Estatistica 05 Medidas Centrais

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Medidas de Tendência Central ou de Posição
Elionai Sobrinho
INTRODUÇÃO
 São medidas utilizadas principalmente para a descrição de dados. Neste caso o que se deseja encontrar são os valores representativos do conjunto de dados, de modo a resumir ao máximo as observações sobre os dados em questão. As principais medidas de posição são a média aritmética, a mediana e a moda. As definições, e algumas propriedades, destas medidas são brevemente descritas a seguir.
1- Média Aritmética ( )
Seja um conjunto de dados {x1 , x2 , ... , xn }. A média aritmética, ou simplesmente “média”, é dada por:
Exemplo 1 – Seja o conjunto {2 , 4 , 3 , 5 , 6 , 2 , 5}. Então a média aritmética é:
OBS: A notação é empregada para representar a média de uma amostra de valores. A média da população costuma ser representada pela letra grega μ (“mi” ou “mu”).
1.1 – Propriedades da Média Aritmética:
P1: Se uma constante k é somada a cada valor do conjunto, então a média será acrescida de k. 
Exemplo 2 – Se todos os valores do conjunto do exemplo 1 forem aumentados em 5, a média será 8,8571.
P2: Se cada valor do conjunto é multiplicado por uma constante k, então a média também será multiplicada pelo mesmo valor.
Exemplo 3 – Se todos os valores do conjunto do exemplo 1 forem multiplicados por 5, a média será 19,2855.
P3: Seja o desvio do i – ésimo valor em relação à média aritmética. Então 
1.2 – Média Aritmética Ponderada
Para dados agrupados em distribuições de freqüências calcula-se a média ponderada, sendo que a freqüência observada para cada valor é o peso do mesmo. Então, se um conjunto de n valores foi agrupado em k classes, com pontos médios X1 , X2 , ... , Xk , e freqüências simples f1 , f2 , ... , fk ,
respectivamente, então a média aritmética é dada por: 
Exemplo 4: frequência obtida a partir de 120 valores de teor de ácido
OBS: Se a média para os 120 valores fosse obtida diretamente do conjunto, através da fórmula da média aritmética, o
valor encontrado seria 8,40.
2 – Mediana ( )
É o valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados, quando organizados em ordem crescente. Se a quantidade de valores é ímpar, a mediana, ou valor mediano, é simplesmente o valor central. Se a quantidade de valores é par, a mediana é a média dos dois valores centrais.
Exemplo 5 – Seja o conjunto {2 , 2 , 3 , 5 , 5 , 6 , 7 , 7 , 9 , 9 , 10}. Neste caso a mediana é 6.
Exemplo 6 – Seja o conjunto {0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 6 , 6 , 7 , 8}. Aqui a mediana é dada pela média dos dois valores centrais, isto é, (4 + 5)/2 = 4,5
3 - Moda
A moda, ou valor modal, de um conjunto de dados é o valor com maior freqüência individual. É importante ressaltar que o valor modal pode não existir, além disto, caso exista, pode não ser único. Neste último caso, diz-se que o conjunto é bimodal, trimodal, etc.
Exemplo 7 – O valor modal para o conjunto de observação dos teores de ácido palmítico é 6,2, cuja freqüência é 10.
4 – Relação entre Média, Mediana e Moda
A relação entre os valores encontrados para a média, para a mediana e para a moda indica o tipo de assimetria da distribuição de freqüências. Aqui entende-se por assimetria o grau de desvio dos dados em relação ao centro da distribuição.
5 – Percentil
O valor mediano é aquele que divide um conjunto de dados ordenados em duas partes iguais. Da mesma forma, também pode ser útil discriminar valores correspondentes a uma determinada percentagem. Este tipo de situação ocorre, por exemplo, quando se deseja determinar a renda familiar que define os 10% mais ricos em uma sociedade.
Para determinar certo percentil em um conjunto de dados é suficiente ordenar estes mesmos dados e localizar o elemento correspondente à fração desejada, de modo análogo ao usado para determinar a mediana.
Exemplo 8 – Seja o conjunto de dados mostrado no Quadro 1. O 90o percentil é o valor que separa 90% dos exemplares com menor largura dos 10% com a maior largura. Então, considerando que o conjunto tem n = 150 observações, basta separar os 15 últimos elementos, que são justamente os pertencentes à última coluna. Neste caso o 90o percentil é igual a 37. Isto significa que 90% dos
exemplares apresentam largura inferior a 37 mm.
6 – Decil
Esta medida é aplicada quando de deseja dividir um conjunto de dados ordenados em dez partes iguais. Não é difícil perceber que:
D1 = P10
D2 = P20
D3 = P30
...
D9 = P90
Exemplo 9 – Para os dados do Quadro 1, o quarto decil corresponde ao valor que separa quatro décimos, ou 40% dos valores. Para n = 150 observações, isto representa 60 valores, ou as quatro primeiras colunas. Então D4 = 30.
7 - Quartil
Esta medida divide um conjunto de dados ordenados em quatro partes iguais. Também é fácil perceber que:
Q1 = P25
Q2 = P50
Q3 = P75
Exemplo 10 – Para os dados do Quadro 1, o terceiro quartil é valor que separa o conjunto em duas partes, uma correspondente a 75% dos valores e outra correspondente a 25% dos valores. Como o conjunto possui 150 observações, e ¾ de 150 correspondem a 112,5, o elemento procurado é a média do
112o e do 113o valores. Então o Q3 = 33 (verifique no próprio quadro !)
Exercícios
O Quadro apresenta as medidas de um conjunto de parafusos em (mm). Para este conjunto, calcular:
a) Média.
b) Mediana.
c) Moda.
d) Comparar os resultados obtidos com os reais valores.
e) Estudar a assimetria da distribuição.
f) Calcular o 10o e o 90o percentís.
g) Calcular o 1o e o 4o quartís.
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