TVC 3 - Gabarito Alexei

Prévia do material em texto

1) Considere os planos 1 : 2 2 3 0x y zpi + − − = e 2 : 0x y zpi − − = . 
Encontre: (i) A distância entre eles se forem paralelos; (ii) O ângulo entre eles se forem 
concorrentes. 
 
 
2) Considere as retas 1 : 2
1
x t
r y t
z t
=

=

= −
e 2
1 1
:
3 2
x y
r z
+ −
= =
 
Encontre: (i) Um plano que contém ambas se forem paralelas; (ii) O ângulo entre elas se forem 
concorrentes; (iii) A distância entre elas se forem reversas. 
 
 
3) Dada a equação 2 23 12 9 0x y y− + − = , resolva as seguintes questões: 
a. Identifique a cônica representada por esta equação; 
b. Encontre as coordenadas do centro (ou do vértice) da cônica; 
c. Encontre a excentricidade; 
Vetores diretores: ( )1 1,2, 1V = − ; ( )2 3,2,1V = 
Como os vetores diretores não são paralelos, então as retas são reversas ou concorrentes. 
Para serem concorrentes, é preciso que tenham um ponto em comum. Mas isso não ocorre, pois o 
sistema 
13 1 1 1
32 1 2 2 2 1 4 3
4
1 3 1 2 1 3 1
2
s t
s t s t s t
s t s t t t
s t s t t

 + =
− = + = + =   
   
+ = ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ =   
   
= − + = − =   
− =
 é impossível. 
Portanto as retas são reversas. Vamos determinar a distância entre elas: 
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 2 1 2
1 2
1 2
1,1, 1 4,4,4 4 4 4 4 1
,
4,4,4 4 3 4 3 3
P P V V
dist r r
V V
⋅ ×
− − ⋅ − + −
= = = = =
× −
�����
 
Vetores normais: ( )1 1,2, 2N = − ; ( )2 1, 1, 1N = − − 
Como os vetores normais não são paralelos, então os planos são concorrentes. 
Assim, vamos determinar o ângulo entre eles: 
( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1,2, 2 1, 1, 1 1 2 2 1
cos ,
1,2, 2 1, 1, 1 9 3 3 3
N N
N N
pi pi
− ⋅ − −⋅ − +
= = = =
− − −
 
Logo, o ângulo entre eles é 1arccos
3 3
 
 
 
. 
 
 
d. Represente graficamente a cônica. 
 
 
4) Dada a equação polar 5
2 2sen
r
θ
=
+
, resolva as seguintes questões: 
a. Identifique a cônica representada por esta equação; 
b. Encontre a distância da diretriz ao foco; 
c. A partir da equação polar, obtenha a equação cartesiana reduzida da cônica. 
d. Encontre as coordenadas polares de um vértice. 
a) Vamos escrever a equação na forma reduzida. 
Para isso, vamos utilizar o método de completar os quadrados perfeitos. 
 
( ) ( )2 23 4 9x y y− − = 
( ) ( )2 20 3 4 4 9 12x y y− − − + = − 
( ) ( )2 20 3 2 3x y− − − = − 
( ) ( )2 20 2 1
3 1
x y− −
− + = 
 
Logo, essa cônica é uma hipérbole. 
b) (0,2)C 
c) Temos: 2 2 2 1 3 4c a b= + = + = . Logo 2c = . Assim, 2 2
1
c
e
a
= = = . 
d) 
 
 
 
 
5) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva representada pelas 
equações paramétricas 2senx t= e 3cosy t= . 
 
 
6) Transforme a equação 1xy = através de uma rotação de eixos de 
4
radpiθ = . 
Temos que: 2 24 senx t= , 2 29cosy t= 
Assim, 
2 2 2 2
2 2sen cos 1
4 9 4 9
x y x yt t+ = + ⇒ + = . 
a) Dividindo-se o numerador e o denominador da fração por 2, obtemos 
5
2
1 sen
r
θ
=
+
. Como a 
excentricidade é 1, então a cônica é uma parábola. 
b) Pela equação desta cônica, sabemos que 5
2
de = . Como 1e = , então 5
2
d = . 
c) Temos: 
5
2 2 2 22 5 5 5sen
1 sen 2 2 2
r r r x y y x y yθ
θ
= ⇒ + = ⇒ + + = ⇒ + = −
+
 
2 2 2 225 55 5
4 4
x y y y x y ⇒ + = − + ⇒ = − − 
 
 
d) Pela equação desta cônica, sabemos que a diretriz se encontra acima do pólo. Logo, o foco e 
o vértice da parábola estão em uma reta perpendicular ao eixo focal (no eixo y). Para 
2
piθ = , 
temos 
5 5
2 2
2
5
1 sen 2 4
r
pi
= = =
+
. Logo, 5 ,
4 2
V pi  
 
. 
OU 
Pela equação cartesiana da letra d, temos que 50,
4
V   
 
. Transformando em coordenadas 
polares, temos 5 ,
4 2
V pi  
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
Temos que: 
( )
( )
/ / / / / /
/ / / / / /
2 2 2
cos sen
4 4 2 2 2
2 2 2
sen cos
4 4 2 2 2
x x y x y x y
y x y x y x y
pi pi
pi pi
= − = − = −
= + = + = +
 
Substituindo na equação, temos: 
( ) ( ) ( )2 2 2 2/ / / / / / / /2 2 21 1 1 22 2 4xy x y x y x y x y= ⇒ − + = ⇒ − = ⇒ − = 
Formulário: 
( ) 1 21 2
1 2
cos ,
V V
r r
V V
⋅
=
 ( ) 1 21 2
1 2
cos ,
N N
N N
pi pi
⋅
=
 
 
( ) 1 00,
P P N
dist P
N
pi
⋅
=
����
 ( ) 1 00,
P P V
dist P r
V
×
=
����
 ( ) 1 2 11 2
1
,
P P N
dist
N
pi pi
⋅
=
�����
 
 
( ) 1 2 21 2
2
,
P P V
dist r r
V
×
=
�����
 ou ( ) ( )1 1 221 2
1 2
,
P P V V
dist r r
V V
⋅ ×
=
×
����
 (casos diferentes) 
 
2 2
cos
sen
r x y
x r
y r
θ
θ
= +
=
=
 
/
0
/
0
x x x
y y y
= +
= +
 
/ /
/ /
cos sen
sen cos
x x y
y x y
θ θ
θ θ
= −
= +