AULA 16_AULA DE REVISÃO

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Aula 
de 
Revisão 
Probabilidade & Estatística 
Prof.a Kellen Lima 
 
Aula 16 
Capítulo 3 
Medidas Numéricas Descritivas 
TENDÊNCIA CENTRAL 
Corresponde à extensão na qual todos os 
valores de dados se agrupam em torno de 
um valor central típico. 
VARIAÇÃO 
Corresponde ao montante da dispersão de 
valores em relação a um valor central. 
FORMATO 
Corresponde ao padrão da distribuição de 
valores, do valor mais baixo para o mais alto. 
Tendência Central 
Medidas tipicamente usadas: 
 
Médias (aritmética e ponderada) 
 
Mediana 
 
 
Moda 
 
Medidas separatrizes 
(quantis  quartis, decis, centis) 
 
Tendência Central 
n
XXX
n
X
X n21
n
1i
i 


 
𝑿 𝑷 =
 𝒑𝒊 ∙ 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 𝒑𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
=
𝒑𝟏 ∙ 𝒙𝟏 + 𝒑𝟐 ∙ 𝒙𝟐 +⋯+ 𝒑𝒏 ∙ 𝒙𝒏
𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 +⋯+ 𝒑𝒏
 
A mediana de um conjunto de dados ordenado é localizada no 
(n+1)/2 valor; 
A moda é o valor que ocorre com maior frequência; 
Posição do primeiro quartil: Q1 = (n+1)/4 
Posição do segundo quartil: Q2 = (n+1)/2 
Posição do terceiro: Q3 = 3(n+1)/4 
Tendência Central 
TENDÊNCIA CENTRAL 
Corresponde à extensão na qual todos os 
valores de dados se agrupam em torno de 
um valor central típico. 
VARIAÇÃO 
Corresponde ao montante da dispersão de 
valores em relação a um valor central. 
FORMATO 
Corresponde ao padrão da distribuição de 
valores, do valor mais baixo para o mais alto. 
Variação 
Indicam se um conjunto de dados é homogêneo ou 
heterogêneo. 
MEDIDA RELATIVA 
 Coeficiente de variação; 
MEDIDAS ABSOLUTAS 
Amplitude, Amplitude interquartil, Variância e Desvio-padrão; 
Medem a dispersão de valores em um conjunto de 
dados, isto é, o grau de afastamento dos dados em 
torno de um valor central; 
Variação 
Amplitude = Xmaior – Xmenor 
Amplitude Interquartil (AI) = Q3 – Q1 
1-n
)X(X
S
n
1i
2
i
2




1-n
)X(X
S
n
1i
2
i



100%
X
S
CV 








S
XX
Z i


Variação 
TENDÊNCIA CENTRAL 
Corresponde à extensão na qual todos os 
valores de dados se agrupam em torno de 
um valor central típico. 
VARIAÇÃO 
Corresponde ao montante da dispersão de 
valores em relação a um valor central. 
FORMATO 
Corresponde ao padrão da distribuição de 
valores, do valor mais baixo para o mais alto. 
Formato 
O formato influencia na relação da média 
aritmética com a mediana dos seguintes 
modos: 
Média < mediana  negativa ou assimétrica à 
esquerda; 
Média = mediana  simétrica ou zero de 
assimetria; 
Média > mediana  positiva ou assimétrica à 
direita. 
Formato 
Assimétrica à esquerda 
Simétrica 
Assimétrica à direita 
Maior 
parte 
dos 
dados 
está na 
parcela 
superior 
Maior 
parte 
dos 
dados 
está na 
parcela 
inferior 
Formato 
D
IS
T
R
IB
U
IÇ
Ã
O
 A
S
S
IM
É
T
R
IC
A
 À
 D
IR
E
IT
A
 
D
IS
T
R
IB
U
IÇ
Ã
O
 A
S
S
IM
É
T
R
IC
A
 À
 E
S
Q
U
E
R
D
A
 
Formato 
O quadro e a linha central se localizam no 
meio dos pontos extremos somente se os 
dados forem simétricos em torno da média. 
Um gráfico Box-Plot pode ser apresentado tanto 
na vertical quanto na horizontal. 
Box-Plot 







n
i
i
n
i
i
n
i
ii
YX
YYXX
YYXX
SS
YX
r
1
2
1
2
1
)()(
))((
),(cov
Intensidade da Correlação 
Correlação 
O coeficiente de correlação mede a força relativa da relação 
linear entre duas variáveis. 
Capítulo 4 
Probabilidade Básica 
Probabilidade  Latim probare = PROVAR, TESTAR; 
Estudo de diversas situações onde há INCERTEZA; 
 
 
A Probabilidade é um VALOR NUMÉRICO QUE 
REPRESENTA A POSSIBILIDADE DE QUE UM 
DETERMINADO EVENTO VENHA A OCORRER; 
 
Definição 
Masculino Feminino TOTAL 
Destros 43 9 52 
Canhotos 44 4 48 
TOTAL 87 13 100 
Pode ser usada para expressar o relacionamento entre estas 
duas variáveis. 
Tabela de Contingência 
Baralho de 
52 Cartas 
Espaço 
Amostral 
24 
2 
24 
2 
EXEMPLO: Cartas de baralho 
Diagrama de Árvore 
PARA ASSEGURAR QUE AS ATRIBUIÇÕES DE PROB. SEJAM 
CONSISTENTES COM AS NOSSAS NOÇÕES INTUITIVAS, 
ESTAS DEVEM SATISFAZER OS AXIOMAS A SEGUIR: 
Qualquer função P(.) dos eventos no intervalo [0,1] 
é uma prob. se satisfizer as condições: 
Não-negatividade: P(A) ≥ 0, sendo A um evento 
qualquer; 
Aditividade: 
{Ej} eventos disjuntos ou mut. Excludentes  
devemos somar as probabilidades. 
Normalização: P(S=evento certo) = 1 
Ex: A prob. de amanhecer. 
    j jj j EP EP
Axiomas de Kolmogorov 
   APAPAP c  1)(    2121 então , Se APAP AA   0P
  0 então
 , Se
 BAP
excludentemutuamenteforemBeA
Propriedades 
Eventos Coletivamente Exaustivos: 
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1 
Eventos complementares: 
 P(A + B) = P(A) + P(B) = 1, já que P(A ∩ B) = 0 
Se A e B são mutuamente excludentes, então: 
P(A + B) = P(A)+P(B), já que P(A ∩ B) = 0 
        BAPBPAPBAPBouAPBAP  )()(Regra da Adição 
B)|P(A
Probabilidade de A dado B ou 
Probabilidade de A condicional a B. 
P(B)
)BP(A
B)|P(A


 Então, se P(B)>0 e P(A)>0: 
P(A)
)BP(A
A)|P(B


Probabilidade 
Condicional 
Onde: 
Outra forma de computar a probabilidade de 
uma interseção de eventos: 
Para a interseção dois eventos A e B: 
Ou generalizando: 
     BP*BAPB A P 
         1122-n1-n1-nnn21 AP*AAP*...*AAP*AAPA....AAP  
Para n = 2 
P(B)
)BP(A
B)|P(A


Regra do Produto 
Dividimos o espaço amostral em uma série de 
cenários possíveis, Ai (partição de S). 
     
             332211
321
*** APABPAPABPAPABPBP
ABPABPABPP(B)

 
Divida e Conquiste!      111 AP*ABPA BP  )P(A
)AP(B
)A|P(B
1
1
1


Probabilidade Total 
O Teorema de Bayes é usado para rever 
probabilidades previamente calculadas quando 
novas informações aparecem. 
Matematica mente, nada mais é do que 
uma extensão da probabilidade 
condicional e regra do produto. 
Teorema de Bayes 
P(B)
)P(A*)A|P(B
B)|P(A iii 
Nós temos uma 
probabilidade 
« a priori » para 
eventos Ai 
mutuamente 
exclusivos e 
coletivamente 
exaustivos: P(Ai) 
Para cada Ai 
nós sabemos, 
P(B|Ai) 
Mas na 
verdade nós 
queremos 
computar: 
P(Ai|B)      iii AP*ABPA BP       nn2211
ii
i
AP*)AP(B...AP*)AP(BAP*)AP(B
)P(A*)A|P(B
B)|P(A

Teorema de Bayes 
Dois eventos são independentes se e somente 
se: 
Os eventos A e B são independentes 
quando a probabilidade de ocorrência de 
um evento não é afetada pela ocorrência 
do outro evento. 
Pela definição de probabilidade condicional 
P(A)B)|P(A       BP APBAP P(A)B)|P(A  
Independência 
de eventos 
Capítulo 5 
Distribuições de 
Probabilidades Discretas 
VARIÁVEIS 
ALEATÓRIAS 
Discretas Contínuas 
x x 
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 
Espaço amostral 
enumerável 
Espaço amostral não 
enumerável 
Probabilidade 
de encontrar 
um resultado 
em uma 
amostra de 
tamanho 
específico 
Exemplo: 
Testar uma 
amostra de 
componentes e 
registrar apenas 
quantos 
representaram 
falhas dentro de 
1000 horas 
DefiniçãoA função de massa de probabilidade (fmp) de 
uma v.a discreta é definida para cada número X 
dada por: 
Lê-se: a probabilidade da v.a X assumir o valor x. 
 
Exemplo: P(X=2) indica a probabilidade de que o 
valor resultante de X seja 2. 
   xXP xp fmp 
Também chamada de função de distribuição ou fda; 
Ou seja, “soma” ou “acumula” a probabilidade de todos os 
valores abaixo de x; 
 
Para todo valor x ∈ ℝ. 
A função de distribuição acumulada da variável aleatória 
X, representada por F(X), ou simplesmente F, é definida por: 
    


xyy
X ypxXP xF
:
)(
fda 



N
i
ii xpx
1
)( E(X)
VALOR ESPERADO 



N
1i
i
2
i
2 )P(xE(X)][xσ



N
1i
i
2
i
2 )P(xE(X)][xσσ
VARIÂNCIA 
DESVIO-PADRÃO 
v.a 
Binomial 
Hipergeométrica 
Poisson 
DISCRETAS 
Binomial 
 
• A amostra consiste em um n° fixo de 
observações, n. 
 
 
 
• Cada tentativa pode resultar em um 
de 2 resultados possíveis, chamados 
de sucesso (S) ou falha (F). 
 
 
 
 
• As tentativas são independentes, de 
forma que o resultado de qualquer 
tentativa particular não influencia o 
resultado de qualquer outra tentativa. 
 
 
• . 
 
•A prob. de sucesso é constante de uma 
tentativa para outra. Denominamos essa 
prob. de p. 
 
 
 
XnX )(1
X)!(nX!
n!
P(X) 

 pp
Para X ~ Bin(n,p) 
Binomial 
Onde: 
pnE(x) 
)-(1nσ2 pp )-(1nσ pp
Hipergeométrica 
“n” amostras selecionadas sem 
reposição de uma população de 
tamanho N. 
Cada indivíduo da população é 
classificado como “Sucesso” ou 
“Fracasso”. 
A população possui A “Sucessos”. 
X = n° de “Sucessos” na amostra 
de tamanho n 





















n
N
Xn
AN
X
A
XP )(
Para X~Hipergeométrica(N,A,n) 
Onde: 
Hipergeométrica 
N
nA
E(X)  1- N
n-N
N
A)-nA(N
σ
2

Poisson 
O n° médio de eventos por unidade é dado por  
(lambda) 
O n° de eventos que ocorre em uma área de 
oportunidade é independente do n° de eventos que 
ocorrem em outras áreas de oportunidade; 
Deseja-se saber a prob. do n° de vezes que um evento 
pode ocorrer em uma área de oportunidade; 
X!
λe
P(X)
Xλ

Para X~Poisson(λ) 
Poisson 
Onde: 
E(X)  
𝑃 𝑋 > 2 = 1 – 𝑃 𝑿 ≤ 𝟐 
𝑃 𝑋 > 2 = 1 − [𝑃(𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 ] 
 
𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − 𝑃(𝑿 ≤ 𝟏) 
𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − [𝑃(𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 ] 
 
Pelo menos  ≥ 
 
 
IMPORTANTE! 
Informações para a prova: 
 Apresentar documento com foto; 
 
 Não será permitido o uso do celular; 
 
 Não será permitido tirar qualquer dúvida com a Profª ou 
monitores; 
 
 Não será permitido ir ao banheiro; 
 
 A resolução da prova deve ser detalhada; 
 
 Resolução organizada e letra legível serão levadas em 
consideração na correção da prova; 
 
 Sobre a carteira deverão estar: caneta, lápis, borracha e 
calculadora SEM TAMPA.