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Conjuntos Numéricos
João Victor Bateli Romão
Unidade de Apoio ao Cálculo
Profa. Dra. Juliana Cespedes
Bem-vindo ao curso Unidade de Apoio ao Cálculo! Este documento oferece o conhecimento
básico e complementar sobre a primeira parte da disciplina: conjuntos numéricos. O leitor
deverá saber um pouco sobre o que é um conjunto, como conjuntos podem ser operados e os
conjuntos numéricos.
Conjuntos
Conjuntos são coleções de objetos. Na matemática, no estudo de conjuntos, esses objetos
são chamados de elementos. Elementos podem ser qualquer coisa: números, frutas e até mesmo
outros conjuntos!
Para não haver confusão na leitura, denotamos conjuntos e elementos de formas diferentes.
Os conjuntos geralmente são denotados com letras maiúsculas e alguns conjuntos famosos são
denotados de formas especiais, como N e R. Elementos, por outro lado, são denotados por letras
minúsculas. Quando x é um elemento de um conjunto A, então dizemos que x pertence a A e
denotamos “x ∈ A”. Se um conjunto não está associado a uma letra, ele é denotado por seus
elementos listados entre chaves e separados por vírgulas e essa notação é muito utilizada para
definir conjuntos.
Exemplo 1 Seja o conjunto A = {x, y}. Podemos dizer que y ∈ A, porém z /∈ A, que é como
se denota quando dizemos que um elemento não pertence a um conjunto.
Observação: Se um elemento de um conjunto for um conjunto, ele será denotado por letra
maiúscula e o conjunto com esses tipos de elementos, para uma melhor discriminação, podem ser
denotados por letras maiúsculas caligrafadas, como F e C, também chamadas carinhosamente
pelos matemáticos de letras “afrescuradas”.
Exemplo 2 Enquanto x é um elemento, {x} é um conjunto com o elemento x. Os dois não são
a mesma coisa, embora o senso comum possa achar que, na prática, ambos carregam a mesma
informação, o que não é verdade. O mesmo vale para o conjunto {{x}}, que é o conjunto cujo
elemento é o conjunto {x}, e assim por diante:
x 6= {x} 6= {{x}} 6= ... 6= {...{x}...} 6= ...
Embora seja fácil entender que conjuntos sejam coleções de objetos, é importante saber que
conjuntos respeitam certas características. A seguir, são listadas algumas delas:
• Coleções sem elemento algum (de zero elementos) também são conjuntos. Esses conjuntos
são chamados de vazio e são denotados por ∅;
• Conjuntos não possuem elementos repetidos. Em um conjunto, só interessa se ele tem ou
não um determinado elemento, e a quantidade desse elemento. Com isso, a coleção de
números {1, 1, 2} não é um conjunto. A quantidade de elementos distintos, porém, é algo
importante na Teoria dos Conjuntos;
1
• Um conjunto A é igual a um conjunto B se simplesmente tem os mesmos elementos que
B. Portanto, os elementos de um conjunto não possuem ordem. {a, b} = {b, a};
• Um conjunto não pode ter como elemento ele próprio. Não existe um conjunto A = {A}
ou B = {1, 2, B}. Isso impede que construamos um conjunto que tenha todos os conjuntos
como elementos.
Subconjuntos
Para entender corretamente a definição de subconjunto, imagine que tenhamos um conjunto
A com seus elementos muito bem conhecidos. Depois, é apresentado a nós um segundo conjunto
B e percebemos que B tem todos os elementos de A. Com isso, dizemos que o nosso primeiro
conjunto A é um subconjunto de B (ou A está contido em B), e denotamos A ⊂ B.
Exemplo 3 Sejam X = {a, b, c, d} e Y = {a, c, d}. Como X tem todos os elementos de Y ,
temos que Y ⊂ X.
Não é preciso dizer mais nada sobre B para a informação do primeiro parágrafo ser verda-
deira. De fato, pode ser que B tenha mais elementos ainda, que não estão em A, ou, por outro
lado, B pode não ter elementos a mais. Neste último caso, todos os elementos de B também
estão em A. Segue então que B ⊂ A e, com isso, os conjuntos têm os mesmos elementos,
implicando que A = B. Independente disso, continua sendo verdade que A ⊂ B.
Não confunda a continência com a pertinência, embora a notação seja semelhante. Enquanto
a pertinência relaciona um elemento a um conjunto, o continência relaciona dois conjuntos de
acordo com seus respectivos elementos. É possível, porém, que um conjunto esteja contido em
e ao mesmo tempo pertencente a outro conjunto, como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo 4 Seja o conjunto S = {0, {0}}. Este conjunto é válido pois, como visto no Exemplo
2, 0 6= {0} e portanto não há repetições de elementos. Temos que {0} ∈ S, já que {0} é
um elemento de S. Além disso, {0} ⊂ S, pois todos os elementos de {0}, que é o número 0,
pertencem a S.
Se o último exemplo parecer muito confuso, leia o exemplo a seguir, que esclarece melhor a
ideia proposta.
Exemplo 5 Seja o conjunto S = {0, {1}}. Analisemos alguns possíveis candidatos a pertinência
e continência deste conjunto:
• 0 ∈ S, pois é elemento do conjunto;
• {1} ∈ S, pois é elemento do conjunto;
• {0} ⊂ S, pois 0 ∈ S e é o único elemento de {0};
• {1} 6⊂ S, pois 1 /∈ S;
• {{1}} ⊂ S, pois {1} ∈ S.
Operações entre Conjuntos
Através de um ou mais conjuntos, é possível formar novos conjuntos. Para isso, vamos definir
algumas operações entre conjuntos. Sejam A e B dois conjuntos:
2
União: A união de A e B, denotada por A ∪ B, é o conjunto cujos elementos estão em A ou
em B. Em outras palavras, ele possuirá todos os elementos de A e também todos os de B —
sem repetições, obviamente.
A B
A ∪B
Exemplo 6 Se A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}. Então, A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Exemplo 7 A ∪∅ = A, qualquer que seja o conjunto A.
Interseção: A interseção de A e B, denotada por A ∩ B, é o conjunto cujos elementos estão
em A e em B ao mesmo tempo.
A B
A ∩B
Exemplo 8 Se A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}. Então, A ∩B = {3}.
Exemplo 9 A ∩∅ = ∅, qualquer que seja o conjunto A.
Exemplo 10 Se A = {1, 2} e B = {3, 4, 5}. Então, A ∩B = ∅.
Diferença/Exclusão: A exclusão de B em A, denotada por A\B ou A−B, é o conjunto com
todo elemento x tal que x ∈ A e x /∈ B.
A B
A\B
Exemplo 11 Se A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}. Então, A\B = {1, 2}.
Exemplo 12 A\∅ = A e ∅\A = ∅, qualquer que seja o conjunto A.
Exemplo 13 Se A = {1, 2} e B = {3, 4, 5}. Então, A\B = {1, 2}.
3
Pode-se estender a união e a interseção para um número maior de conjuntos. Dados os
conjuntos A, B e C, a união A ∪ B ∪ C, por exemplo, é simplesmente a união A ∪ B unido
com C, isto é, A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C. Podemos fazer isso para qualquer quantidade
finita de conjuntos, se quisermos unir os conjuntos A1, A2, ..., A100, aplicamos a união 99 vezes
consecutivas para unirmos os 100 conjuntos. Denotamos esta união da seguinte maneira:
100⋃
k=1
Ak,
que se traduz como “a união de todos os conjuntos da forma Ak, com k variando de 1 até 100”.
Se quisermos intersectá-los, denotamos
100⋂
k=1
Ak.
Conjunto complementar: Suponha que estamos estudando um determinado conjunto e va-
mos chamá-lo de conjunto universo U . Para todo subconjunto S ⊂ U , existe um subconjunto
S{ ⊂ U , que chamamos de complementar de S em U , tal que S ∪ S{ = U e S ∩ S{ = ∅.
Basicamente, S{ é o que sobrou de U que não é de S.
Segue algumas propriedades de conjuntos complementares. Seja U o conjunto universo,
temos que:
• se S ⊂ U , então (S{){ = S;
• U{ = ∅. E, pelo item anterior, ∅{ = U ;
• se A ⊂ U e B ⊂ U , então (A ∪B){ = A{ ∩B{ e (A ∩B){ = A{ ∪B{.
Produto Cartesiano: Essa é uma operação de conjuntos que resulta em um conjunto com
elementos chamados pares ordenados. Sejam A e B conjuntos. Se a ∈ A e b ∈ B, então o par
ordenado (a, b) pertence ao produto cartesiano A×B.
Exemplo 14 Sejam F = {banana,maçã} e P = {j, u}. Então,
F × P = {(banana, j), (banana, u), (maçã, j), (maçã, u)}.
Quando fazemos o produto cartesiano entre um conjunto A com ele mesmo (A×A), é usual
denotarmos A2. O produto cartesiano pode ser estendido para n > 2 conjuntos, formando
conjuntos cujos elementos são n-uplas ordenadas.
Conjunto dos Números Naturais
O conjuntos dos números naturais,representado por N, é o conjunto da contagem. Por mais
incrível que pareça, há discordância quanto a pertinência do número 0 ao conjunto. Alguns
matemáticos definem o conjunto dos naturais como
N = {1, 2, 3, ...}
e outros definem como
N = {0, 1, 2, ...}.
A última definição é a utilizada no ensino fundamental e médio e ela usa a notação N∗ para
representar sua versão sem o zero. A primeira definição, por outro lado, é defendida por respeitar
melhor a ideia de contagem e é muito utilizada pelos matemáticos.
Algumas características do conjunto dos naturais:
4
• É infinito;
• Todo número natural n possui um sucessor s(n) = n+ 1, que é único;
• Existe um único número que não é sucessor de nenhum outro número e este é o que
chamamos de primeiro número (0 ou 1, dependendo da definição de N).
A soma e multiplicação de números, e até os próprios números naturais, são definidos a partir
do primeiro número e do conceito de sucessor.
Conjunto dos Números Inteiros
O conjunto dos números inteiros Z é constituído pelo zero, os números naturais e seus inversos
aditivos (opostos). Portanto,
Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...}.
Desta vez, o conjunto não tem um primeiro número. Todos os números n têm um sucessor
e todos são o sucessor de um outro número (ou, se preferir, todos possuem um antecessor
s−1(n) = n− 1).
São definidos, também, os conjuntos: Z∗ = {...,−2,−1, 1, 2, ...}, dos inteiros não-nulos;
Z+ = {0, 1, 2, ...}, dos inteiros não-negativos; e Z− = {...,−2,−1, 0}, dos inteiros não-positivos.
Dados a, b, c ∈ Z, temos que:
• se a < b, então a+ c < b+ c;
• se a < b, então
{
ac < bc, se c > 0,
ac > bc, se c < 0.
Estas propriedades continuarão valendo para os próximos conjuntos que serão apresentados.
Conjunto dos Números Racionais
Podemos dizer que o conjunto do números racionais é uma tentativa de preencher as lacunas
entre os números inteiros. Este conjunto é definido da seguinte maneira:
Q =
{
p
q
; p ∈ Z, q ∈ Z∗
}
,
que se traduz em “todas as razões entre p e q, tal que p é um número inteiro e q é um inteiro
não-nulo”.
Os números racionais são muitos úteis. Qualquer números pode ser aproximado por um
número racional. Computadores e calculadoras trabalham apenas com números racionais (na
verdade, apenas com um subconjunto dos racionais) e conseguem fazer contas com precisão
extraordinária.
É preferível representar um número racional pela sua forma mais reduzida, quando p e q são
relativamente primos, ou seja, não há divisores comuns entre eles que possam ser simplificados.
Exemplo 15 25550 =
51× 5
10× 5 =
51
10 ×
5
5 =
51
10 × 1 =
51
10 .
Os números também podem ser representados na forma decimal, como 52 = 2.5.
Uma divisão de inteiros pode resultar num decimal com finitas dízimas ou infinitas. As
infinitas repetem infinitamente uma sequência finita de dígitos a partir de um certo dígito e
possui, portanto, um período.
5
Exemplo 16 2599 = 0.252525... = 0.25. Repete infinitamente um período de 2 dígitos a partir
do primeiro decimal.
Exemplo 17 2572 = 0.347222... = 0.3472. Repete infinitamente um período de 1 dígito a partir
do quarto decimal.
Não se deve confiar em representações decimais incompletas, já que muitas vezes, na prática,
não é possível saber se há uma dízima de período muito grande ou que começa após uma
sequência muito grande de decimais, ou se não há dízima periódica alguma.
Observação: Notações podem ser uma verdadeira confusão. Neste documento, a separação
entre a parte inteira e decimal é feita com um ponto. No Brasil, entretanto, é padrão sepa-
rar por uma vírgula. Porém, os elementos dos conjuntos já são separados por vírgula. Uma
solução é separar por ponto-vírgula os números em forma decimal num conjunto (exemplo:
{1,2; 3; 4,5; 78,12; 103,1} ao invés de {1.2, 3, 4.5, 78.12, 103.1}). O ponto-vírgula, contudo, já é
usado para na linguagem matemática para representar “tal que”. Novamente, pode-se substituir
o ponto-vírgula do “tal que” por uma barra vertical (exemplo: {x|x > 2} ao invés de {x;x > 2}).
Enfim, regras de notação às vezes confundem e é sempre bom tomar cuidado com elas. Livros
de cálculo podem usar notações diferentes e todas elas são válidas. Use a que achar melhor,
desde que evite ambiguidades e que elas já existam.
Conjunto dos Números Reais
Mesmo os números racionais não preenchem todos os números entre dois números inteiros
quaisquer. Um exemplo disso é o número
√
2, construído a partir de um triângulo retângulo
com ambos os catetos de lado 1.
√
2
1
1
Foi demonstrado que
√
2 não poderia ser escrito como uma razão entre dois inteiros. O
conjunto dos números reais R abrangem quaisquer números que possam existir entre dois raci-
onais, acabando com os “furos/lacunas” entre os números. No caso de
√
2, é fácil verificar que
1 <
√
2 < 2.
O conjunto R possuem subconjuntos especiais chamados intervalos. Dados a, b ∈ R quais-
quer, temos os possíveis intervalos:
• (a, b) = {x ∈ R; a < x < b};
• [a, b) = {x ∈ R; a 6 x < b};
• (a, b] = {x ∈ R; a < x 6 b};
• [a, b] = {x ∈ R; a 6 x 6 b};
• (−∞, a) = {x ∈ R;x < a};
• (−∞, a] = {x ∈ R;x 6 a};
• (a,∞) = {x ∈ R;x > a};
6
• [a,∞) = {x ∈ R;x > a};
• (−∞,∞) = R.
Um intervalo nunca está contido no conjuntos Q dos números racionais, pois entre dois
números quaisquer, sempre há um número que não é racional, como o caso do
√
2.
A representação de um conjunto por intervalos usa muito o símbolo do infinito “∞”. Deve-se
tomar cuidado, pois intervalos geralmente são limitados, em sua notação, por números em R,
mas isso não vale para o infinito. O infinito nem sequer é um número, mas sim um conceito de
quantidade e não é elemento de nenhum conjunto apresentado aqui. Afirmações como ∞ ∈ R
ou N = {1, 2, 3, ...,∞} não fazem o menor sentido!
Conjunto dos Números Irracionais
Este é o conjunto dos números reais que não são racionais, ou seja, R\Q. O conjunto dos irra-
cionais não tem uma notação por uma letra. Embora seja possível explicitar este conjunto como
I ou P para facilitar a notação onde ele é usado muitas vezes num texto, é padrão representá-lo
apenas por R\Q.
Exemplo 18
√
2, pi, 3
√
4, sin(1) e a soma e/ou produto desses quatro números por qualquer
racional.
Segue algumas propriedades dos números racionais e irracionais:
• Se x, y ∈ Q, então x + y, xy ∈ Q. Mas não podemos fazer a afirmação análoga para os
irracionais. Se tomarmos os números irracionais pi, −pi e 1/pi, temos que pi − pi = 0 e
pi/pi = 1, que são racionais;
• Se x ∈ Q e y ∈ R\Q, então x+ y, xy ∈ R\Q.
Os números irracionais, em notação decimal, possuem dízimas infinitas e não-periódicas.
Sendo assim, é impossível escrever um número irracional de maneira exata nesta notação.
Referências
APOSTOL, T. M. Calculus, volume I. 2. ed. USA: John Wiley & Sons, 2007. ISBN 978-0-
471-00005-1.
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; JR., J. R. G. Matemática Fundamental 2o Grau.
[S.l.]: FTD S.A., 1994.
LIMA, E. L. Curso de análise, Volume 1. Rio de Janeiro: Instituto Nacional de Matemática
Pura e Aplicada, 2004. 431 p. ISBN 978-85-244-0118-3.
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