AULA 10_PROBABILIDADE BÁSICA (PARTE 02)

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Probabilidade e Estatística 
Profª Kellen Lima 
Aula 10 
Probabilidade Básica (Parte 02) 
CONTINUAÇÃO... 
(3) Eventos compostos: 
(a) o evento em que exatamente um dos três veículos vire à direita; 
(b) o evento em que os três eventos virem na mesma direçao. 
(2) Eventos simples? 
(1) Espaço amostral? 
Considere um experimento em que cada um de três veículos que 
trafeguem em uma determinada estrada siga pela saída à esquerda (E) 
ou à direita (D) no final da rampa de saída: 
Relembrando!!! 
6.7 AXIOMAS (conceitos básicos) 
DE KOLMOGOROV 
PARA ASSEGURAR QUE AS ATRIBUIÇÕES DE PROB. SEJAM 
CONSISTENTES COM AS NOSSAS NOÇÕES INTUITIVAS, 
ESTAS DEVEM SATISFAZER OS AXIOMAS A SEGUIR: 
Qualquer função P(.) dos eventos no intervalo [0,1] é 
uma prob. se satisfizer as condições: 
Não-negatividade: P(A) ≥ 0, sendo A um evento 
qualquer; 
Aditividade: 
{Ej} eventos disjuntos ou mut. Excludentes  devemos 
somar as probabilidades. 
Normalização: P(S=evento certo) = 1 
Ex: A prob. de amanhecer. 
    j jj j EP EP
6.8 PROPRIEDADES DE UMA 
PROBABILIDADE 
Uma função de probabilidade satisfaz as 
seguintes propriedades:    APAPAP c  1)(    2121 então , Se APAP AA   0P
  0 então
 , Se
 BAP
excludentemutuamenteforemBeA
6.9 REGRA GERAL DA ADIÇÃO 
Portanto, a Regra da Adição consiste de eventos compostos os quais devem ser 
contados apenas uma vez; 
Eventos Coletivamente Exaustivos: 
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1 
Eventos complementares: 
 P(A + B) = P(A) + P(B) = 1, já que P(A ∩ B) = 0 
A e B são mutuamente excludentes, então: 
P(A + B) = P(A)+P(B), já que P(A ∩ B) = 0 
P (A ou B) = P (ocorrência de A, ou de B, ou de ambos); 
A palavra-chave aqui é a conjunção OU  É o OU inclusive, que significa um, ou 
outro ou ambos; 
O evento tem que ser composto  é qualquer evento que combina dois ou mais 
eventos simples; 
REGRAS 
        BAPBPAPBAPBouAPBAP  )()(
A adição das áreas dos dois círculos acarreta numa contagem dupla dos 
elementos comuns (área do meio – interseção), mas quando se aplica a 
regra da adição este deve ser contado apenas uma vez. 
Não contar os resultados repetidos, ou seja, os que ocorrem mais de uma 
vez; 
Achar o total de maneiras de como B pode ocorrer; 
Achar o total de maneiras como A pode ocorrer; 
P(A ou B) é igual a esta soma, dividida pelo número total de resultados possíveis; 
INTUITIVA  Somamos o número de ocorrências possíveis de A e o 
número de ocorrências possíveis de B, de tal modo que cada resultado 
seja contado apenas uma vez de um evento composto; 
EXEMPLOS 
(1) Se 
escolhermos 
aleatoriamente 
um dos dez 
algarismos 
(0,1,2,3,4,5,6,7,
8,9), qual a 
probabilidade 
de 
escolhermos 0 
ou 1? 
P(0 ou 1) = 
2/10 = 0,2 
(2) Considerando o 
mesmo conjunto de 
números, qual a 
probabilidade de 
obtermos um 
número ímpar ou 
um número superior 
a 6? 
Dos 10 resultados 
possíveis, 5 são 
ímpares (1,3,5,7,9) e 
3 são superiores a 6 
(7,8,9) 
 
Deve-se tomar 
cuidado para não 
contar um 
resultado duas 
vezes; 
- P(impar ou 
superior a 6) = 
(1,3,5,7,8,9) = 
6/10 = 0,6 
Cursando 
Estatística 
Não cursando 
Estatística 
Total 
Homem 84 145 229 
Mulher 76 134 210 
Total 160 279 439 
P(H ou E) = P(H) + P(E) – P(H e E) 
 
 P(H ou E) = 229/439 + 160/439 – 84/439 = 0,69 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
Qual a probabilidade de selecionarmos 
aleatoriamente um homem ou um aluno da 
estatística de uma população descrita pela tabela 
abaixo? 
6.10 Resumo de Probabilidade 
Probabilidade é uma medida numérica 
que informa a chance de um resultado 
ocorrer. 
A probabilidade de um evento deve estar 
entre 0 e 1, incluindo os extremos. 
• 0 ≤ P(A) ≤ 1 para qualquer evento A. 
 
 A soma da probabilidade de uma 
partição do espaço amostral é igual a 1. 
• P(A) + P(B) + P(C) = 1 
• Onde A, B e C são eventos mutuamente 
excludentes e coletivamente exaustivos 
(partição de S) 
Certo 
Impossível 
.5 
1 
0 
6.11 Técnicas de Contagem 
6.11.1 Princípio da Contagem 
Quando os diversos resultados de um experimento 
são igualmente prováveis, a tarefa de calcular 
probabilidades se reduz a uma contagem, dado por: 
P(A) = N (A) / N 
Onde: 
Princípio de contagem (divida e conquiste): o processo é 
quebrado em várias etapas com o uso do diagrama de árvores 
Considere um processo que contem r estagios. 
Suponha que: 
Existem n1 resultados possíveis no 
primeiro estágio; 
Para cada resultado possível do estágio 1 
existem n2 resultados possíveis no estágio 
2. 
De forma mais geral, para cada um dos 
resultados nos i-1 primeiros estágios, existem 
ni resultados possiveis no i-ésimo estágio. 
Então, o número total de resultados possíveis no 
processo de r estágios é de: n1*n2*n3*…*ni 
Um número telefônico é composto de 8 dígitos, mas o 
primeiro dígito apenas assume 3 valores: 3, 8, 9. 
Quantos números distintos existem? 
 
 
 
Temos um total de 8 estágios 
No primeiro estágio apenas 3 opções 
Nos demais estágios: 10 opções 
Total: 3 * 107 
EXEMPLO 
6.11 Técnicas de Contagem 
6.11.3 Permutação e Combinação 
Problema: Selecionar k objetos de um total 
de n objetos. 
Se a ordem é importante: 
Permutação  é uma lista 
ordenada sem repetições. 
Se a ordem não é importante: 
 Combinação  subconjunto 
não odenado. 
6.11 Técnicas de Contagem 
6.11.3.1 Permutação 
Permutação de k objetos 
Queremos selecionar k objetos de um conjunto de n 
objetos sem reposição. 
 
• Para o primeiro objeto: n possibilidades 
• Para o segundo objeto: n-1 possibilidades 
• … 
• Para o último objeto: n - (k-1) possibilidades 
• Dado pelo fatorial: 
)!(
!
kn
n

EXEMPLO 
Há 10 assistentes de professores disponíveis para 
correção de provas em um determinado curso. O primeiro 
exame consiste em 4 questões e o professor deseja 
selecionar um assistente diferente para corrigir cada uma 
(apenas um assistente por questão). De quantas formas 
diferentes os assistentes podem ser escolhidos para a 
correção? 
SOLUÇÃO: 
 
Tem-se, 
n = n° de assistentes = 10 
k = n° de questões = 4 
Então, o n° de atribuições diferentes de correção será: 
504078910
!6
!678910
)!410(
!10
)!(
!
10,4 






kn
n
A
EXEMPLO 
Qual o total de palavras com 4 letras distintas (não 
precisa ter significado nem seguir regras 
ortográficas)? 
 
SOLUÇÃO: 
Permutação: Selecionar 4 letras de um total de 23 
sem repetir 
 
Total de permutações de 4 elementos: 
21252020212223
!19
!1920212223
)!423(
!23
)!(
!
23,4 






kn
n
A
6.11 Técnicas de Contagem 
6.11.3.2 Combinação 
Combinação 
 Dado um conjunto de n objetos diferentes, 
qualquer subconjunto não-ordenado de tamanho k 
é denominado de combinação. 
O número de combinações de tamanho k que 
podem ser formadas a partir de n objetos distintos 
é representado por 
𝒏
𝒌
 
Exemplo: Formar comitê com 3 representantes 
de turma de um total de 131 alunos. 
Se todos têm mesmo poder: combinação. 
Se teremos presidente, vice-presidente e 
secretário: permutação. 
Lógica reversa: 
Para selecionar uma k-permutação, podemos usar o 
princípio da contagem e dividir problema em 2 
estágios: 
Primeiro estágio: selecionar uma combinação de k itens; 
 
 
 
 
 
 
Segundo estágio: para cada possível combinação, 
reordernar os itens. Equivalente a k-permutações em um 
totalde k itens! 
Número de combinações 
Newton de Binômio
)!(!
!








knk
n
k
n
 
• AB, AC, AD, BC, BD, CD 
 
Conferindo: 
6
!2)!24(
!4
2
4








scombinaçõeN
CONTINUARÁ... 
EXEMPLO 
Número de combinações de 2 elementos das 
letras A, B, C, D: 
Aula 10 – Exercícios 
1) Um dado experimento é examinarmos três fusíveis para ver se 
funcionam. O espaço amostral desse experimento é expresso 
como S = {N, D}, onde N representa sem defeito e D representa com 
defeito. Se examinarmos esses três fusíveis em sequência e 
anotarmos o resultado de cada exame, qual será o resultado do 
experimento a partir do DIAGRAMA DE ÁRVORES? 
2) Selecione aleatoriamente um estudante em uma determinada 
universidade e represente por A o evento dele possuir um cartão de 
crédito Visa e por B o evento análogo para um Mastercard. 
Suponha que: 
P(A) = 0,5 P(B) = 0,4 P (A∩B) = 0,25 
 
(a) Calcule a probabilidade de que um indivíduo selecionado tenha 
pelo menos um dos dois tipos de cartão; 
(b) Qual a probabilidade do indivíduo selecionado não ter nenhum 
dos tipos de cartão? 
(a) 0,65 (b) 0,35 
MOSTRE OD RESULTADOS DETALHADOS! 
 
3) Uma determinada fábrica opera em três turnos diferentes. No ano 
anterior, ocorreram 200 acidentes na fábrica. Alguns deles podem ser 
atribuídos em parte a condições de trabalho inseguras, enquanto os 
outros não estão relacionados a condições de trabalho. A tabela a 
seguir fornece as porcentagens de acidentes que se encaixam em 
cada categoria de turno de trabalho. 
 
 
 
 
 
Suponha que um dos 200 relatórios de acidente seja selecionado 
aleatoriamente de um arquivo de relatórios e sejam determinados o 
tipo de acidente e o turno. 
(a) Quais são os eventos simples? 
(b) Qual é a probabilidade de que o acidente selecionado seja 
atribuído a condições inseguras? 
(c) Qual é a probabilidade de que o acidente selecionado não tenha 
ocorrido no turno do dia? 
(a) ? (b) 0,23 (c) 0,55 MOSTRE OS RESULTADOS DETALHADOS! 
(C1) (C2)
Condições Inseguras Não relacionado às condições
(S1) Dia 10% 35%
(S2) Alternado 8% 20%
(S3) Noite 5% 22%
Aula 10 – Exercícios