511BA   
 
ˆ ˆ0.113 0.2511BA i j   
 
A B BAv v BA  
 
 ˆˆ ˆ ˆ ˆ0.060135 0.01162 0.113 0.2511A BAv i j k i j          
ˆ ˆ ˆ ˆ0.060135 0.01162 0.113 0.2511A BA BAv i j j i          
   ˆ ˆ0.060135 0.2511 0.01162 0.113A BA BAv i j         
ˆ ˆ0A Av v i j   
 
0.060135 0.2511
0.01162 0.113 0
A BA
BA
v 

  

   
 
 0.060135 0.2511 0.1 0.035
0.01132
0.100
0.113
A A
BA BA
m
v v
s
rad
s
 

     

     

 
 
 18. Um carretel constituído por cilindros de raios R1 
= 90 mm e R2 = 120 mm, é acionado por um fio enrolado ao 
mesmo, conforme ilustrado. O fio não escorrega em relação ao 
carretel. O carretel não escorrega em relação ao piso. O ponto 
D, da extremidade do fio, desloca-se a partir do repouso, com 
aceleração constante à aD = 450 mm/s2. Para o instante que 
este ponto atinge a velocidade vD = 90 mm/s, pedem-se: 
 (a) a aceleração do ponto A, do carretel; 
 (b) a aceleração do ponto B, do carretel.A velocidade no ponto D é a mesma, no instante 
considerado, que a velocidade no ponto B do carretel; a 
aceleração tangencial no ponto B é a mesma do ponto D, pois 
o fio não escorrega. 
 A velocidade no ponto C é nula,pois o carretel não 
desliza em relação ao solo e colocando a origem no ponto A: 
B Cv v CB  
 
     0;0 0; 0.09 0; 0.12A B C      
 
   0; 0.09 0; 0.12CB B C CB      
 
ˆ0.03CB j 
 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ0.09 0 0.03 0.09 0.03i k j i i            
0.09
0.09 0.03 3
0.03
rad
s
         
 
TB D
a a
 
1 2
0.45
0.45 5
0.09
rad
R
s
       
 
T NB B B
a a a 
 
2
1 1
ˆ ˆ
Ba R i R j      
 
2
ˆ ˆ0.45 0.81B
m
a i j
s
 
     
 
 
   0; 0.09 0;0AB B A AB     
 
ˆ0.09AB j 
 
 Aplicando a semelhança entre os triângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2 1
0.12
0.12 0.09
T T
A A
B B
a R a
a R R a
  
 
 
0.12
4 4 0.45
0.03 T
T
A
A B A
B
a
a a a
a
      
 
ˆ1.8Aa i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19. Um carretel constituído por cilindros de raios R1 
= 90 mm e R2 = 120 mm, é acionado por um fio enrolado ao 
mesmo, conforme ilustrado. O fio não escorrega em relação ao 
carretel. O carretel não escorrega em relação ao piso. O ponto 
D, da extremidade do fio, desloca-se a partir do repouso, com 
aceleração constante à aD = 450 mm/s2. Para o instante que 
este ponto atinge a velocidade vD = 90 mm/s, pedem-se: 
D 
B 
A R2 
R1 
z x 
y 
C 
Aa
 
TB
a
 2R
 
1R
 
2 1R R
 
CIR 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
18 
 (a) a aceleração do ponto A, do carretel; 
 (b) a aceleração do ponto B, do carretel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A velocidade no ponto D é a mesma, no instante 
considerado, que a velocidade no ponto B do carretel; a 
aceleração tangencial no ponto B é a mesma do ponto D, pois 
o fio não escorrega. 
 A velocidade no ponto C é nula,pois o carretel não 
desliza em relação ao solo e colocando a origem no ponto A: 
B Cv v CB  
 
     0;0 0;0.09 0; 0.12A B C     
 
   0;0.09 0; 0.12CB B C CB     
 
ˆ0.21CB j 
 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ0.09 0 0.21 0.09 0.21i k j i i            
0.09
0.09 0.21 0.428
0.21
rad
s
          
TB D
a a
 
1 2
0.45
0.45 5
0.09
rad
R
s
       
 
T NB B B
a a a 
 
2
2
1 1
0.428 0.09
ˆ ˆ
Ba R i R j 

     
 
2
ˆ ˆ0.45 0.017B
m
a i j
s
 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando a semelhança entre os triângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2 1
0.12
0.12 0.09
T T
A A
B B
a R a
a R R a
  
 
 
0.12 4 4
0.45
0.21 7 7T
T
A
A B A
B
a
a a a
a
      
 
ˆ0.26Aa i 
 
 20. Um pequeno automóvel, tem rodas dianteiras 
com diâmetro 0.45 m e traseiras com diâmetro 0.60 m e 
desloca-se em translação com aceleração constante a = 4.7 
m/s2. No instante considerado, a velocidade do mesmo é 20 
m/s (72 km/h). Considerando-se que não ocorra 
escorregamento entre as rodas e o piso, para o instante 
descrito, pedem-se: 
 (a) a velocidade angular da roda dianteira; 
 (b) a velocidade angular da roda traseira; 
 (c) a velocidade do ponto superior da roda 
dianteira; 
 (d) a velocidade do ponto superior da roda traseira; 
 (e) a aceleração do ponto superior da roda traseira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2s s
v R
v v
v R
   
 
40s
m
v
s

 
2
2s s
a R
a a
a R
   
 
D B 
A 
R2 
R1 
z x 
y Aa
 
TB
a
 
2R
 
1R
 
2 1R R
 
CIR 
C 
ˆ20v i 
 
2R
 
R
 
R
 
CIR 
sv
 
Ta
 
a
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
19 
 
2
2 4.7 9.4T T
m
a a
s
   
 
 No C.I.R.: 
0CIR
v
v v R
R
      
 
20
88.89
0.45 2D D D
R R R
D
v rad
R s
      
 
20
66.67
0.60 2T T T
R R R
T
v rad
R s
      
 
 
N Ta a a 
 
2ˆ ˆ9.4 66.7 0,3a i j    
 
ˆ ˆ9.4 1333.3a i j   
 
2 2
2
9.4 1333.3 1333,4
m
a a
s
   
 
 21. Um tambor de raio R = 0.45 m, é acionado 
através de uma corda enrolada no mesmo, com o intuito de 
fazê-lo subir um degrau de altura 0.25 m. No instante em que 
o tambor perde contato com o plano horizontal, o topo do 
tambor tem velocidade vC = 0.15 m/s. Não ocorre 
escorregamento entre o tambor e o degrau. Para o instante 
descrito, pedem-se: 
 (a) a velocidade angular do tambor; 
 (b) a velocidade do centro do tambor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nesse instante, o centro instantâneo de rotação é o 
ponto P: logo: 
2 2 0.45 0.25 0.65SC R h SC SC       
 
2 2
CP SC SP 
 
cos cos
OS R h
R R
    
 
0.45 0.25
cos cos 0.444
0.45
   
 
arccos0.444 63.61     
SP
sen SP R sen
R
    
 
0.45 63.612SP sen  
 
0.4031SP 
 
2 2
CP SC SP 
 
2 20.65 0.4031CP  
 
0.764CP 
 
0.401
0.6169
0.65
SP
tg tg tg
SC
      
 
0.6169 31.67arctg     
C
C CP
CP
v
v r
r
     
 
0.15
0.196
0.7648
rad
s
   
 
0.196 0.45 0.09
m
v R v v
s
      
 
 22. No arranjo ilustrado, os cursores A e B, estão 
articulados aos extremos A e B de uma barra, e desta forma 
fica garantido que a distância entre os mesmos não se altera. 
Os cursores deslizam livremente encaixados em sulcos que 
limitam seus movimentos, desta forma, ao cursor A só é 
permitido deslocamento vertical e ao cursos B só é permitido 
deslocamento na direção inclinada de 45 0 em relação à 
vertical. O cursor A, desloca-se na vertical, subindo, com 
velocidade constante vA = 2 m/s. Para estas condições, pedem-
se: (a) o CIR – Centro instantâneo de rotação da barra AB; 
 (b) a velocidade angular da barra AB; 
 (c) a velocidade do cursor B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CIR = B 
A
A AB
AB
v
v r
r
    
 
2
0.2
10
rad
s
   
 
0Bv 
 
 23. A roda ilustrada possui raio R = 0.2 m, gira com 
velocidade angular  = /2 rad/s no sentido horário e seu 
h
 
F
 
R
 
h
 
F
 
R
 
S
 
B
 
P
 
C
 

 
O
 

 
Cv
 

 
Av
 
A
 
B
 
045
 
10m
 
z x 
y 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
20 
centro se desloca com velocidade vC = 0.2 m/s para a direita. 
Pedem-se: 
 (a) o CIR da roda; 
 (b) determinar se a roda escorrega ou não; 
 (c) a velocidade do ponto de contato com o piso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C
C
v
v r r

   
 
0.2
2
r


 
Para o CIR no ponto de contato, sem derrapar: 
0.2
1
0.2
C
C
v rad
v r
r s
          
 
0.1273r 
 
0.2 0.1273 0.073CIR CIRr R r r m     
 
Como 1 < , a roda iráderrapar... 
 
 24. No arranjo ilustrado, três engrenagens estão 
engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos 
A, B e C. A engrenagem E1 é fixa, ou seja, mantém-se 
estacionária. A barra ABC gira, em torno de seu eixo fixo que 
passa pelo ponto A, com velocidade angular  = 30 rad/s, no 
sentido horário. Para o instante ilustrado, pedem-se: 
 (a) a velocidade angular da engrenagem E2; 
 (b) a velocidade angular da engrenagem E3; 
 (c) a velocidade do ponto da engrenagem E3, que 
faz contato com a engrenagem E2; 
 (d) a aceleração do ponto da engrenagem E3, que 
faz contato com a engrenagem E2; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  30 0.688 20.64B ABC A B B B
m
v r r v v
s
       
 
1 2 3
ˆ2 30 1.168 35.04C ABC E E E C C
m
v r r r v v j
s
           
2
0 0 0
PA A e
v v     
 
ˆ30 0.688 20.64B AB AB B B
m
v r v v j
s
         
2 22E
P B E Ev v BP  
 
2 2
ˆˆ ˆ ˆ0 20.64 0.288 20.64 0.288E Ej k i j             
2 2
20.64 ˆ71.66
0.288
E E k      
 
2 2 32 3E E
P B E E Ev v BP  
 
2 3
ˆˆ ˆ20.64 71.66 0.288
E EP
v j k i     
 
2 3 2 3
ˆ ˆ ˆ20.64 20.638 41.28
E E E EP P
v j j v j      
 
3 2 32 3E E
P C E E Ev v CP  
 
3
ˆˆ ˆ ˆ41.28 35.04 0.192C Ej v j k i          
3
ˆ ˆ ˆ41.28 35.04 0.192C Ej v j j         
3 3
41.28 35.04
32.5
0.192
E E   
 
3
ˆ32.5E
rad
k
s
     
 
 
z x 
y 
Cv
  
R
 
z x 
y 
30
 
B
 
C
 
A
 
CIR 
0.688
0.4 0.288
m

 
0.480
0.288 0.192
m

 
Bv
 
Cv
 
2E
Pv
 
2 3E E
Pv
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
21 
2 22E
P B E Ev v BP  
 
C A ABC ABC ABCa a AC AC         
 
ˆ ˆ ˆ0 0 30 30 1.168Ca k k i         
 
ˆ1051.2Ca i  
 
3 2 3 3 3 2 32 3E E
P C E E E E E E Ea a CP CP         
 
2 3
ˆ ˆˆ ˆ1051.2 32.5 32.5 0.192
E EP
a i k k i         
 
 
 
2 3
ˆˆ ˆ1051.8 32.5 6.24
E EP
a i k j         
 
2 3
ˆ ˆ1051.8 202.176
E EP
a i i   
 
2 3 2
ˆ849.624
E EP
m
a i
s
 
    
 
 
 
 25. No arranjo ilustrado, três engrenagens estão 
engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos 
A, B e C. A barra ABC gira, em torno de seu eixo fixo que 
passa pelo ponto A, com velocidade angular  = 30 rad/s, no 
sentido horário. A engrenagem E3 não gira sobre si mesmo, ou 
seja, apresenta movimento de translação. Para o instante 
ilustrado, pedem-se: 
 (a) a velocidade angular da engrenagem E2; 
 (b) a velocidade angular da engrenagem E1; 
 (c) a velocidade do ponto da engrenagem E3, que 
faz contato com a engrenagem E2; 
 (d) a aceleração do ponto da engrenagem E3, que 
faz contato com a engrenagem E2; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2C ABC AC C ABC A B Cv r v r r r         
 
1.1618
30 0.4 2 0.288 0.192 35.04C Cv v      
ˆ35.04C
m
v j
s
  
 
3 3 3 23 2
0
E EE P C E E E
v v P     
 
3 2E E
P Cv v
 
 B ABC AB B ABC A Bv r v r r      
 
 30 0.4 0.288Bv   
 
ˆ20.64B
m
v j
s
  
 
2 2 32 3E E
P B E E Ev v BP  
22 3
ˆˆ ˆ20.64 0.288
E EP E
v j k i     
 
22 3
ˆ35.04 20.64 0.288 35.04
E EP E
v j       
 
2 2
20.64 35.04 14.4
0.288 0.288
E E    
 
2
ˆ50E
rad
k
s
   
 
2 2 12 1E E
P B E E Ev v BP  
 
2 1
ˆˆ ˆ20.64 50 0.288
E EP
v j k i     
 
2 1
ˆ
ˆˆ ˆ20.64 50 0.288
E EP
j
v j k i      
 
2 1
ˆ ˆ20.64 14.4
E EP
v j j    
 
z x 
y 
30
 
B
 
C
 
A
 
CIR 
0.688
0.4 0.288
m

 
0.480
0.288 0.192
m

 
z x 
y 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
22 
2 1
ˆ6.24
E EP
m
v j
s
  
 
2 1 1 2
ˆ6.24
E E E EP P
m
v j v
s
   
 
1 1 21 2E E
P A E E Ev v AP  
 
1
ˆˆ ˆ6.24 0 0.4Ej k i      
 
1 1
6.24ˆ ˆ6.24 0.4
0.4
E Ej j        
 
1
ˆ15.6E
rad
k
s
   
 
0
0
B A ABC ABC ABCa a AB AB         
 
ˆ ˆ ˆ30 30 0.688Ba k k i         
 
ˆ619.2Ba i  
 
2 2 3 2 2 2 32 3E E
P B E E E E E E Ea a BP BP         
 
2 3
ˆ ˆˆ ˆ619.2 50 50 0.288
E EP
a i k k i          
 
 
2 3
ˆ
ˆ ˆˆ ˆ619.2 50 50 0.288
E EP
j
a i k k i
 
          
  
 
2 3
ˆ
ˆˆ ˆ619.2 50 14.4
E EP
i
a i k j

       
2 3 2
ˆ1339.2
E EP
m
a i
s
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26. No arranjo ilustrado, três engrenagens estão 
engrenadas entre si e articuladas a uma barra sólida nos pontos 
A, B e C. A barra ABC gira, em torno de seu eixo fixo que 
passa pelo ponto A, com velocidade angular  = 2 rad/s, no 
sentido horário. A engrenagem E1 é fixa e permanece 
estacionária. Para o instante ilustrado, pedem-se: 
 (a) a velocidade angular da engrenagem E2; 
 (b) a velocidade angular da engrenagem E3; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  2 0.4 2.5137B ABC A B B B
m
v r r v v
s
        
ˆ2.5137B
m
v j
s
  
 
2 2 12 1E E
P B E E Ev v BP  
 
22 '1
ˆˆ ˆ0 2.5137 0.1
E EP E
v j k i      
 
2
ˆ ˆ0 2.5137 0.1 Ej j     
 
2
2.5137
0.1
E   
2
ˆ25.1E
rad
k
s
      
 
 
3 3 23 2E E
P C E E Ev v CP  
 
 2C ABC A B Cv r r r    
 
 2 0.3 2 0.1 0.1 0.1 3.77C C
m
v v
s
       
ˆ3.77C
m
v j
s
 
    
 
 
2 2 32 3E E
P B E E Ev v BP  
 
2 3
ˆˆ ˆ2.5137 25.1 0.1
E EP
v j k i     
 
2 3
ˆ ˆ2.5137 2.5
E EP
v j j   
 
2 3
ˆ5.0137
E EP
m
v j
s
 
    
 
 
2 3 3 2E E E E
P Pv v
 
3 3 23 2E E
P C E E Ev v CP  
 
3
ˆˆ ˆ ˆ5.0137 3.77 0.1Ej j k i        
 
3
ˆ ˆ ˆ5.0137 3.77 0.1 Ej j j       
 
z x 
y 
2 
 
B
 
C
 
0.3m
 0.1m 
A
 
0.1m
 
0.1m
 
1E
 
2E
 
3E
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
23 
3 3
5.0137 3.77
12.34
0.1
E E
rad
s
   
 
3
ˆ12.34E
rad
k
s
     
 
 
 
 27. Uma viga de comprimento 4.0 m, é abaixada 
por intermédio de dois cabos presos em suas extremidades A e 
B. No instante em que se aplicam os freios ocorre um 
problema, e cada extremidade é desacelerada de forma 
diferente, desta forma, a extremidade A desacelera com 
aceleração aA = 3.0 m/s2 enquanto a extremidade B desacelera 
com aB = 5.0 m/s2. Pedem-se: 
 (a) a aceleração angular da viga; 
 (b) a aceleração do ponto médio da barra.A Ca a CA CA         
 
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2A ca a j k i k k i               
 
 2
ˆ3
ˆ ˆ2 2A c
j
a i a j 

      
 
B Ca a CB CB         
 
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2B ca a j k i k k i               
 
 2
ˆ5
ˆ ˆ2 2B C
j
a i a j 

       
 
2 2
0
2 5 4 0.5
2 3
C c
C
m rad
a a
s s
a

 



      
   
 
2 2
ˆˆ4 0.5c
m rad
a j k
s s
          
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
4 m 
Aa
 B 
z x 
y 
Ba
 
v
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
24 
 
 Exercícios – Livros: Kraige, B.J. e Hibbeler 
1. Determine as relações entre as grandezas angulares 
do movimento de uma roda de raio r que gira sem escorregar 
no chão em termos de suas grandezas lineares, velocidade e 
aceleração do seu centro, o ponto O indicado na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe que o deslocamento linear s do centro O da 
roda é igual ao arco de comprimento 
C A
. Adotamos a 
origem do sistema de coordenadas como o ponto C de contato 
da roda com o chão. 
 Relações: 
x r  
 
0v r  
 
0a r  
 
Da figura, observe que: 
 
r
x s r sen x r sen

  

      
 
 cos cos
r
y s r y r

  

      
 
Para obter as velocidades, faremos as derivadas com 
respeito ao tempo: 
  cos
dx dr d d
x sen r
dt dt dt dt
            
 
   cosx r sen r          
 
   
00
1 cos
v
x r sen r        
 
 0 1 cosx v   
 
 Analogamente: 
0y v sen 
 
 Para a aceleração, derivamos as velocidades. 
Encontra-se: 
  20 1 cosx a r sen       
 
2
0 cosy a sen r      
 
ˆ ˆ
Cv x i y j   
 
ˆ ˆ
Ca x i y j   
 
 No instante de contato (demonstre): 
 = 0. 
2 ˆ0C Cv a r j    
 
 2. Os pontos A e B da barra movem-se sobre os guias 
mostrados. Se vA = 2 m/s para baixo, determine a velocidade 
de B no instante que  = 450. 
 
 
 
 
 
 
 
 
B A ABv v r  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   0 00.2 45 ,0 0,0.2 cos45AB ABr B A r sen      
2 2ˆ ˆ0.2 0.2
2 2
ABr i j     
 
ˆ ˆ0.1 2 0.1 2ABr i j     
 
ˆ
B A ABv v k r   
 
 ˆˆ ˆ ˆ2 0.1 2 0.1 2Bv j k i j          
 
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 0.1 2 0.1 2B
j i
v j k i k j 

            
 
 ˆ ˆ0.1 2 2 0.1 2Bv i j          
 
Mas: 
ˆ
B bv v i 
 
10 2 0.1 2 2
0.1 2
22 0.1 2 0 10 2
0.1 2
b b
b
m
v v
v s
rad
s

  

         
 
           
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
25 
 
 
 
2. O cilindro da figura rola sem escorregar sobre a 
superfície da esteira que possui velocidade vC = 2 ft/s, 
horizontal. Determine a velocidade do ponto A do cilindro. O 
cilindro possui uma velocidade angular no sentido horário de 
15 rad/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B BAv v r  
 
ˆ2B Cv v i  
 
   0.5,0 0, 0.5BA BAr BA A B r       
 
ˆ ˆ0.5 0.5BAr i j    
 
ˆ15 k   
 
 ˆˆ ˆ ˆ2 15 0.5 0.5Av i k i j        
 
     ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 15 0.5 15 0.5Av i k i k j            
 
 ˆ ˆ ˆ2 7.5 7.5Av i j i      
 
ˆ ˆ ˆ2 7.5 7.5Av i j i     
 
ˆ ˆ9.5 7.5A
ft
v i j
s
 
     
 
 
2 29.5 7.5 12.1A A
ft
v v
s
 
     
 
 
7.5
38.2
9.5
y
x
A
A
v
arctg arctg
v
            
   
 
012.1 38.2A
ft
v
s
 
  
 
 
 
 
Solução: Análise escalar: 
 
 
 
 
 
0
0
45
45
A B BA BA
BA
r r
v r sen r
r sen
     
 
0
15 10.6
45
A B A B
r ft
v v
sen s
   
 
A B BAv v v 
 
  02 10.6 cos 45 9.6
x x x xA B BA A Ax
v v v v v       
  00 10.6 45 7.5
y y x yA B BA A Ay
v v v v sen v       
 
 3. O colar C está se movendo para baixo com uma 
velocidade de 2 m/s. Determine a velocidade angular da barra 
CB nesse instante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O movimento de C para baixo causa uma rotação no 
sentido anti-horário da barra CB. 
B C CB CBv v r   
   0.2,0 0,0.2CBr B C    
ˆ ˆ0.2 0.2CBr i j   
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
26 
 ˆˆ ˆ ˆ2 0.2 0.2Bv j k i j        
 
 ˆˆ ˆ ˆ2 0.2 0.2Bv j k i j        
 
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 0.2 0.2
j i
Bv j k i k j 

          
 
 ˆ ˆ ˆ0.2 0.2 2 2B Bv i j v i           
0.2 2 2
10 
0.2 2 0 0.2
rad
s
  
 
   
  
 
 
 
 
4. Uma roda de raio 300 mm rola para a direita sem 
escorregar, com velocidade de seu centro O dada por: v0 = 3 
m/s. Calcule a velocidade do ponto A da roda no instante 
representado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução 1: Geométrica-escalar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A O A O
v v v 
 
A velocidade angular no ponto A é a mesma que no 
ponto C da periferia: 
0
3
10
0.3
rad
v r
s
       
 
0 0.2 10 2AO AO AO
m
v r v v
s
      
 
2 2 2 2 cos60A O OAO AOv v v v v      
 
2 2 2 213 2 2 3 2 19 19
2
A A A
m
v v v
s
         
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja como foi aplicada a lei dos co-senos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 2 2 cosa b c b c       
2 2 2 2 cosb a c a c       
2 2 2 2 cosc a b a b       
 
 
 
 
 
 
 2 2 2 2 cos 180b a c a c       
 
 cos cos cos sen sen          
 
1 0
cos 180 cos180 cos 180sen sen  

    
 
 cos 180 cos   
 
2 2 2 2 cosb a c a c       
 
 Solução 2: Vetorial: 
A O A O
v v v 
 
 ˆ3Av i A O    
 
 0 0
0.2
cos30 ; 30 0.1732;0.1A r r sen A
 
         
 
 
 
  ˆ ˆ0;0 0.1732 0.1O A O i j       
 
ˆ10 k   
 
 ˆˆ ˆ ˆ3 10 0.1732 0.1Av i k i j        
 
 
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 10 0.1732 10 0.1A
j i
v i k i k j

          
 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 1.732 1 4 1.732A Av i j i v i j          
 
2 24 1.732 19A A
m
v v
s
   
 
19 23.4A
m
v
s
 
 
 
 
 
 
 
α 
  
a 
b c 
a 
c 
b 
 
180°- 
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
27 
5. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre 
a cremalheira inferior estacionária; a velocidade do seu centro 
Aé de 1.2 m/s para a direita. Determinar: 
(a) a velocidade angular da engrenagem, 
(b) as velocidades da cremalheira superior R e do 
ponto D da engrenagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como a engrenagem rola sobre a cremalheira 
inferior, seu centro A percorrerá uma distância igualao 
comprimento da circunferência exterior, 2r1, para cada 
rotação completa da engrenagem. Como 1 ver = 2 rade, 
quando A rola para a direita, (xA > 0), a engrenagem gira em 
sentido horário ( < 0), escrevemos: 
1Ax r  
 
1 1
A
A
dx d
r v r
dt dt
       
 
1
1.2
8
0.150
Av rad
r s
         
 
ˆ ˆ8
rad
k k
s
       
 
 O rolamento é decomposto em dois movimentos: um 
de translação do centro A e outro de rotação ao redor deste 
centro. Na translação, todos os pontos da engrenagem 
deslocam-se com a mesma velocidade va. Na rotaça, cada 
ponto P da engrenagem se desloca ao redor de A com 
velocidade: 
P APv r  APr P A  
 
 Aqui 
PAr
 é o vetor de posição de P em relação a A. 
 Assim, a velocidade da cremalheira superior é a 
velocidade do ponto B: 
R B B A ABv v v v v   
 
B A ABv v r  
 
   ˆˆ ˆ1.2 8 0.1Bv i k j      
 
ˆ
ˆˆ ˆ1.2 0.8
i
Bv i k j

    
 
ˆ ˆ ˆ1.2 0.8 2.0B B
m
v i i v i
s
 
        
 
 
 Velocidade do ponto D: 
D A ADv v r  
 
   ˆˆ ˆ1.2 8 0.15Dv i k i       
 
 
ˆ
ˆˆ ˆ1.2 8 0.15
j
Dv i k i     
 
ˆ ˆ1.2 1.2D
m
v i j
s
 
     
 
 
2 21.2 1.2 2.88 1.7D D
m
v v
s
 
      
 
 
tan 1 45     
ˆ ˆ1.2 1.2 1.7 45D D
m m
v i j v
s s
   
          
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resumindo: 
0
8 /
1.2
0.15
A
C A
rad s
v
v v AC
R
        
 
R B Av v v AB   
 
ˆˆ ˆ1.2 8 0.1R Bv v i k j      
 
ˆ ˆ ˆ1.2 0.8 2R B B
m
v v i i v i
s
       
 
D Av v AD  
 
 ˆˆ ˆ ˆ ˆ1.2 8 0.15 1.2 1.2D Dv i k i v i j           
 
 
 
 
 
 
 
(c) Se a aceleração do ponto A vale 3 m/s2 para a 
direita e sua velocidade 1.2 m/s para a direita, determine a 
aceleração angular da engrenagem e as acelerações dos pontos 
B, C e D da engrenagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
28 
 
Ponto x(m) y(m) 
A 0 0 
B 0 0.1 
C 0 -0.15 
D -0.15 0 
Vetores 
ˆ0.15C A j  
 
ˆ0.1B A j  
 
ˆ0.15D A i   
 
    C Aa a C A C A         
 
        ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 0.15 8 8 0.15Ca i k j k k j               
   ˆˆ ˆ ˆ3 0.15 8 1.2Ca i i k i          
 
  ˆ ˆ3 0.15 9.6Ca i j     
 
3
3 0.15 0
0.15T
Ca        
 
2
ˆ20 20
rad
k
s
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo das acelerações nos pontos; 
 
    D Aa a D A D A         
 
        ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 20 0.15 8 8 0.15Da i k i k k i               
 
   ˆˆ ˆ ˆ3 3 8 1.2Da i j k j        
 
ˆ ˆ ˆ3 3 9.6Da i j i     
 
ˆ ˆ12.6 3Da i j   
 
2 2
2
12.6 3 12.95D D
m
a a
s
   
 
03 13.4
12.6
y
x
D
D
a
arctg arctg
a
      
 
2
12.95D
m
a
s

⦨13.40 
 
    B Aa a B A B A         
 
        ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 20 0.1 8 8 0.1Ba i k j k k j             
 
   ˆˆ ˆ ˆ3 2 8 0.8Ba i i k i        
 
ˆ ˆ5 6.4Ba i j   
 
 
22
2
5 6.4 8.12B B
m
a a
s
    
 
06.4 52
5
y
x
B
B
a
arctg arctg
a
      
 
2
8.12B
m
a
s

⦫520 
 
 
    C Aa a C A C A         
 
        ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 20 0.15 8 8 0.15Ca i k j k k j               
 
   ˆˆ ˆ ˆ3 3 8 1.2Ca i i k i         
 
ˆ9.6Ca j 
 
2
9.6C
m
a
s

 
090 
 
2
9.6C
m
a
s
 
900 
 
6. No sistema esboçado, a manivela AB possui uma 
velocidade angular constante de 2000 rpm (freqüência f) no 
sentido horário. Determinar para a posição da manivela 
indicada na figura: 
 (a) a velocidade angular da biela BD. 
 (b) a velocidade do pistão P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 100
2000 2000
60 3
f rpm f Hz f Hz    
 
 
200
2 209.45
3
rad rad
f
s s
        
 
 
 
 
 
 
 
0.0762 209.45AB AB ABv r v     
015.95 50AB
m
v
s
 
 
 Movimento da Biela BD: 
 Aplicando a lei dos senos: 
40 40
0.0762
0.0762 0.203 0.203
sen sen sen
sen
      
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
29 
0.241 0.241 13.96sen arcsen        
 Observe que a velocidade vD do ponto D, onde a biela 
se une ao pistão, deve ser horizontal. Decompondo o 
movimento de BD: 
 
 
 
 
 
Movimento plano de BD= Translação + rotação 
D B DBv v v 
 
 
Fazendo o diagrama vetorial dessa relação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
53.9 50 76.1
D DB Bv v v
sen sen sen
 
  
 
15.9 15.9
50
53.9 50 76.1 76.1
D DB
DB
v v
v sen
sen sen sen sen
    
   
12.5DB
m
v
s
 
  
 
76.1° 
15.9
53.9 13.2
76.1
D D
m
v sen v
sen s
    

 
 
 Utiizando o CIR: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40B  
 
90D  
 
13.95  
 
53.95B  
 
76.05D  
 
8
76.05 53.95 50
BC CD BD
sen sen sen
 
  
 
10.14 8.44BC CD  
 
628.13 10.14B BD BDv BC      
 
62BD rad s 
 
43.6D BD Dv CD v m s    
 
 
7. A barra AB de 0.2 m de comprimento está presa a 
uma roda de 0.1 m de raio que gira no sentido horário a 30 
rad/s quando  = 600. Determine a velocidade angular da barra 
BC e da roda nesse instante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B AB ABv r 
 
 0 0ˆ ˆ ˆ30 0.2 cos60 0.2 60Bv k i sen j        
 
0 0ˆ ˆˆ ˆ30 0.2 cos60 30 0.2 60Bv k i sen k j          
 
 ˆ ˆ3 5.196Bv j i     
 
ˆ ˆ5.196 3Bv i j   
 
C B BC BCv v r  
 
ˆˆ ˆ ˆ5.196 3 0.2C BCv i j k i       
 
 ˆ ˆ5.196 0.2 3C BCv i j     
 
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
30 
  15
5.196
ˆ ˆ ˆ5.196 0.2 3
3
0.2
C
C BC
BC
m
v
s
v i i j
rad
s





        



 
Na polia com centro em D: 
 ˆˆ ˆ5.196 0.1C D C Dv r i k j         
 
ˆ
ˆˆ ˆ ˆ ˆ5.196 0.1 5.196 0.1
i
D Di k j i i 

          
 
5.196
0.1 5.196 51.96
0.1
D D D
rad
s
       Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
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31 
Av
 
15
 
ABv
 
Bv
 

 

 
90 
 
75° 
30° 
 Exercícios 
1. Um automóvel se desloca para a direita a uma 
velocidade constante de 72.4 km/h. Se o diâmetro da roda é 
0.559 m, determine as velocidades dos pontos A, B C D e E à 
margem da roda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 20A A
km m
v v
h s
  
 
| | | |C A B A D A E Av v v v r    
 
0.559
0.2795
2 2
D
r r r m    
 
|
|
20
71.55
0.2795
C A
C A
v rad
v r
r s
          
| 20 20 0C A C A C Cv v v v v      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|D A D Av v v 
 
 ˆ ˆ ˆ20 20 cos30 30Dv i i sen j       
 
  ˆ ˆ20 20 cos30 20 30Dv i sen j       
 
ˆ ˆ37.32 10Dv i j   
2 2 2 237.32 10 38.63D x y D D
m
v v v v v
s
      
 
10
15
37.32
D Darctg      
 
 
 
2. O movimento da haste AB é guiado pelos pinos 
ligados a A e a B que deslizam nas ranhuras mostradas. 
No instante mostrado,  = 40° e o pino 
em B se move para cima e para a esquerda, com uma 
velocidade constante de 6 polegadas/s. 
Determinar 
(a) a velocidade angular da haste, 
(b) a velocidade do pino A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R B B A ABv v v v v   
 
 
 
 
 
 
 
   90 75 15
B AB Av v v
sen sen sen    
 
   90 40 75 15 40
B AB Av v v
sen sen sen
 
    
 
50 75 55
B AB Av v v
sen sen sen
 
  
 
55 55
6 6.412
50 50
A B A A
sen sen in
v v v v
sen sen s
 
    
 
 
75 75
6 7.57
50 50
AB B AB AB
sen sen in
v v v v
sen sen s
 
    
 
 
ABv l 
 
7.57
20
ABv
l
   
 
0.378
rad
s
 
 
  cos cossen sen sen          
  cos cossen sen sen          
 
3. O movimento da haste AB é guiado pelos pinos 
ligados a A e a B (figura anterior) que deslizam nas ranhuras 
mostradas. No instante mostrado,  = 30 ° e o pino em A se 
move para baixo com uma velocidade constante de 9 pol/s. 
Determinar: 
(a) a velocidade angular da haste, (b) a velocidade do 
pino no final B. 
 
4. Pequenas rodas foram colocados nas extremidades 
da haste AB e rolam livremente ao longo das superfícies 
mostradas. 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
32 
Sabendo que uma roda se move para 
a esquerda, com uma velocidade constante de 1.5 m/s, 
determinar: 
(a) a velocidade angular da haste; 
(b) a velocidade da extremidade B da haste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Um colar se move para cima, com uma velocidade 
constante de 1,2 m/s no instante mostrado quando  =25°. 
Determinar: 
(a) a velocidade angular da haste AB; 
(b) a velocidade de B. 
 
 6. O Colar B se move para baixo para a esquerda 
com uma velocidade constante de 1.6 m/s. No instante 
indicado quando  = 40 °, determinar: 
(a) a velocidade angular da haste AB; 
 (b) a velocidade de A. Gola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6. No mecanismo de engrenagens utilizado num certo 
dispositivo está esquematizado, os raios das engrenagens A, B, 
C e D valem 30 mm e o raio da engrenagem externa E vale 90 
mm. Sabendo que a engrenagem E tem freqüência 120 rpm no 
sentido horário e a engrenagem interna central A possui 
freqüência 150 rpm no sentido horário, determine: 
 (a) a velocidade angular de cada engrenagem. 
 (b) a velocidade angular da aranha formada pelas 
engrenagens B, C e D conectadas entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
180
2 2 E E E
rpm
rad
f
s
      
 
240
2 8 A A A
rpm
rad
f
s
      
 
 Engrenagem E: (externa) 
6 90 540E E E E E
mm
v r v v
s
          
 Engrenagem A: 
8 30 240H A A H H
mm
v r v v
s
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 Engrenagem B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H E Bv v BE  
 
 ˆˆ ˆ ˆ240 540 60Bi i k j         
 
 
ˆ
ˆˆ ˆ240 540 60 B
i
i k j  

     
 
ˆ ˆ300 60 60 300B Bi i            
Hv
 
A
 
A
 
30Ar mm
 
B
 
Hv
 
30Br mm
 
H
 
H
 
E
 
Bv
 
B
 
30Br mm
 
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Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
33 
 E
 
A 
B 
E 
 A
 
 B
 
a b 0 
1 
2 
3 
2v
 
300 ˆ5 
60
B B
rad
k
s
          
 
 
B H Bv v HB  
 
 ˆˆ ˆ240 5 30Bv i k j      
 
ˆ
ˆˆ ˆ240 150B
i
v i k j 

    
 
ˆ ˆ240 150Bv i i    
 
ˆ390B
m
v i
s
     
 
 
 Velocidade angular das engrenagens planetárias: 
5 5 5 B C D
rad rad rad
s s s
                   
     
 
     150 150 150 B C Df rpm f rpm f rpm    
 
 Spider: 
 
 
 
 
 
 
 
B
B S S S
S
v
v r
r
    
 
390
60
S

 
 
ˆ6.5 S
rad
k
s
      
 
 
 195 sf rpm
 
7. No mecanismo de engrenagens utilizado num certo 
dispositivo está esquematizado na figura do problema anterior, 
os raios das engrenagens A, B, C e D são iguais a 3 in (3 
polegadas). (1 in = 2.54 cm = 1 feet/33). Sabendo que a 
engrenagem A tem uma frequência constante de 150 rpm no 
sentido horário e a engrenagem E está estacionária, determine 
a aceleração do dente da polia E em contato com: 
(a) a engrenagem A; 
(b) a engrenagem E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engrenagem Velocidade 
A 
1 Av a  
 
Spider 
 2 sv a b   
 
B 
2 1 Bv v b   
 
3 2 Bv v b   
 
E 
 3 2 Ev a b    
 
 
2
2
2
E Aa b a
v
    

 
 2
2
E A
B
a b a
b
     
 
 
 
2
2
E A
S
a b a
a b
 

   


 
1
0
5
E S A    
 
 8. A barra AB, ilustrada, gira com velocidade 
angular constante  = 7 rad/s, no sentido horário. O cursor C 
desloca-se sobre barra horizontal fixa, no instante ilustrado: 
 (a) qual a velocidade do ponto B, em m/s ? 
 (b) qual a aceleração do ponto B, em m/s² ? 
 (c) qual a velocidade do ponto C, em m/s ? 
 (d) qual a aceleração do ponto C, em m/s² ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9. As barras ilustradas, AB, BC e CD, são 
articuladas entre si. A barra AB gira no sentido horário com 
velocidade angular AB = 15 rad/s. 
 Qual a velocidade angular da barra CD, em rad/s ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10. No instante ilustrado, a barra AB gira com 
velocidade angular, AB = 7 rad/s, no sentido horário, e 
aceleração angular nula. O cursor C tem seus movimentos 
limitados por haste fixa. Para o instante ilustrado, encontre: 
(a) a velocidade do ponto B, em m/s; 
Bv
 S

 60Sr mm
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
34 
(b) a aceleração do ponto B, em m/s²; 
(c) a velocidade angular da barra BC; 
(d) a aceleração do ponto CB, em m/s²;11. As barras AB, BC e CD, são articuladas entre si 
conforme ilustrado. A barra AB gira com velocidade angular 
constante AB = 6 rad/s, no sentido horário. Para o instante 
ilustrado: 
 (a) qual a velocidade angular da barra BC, em rad/s ? 
 (b) qual a aceleração do ponto B, em m/s² ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12. A barra AB, gira com freqüência constante f = 
954,96 r.p.m. no sentido horário. O cursor C está vinculado a 
uma haste horizontal fixa, para o instante configurado: 
(a) qual a velocidade angular da barra BC, em rad/s ?
 (b) qual a velocidade do cursor C, em m/s ?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12. No arranjo ilustrado, o disco AB gira com 
velocidade angular constante, AB = 9 rad/s, no sentido 
horário. O cursor C tem seus movimentos limitados por haste 
fixa. 
 (a) Qual a velocidade do cursor C, em m/s ? 
 (b) Qual a velocidade angular da barra BC, em rad/s ?
 
 
 
 
 
 
 
 13. As barras AB, BC e CD, são articuladas entre 
si, conforme ilustrado. A barra CD, tem velocidade angular 
constante  = 5 rad/s, no sentido horário. Para o instante 
ilustrado, encontre: 
(a) a velocidade angular da barra AB, em rad/s;
 (b) a velocidade angular da barra BC, em rad/s.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14. As barras AB, BC e CD, são articuladas entre 
si, conforme ilustrado. A barra AB, tem velocidade angular 
constante  = 3 rad/s, no sentido horário. Para o instante 
ilustrado, encontre: 
 (a) a velocidade angular da barra BC, em rad/s; 
 (b) a velocidade angular da barra CD, em rad/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15. A engrenagem A gira com uma 120 rpm 
no sentido horário. Sabendo-se que a velocidade angular do 
braço AB é 90 rpm no sentido horário, determinar a 
velocidade angular correspondente da engrenagem B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16. O braço AB do sistema anterior gira com 42 
rpm no sentido horário. Determinar a velocidade angular 
necessária de engrenagem A para os quais 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
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35 
 (a) a velocidade angular da engrenagem B é de 20 rpm 
horário, 
(b) o movimento da engrenagem B é uma translação 
curvilínea. 
 
 17. O Braço AB gira com  = 20 rad/ s no sentido 
horário. Sabendo-se que a engrenagem exterior C é 
estacionário, determinar: 
 (a) a velocidade angular da engrenagem B, 
 (b) a velocidade do dente de engrenagem localizado 
no ponto D.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18. O Braço ACB gira sobre o ponto C com uma 
angular velocidade de 40 rad / s para a esquerda. Dois discos 
de fricção A e B estão presos em seus centros de ACB braço, 
como mostrado. Sabendo que os discos rolam sem escorregar 
em superfícies de contato, determinar, para cada caso, a 
velocidade angular de (a) do disco A, (b) do disco B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caso 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caso 2: 
 
 
 
 
 
 19. Sabendo que a manivela AB gira com 
frequência de 160 rpm, no sentido anti-horário, determinar a 
velocidade angular da haste e o BD e a velocidade de gola D 
quando: (a)  = 0°, (b)  = 90 °. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20. No sistema de motor mostrado, l = 160 mm e b 
= 60 mm. Sabendo que a manivela AB gira com uma 
frequência constante de 1000 rpm no sentido horário, 
determinar a velocidade do pistão P e a velocidade angular da 
haste de ligação quando (a)  = 0°, (b)  = 90°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21. Uma cremalheira reta repousa sobre uma 
engrenagem de raio r e está ligada a um bloco 
B, tal como mostrado. Denotando por D velocidade angular 
da engrenagem D e por  o ângulo formado pela cremalheira e 
a horizontal, determine expressões para a velocidade do bloco 
B e para a a velocidade angular da cremalheira em termos de 
r, , e D. 
 
 
 
 
 
 
22. Um automóvel viaja para a direita a uma 
velocidade constante de 48 km /h. Se o diâmetro de uma roda 
é de 22 cm, determinar as velocidades dos pontos B, C, D e E 
do aro da roda. 
 
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22. A roda de 80 mm de raio mostrado rola para a 
esquerda com uma velocidade de 900 mm /s. Sabendo-se que 
a distância AD é de 50 mm, determinar a velocidade da gola e 
a velocidade angular da haste AB quando 
 (a)  = 0°, (b)  = 90 °. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23. Para a engrenagem mostrada, derivar uma 
expressão para a velocidade angular C de engrenagem C e 
mostrar que C é independente do raio da engrenagem B. 
Suponha que o ponto A é fixo e denotam as velocidades 
angulares da haste ABC e da haste A por ABC e A, 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24. Num dado instante, um cilindro de raio r possui 
velocidade angular  e aceleração angular , ambas no 
sentido horário, como mostra a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 Mostre que a aceleração e a velocidade no ponto G 
são dadas por ( o cilindro não escorrega): 
Ga 
ˆ
Ga r i   
ˆ
Gv r i   
 25. O rolete A move-se com velocidade contante vA 
= 3 m/s; determine a velocidade angular da barra AB e a 
velocidade do rolete B, vB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a engrenagem mostrada, derivar uma 
expressão para a velocidade angular C de engrenagem C e 
 
 26. A roda rola sem escorregar com uma velocidade 
angular de  = 10 rad/s. Determine a velocidade do ponto B 
no instante mostrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 27. Determine a velocidade angular do carretel. O 
cabo está preso no núcleo interior e o carretel não escorrega na 
plataforma P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28. Se a manivela OA gira com velocidade angular 
de  =12 rad/s,determine a velocidade do pistão B e a 
velocidade angular da barra AB no instante mostrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 02 – 2° Bimestre 
 
37 
 29. Se a barra AB desliza ao longo da ranhura 
horizontal com velocidade de 60 ft/s, determine a velocidade 
angular da barra BC no instante mostrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30. O ponto A tem uma valocidade de vA = 3 m/s. 
Determine a velocidade da cavilha em B nesse instante. A 
cavilha move-se ao longo da fenda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31. A engrenagem A rola sobre uma cremalheira 
fixa B com uma velocidade angular  = 4 rad/s. Determine a 
velocidade da cremalheira C. 
 
 
 
 
 
 
 
 32. Suponha, no problema anterior, que a 
engrenagem A rola sobre as cremalheiras B e C. A cremalheira 
B se move para a direita com velocidade 8 ft/s e a cremalheira 
C move-se para a esquerda com velocidade 4 ft/s. Determine a 
velocidade angular da engrenagem e a velocidade de seu 
centro. 
 
 
 
 
 
 
 
 33. Uma engrenagem repousa numa cremalheira 
horizontal. Uma corda é amarrada no núcleo da engrenagem e 
num dado ponto A, tangente ao núcleo, ela é puxada para a 
direita com velocidade constante de 2 ft/s. Determine a 
velocidade do centro da engrenagem C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34. Determine a velocidade angular da engrenagem 
e a velocidade de seu centro no instante mostrado.35. Determine a velocidade do ponto A mostrado no 
instante considerado. 
 
 
 
 
 
 
 36. No sistema de engrenagens mostrado, utilizado 
num sistema de transmissão automática de um automóvel, 
considere o caso que a engrenagem R é fixa, com R = 0, e a 
engrenagem S está girando com velocidade angular S = 5 
rad/s. Determine a velocidade angular de cada engrenagem P e 
do eixo A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37. O pistão P move-se para cima com velocidade 
de 300 in/s. Determine a velocidade angular do virabrequim 
AB no instante considerado. Encontre a velocidade do centro 
de gravidade G. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bv
 
Cv
 
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38 
 38. Uma bicicleta possui velocidade 4 ft/s e no 
mesmo instante a roda traseira possui velocidade angular de 3 
rad/s, o que causa escorregamento do ponto A da roda traseira 
da bicicleta com o solo. Determine a velocidade do ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39. Se a barra AB possui velocidade angular AB = 4 
rad/s, determine a velocidade do bloco deslizante C no 
instante considerado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40. A engrenagem D gira no sentido anti-horário 
com velocidade angular D = 5 rad/s, enquando a barra AB 
gira com velocidade angular no sentido horário de AB = 10 
rad/s; determine a velocidade angular da engrenagem C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 41. Um sistema de transmissão automática consiste 
de 3 engrenagens A, B e C, montados num portador D, 
conectados com a engrenagem interna E e a engrenagem 
externa F (Sol). Pelo controle ao qual o sistema gira e quais 
engrenagens recebem a potência, a transmissão automática 
pode alterar a velocidade do carro e a direção. Se o portador 
está girando no sentido anti-horário, com velocidade angular 
D = 20 rad/s enquando a engrenagem F gira no sentido 
horário com velocidade angular F = 10 rad/s, determine a 
velocidade angular das engrenagens e da engrenagem externa 
(Sol). O raio das engrenagens planetas (A, B e C) são 45 mm e 
da engrenagem Sol 75 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42. A grande bola de rolamento gira para a 
esquerda com velocidade no seu centro de 0.9 m/s. No 
mesmo instante, a esfera interna central gira no sentido 
anti-horário com frequência de 240 rev/min. Determine 
a velocidade angular de cada uma das esferas. 
 
 
 = 10.78 rad/s ⤸ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0s ev v S O   
 
 0I iv v I O   
 
P x(m) y(m) 
O 0 0 
I 0 0.1/2 =0.05 
s 0 0.2/2=0.1 
C 0 -0,25/2=-0.125 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S 
I 
C 
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39 
 
240
2 2
60
I If        
8 25.13I
rad
s
  
 
25.13I
rad
k
s
  
 
 0C ev v C O   
 
0.9 0.125C ev i k j      
 
0.9 0.125C ev i i     
 
 0.125 0.9 0 0.125 0.9C e ev i i          
0.9
0.125 0.9
0.125
e e    
 
7.2e
rad
k
s
     
 
 
0.9 7.2 0.1
0.9 25.13 0.05
s
I
v i k j
v i k j
       

      
 
0.9 0.72 1.62
0.9 1.2565 2.1565
s s
I I
v i i v i
v i i v i
        

       
 
 s Iv v S I   
 
1.62 2.1565 0.05i i k j         
1.62 2.1565 0.05i i i        
0.5365 0.05i i     
0.05 0.5365   
0.5365
10.73
0.05
rad
s
     
 
10.73
rad
k
s
      
  
↻
 
43. (Cap. 16 Hibbeler) O trem de engrenagens 
epicicloidal é accionado por a ligação rotativa DE, que 
tem uma velocidade angular: 
DE = 5 rad/s. 
 Se a engrenagem de anel F está fixa, 
determinar as velocidades angulares de engrenagens A, 
B e C. 
 
 
 
Ponto x(m) y(m) 
D 
(Centro fixo) 
 
 
0 
 
0 
b 
(Centro da engrenagem B) 
 
0 
 
0.09 
E 
(Centro da engrenagem C) 
 
0 
 
0.16 
PCF 
contato entre engrenagens 
C e F 
 
0 
 
0.19 
PCB 
contato entre engrenagens 
C e B 
 
0 
 
0.13 
PBA 
contato entre engrenagens 
B e A 
 
0 
 
0.05 
 
 Barra ED: 
 E D DEv v E D   
 
0 5 0.16Ev i k j     
 
0.8E
m
v i
s
 
   
 
 
 b D DEv v b D   
 
0 5 0.09bv i k j     
 
0.45b
m
v i
s
 
   
 
 
 
 Engrenagem C: 
 
CFP E C CF
v v P E   
 
 0 0.8 0.19 0.16Ci i k j       
 
 0 0.8 0.03 Ci i    
 
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40 
0.8
0.8 0.03 0
0.03
C C     
 
26.67C
rad
k
s
     
 
↺ 
 
CBP E C CB
v v P E   
 
 
0.8
0.8 26.67 0.13 0.16
CBP
î
v i k j

      
 
1.6
CBP
m
v i
s
 
   
 
 
 Engrenagem B: 
 
 
CbP b B Cb
v v P b   
 
 
0.04
0.45 0.13 0.09
CbP B
i
v i k j


  
      
 
 0.45 0.04
CbP B
v i   
 
 1.6 0.45 0.04 0.45 0.04 1.6B Bi i          
1.15
0.04 1.6 0.45
0.04
B B       
 
28.75B
rad
k
s
      
 
 
 
BAP b B BA
v v P b   
 
 
1.15
0.45 28.75 0.05 0.09
BAP
i
v i k j
 
      
 
0.7
BAP
m
v i
s
 
    
 
 
 Engrenagem A: 
 
 
BAP D A BA
v v P D   
 
 
0.05
0 0.05 0
BA
A
P A
i
v i k j


  
      
 
0.05 0.7
BAP A
v i i      
 
0.05 0.7A   
 
0.7
0.05
A



 
14A
rad
k
s
     
 
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