Exercícios Cálculo I Prof. Victor

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Curso: Engenharia Civil Disciplina: Cálculo 1 1º Período 
Data: 25/05/2016 Turma: Manhã/tarde Valor: 5 pontos Nota: 
Professor: Victor Carvalho Brom 
Nome: Nº 
 
 EXERCÍCIO INDIVIDUAL PROVA SUPLEMENTAR 
 
 
 
 
 
2016 
Exercícios de Funções Exponenciais e Logarítmicas 
 
01. Num corpo, a população P(t) de microorganismos, t dias após 
o instante zero, é ( )0,1( ) 32000. 1 2 tP t −= − . 
a) Em quanto tempo a população atinge 16000 
microorganismos? 10 dias 
b) Em quanto tempo ultrapassa 24000 microorganismos? 
Depois de 20 dias 
c) Determine o lim ( )
t
P t
→+∞
. 32000. 
 
02. Mensalmente, a produção em toneladas de certo medicamento 
é 0,05( ) 100 100.4 xP x −= − , em que x é o número de 
meses contados a partir de uma cera data. 
a) Após quanto tempo a produção atingirá a marca de 50 
toneladas? 10 meses. 
b) Após quanto tempo a produção atingirá a marca de 60 
toneladas? 13 meses e 7 dias. 
 
03. Certa substancia radioativa, que se desintegra uniformemente 
ao longo do tempo, tem sua quantidade ainda não 
desintegrada, após t anos, dada por 200( ) .2
t
M t M
−
= 
onde 0M representa a quantidade inicial dessa substância. 
Qual é, aproximadamente, a percentagem da quantidade ainda 
não desintegrada, após 40 anos, em relação à quantidade 
inicial 0M ? 25% 
 
04. Num tanque biodigestor, os dejetos suínos, sob a presença de 
determinantes bactérias, decompõe-se segundo a lei 
4( ) 2250.2
t
D t
−
= , na qual t indica o tempo em dias e D(t) 
indica a quantidade de dejetos (em quilogramas) no instante t. 
a) Qual é a quantidade de dejetos inicial? 2250 kg 
b) Após quantos dias a quantidade de dejetos estará 
reduzida a 70 kg? Aproximadamente 20 dias 
c) Determine à equação da reta tangente a curva no ponto 
20 dias. Y = – 12,184x + 313,684 
d) Determine à equação da reta tangente a curva no ponto 
40 dias. Y = – 0,381x + 17,437 
 
05. Considere a seguinte experiência feita em laboratório. Um 
pequeno pedaço de ferro é aquecido a 200 °C e, em seguida, 
posto para resfriar numa câmara a uma temperatura constante 
de 20 °C. No inicio desse processo, a temperatura cai 
rapidamente e, depois, cai cada vez mais devagar. O 
decréscimo da temperatura de um corpo pequeno é explicado 
pela lei do resfriamento de Newton, que diz: 
( ) [ (0) ]. ktf t f eα α −= + − sendo: 
 
• f(t) a temperatura após t minutos do inicio do 
resfriamento; 
• f(0) a temperatura inicial do objeto; 
• α a temperatura do meio em que o objeto está 
resfriando; 
• k uma constante característica do objeto, no caso o ferro; 
• e uma constante chamada número de Euler. 
 
Sabe-se que, após 10 minutos do inicio do resfriamento, o 
pedaço de ferro tinha uma temperatura de 140 °C. 
a) Que temperatura, aproximadamente, tinha o ferro meia 
hora após o inicio do resfriamento? 73,33 °C. 
b) Qual o valor de k? k = 0,04054651. 
c) A que taxa a barra está resfriando em 30 min? f”(30) = – 
2,16°C/min. 
 
06. Durante o mês de outubro, o número y de remédios produzidos 
em um laboratório é função do número x de funcionários 
empregados de acordo com a lei 50.y x= . Sabendo que 
121 funcionários estão empregados, qual o acréscimo de 
produção com a admissão de 48 novos funcionários? 100. 
 
07. A distância percorrida por um carro durante sua freada é 
diretamente proporcional ao quadrado de sua velocidade. 
Suponha que um determinado carro percorra 10 m até parar 
iniciando o retardamento pelos freios a 40 km/h. 
a) Qual será a distancia percorrida caso a velocidade inicial 
seja de 80 km/h? 40m 
b) Qual será a distancia percorrida caso a velocidade inicial 
seja de 120 km/h? 90m 
c) Quais são as taxas de variação do movimento a 80km/h 
e 120 km/h? 1,0m/(km/h) e 1,5m/(km/h). 
d) Construa um esboço gráfico do movimento para 
velocidade variando no intervalo 0 120v≤ ≤ . 
 
 
08. De acordo com a lei de Poiseuille, a velocidade do sangue a r 
cm do eixo central de um vaso sanguíneo é dada pela função 
( ) .( ² ²)V r C R r= − em cm/s, em que C é uma constante 
e R é o raio do vaso. Supondo que 41,8.10C = e 
210R −= cm, calcule: 
a) A velocidade do sangue no eixo central do vaso; 1,8 cm/s 
b) A velocidade do sangue no ponto médio entre a parede 
do vaso e o eixo central.1,35cm/s 
 
09. Um biólogo estuda dois tipos de bactérias. A tipo A possui 
atualmente uma população de 135.700 bactérias e a do tipo B 
428.500 bactérias. Ele constatou que a primeira cresce 8,8% 
por hora e a segunda decresce 15% por hora. 
a) Após quanto tempo a primeira atingirá uma população 
aproximada de 2.000.000 bactérias? Aproximadamente 
34 horas. 
b) Qual o tempo mínimo necessário para que a população 
de bactérias A ultrapasse a população de bactérias B? 
Aproximadamente 4h e 40 min. 
 
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 1 
 
 
10. Numa experiência para obter cloreto de sódio, colocou-se num 
recipiente certa quantidade de água do mar e expôs-se o 
recipiente a uma fonte de calor para que a água evapore 
lentamente. A experiência terminará quando a água se 
evaporar. Em cada instante t, a quantidade de água existente 
no recipiente (em litros) é dada pela expressão: 
10
( ) log
1
k
Q t
t
 
=  + 
 sendo k uma constante positiva e t em 
horas. 
a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no 
recipiente, determine a constante k; k = 1 
b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará? t = 9h 
c) Determine a equação da reta no ponto (0;1). y = 1 – x/(ln 10) 
 
11. A equação 0,05512. tQ e−= dá a massa Q em gramas do 
potássio radioativo – 42 que irá restar de uma quantidade 
inicial após t horas de decaimento radioativo. 
a) Quantas gramas havia inicialmente? 12 gramas 
b) Quantas gramas permanecem depois de 4 horas? 
Aproximadamente 9,63 gramas 
c) Quanto tempo irá levar para reduzir pela metade a 
quantidade inicial de potássio radioativo – 42? 
Aproximadamente 12h e 36 min 
 
12. Um copo de limonada a uma temperatura de 40°F está em 
uma sala cuja temperatura constante é de 70°F. usando um 
principio de física, chamada Lei do Resfriamento de Newton, 
pode-se mostrar que se a temperatura da limonada ao atingir 
53°F em uma hora, então a temperatura T da limonada como 
uma função no tempo decorrido é modelada aproximadamente 
pela equação: 0,570 30. tT e−= − onde T está me °F e t em 
horas. 
a) Construa um esboço gráfico para o intervalo 0 10t≤ ≤ . 
b) Descreva, em palavras, o que aconteceu com a taxa de 
elevação da temperatura em relação ao tempo; 
c) Use uma derivada para confirmar sua conclusão; 
 
13. Suponha que a população de bactérias aeróbicas em um 
pequeno lago é modelada pela equação: 
60
( )
5 7 t
P t
e−
=
+
 
onde P(t) é a população (em bilhões) t dias depois da 
observação inicial no tempo t = 0. 
a) Faça um esboço gráfico para o intervalo de tempo 
0 9t≤ ≤ ; 
b) Descreva o que acontece com a população no decorrer 
do tempo. Verifique sua conclusão achando lim ( )
t
P t
→+∞
; 
c) Descreva o que acontece com a taxa de crescimento 
populacional no decorrer do tempo. Verifique a sua 
conclusão fazendo o esboço gráfico de P’(t). 
 
 
Máximos e Mínimos 
 
01. Ache os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo 
fechado dado e indique onde ocorrem estes valores. 
a) ( ) 4 ² 4 1;[0,1]f x x x= − + Máx = 1 e Mín = 0 
b) ( ) 8 ²;[0,6]f x x x= − Máx = 16 e Mín = 0 
c) ( ) ( 1)³;[0,4]f x x= − Máx = 27 e Mín = - 1 
d) 
3
( ) ;[ 1,1]
4 ² 1
x
f x
x
= −
+
Máx = 3 5 ;Mín = 3 5− 
e) ( ) ( ) cos( );[0, ]f x sen x x π= − Máx = 2 ;Mín = - 1 
 
02. Ache os valores máximo e mínimo absolutos de f, se houver, 
no intervalo dado e indique onde ocorrem estes valores.a) ( ) ² 3 1;( , )f x x x= − − −∞ +∞ Mín = - 13/4 
b) ( ) 3 4 2 ²;( , )f x x x= − − −∞ +∞ Máx = 5 
c) 3 4( ) 4 3 ;( , )f x x x= − −∞ +∞ Máx = 1 
d) ( ) ³ 9 1;( , )f x x x= − + −∞ +∞ Não existe 
 
03. Suponha que o número de bactérias em uma cultura no 
instante t é dada por / 205000.(25 . )tN t e−= + . 
a) Ache o maior e o menor número de bactérias durante o 
intervalo de tempo 0 100t≤ ≤ . Aproximadamente 
161788 bactérias. 
b) Em que momento, durante o intervalo de tempo da parte 
(a), o número de bactérias decresce mais rapidamente? 
T = 40 segundos. 
 
04. Um recipiente em forma de paralelepípedo com base 
quadrada deve ter um volume de 2.250 cm³. O material para 
a base e a tampa custa R$ 2,00 por cm² e o dos lados R$ 
3,00 por cm². Ache as dimensões do recipiente de menor 
custo. 10 cm e 15 cm 
 
05. Uma caixa de remédios com forma de paralelepípedo com 
base quadrada deve ter um volume de 2.000 cm³. O custo da 
base e da tampa é o dobro do custo dos lados. Ache as 
dimensões do recipiente de menor custo. 10 cm e 20 cm 
 
06. Uma indústria química vende acido sulfúrico a granel por 100 
dólares a unidade. Se o custo de produção total diário em 
dólares para x unidades for 
( ) 100.000 50 0,0025 ²C x x x= + + e se a 
capacidade de produção diária for de, no máximo, 7.000 
unidades, quantas unidades de ácido sulfúrico devem ser 
fabricadas e vendidas diariamente para maximizar o lucro? 
Beneficiaria ao industrial expandir a capacidade de produção 
diária? 7.000 unidades. Sim pois seu lucro seria máximo 
para 10.000 unidades. 
 
07. Num certo processo de fabricação química, o peso diário y 
de produção defeituosa depende do peso x de toda 
produção, de acordo com a fórmula empírica 
0,01 0,00003 ²y x x= + onde x e y então em libras. Se 
o lucro for R$ 100,00 por libra do produto químico sem 
defeito e a perda for de R$ 20,00 por libra de produto 
defeituoso produzido, quantos quilogramas do produto 
devem ser produzidos diariamente para maximizar o lucro 
diário total? Dado: 1 libra = 0,45359237 quilogramas. 
Aproximadamente 6224,29 kg.