Unidade 6 - Distribuição Contínua de Probabilidades

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Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Distribuições Contínuas de 
Probabilidades
Unidade 6
Estatística – Prof. Ricardo Luís Rocha
Ementa:
6.1 – Introdução
6.2 – Distribuição Normal Padronizada
6.3 – Distribuições Normais não Padronizadas
6.4 – Teorema Central do Limite
6 – Distribuições Contínuas
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6.1 – Introdução
Na unidade 5, vimos como são calculadas as
probabilidades para distribuições discretas de
probabilidade, onde a variável aleatória “x” tem um
número finito de valores possíveis.
Nesta unidade, estudaremos algumas distri-buições
de probabilidade contínuas, em que a variável
aleatória “x” pode agora assumir in-finitos valores
em uma escala contínua. Se “x” possui infinitos
valores, a relação P(x)=s/n será igual a 0. Como
resolver este problema?
6 – Distribuições Contínuas
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6.2 – Distribuição normal padronizada
Pela definição: “Uma variável aleatória contínua
tem distribuição normal se essa distribuição é
simétrica e apresenta a forma de um sino”,
conforme a figura. Essa distribuição se enquadra na
equação:
6 – Distribuições Contínuas



.2.
2
.
2
1





 


x
e
y
µ- 
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Conforme pode ser visto na equação, ela depende de
dois fatores: a média µ e o desvio padrão σ. O
desvio padrão determina a abertura da curva,
enquanto que a média determina a posição da curva,
conforme a figura abaixo:
6 – Distribuições Contínuas
63,6 69,0
Altura dos homens:
µ=69,0
σ=2,8
Altura das mulheres
µ=63,6
σ=2,5
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O cálculo da probabilidade para uma determinada
faixa de valores de x depende de fazermos a integral
definida:
Como esta integral não tem resposta analítica,
apela-se para uma tabela de valores de área.
Esta tabela mostra os valores das áreas para uma
distribuição normal em particular: A que tem média
zero e desvio padrão igual a 1.
6 – Distribuições Contínuas
dx
e
xxxP
x
x
x






 


2
1
2
.2.
)(
.
2
1
21 


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A tabela de valores relaciona as áreas os valores da
variável aleatória z.
6 – Distribuições Contínuas







4279,04265,04251,04236,04,1
4131,04115,04099,04082,03,1
3962,03944,03925,03907,02,1
3770,03749,03729,03708,01,1
07,005,004,003,0z
0 z
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Deve-se verificar qual a área necessária para o
cálculo da probabilidade e, conforme o caso,
subtrair ou somar valores de áreas obtidas da tabela
para obter o valor correto.
Exemplo: Se uma empresa fabrica termôme-tros que
marcam 0°C com média de 0°C e desvio padrão de
1°C. Selecionado um termômetro aleatoriamente,
determine:
a) A prob. dele marcar entre 0°C e 1,43°C;
b) A prob. de marcar mais de 1,43°C;
c) A prob. de marcar entre -1,35°C e 1,47°C;
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Solução:
a) Queremos o valor da área entre 0 e 1,43°C, e a
tabela nos dá valores entre 0 e z. Como o desvio
padrão é 1°C, temos condições de buscar na
tabela diretamente o valor da probabilidade.
Assim:
P(0<x<1,43)=0,4236=42,36%
6 – Distribuições Contínuas
0 1,43
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b) Para valores maiores que 1,43°C, temos que
adequar o valor da probabilidade. Como a tabela
nos dá somente o valor entre 0 e z, para
encontrarmos um valor maior que z, temos que
fazer:
P(z>1,43) = 0,5 - P(0<z<1,43)
P(z>1,43) = 0,5 – 0,4236 = 0,0764 = 7,64%
6 – Distribuições Contínuas
0 1,43
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c) Como a curva é simétrica, valores de z negativos
têm a mesma área dos valores positivos. Assim,
temos que calcular 2 áreas e somá-las para
encontrar o valor procurado:
P(-1,35<z<1,47)=P(-1,35<z<0)+P(0<z<1,47)
P(-1,35<z<1,47)=0,4115+0,4292 = 0,8407
6 – Distribuições Contínuas
0 1,47-1,35
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Lembretes importantes:
 Todas as áreas calculadas são positivas, mesmo
que o valor de z seja negativo!!!!
 Podemos subtrair e somar áreas, de forma a obter
a área procurada, mas o valor encontrado deve
sempre ser positivo.
Se for dada a probabilidade, podemos procurar a
área na tabela de forma a encontrar o valor de z
correspondente (pesquisa reversa).
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6.3 – Distribuições Normais não Padronizadas
Nem sempre os dados têm média zero e desvio
padrão igual a 1. Frequentemente os dados
apresentam valores de média e desvio padrão
diferentes. Nesses casos, ainda é possível calcular a
probabilidade, fazendo com que:
Com o valor de z calculado, basta procurar seu valor
na tabela z.
6 – Distribuições Contínuas



x
z
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Exemplo: As alturas das mulheres têm média de
63,6 polegadas e desvio padrão de 2,5 polegadas.
Selecionada uma mulher aleatoriamente, determine
a probabilidade de sua altura estar entre 63,6 e 68,6
polegadas.
Solução:
Vamos inicialmente encontrar a área:
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63,6 68,6
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Calculando os valores de z para cada x:
A área solicitada então será:
6 – Distribuições Contínuas
00,0
5,2
6,636,63
1 



 
x
z
00,2
5,2
6,636,68
2 



 
x
z
0 2
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Para estes valores de z, a tabela nos retorna o valor
P(0<z<2)=0,4772.
Portanto, há uma probabilidade de 47,72% de que,
selecionada uma mulher aleatoriamente, ela tenha
entre 63,6 e 68,6 polegadas de altura.
6 – Distribuições Contínuas
63,6 68,6
0,4772
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Exemplo:
Determine a altura que separa os 10% de mulheres
mais altas das demais. Considere que as alturas das
mulheres têm média de 63,6 polegadas e desvio
padrão de 2,5 polegadas.
Solução: Agora, a situação é inversa, temos a área
(10% maiores), mas não o valor de x:
6 – Distribuições Contínuas
63,6 x
0,10
0,400,50
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Procurando na tabela z o valor 0,4, vemos que não
há um valor exato. Buscando o valor mais próximo
de 0,4000, temos 0,3997, relativo ao z igual a 1,28.
Agora, levando estes dados para a equação de z:
Portanto, as mulheres que medem mais de 66,8
polegadas de altura estão entre as 10% mais altas
da população.
6 – Distribuições Contínuas
polx
x
xx
z
8,66
6,635,2.28,1
5,2
6,63
28,1





 

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6.4 – Teorema Central do Limite
Se a variável de interesse não segue uma
distribuição normal na população (ou não sabemos
qual é a distribuição), a distribuição amostral das
médias de amostras aleatórias retiradas desta
população será normal, se a tamanho destas
amostras for suficientemente grande.
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O que isso quer dizer?
• Este enunciado diz que, à medida que o tamanho da
amostra aumenta, a distribuição das médias
amostrais tende a assumir a forma da distribuição
normal.
• De fato, se n > 30, podemos afirmar que a
distribuição das médias amostrais é igual à
distribuição normal, não importando a distribuição
da população.
6 – Distribuições Contínuas
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Exemplo: 
De uma população uniforme formada pelos números
inteiros entre 0 e 10.000, são retiradas101
amostras, conforme se segue:
Dica: Faça suas próprias experiências com o
arquivo “Unidade 6.xls” disponibilizado no
material.
6 – Distribuições Contínuas
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1) n=1
Média = x = 4647,733
Desvio Padrão Amostral = sx = 2875,726 
Valor Quantidade
1000 10
2000 8
3000 16
4000 15
5000 11
6000 10
7000 5
8000 7
9000 8
10000 11
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Média = x = 4938,47
Desvio Padrão Amostral = sx = 2015,861
2) n=2
Valor Quantidade
1000 4
2000 6
3000 8
4000 14
5000 17
6000 18
7000 19
8000 9
9000 5
10000 1
6 – Distribuições Contínuas
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Média = x = 4933,846
Desvio Padrão Amostral = sx = 1168,297
3) n=5
Valor Quantidade
1000 0
2000 0
3000 7
4000 13
5000 30
6000 36
7000 10
8000 5
9000 0
10000 0
6 – Distribuições Contínuas
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Média = x = 4959,409
Desvio Padrão Amostral = sx = 913,005
4) n=10
Valor Quantidade
1000 0
2000 0
3000 1
4000 13
5000 42
6000 31
7000 12
8000 2
9000 0
10000 0
6 – Distribuições Contínuas
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Média = x = 4991,281
Desvio Padrão Amostral = sx = 686,1585
5) n=20
Valor Quantidade
1000 0
2000 0
3000 0
4000 6
5000 52
6000 35
7000 7
8000 1
9000 0
10000 0
6 – Distribuições Contínuas
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Média = x = 4975,636
Desvio Padrão Amostral = sx = 540,7672
6) n=30
Valor Quantidade
1000 0
2000 0
3000 0
4000 2
5000 50
6000 47
7000 2
8000 0
9000 0
10000 0
6 – Distribuições Contínuas
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Média = x = 4998,701
Desvio Padrão Amostral = sx = 399,2635
7) n=50
Valor Quantidade
1000 0
2000 0
3000 0
4000 1
5000 53
6000 47
7000 0
8000 0
9000 0
10000 0
6 – Distribuições Contínuas
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8) Dados da população:
Média = μ = 5.000
Desvio Padrão = σ = 2887,184
Comparação entre sx e σx:
n sx σx
1 2875,726 2887,1844
2 2015,861 2041,5476
5 1168,297 1291,1881
10 913,005 913,00786
20 686,1585 645,59405
30 540,7672 527,12533
50 399,2635 408,30953
6 – Distribuições Contínuas
n
x

 
n
s
sx 
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TEOREMA CENTRAL DO LIMITE (válido para médias amostrais)
População 
original
normal uniforme assimétrica
médias amostrais
n = 5
médias amostrais 
n = 30
médias amostrais 
n =10
6 – Distribuições Contínuas
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Exemplo: O Teorema Central do Limite aplicado ao projeto de elevadores
Em projetos de elevadores é fundamental considerar o peso das pessoas
para que não haja sobrecarga e futuras falhas. Dado que a população
brasileira tem peso distribuído normalmente com média μ = 72 kg e σ =
12 kg, determine a probabilidade de que uma pessoa escolhida
aleatoriamente pese mais de 78 kg.
3085,01915,05,0
1915,0
50,0
12
7278
)5,0(








P
p
X
z
z


Logo, a probabilidade de uma pessoa pesar 
mais de 78 kg é de 30,85% 
72 78
P = ?
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Levando em consideração que uma empresa desenvolveu um
elevador de grande porte (25 pessoas) e com capacidade
máxima de carga de 1.950Kg, qual a probabilidade de que 25
pessoas que entrem aleatoriamente no elevador, ao mesmo
tempo, propiciem um peso médio maior que 78kg?
Agora estamos lidando com a média para um grupo de 25
valores, e não mais com um valor individual.
kg
X
72 
4,2
25
12

n
X

50,2
4,2
7278





x
X
x
Z


0062,04938,050
4938052


,P
,P ),(z
Logo, a probabilidade de que entrem 25 
pessoas no elevador com peso médio 
maior que 78kg será de 0,62%72 78
P = ?
6 – Distribuições Contínuas